经典初中教案解直角三形应用举例

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在我们的初中教学中都离不开教案，教案是保证教学质量的基本条件，初中老师经常会为写教案感到苦恼，对于初中教案报的撰写你是否毫无头绪呢？可以看看本站收集的《经典初中教案解直角三形应用举例》，希望能够为您提供参考。

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

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2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

解直角三形应用举例的教学方案

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

数学教案－解直角三形应用举例相关教学方案

1．知识结构：

2．重点和难点分析

重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．教法建议

本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：

1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．

2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：

(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．

(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．

在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．

3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．

4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．

一、教学目标

1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；

2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；

3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.

二、重点难点疑点及解决办法

1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.

3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.

4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.

三、教学过程

1．仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．

教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．

2．例1

如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．

解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之

前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但

不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几

何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．

解：在中,

∴（米）．

答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．

［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式

来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．

3．巩固练习P．25．

如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）

为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．

由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化

为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：

1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．

2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？

答：已知，求AB．

这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．

对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.

【例2】如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.

此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.

设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.

解：过A作，于是，

在中，

∴（米）.

.

∴（米）.

∴（米）.

（米）.

答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.

练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.

要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.

探究活动

一、望海岛

如图,要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)

答案:4里55步;102里150步.

二、望松

如下图，求出三顶松的高度.

答案:12丈2尺8寸.

经典初中教案解直角三角形

教学建议

1．知识结构：

本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2．重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6.要善于把某些实际问题转化为问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为.

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

一、教学目标

1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数；

2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：直角三角形的解法。

2．难点：三角函数在中的灵活运用。

3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

4．解决办法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

三、教学步骤

（一）明确目标

1．在三角形中共有几个元素？

2．如图直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

（2）三边之间关系

（勾股定理）

（3）锐角之间关系。

以上三点正是的依据，通过复习，使学生便于应用。

（二）整体感知

教材在继锐角三角函数后安排，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。同时，本课又为以后的应用举例打下基础。因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——的知识来解决的。综上所述，一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

（三）教学过程

1．我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素。这样的导语既可以使学生大概了解的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是？（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做）。

3．例题

【例1】

中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。

的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

解：（1），

（2），

∴

（3）

∴

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何？”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

【例2】在Rt中，，解这个三角形。

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

解：（1），

查表得；

（2）

（3），

∴。

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘（或除）以另一含四位有效数字的数要方便一些。但先后要查两次表，并作一次加法（或减法）或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。

4．巩固练习

是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。为此，教材配备了练习P．23中1、2练习1针对各种条件，使学生熟练；练习2代入数据，培养学生运算能力。

[参考答案]

1．（1）；

（2）由求出或；

（3），

或；

（4）或。

2．（1）；

（2）。

说明：计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。但无论是否使用计算器，都必须写出的整个过程。要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯。

（四）总结扩展

1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。

2．幻灯片出示图表，请学生完成

四、布置作业

教材P．32习题6．4A组3。

[参考答案]

3．；

五、板书设计

解直角三角形

教学建议

1．知识结构：

本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2．重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6.要善于把某些实际问题转化为问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为.

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

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解直角三角形教案模板

教学建议

1．知识结构：

本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法.

2．重点和难点分析：

教学重点和难点：直角三角形的解法.

本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键.

3.深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化.

锐角三角函数的定义：

实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中.

当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素.

如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长.

画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式

，

由于，它实际上已经转化了以BC为未知数的代数方程，解这个方程，得

.

即得BC的长为.

又如，已知直角三角形斜边的长为35.42cm，一条直角边的长29.17cm，求另一条边所对的锐角的大小.

画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是

也就是

这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得

.

由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具.

4.直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：

5.注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化

由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过而获得解决.请看下例.

例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角（如图）

这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高（想一想：作其它边上的高为什么不好.），问题就转化为两个的问题.

在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了.解法如下：

解：作于D，在Rt中，有

；

又，在Rt中，有

∴

又，

∴

于是，有

由此可知，掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，如

（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形.

（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.

（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形.

（4）如图，等腰三角形AOB是正n边形的n分之一.作它的底边上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半径，OM是边心距，AB是边长的一半，锐角.

6.要善于把某些实际问题转化为问题.

很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为问题.

我们知道，机器上用的螺丝钉问题可以看作计算问题，而圆柱的侧面可以看作是长方形围成的（如图）.螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm的螺丝钉，若每转一圈向前推进1.25mm，螺纹的初始角应是多少度多少分？

据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC的长为

，

另一条直角边为螺钉推进的距离，所以

，

设螺纹初始角为，则在Rt中，有

∴.

即，螺纹的初始角约为.

这个例子说明，生产和生活中有很多实际问题都可以抽象为一个问题，我们应当注意培养这种把数学知识应用于实际生活的意识和能力.

一、教学目标

1．使学生掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数；

2．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

3．通过本节的学习，向学生渗透数形结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．重点：直角三角形的解法。

2．难点：三角函数在中的灵活运用。

3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。

4．解决办法：设置疑问，引导学生主动发现方法与途径，解决重难点，以相似三角形知识为背景解决疑点。

三、教学步骤

（一）明确目标

1．在三角形中共有几个元素？

2．如图直角三角形ABC中，这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

（2）三边之间关系

（勾股定理）

（3）锐角之间关系。

以上三点正是的依据，通过复习，使学生便于应用。

（二）整体感知

教材在继锐角三角函数后安排，目的是运用锐用三角函数知识，对其加以复习巩固。同时，本课又为以后的应用举例打下基础。因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——的知识来解决的。综上所述，一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课。

（三）教学过程

1．我们已掌握Rt的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素。这样的导语既可以使中国学习联盟概了解的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢，激发了学生的学习热情。

2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是？（由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做）。

3．例题

【例1】在中，为直角，所对的边分别为，且，解这个三角形。

的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

解：（1），

（2），

∴

（3）

∴

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何？”

答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边。计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底。

【例2】在Rt中，，解这个三角形。

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

解：（1），

查表得；

（2）

（3），

∴。

注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘（或除）以另一含四位有效数字的数要方便一些。但先后要查两次表，并作一次加法（或减法）或者使用计算器求平方、平方根及三角正数值等。

4．巩固练习

是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握。为此，教材配备了练习P．23中1、2练习1针对各种条件，使学生熟练；练习2代入数据，培养学生运算能力。

[参考答案]

1．（1）；

（2）由求出或；

（3），

或；

（4）或。

2．（1）；

（2）。

说明：计算上比较繁琐，条件好的学校允许用计算器。但无论是否使用计算器，都必须写出的整个过程。要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯。

（四）总结扩展

1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出另三个元素。

2．幻灯片出示图表，请学生完成

四、布置作业

教材P．32习题6．4A组3。

[参考答案]

3．；

五、板书设计