经典初中教案相切在作图中的应用

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我相信初中教师都接触过教案，教案可以围绕我们学校的各方面来写，写出一份教学方案需要经过精心的准备，优秀的初中教案是什么样子的？下面是小编特地为大家整理的“经典初中教案相切在作图中的应用”。

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：使学生理解画“连接”图形的理论依据．它是本节内容的核心，也是今后在实际制图应用中的基础．

难点：①对“连接”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描述客观问题，学生常常因抽象思维能力较弱，而没有真正理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连接时圆心位置的确定．

2、教法建议

（1）在教学中，组织学生寻找一些身边的有关“连接”的实际问题，画出比例图，既调动学生的积极性，培养了兴趣，又获得了知识；

（2）在教学中，以“实际问题——概念引出——理解——实际应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．（一）

教学目标：

（1）理解线段与弧、弧与弧连接的概念及连接的原理；

（2）通过对“连接”等概念的教学，培养学生的理解能力；

（3）通过线段与弧的连接，圆弧与圆弧的连接，培养学生的作图能力；

（4）“渗透”世界上很多事物是互相联系着的，并且在一定条件下相互转化．

教学重点:

正确理解连接的原理，初步掌握线段与圆弧连接、圆弧与圆弧连接的实质，会进行各种连接．

教学难点:

连接原理的正确理解和作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

（一）实际问题引出概念

我们在生活中常见到一些机器零件，它的边缘是圆滑的，我们最熟悉的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．

想一想：跑道线是怎样的线组成的?

画一画：跑道的大致图形．

指导学生发现线线的位置关系，引出连接的有关概念：

1、由一条线（线段或圆弧）平滑地过渡到另一条线上，这种平滑地过渡，称圆弧连接，简称连接．

2、连接时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连接处相切．

3、外连接、内连接．

组织学生阅读理解教材内容

（二）深刻理解概念

“连接”是“平滑地过渡”，怎样算“平滑“?像下面图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，虽然也有相切的关系，但它们不是连接．

理解：线与线连接有两个必备条件：①连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的两侧；圆弧与圆弧分居在连心线的两侧，二者缺一不可．

（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连接图形的画法

例1：已知：线段AB和r（如图）．

求作：，使它的半径等于r，，并且在点A与线段AB连接．

作法：1、过点A作直线PA⊥AB．

2、在射线AP取AO=r．

3、以O为圆心，r为半径作，使AB、在OA的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与线段的连接，主要运用了切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．

例2、已知：如图，的半径为R1，圆心为O1；线段R2．

求作：半径为R2的，使与在点A外连接．

作法：1、连结O1A，并且延长到点O2，使O1O2=R1+R2．

2、以O2为圆心，O1O2为半径作，使与在的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与圆弧的连接，主要运用“两圆相切，切点一定在连心线上”这个结论．

练习题：P148练习，1、2．

（三）小结

主要内容：

1、什么是连接?什么是外连接?什么是内连接?

2、任何一种连接，其实质就是两线相切，在切点处相连接，是切点两侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连接．

3、对于给出的题目，画出连接图形关键在于确定圆心．

（四）作业

教材P151习题A组16．

课外题：画一个生活中的有关连接图形的比例图，下节课展示．

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数学教案－相切在作图中的应用

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：使学生理解画“连接”图形的理论依据．它是本节内容的核心，也是今后在实际制图应用中的基础．

难点：①对“连接”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描述客观问题，学生常常因抽象思维能力较弱，而没有真正理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连接时圆心位置的确定．

2、教法建议

（1）在教学中，组织学生寻找一些身边的有关“连接”的实际问题，画出比例图，既调动学生的积极性，培养了兴趣，又获得了知识；

（2）在教学中，以“实际问题——概念引出——理解——实际应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．相切在作图中的应用（一）

教学目标：

（1）理解线段与弧、弧与弧连接的概念及连接的原理；

（2）通过对“连接”等概念的教学，培养学生的理解能力；

（3）通过线段与弧的连接，圆弧与圆弧的连接，培养学生的作图能力；

（4）“渗透”世界上很多事物是互相联系着的，并且在一定条件下相互转化．

教学重点:

正确理解连接的原理，初步掌握线段与圆弧连接、圆弧与圆弧连接的实质，会进行各种连接．

教学难点:

连接原理的正确理解和作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

（一）实际问题引出概念

我们在生活中常见到一些机器零件，它的边缘是圆滑的，我们最熟悉的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．

想一想：跑道线是怎样的线组成的?

画一画：跑道的大致图形．

指导学生发现线线的位置关系，引出连接的有关概念：

1、由一条线（线段或圆弧）平滑地过渡到另一条线上，这种平滑地过渡，称圆弧连接，简称连接．

2、连接时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连接处相切．

3、外连接、内连接．

组织学生阅读理解教材内容

（二）深刻理解概念

“连接”是“平滑地过渡”，怎样算“平滑“?像下面图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，虽然也有相切的关系，但它们不是连接．

理解：线与线连接有两个必备条件：①连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的两侧；圆弧与圆弧分居在连心线的两侧，二者缺一不可．

（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连接图形的画法

例1：已知：线段AB和r（如图）．

求作：，使它的半径等于r，，并且在点A与线段AB连接．

作法：1、过点A作直线PA⊥AB．

2、在射线AP取AO=r．

3、以O为圆心，r为半径作，使AB、在OA的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与线段的连接，主要运用了切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．

例2、已知：如图，的半径为R1，圆心为O1；线段R2．

求作：半径为R2的，使与在点A外连接．

作法：1、连结O1A，并且延长到点O2，使O1O2=R1+R2．

2、以O2为圆心，O1O2为半径作，使与在的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与圆弧的连接，主要运用“两圆相切，切点一定在连心线上”这个结论．

练习题：P148练习，1、2．

（三）小结

主要内容：

1、什么是连接?什么是外连接?什么是内连接?

2、任何一种连接，其实质就是两线相切，在切点处相连接，是切点两侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连接．

3、对于给出的题目，画出连接图形关键在于确定圆心．

（四）作业

教材P151习题A组16．

课外题：画一个生活中的有关连接图形的比例图，下节课展示．

相切在作图中的应用（二）

教学目标：

（1）进一步理解连接等概念及连接的原理；

（2）进一步培养学生的作图能力；

（3）通过对作图题的分析，培养学生的分析问题能力．

教学重点:

深刻理解连接的意义，能对具体图形熟练地进行弧连接．

教学难点:

作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

(一)概念复习与理解

练习1、下列命题中，正确的是（C）

(A)将一段弧和一条线段连到一起的图形叫连接；

(B)一段给出半径的圆弧可以和一直线连接；

(C)两段给出不等半径的圆弧可以用内、外两种连接方式连接；

(D)两段圆弧内切就是内连接．

练习2、内、外连接的区别是(C)

(A)内连接两弧在连心线同侧，而外连接两弧在连心线两侧；

(B)内连接两弧在切点同旁，外连接两弧在切点两旁；

(C)内连接是内切两圆弧连接，外连接是外切两圆弧连接；

(D)内连接是外切两圆弧连接，外连接是内切两圆弧连接．

（二）连接图形的应用

例3、（教材P148）如图，要把零件中直角A加工成半径为15mm的圆角(即用一条半径为15mm的圆弧连接边AB与边AC)在图上画出这条圆弧．

分析：圆弧的半径已知，要画出这条圆弧，只要求出它的圆心即可．因为圆弧要与AB和AC都相切。所以圆心到边AB和AC的距离都等于15mm，实际上四边形AEOP是正方形，它的顶点O在∠CAB的平分线上．

（参看教材P148）

充分给学生时间让学生自己分析、研究、写出画法，画出图形．

练习：把两边长分别为8cm和5cm的矩形的4个直角改画成圆角，使圆弧的半径等于1cm．

（三）展示作品

对上节课课外作业中较好的连接图形，展示．既提高学生的学习积极性，又激发学生在教学过程中的参与热情．

（四）小结

1、连接在实际生活中的应用，可以改变物体的表面形状．

2、任何一种连接的问题经过分析后都能转化为基本图形：“线段与弧的连接；圆弧与圆弧的内连接；圆弧与圆弧的外连接．

3、连接的关键是确定所求圆弧所在圆的圆心．

4、线段可在一点处与两条弧同时连接．

（五）作业教材P154中18，B组2．

探究活动

问题：如图三圆两两相切，切点分别为C、O、D，与半圆O分别切于点A、E、B，请你找出图中除线段AB和弧以外的6条从A点平滑过渡到B点且没有重复弧的路线，并指出在经过个点处是什么连接（内连接、外连接）．

相切在作图中的应用的教学方案

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：使学生理解画“连接”图形的理论依据．它是本节内容的核心，也是今后在实际制图应用中的基础．

难点：①对“连接”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描述客观问题，学生常常因抽象思维能力较弱，而没有真正理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连接时圆心位置的确定．

2、教法建议

（1）在教学中，组织学生寻找一些身边的有关“连接”的实际问题，画出比例图，既调动学生的积极性，培养了兴趣，又获得了知识；

（2）在教学中，以“实际问题——概念引出——理解——实际应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．（一）

教学目标：

（1）理解线段与弧、弧与弧连接的概念及连接的原理；

（2）通过对“连接”等概念的教学，培养学生的理解能力；

（3）通过线段与弧的连接，圆弧与圆弧的连接，培养学生的作图能力；

（4）“渗透”世界上很多事物是互相联系着的，并且在一定条件下相互转化．

教学重点:

正确理解连接的原理，初步掌握线段与圆弧连接、圆弧与圆弧连接的实质，会进行各种连接．

教学难点:

连接原理的正确理解和作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

（一）实际问题引出概念

我们在生活中常见到一些机器零件，它的边缘是圆滑的，我们最熟悉的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．

想一想：跑道线是怎样的线组成的?

画一画：跑道的大致图形．

指导学生发现线线的位置关系，引出连接的有关概念：

1、由一条线（线段或圆弧）平滑地过渡到另一条线上，这种平滑地过渡，称圆弧连接，简称连接．

2、连接时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连接处相切．

3、外连接、内连接．

组织学生阅读理解教材内容

（二）深刻理解概念

“连接”是“平滑地过渡”，怎样算“平滑“?像下面图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，虽然也有相切的关系，但它们不是连接．

理解：线与线连接有两个必备条件：①连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的两侧；圆弧与圆弧分居在连心线的两侧，二者缺一不可．

（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连接图形的画法

例1：已知：线段AB和r（如图）．

求作：，使它的半径等于r，，并且在点A与线段AB连接．

作法：1、过点A作直线PA⊥AB．

2、在射线AP取AO=r．

3、以O为圆心，r为半径作，使AB、在OA的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与线段的连接，主要运用了切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．

例2、已知：如图，的半径为R1，圆心为O1；线段R2．

求作：半径为R2的，使与在点A外连接．

作法：1、连结O1A，并且延长到点O2，使O1O2=R1+R2．

2、以O2为圆心，O1O2为半径作，使与在的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与圆弧的连接，主要运用“两圆相切，切点一定在连心线上”这个结论．

练习题：P148练习，1、2．

（三）小结

主要内容：

1、什么是连接?什么是外连接?什么是内连接?

2、任何一种连接，其实质就是两线相切，在切点处相连接，是切点两侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连接．

3、对于给出的题目，画出连接图形关键在于确定圆心．

（四）作业

教材P151习题A组16．

课外题：画一个生活中的有关连接图形的比例图，下节课展示．

（二）

教学目标：

（1）进一步理解连接等概念及连接的原理；

（2）进一步培养学生的作图能力；

（3）通过对作图题的分析，培养学生的分析问题能力．

教学重点:

深刻理解连接的意义，能对具体图形熟练地进行弧连接．

教学难点:

作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

(一)概念复习与理解

练习1、下列命题中，正确的是（C）

(A)将一段弧和一条线段连到一起的图形叫连接；

(B)一段给出半径的圆弧可以和一直线连接；

(C)两段给出不等半径的圆弧可以用内、外两种连接方式连接；

(D)两段圆弧内切就是内连接．

练习2、内、外连接的区别是(C)

(A)内连接两弧在连心线同侧，而外连接两弧在连心线两侧；

(B)内连接两弧在切点同旁，外连接两弧在切点两旁；

(C)内连接是内切两圆弧连接，外连接是外切两圆弧连接；

(D)内连接是外切两圆弧连接，外连接是内切两圆弧连接．

（二）连接图形的应用

例3、（教材P148）如图，要把零件中直角A加工成半径为15mm的圆角(即用一条半径为15mm的圆弧连接边AB与边AC)在图上画出这条圆弧．

分析：圆弧的半径已知，要画出这条圆弧，只要求出它的圆心即可．因为圆弧要与AB和AC都相切。所以圆心到边AB和AC的距离都等于15mm，实际上四边形AEOP是正方形，它的顶点O在∠CAB的平分线上．

（参看教材P148）

充分给学生时间让学生自己分析、研究、写出画法，画出图形．

练习：把两边长分别为8cm和5cm的矩形的4个直角改画成圆角，使圆弧的半径等于1cm．

（三）展示作品

对上节课课外作业中较好的连接图形，展示．既提高学生的学习积极性，又激发学生在教学过程中的参与热情．

（四）小结

1、连接在实际生活中的应用，可以改变物体的表面形状．

2、任何一种连接的问题经过分析后都能转化为基本图形：“线段与弧的连接；圆弧与圆弧的内连接；圆弧与圆弧的外连接．

3、连接的关键是确定所求圆弧所在圆的圆心．

4、线段可在一点处与两条弧同时连接．

（五）作业教材P154中18，B组2．

探究活动

问题：如图三圆两两相切，切点分别为C、O、D，与半圆O分别切于点A、E、B，请你找出图中除线段AB和弧以外的6条从A点平滑过渡到B点且没有重复弧的路线，并指出在经过个点处是什么连接（内连接、外连接）．

经典初中教案作图题举例

（1）知识结构

重点与难点分析

本节内容的重点是根据基本作图作出符合要求的几何图形。几何作图题同一般画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，这样有助于培养学生的逻辑推理能力；另外，以后复杂的作图题常用基本作图中的三角形作基础，通过三角形来完成。

本节内容的难点是如何构思作图思路，如何分解所要求作的几何图形，探索出作图步骤。比较复杂的作图题，要经过严格地分析，才能找到作图的根据和方法，这对推理能力的要求比较高。对刚刚学习几何作图问题的初二学生来讲，他们会感到困难的，所以把上述作为难点来对待。

教法建议

本节课教学模式的选择与学习方法主要是通过师生互动交流、学生群体互动交流，教给学生学习数学的切实方法。让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

（1）本节课开始，由同学们写出五种基本作图并作图，保留痕迹。要求同桌互相检查，从一开始就鼓励双边交流与多边交流。体现以“学生为主体”的教学思想。

（2）出示问题（例1，例2，例3），让学生主动探索解决。

对例1学生可以独立思考或者相互讨论。教师巡视，若发现有一些学生已经通过某种途径获得问题的解答，则可以让学生表述自己的解法，否则可以启发。教师注意强调作图题的有关事项。

对例2、例3仍是学生思考与交流。需要的话，教师应当提供必要的帮助：大家是否有点困难？有没有思路？你是否知道自己要达到的目的，或者说你想得到什么（必要的话，可以提示学生回顾一下例1作法过程）然后，让学生试着写出作法，利用投影展示学生的作品，师生共同纠正完善。

这一过程给学生提供了自主活动的机会，通过尝试几个实例，进而获得作图题的一般解题思路和方法。讲清尺规作图题的如何分析作法的来源。

教学目标：

1、知识目标：

（1）能够利用基本作图作出符合要求作的几何图形；

（2）熟练作图的规范语言；

2、能力目标：

（1）通过作图题，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维与推理能力；

（2）通过作图问题的解决，提高作图的技能和技巧.

3、情感目标：

通过作图练习，培养学生良好的书写习惯.

教学重点：根据基本作图作出符合要求的几何图形.

教学难点：如何构思作图思路，如何分解所要求作的几何图形，探索出作图步骤.

教学用具：直尺，微机

教学方法：自学辅导

教学过程：

1、复习引入

（1）五种基本作图是什么？（学生回答后，投影显示）

（2）学生在练习本上画出五种基本作图（不写作法，保留痕迹）

教师巡视，并指导个别学生.

2、新课

（1）讲解例1：教师注重作法的思路分析，并板书作法.

例1已知两边及其夹角，求作三角形.

已知：，线段，如图，

求作：，使A＝，AB＝，AC＝

作法：1、作MAN＝

2、在射线AM、AN上分别作线段AB＝，AC＝

3、连结BC

为所求作的三角形

强调说明：

①一般几何作图题的步骤：已知、求作、作法、证明.在一般情况下，只要求掌握已知、求作、作法三个步骤.

②几何作图题的作法的书写规定：在几何作图题中，要反复用到上节学过的基本作图，但不需重复基本作图过程，只要写出是哪个基本作图就可以了.例如“作MAN＝”

③作图语言要规范.

（2）讲解例2

①（投影）例2已知底边，底边上的高，求作等腰三角形.

已知：线段、

求作：，使AB＝AC，且BC＝，高AD＝

②学生思考，教师点拨.

③找学生代表口述作法，教师板书.

作法：1、作线段BC＝

2、作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D

3、在MN上截取DA，使DA＝

4、连结AB、AC

为所求的等腰三角形

（3）讲解例3

①（投影）例3求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段

已知：线段

求作：，使∠A＝，AB＝AC，BC＝

②学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论

③找学生代表口述作法思路

思路1：作两直角的平分线

思路2：先作一个角为，然后再作另一个角与其相等

思路3：先作一个角为，再作直角.

思路4：利用等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半.

师生共同讨论，说明各种思路的优势.

3、课堂小结：

一些简单作图都是由基本作图组成的，由此，在几何作图时，先应画出草图分析，将简单的尺规作图分解为若干个基本作图.

4、布置作业：

a、书面作业P88＃7

b、上交作业P88＃11、12

c、思考题：如图

板书设计：

经典初中教案二次函数的应用时

2.4二次函数的应用(2)

教学目标：

1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：

一、复习：

1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态

图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）

设问：（1）对角线（l）与边长（x）有什何关系？

（2）对角线（l）是否也有最值？如果有怎样求？

l与x并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x的二次函数，并且有最小值。引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。

二、例题讲解

例题2：b船位于a船正东26km处，现在a、b两船同时出发，a船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，b船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？

多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？

(2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？

设经过t小时后ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(12t)2=169t2-260t+676。（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）

因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。

解:设经过t时后，a，bab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为

s=a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(12t)2

=169t2-260t+676=169（t-1013）2+576（t>0）

当t=1013时，被开方式169（t-1013）2+576有最小值576。

所以当t=1013时，s最小值=576=24（km）

答：经过1013时，两船之间的距离最近，最近距离为24km

练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。

三、课堂小结

应用二次函数解决实际问题的一般步骤

四、布置作业

见作业本

经典初中教案解直角三形应用举例

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.