【www.jk251.com - 数学函数教案范文】
我相信初中教师都接触过教案,撰写教案有利于教研活动的开展,做好教案对我们未来发展有着很重要的意义,自己的初中教案如何写呢?希望《数学教案-函数》能够为您提供帮助。
函数(-)
教学目的:
1.了解常量与变量的意义,能分清实例中的常量与变量;
2.了解自变量与函数的意义,能列举函数的实例,并能写出简单的函数关系式;
3.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力;
4.对学生进行相互联系、绝对与相对、运动变化的辩证唯物主义观点的教育和爱国、爱党、爱人民的教育。
教学直点:
函数概念的形成过程。
教学难点:
理解函数概念。
教具:
多媒体。
教学过程:
一、创设情境
首先请同学们看一组境头:(微机播放今夏抗洪片段)唤起学生对今夏洪水的回忆,对学生渗透爱国、爱党、爱人民的教育。
二、形成概念
(一)变量与常量概念的形成过程
1.举例、归纳
引例1:沙市今夏7、8两个月的水位图(微机示图)
学生观察水位随时间变化的情况,(微机示意)引出“变量”。
引例2:汽车在公路上匀速行驶(微机示意)
学生观察汽车匀速行驶的过程,加深对变量的认
识,引出“常量”。
设问:一个量变化,具体地说是它的什么在变?什么不变呢?(微机显示:下方汽车匀速行驶,上方S的值随t的值变化而变化。)
引导学生观察发现:是量的数值变与不变。
归纳变量与常量的定义并板书。
2.剖析概念
常量与变量必须存在于一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量,需着两个方面:①看它是否在一个变化的过程中,②看它在这个变化过程中的取植情况。
3.巩固概念
练习一:
1.向平静的湖面投一石子,便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆(微机示意)。①在这个变化过程中,有哪些变量?②若面积用S,半径用R表示,则S和R的关系是什么?;π是常量还是变量?③若周长用C,半径用R表示,C与R的关系式是什么?
2.(见课本第92页练习1)
学生回答后指出:常量与变量不是绝对的,而是对于一个变化过程而言的。
(二)自变量与函数概念的形成过程
1.举例、归纳
(微机一屏显示两个引例)学生再次观察引例1、2两个变化过程,寻找共同之处:①一个变化过程,②两个变量,③一个量随另一个量的变化而变化。
若两个量满足上述三个条件,就说这两个量具有函数关系。(引出课题并板书)
设问:上述第三条是形象描述两个变量的关系,具体地说是什么意思?
以引例2说明:(微机示意)
设问:在S=30t中,当t=0.5时,S有没有值与它对应?有几个?
反复设问:t=l,1.5,2,3……时呢?
引导学生观察发现:对于变量t的每一个值,变量S都有唯一的值与它对应。所以两个变量的关系又可叙述为:对于一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一的值与它对应。即一种对应关系。(微机出示)
在s=30t中,s与t具有这种对应关系,就说t是自变量,S是t的函数。引出“自变量”、“函数”。
归纳自变量与函数的定义并板书。
2.剖析概念
理解函数概念把握三点:①一个变化过程,②两个变量,③一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。
3.巩固概念
练习二:
l)某地某天气温如图:(微机示图)气温与时间具有函数关系吗?
学生回答后指出这里函数关系是用图象给出的。
2)宜昌市某旅游公司近几年接待游客人数如表:(微机示表)游客人数与时间具有函数关系吗?学生回答后指出这里函数关系是用表格给出的。
3)在S=?d中,S与R具有函数关系吗?C=ZπR中,C与R呢?(微机显示变化过程)学生回答后指出这里函数关系是用数学式子结出的。
4)师生共同列举函数关系的例子。
三、例题示范
(微机出示例1,并演示篱笆围成矩形的过程。)
指导:1.篱笆的长等于矩形的周长;2.S与1的关系式,即用1的代数式表示S;3.表示矩形的面积,需先表示矩形一组邻边的长。
解题过程略。
变式练习:
用60m的篱笆围成矩形,使矩形一边靠墙,另三边用篱笆围成,(微机示意)
1.写出矩形面积s(m?)与平行于墙的一边长l(m)的关系式;
2.写出矩形面积s(m?)与垂直于墙的一边长l(m)的关系式。并指出两式中的常量与变量,函数与自变量。
四、反馈练习(微机示题)
五、归纳小结
1.四个概念:常量与变量,函数与自变量。
2.两个注意:①判断常量与变量看两个方面。②理解函数概念把握三点。
六、布置作业
1.必做题:课本第95页,练习1、2.
2.思考题:
①在y=2x+l中,y是x的函数吗??=x中,y是X的函数吗?
②引例2的s=30t中,t可以取不同的数值,但t可以取任意数值吗?
教案设计说明
根据本节内容的特点——抽象、难懂的概念深。
我按以下思路设计本课:坚持以观察为起点,以问题为主线,以培养能力为核心的宗旨;遵照教师为主导,学生为主体,训练为主线的教学原则;遵循特殊到一般,具体到抽象,由浅入深,由易到难的认识规律。教学过程特突出以下构想:
一、真景再现,引人入胜
上课后,首先播放一组动人的抗洪镜头,把学生分散的思维一下子聚拢过来,学生情绪、课堂气氛调控到最佳状态,为新课的开展创设良好的教学氛围。因为它真实、贴近学生的生活,所以唤起他们对今夏所遭受的那场特大洪水的回忆,教师有机地对学生渗透爱国、爱党、爱人民的教育。
二、过程凸现,紧扣重点
函数概念的形咸过程是本节的重点,所以本节突出概念形成过程的教学,把过程分为三个阶段:归纳、剖析与巩固。第一阶段里举学生熟悉的、形象生动的例子,引导学生观察、分析尔后归纳。第二阶段里帮助学生把握概念的本质特征,提出注意问题。第三阶段里引导学生运用概念并及时反馈。同时在概念的形成过程中,着意培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。引导学生从运动、变化的角度看问题时,向学生渗透辩证唯物主义观点的教育。
三、动态显现,化难为易
函数概念的抽象性是常规教学手段无法突出的,为了扫除学生思维上的障碍,本节充分发挥多媒体的声、像、动画特征,使抽象的问题形象化,静态方式的动态化,直观、深刻地揭示函数概念的本质,突破本节的难点。同时教学活动中有声、有色、有动感的画面,不仅叩开学生思维之门,也打开他们的心灵之窗,使他们在欣赏、享受中,在美的熏陶中主动的、轻松愉快的获得新知。
四、例子展现,多方渗透
为了使抽象的函数概念具体化,通俗易懂,本节列举了大量的生活中的例子和其他学科中的例子,培养学生的发散思维、加强学科间的渗透,知识问的联系,也增强学生学数学、的意识。
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数学教案-二次函数的教学方案
知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向
〖大纲要求〗
1.理解二次函数的概念;
2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法画二次函数的图象;
3.会平移二次函数y=ax2(a≠0)的图象得到二次函数y=a(ax+m)2+k的图象,了解特殊与一般相互联系和转化的思想;
4.会用待定系数法求二次函数的解析式;
5.利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容
(1)二次函数及其图象
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么,y叫做x的二次函数。
二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。
(2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是,对称轴是,当a>0时,抛物线开口向上,当a
抛物线y=a(x+h)2+k(a≠0)的顶点是(-h,k),对称轴是x=-h.
〖考查重点与常见题型〗
1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2额图像经过原点,
则m的值是
2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
如图,如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内,那么函数
y=kx2+bx-1的图像大致是()
yyyy
11
0xo-1x0x0-1x
ABCD
3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x=,求这条抛物线的解析式。
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
习题1:
一、填空题:(每小题3分,共30分)
1、已知A(3,6)在第一象限,则点B(3,-6)在第象限
2、对于y=-,当x>0时,y随x的增大而
3、二次函数y=x2+x-5取最小值是,自变量x的值是
4、抛物线y=(x-1)2-7的对称轴是直线x=
5、直线y=-5x-8在y轴上的截距是
6、函数y=中,自变量x的取值范围是
7、若函数y=(m+1)xm2+3m+1是反比例函数,则m的值为
8、在公式=b中,如果b是已知数,则a=
9、已知关于x的一次函数y=(m-1)x+7,如果y随x的增大而减小,则m的取值范围是
10、某乡粮食总产值为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨),与该乡人口数x的函数关系式是
二、选择题:(每题3分,共30分)
11、函数y=中,自变量x的取值范围()
(A)x>5(B)x<5(C)x≤5(D)x≥5
12、抛物线y=(x+3)2-2的顶点在()
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
13、抛物线y=(x-1)(x-2)与坐标轴交点的个数为()
(A)0(B)1(C)2(D)3
14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是()
(A)(B)(C)(D)
15.平面三角坐标系内与点(3,-5)关于y轴对称点的坐标为()
(A)(-3,5)(B)(3,5)(C)(-3,-5)(D)(3,-5)
16.下列抛物线,对称轴是直线x=的是()
(A)y=x2(B)y=x2+2x(C)y=x2+x+2(D)y=x2-x-2
17.函数y=中,x的取值范围是()
(A)x≠0(B)x>(C)x≠(D)x<
18.已知A(0,0),B(3,2)两点,则经过A、B两点的直线是()
(A)y=x(B)y=x(C)y=3x(D)y=x+1
19.不论m为何实数,直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在()
数学教案-函数的图象初中教案精选
函数的图象
教学目标
(一)知道函数图象的意义;
(二)能画出简单函数的图象,会列表、描点、连线;
(三)能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
教学重点和难点
重点:认识函数图象的意义,会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
难点:对已恬图象能读图、识图,从图象解释函数变化关系。
教学过程设计
(一)复习
1.什么叫函数?
2.什么叫平面直角坐标系?
3.在坐标平面内,什么叫点的横坐标?什么叫点的纵坐标?
4.如果点A的横坐标为3,纵坐标为5,请用记号表示A(3,5).
5.请在坐标平面内画出A点。
6.如果已知一个点的坐标,可在坐标平面内画出几个点?反过来,如果坐标平面内的一个点确定,这个点的坐标有几个?这样的点和坐标的对应关系,叫做什么对应?(答:叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应)
(二)新课
我们在前几节课已经知道,函数关系可以用解析式表示,像y=2x+1就表示以x为自变量时,y是x的函数。
这个函数关系中,y与x的函数。
这个函数关系中,y与x的对应关系,我们还可通知在坐标平面内画出图象的方法来表示。
具体做法是
第一步:列表。(写出自变量x与函数值的对应表)先确定x的若干个值,然后填入相应的y值。
函数式y=2x+1
自变量x
-2
-1
0
1
2
函数值y
-3
-1
1
3
5
(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)
第二步:描点,对于表中的每一组对应值,以x值作为点的横坐标,以对应的y值作为点的纵坐标,便可画出一个点。也就是由表中给出的有序实数对,在直角坐标系中描出相应的点。
第三步连线,按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来,得到的图形就是函数式y=2x+1的图象。图13-24
例1在同一直角坐标系中画出下列函数式的图象:
(1)y=-3x;(2)y=-3x+2;(3)y=-3x-3
分析:按照列表、描点、连线三步操作。
解:
函数式(1)y=-3x
自变量x
-2
-1
0
1
2
函数y
6
3
0
-3
-6
函数(2)y=-3x+2
自变量x
-2
-1
0
1
2
函数y
8
5
2
-1
-4
函数(3)y=-3x-3
自变量x
-2
-1
0
1
2
函数y
3
0
-3
-6
-9
它们的图象分别是图13-25中的(1)(2)(3)。
例2某化工厂1月到12月生产某种产品的统计资料如下:
X/月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Y/产品吨数
2
3
3
4
5
6
6
6
5
4
5
7
(1)在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标,以该月的产值作为点的纵坐标画邮对应的点。把12个点画在同一直角坐标系中。
(2)按照月份由小到大的顺序,把每两个点用线段连接起来。
(3)解读图象:从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的。
(4)如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的,请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?
解:(1),(2)见图13-26
(3)产量上升:1月到2月;3月,4月,5月,6月逐月上升;10月,11月,12月逐月上升。
产量下降:8月到9月,9月到10月。
产量不升不降:2月到3月;6月到7月,7月到8月。
(4)过x轴上的4.5处作y轴的平行线,与图象交于点A,则点A的纵坐标约4.5,所以4月15日的产量约为4.5吨。
(三)课堂练习
已知函数式y=-2x。用列表(x取-2,-1,2,1,2),描点,连线的程序,画出它的图象。
(四)小结
到现在,我们已经学过了表示函数关系的方法有三种:
1.解析式法——用数学式子表示函数的关系。
2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系。
3.图象法——把自变量x作为点的横坐标,对应的函数值y作为点的纵坐标,在直角坐标系内描出对应的点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象。用图象来表示函数y与自变量x对应关系。
这三种表示函数的方法各有优缺点。
1.用解析法表示函数关系
优点:简单明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点:在求对应值时,有时要做较复杂的计算。
2.用列表表示函数关系
优点:对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便。
缺点:表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出,而且从表中看不出变量间的对应规律。
3.用图象法表示函数关系
优点:形象直观,可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质,把抽象的函数概念形象化。
缺点:从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
函数的三种基本表示方法,各有各的优点和缺点,因此,要根据不同问题与需要,灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上,有时把这三种方法结合起来使用,即由已知的函数解析式,列出自变量与对应的函数值的表格,再画出它的图象。
(五)作业
1.在图13-27中,不能表示函数关系的图形有()
(A)(a),(b),(c)(B)(b),(c),(d)(C)(b),(c),(e)(D)(b),(d),(e)
2.函数y=的图象是图13-28中的()
3.矩形的周长是12cm,设矩形的宽为x(cm),面积为y(cm2).
(1)以x为自变量,y为x的函数,写出函数关系式,并在关系式后面注明x的取值范围;
(2)列表、描点、连线画出此函数的图象
4.(1)画出函数y=-x+2的图象(在-4与4之间,每隔1取一个x值,列表;并在直角坐标系中描点画图);
(2)判断下列各有序实数对是不是函数。Y=-x+2的自变量x与函数y的一对对应值,如果是,检验一下具有相应坐标的点是否在你所出的函数图象上:
(-2,2),(-,2),(-1,3),(,1)
5.画出下列函数的图象:
(1)y=4x-1;(2)y=4x+1
6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象。根据图象回答,在这一天:
(1)8时,12时,20时的气温各是多少;
(2)最高气温与最低气温各是多少;
(3)什么时间气温最高,什么时间气温最低。
7.画出函断y=x2的图象(先填下表,再描点,然后用平滑曲线顺次连结各点):
X
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
8.画出函数y=图象(先填下表,再描点,然后用平滑曲线顺次连结各点):
X
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
作业的答案或提示
1.选(C),因为对应于x的一个值的y值不是唯一的。
2.选(D)当x0时,=x,所以y===1
3.
(1)y=x(6-x)其中0
(2)
X
0
1
2
3
4
5
6
y
0
5
8
9
8
5
0
4.
Y=-x+2
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
3
3
2
2
2
1
1
1
经过检验,点(-,2)及点(,1)在所画的函数图象上。
5.
Y=4x-1
X
-2
-1
0
1
2
y
-9
-5
-1
3
7
Y=4x+1
x
-2
-1
0
1
2
y
-7
-3
1
5
9
6.(1)8时约5℃,20时约10℃。(2)最高气温为12℃,最低气温为2℃。(3)14时气温最高,4时气温最低。
7.
Y=x2
X
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
4
2.25
1
0.25
0
0.25
1
2.25
4
8.
Y=
X
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
-1
-
-
-2
-3
-6
6
3
2
1
课堂教学设计说明
1.在建立平面直角坐标系后,点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应;不同的坐标与不同的点一一对应;函数关系与动点轨迹一一对应,把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来,通过解读图象,了解抽象的数量关系,这种“数形结合”,是数学中的一种重要的思想方法。
2.本课的目标是使学生会画函数图象,并会解读图象,即会从图象了解到抽象的数量关系。为此,先在复习旧课时,着重提问坐标平面上的点与有序实数对一一对应,接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。
3.教学设计中的例3,既训练学生从已数据画图象,又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力,对函数图象功能有一个完整的认识。
4.在小结中,介绍了函数关系的三种表示方法,并说明它们各自的优缺点,有利于对函数概念的透彻理解。
5.作业中的第1-3题,对训练函数图象很有帮助。
第1题,目的要说明,对于x的一个值,y必须是唯一的值与之对应,而(b)(c)(e)都是对于x一个值,y有不止一个值与之对应,所以y不是x的函数,本题还训练解读图形的能力。
第2题,训练学生分类讨论的数学思想,在去掉绝对值符号时,必须分x≥0与x
第3题,训练学生根据已知条件建立函数解析式,并列表、描点、连线画出图象的能力,这些都是学习函数问题时应具备的基本功。
经典初中教案数学教案-一次函数
一、目的要求
1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件,确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析
1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的,前面三小节,先学习函数的概念与表示法,这是为学习后面的几种具体的函数作准备的,从本节开始,将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识,大体上,每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的,通过这些具体函数的学习,学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识,并且,结合这些内容,学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时,是按先讲正反比例函数,后讲一次、二次函数顺序编排的,这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识,注意了中小学的衔接,新教材则是安排先学习一次函数,并且,把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍,而最后才学习反比例函数,为什么这样安排呢?第一,这样安排,比较符合学生由易到难的认识规津,从函数角度看,一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的,相对来说,反比例函数就要复杂一些了,特别是,反比例函数的图象是由两条曲线组成的,先学习反比例函数难度可能要大一些。第二,把正比例函数作为一次函数的特例介绍,既可以提高学习效益,又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系,从而,可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质,一方面,在学生初次接触函数的有关内容时,一定要结合具体函数进行学习,因此,全章的主要内容,是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面,在大纲规定的几种具体函数中,一次函数是最基本的,教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习,学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解,从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
三、教学过程
复习提问:
1、什么是函数?
2、函数有哪几种表示方法?
3、举出几个函数的例子。
新课讲解:
可以选用提问时学生举出的例子,也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式),y=x,s=3t等。观察时,可以按下列问题引导学生思考:
(1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后,可指出,这是函数。)
(2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后,可指出,式子中等号左边的y与s是函数,等号右边是一个代数式,其中的字母x与t是自变量。)
(3)在这些函数式中,表示函数的自变量的式子,分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念,表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子,都是关于自变量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识,可以知道,x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的层层设问,最后给出一次函数的定义。
一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0)那么,y叫做x的一次函数。
对这个定义,要注意:
(1)x是变量,k,b是常数;
(2)k≠0(当k=0时,式子变形成y=b的形式。b是x的0次式,y=b叫做常数函数,这点,不一定向学生讲述。)
由一次函数出发,当常数b=0时,一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数,k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。
在讲述正比例函数时,首先,要注意适当复习小学学过的正比例关系,小学数学是这样陈述的:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
写成式子是(一定)
需指出,小学因为没有学过负数,实际的例子都是k>0的例子,对于正比例函数,k也为负数。
其次,要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系:正比例函数是特殊的一次函数。
课堂练习:
教科书13、4节练习第1题.
经典初中教案数学教案-二次函数教学设计
二次函数的教学设计
教学内容:人教版九年义务教育初中第三册第108页
教学目标:
1.1.理解二次函数的意义;会用描点法画出函数y=ax2的图象,知道抛物线的有关概念;
2.2.通过变式教学,培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性;
3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法;加深对于数形结合思想认识。
教学重点:二次函数的意义;会画二次函数图象。
教学难点:描点法画二次函数y=ax2的图象,数与形相互联系。
教学过程设计:
一.一.创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数,现在来看看下面几个例子:
1.写出圆的半径是R(CM),它的面积S(CM2)与R的关系式
答:S=πR2.①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地,矩形面积S(M2)与矩形一边长L(M)之间的关系
答:S=L(30-L)=30L-L2②
分析:①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系?
S是否是R、L的一次函数?
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数,那么S是R、L的什么函数呢?这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢?
答:二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。(板书课题)
二.二.归纳抽象、形成概念
一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),
那么,y叫做x的二次函数.
注意:(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式,所以x的取值范围是任意实数.
练习:1.举例子:请同学举一些二次函数的例子,全班同学判断是否正确。
2.出难题:请同学给大家出示一个函数,请同学判断是否是二次函数。
(若学生考虑不全,教师给予补充。如:;;;的形式。)
(通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解,既培养了学生的实践能力,有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语,也增添了课堂的趣味性。)
由前面一次函数的学习,我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
(在这里指出学习函数的一般方法,旨在及时进行学法指导;并将此方法形成技能,以指导今后的学习;进一步培养终身学习的能力。)
三.三.尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1.1.尝试:大家知道一次函数的图象是一条直线,那么二次函数的图象是什么呢?
请同学们画出函数y=x2的图象。
(学生分别画图,教师巡视了解情况。)
2.2.模仿巩固:教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示,到底哪一个对呢?下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解:一、列表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y=x2
9
4
1
0
1
4
9
二、描点、连线:按照表格,描出各点.然后用光滑的曲线,按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
数学教案-指数函数与对数函数的性质及其应用教案模板
教案
课题:指数函数与对数函数的性质及其应用
课型:综合课
教学目标:在复习指数函数与对数函数的特性之后,通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。
重点:指数函数与对数函数的特性。
难点:指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。
教学方法:多媒体授课。
学法指导:借助列表与图像法。
教具:多媒体教学设备。
教学过程:
一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性,加深学生的记忆。
二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。
指数函数与对数函数关系一览表
函数
性质
指数函数
y=ax(a>0且a≠1)
对数函数
y=logax(a>0且a≠1)
定义域
实数集r
正实数集(0,﹢∞)
值域
正实数集(0,﹢∞)
实数集r
共同的点
(0,1)
(1,0)
单调性
a>1增函数
a>1增函数
0<a<1减函数
0<a<1减函数
函数特性
a>1
当x>0,y>1
当x>1,y>0
当x<0,0<y<1
当0<x<1,y<0
0<a<1
当x>0,0<y<1
当x>1,y<0
当x<0,y>1
当0<x<1,y>0
反函数
y=logax(a>0且a≠1)
y=ax(a>0且a≠1)
图像
y
y=(1/2)xy=2x
(0,1)
x
y
y=log2x
(1,0)
x
y=log1/2x
三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成,观察其特点,并得出y=log2x与y=2x、y=log1/2x与y=(1/2)x的图像关于直线y=x对称,互为反函数关系。所以y=logax与y=ax互为反函数关系,且y=logax的定义域与y=ax的值域相同,y=logax的值域与y=ax的定义域相同。
y
y=(1/2)xy=2xy=x
(0,1)y=log2x
(1,0)x
y=log1/2x
注意:不能由图像得到y=2x与y=(1/2)x为偶函数关系。因为偶函数是指同一个函数的图像关于y轴对称。此图虽有y=2x与y=(1/2)x图像对称,但它们是2个不同的函数。
四、利用指数函数与对数函数性质去解决含有指数与对数的复合型函数的定义域、值域问题及比较函数的大小值。
五、例题
例⒈比较(л)(-0.1)与(л)(-0.5)的大小。
解:∵y=ax中,a=л>1
∴此函数为增函数
又∵﹣0.1>﹣0.5
∴(л)(-0.1)>(л)(-0.5)
例⒉比较log67与log76的大小。
解:∵log67>log66=1
log76<log77=1
∴log67>log76
注意:当2个对数值不能直接进行比较时,可在这2个对数中间插入一个已知数,间接比较这2个数的大小。
例⒊求y=3√4-x2的定义域和值域。
解:∵√4-x2有意义,须使4-x2≥0
即x2≤4,|x|≤2
∴-2≤x≤2,即定义域为[-2,2]
又∵0≤x2≤4,∴0≤4-x2≤4
∴0≤√4-x2≤2,且y=3x是增函数
∴30≤y≤32,即值域为[1,9]
例⒋求函数y=√log0.25(log0.25x)的定义域。
解:要函数有意义,须使log0.25(log0.25x)≥0
又∵0<0.25<1,∴y=log0.25x是减函数
∴0<log0.25x≤1
∴log0.251<log0.25x≤log0.250.25
∴0.25≤x<1,即定义域为[0.25,1)
六、课堂练习
求下列函数的定义域
1.y=8[1/(2x-1)]
2.y=loga(1-x)2(a>0,且a≠1)
七、评讲练习
八、布置作业
第113页,第10、11题。并预习指数函数与对数函数
在物理、社会科学中的实际应用。数学教案-反比例函数及其图象教案模板
教学设计示例1
反比例函数及其图象
教学目标:
1、理解反比例函数,并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式;
2、会画出反比例函数的图象,并结合图象分析总结出反比例函数的性质;
3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想;
4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程;
5、培养学生的观察能力,及数学地发现问题,解决问题的能力.
教学重点:
结合图象分析总结出反比例函数的性质;
教学难点:描点画出反比例函数的图象
教学用具:直尺
教学方法:小组合作、探究式
教学过程:
1、从实际引出反比例函数的概念
我们在小学学过反比例关系.例如:当路程S一定时,时间t与速度v成反比例
即vt=S(S是常数);
当矩形面积S一定时,长a与宽b成反比例,即ab=S(S是常数)
从函数的观点看,在运动变化的过程中,有两个变量可以分别看成自变量与函数,写成:
(S是常数)
(S是常数)
一般地,函数(k是常数,)叫做反比例函数.
如上例,当路程S是常数时,时间t就是v的反比例函数.当矩形面积S是常数时,长a是宽b的反比例函数.
在现实生活中,也有许多反比例关系的例子.可以组织学生进行讨论.下面的例子仅供
2、列表、描点画出反比例函数的图象
例1、画出反比例函数与的图象
解:列表
x
-6
-5
-4
-3
1
2
3
4
5
6
-1
-1.2
-1.5
-2
6
3
2
1.5
1.2
1
1
1.2
1.5
2
-6
-3
-2
-1.5
-1.2
1
说明:由于学生第一次接触反比例函数,无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个,正负可以对称着取分别画点描图
一般地反比例函数(k是常数,)的图象由两条曲线组成,叫做双曲线.
3、观察图象,归纳、总结出反比例函数的性质
前面学习了三类基本的初等函数,有了一定的基础,这里可视学生的程度或展开全面的讨论,或在老师的引导下完成知识的学习.
显示这两个函数的图象,提出问题:你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢?并能从解析式或列表中得到论证.(下列答案仅供参考)
(1)的图象在第一、三象限.可以扩展到k>0时的情形,即k>0时,双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中,也可以得出这个结论:xy=k,即x与y同号,因此,图象在第一、三象限.
的讨论与此类似.
抓住机会,说明数与形的统一,也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.
(2)函数的图象,在每一个象限内,y随x的增大而减小;
从图象中可以看出,当x从左向右变化时,图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理,被除数一定时,若除数大于零,除数越大,商越小;若除数小于零,同样是除数越大,商越小.由此可归纳出,当k>0时,函数的图象,在每一个象限内,y随x的增大而减小.
同样可以推出的图象的性质.
(3)函数的图象不经过原点,且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出,.如果x取值越来越大时,y的值越来越小,趋近于零;如果x取负值且越来越小时,y的值也越来越趋近于零.因此,呈现的是双曲线的样子.同理,抽象出图象的性质.
函数的图象性质的讨论与次类似.
4、小结:
本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论,对函数的概念,函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解,找出事物间的普遍联系和发展规律,能数学地发现问题,并能运用已有的数学知识,给以一定的解释.即数学是世界的一个部分,同时又隐藏在世界中.
5、布置作业习题13.81-4
教学设计示例2
反比例函数及其图像
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生了解反比例函数的概念;
2.使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式;
3.使学生理解反比例函数的性质,会画出它们的图像,以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况;
4.会用待定系数法确定反比例函数的解析式.
(二)能力训练点
1.培养学生的作图、观察、分析、总结的能力;
2.向学生渗透数形结合的教学思想方法.
(三)德育渗透点
1.向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点;
2.使学生体会事物是有规律地变化着的观点.
(四)美育渗透点
通过反比例函数图像的研究,渗透反映其性质的图像的直观形象美,激发学生的兴趣,也培养学生积极探求知识的能力.
二、学法引导
教师采用类比法、观察法、练习法
学生学习反比例函数要与学习其他函数一样,要善于数形结合,由解析式联想到图像的位置及其性质,由图像和性质联想比例系数k的符号.
三、重点难点疑点及解决办法
1.教学重点:反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.
2.教学难点:画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支,而且这两个分支的变化趋势又不同,学生初次接触,一定会感到困难.
3.教学疑点:(1)反比例函数为何与x轴,y轴无交点;(2)反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限,而不能说经过第几象限,增减性也要说明在第几象限(或说在它的每一个象限内).
4.解决办法:(1)中隐含条件是或;(2)双曲线的两个分支是断开的,研究函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.
四、教学步骤
(一)教学过程
提问:小学是否学过反比例关系?是如何叙述的?
由学生先考虑及讨论一下.
答:小学学过:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做反比例的量,它们的关系叫做反比例关系.
看下面的实例:(出示幻灯)
1.当路程s一定时,时间t与速度v成反比例;
2.当矩形面积S一定时,长a与宽b成反比例;
它们分别可以写成(s是常数),(S是常数)写在黑板上,用以得出反比例函数的概念:(板书)
一般地,函数(k是常数,)叫做反比例函数.
即在上面的例子中,当路程s是常数时,时间t就是速度v的反比例函数,能否说:速度v是时间t的反比例函数呢?
通过这个问题,使学生进一步理解反比例函数的概念,只要满足(k是常数,)就可以.因此可以说速度v是时间t的反比例函数,因为(s是常量).对第2个实例也一样.
练习一:教材P129中1口答.P1301
根据前面学习特殊函数的经验,研究完函数的概念,跟着要研究的是什么?
答:图像和性质.
通过这个问题,使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识,以后
学生要研究其他函数,也可以按照这种方式来研究.
下面,我们就来看桓隼猓海ǔ鍪净玫疲?/P>
例1画出反比例函数与的图像.
提问:1.画函数图像的关键问题是什么?
答:合理、正确地选值列表.
2.在选值时,你认为要注意什么问题?
答:(1)由于函数图像的特点还不清楚,多选几个点较好;
(2)不能选,因为时函数无意义;
(3)选整数较好计算和描点.
这个问题中最核心的一点是关于的问题,提醒学生注意.
3.你能不能自己完成这道题呢?
学生在练习本上列表、描点、连线,教师在黑板上板演,到连线时可暂停,让学生先连完线之后,找一名同学上黑板连线,然后就这名同学的连线加以评价、总结:
注意:(1)一般地,反比例函数的图像由两条曲线组成,叫做双曲线;
(2)这两条曲线不相交;
(3)这两条曲线无限延伸,无限靠近x轴和y轴,但永不会与x轴和y轴相交.
关于注意(3)可问学生:为什么图像与x和y轴不相交?
通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆,又可培养学生思维的灵活性和深刻性.
再让学生观察黑板上的图,提问:
1.当时,双曲线的两个分支各在哪个象限?在每个象限内,y随x的增大怎样变化?
2.当时,双曲线的两个分支各在哪个象限?在每个象限内,y随x的增大怎样变化?
这两个问题由学生讨论总结之后回答,教师板书:
对于双曲线(1)当:(1)当时,双曲线的两分支位于一、三象限,y随x的增大而减少;(2)当时,双曲线的两分支位于二、四象限,y随x的增大而增大.
3.反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同?
通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来,便于记忆和应用.
练习二:教材P129中2由学生在练习本上完成,教师巡回指导.P130中2、3填在书上
上面,我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质,下面我们再来看一个不同类型的例题:(出示幻灯)
例2已知y与成反比例,并且当时,,求时,y的值.
用提问的方式对此题加以分析:
(1)y与成反比例是什么含义?
由学生讨论这一问题,最后归结为根据反比例函数的概念,这句话说明了:.
(2)根据这个式子,能否求出当时,y的值?
(3)要想求出y的值,必须先知道哪个量呢?
(4)怎样才能确定k的值?用什么条件?
答:用待定系数法,把时代入,求出k的值.
(5)你能否自己完成这道例题:
由一名同学板演,其他同学在练习本上完成.
例3已知:,与x成正比例,与x成反比例,当时,时,,求y与x的解析式.
分析:一定要先写出y与x的函数表达式,
要用x分别把,表示出来得,
要注意不能写成k,∴
解:设,
.
由题意得
∴.
(二)总结、扩展
教师提问,学生思考回答:
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数的图像是什么样的?
3.反比例函数的性质是什么?
4.命题方向及题型设置,反比例函数也是中考命题的主要考点,其图像和性质,以及其函数解析式的确定,常以填空题、选择题出现,在低档题中,近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题,丰富了压轴题的形式和内容.
五、布置作业
1.教材P130中4,5,6
2.选做:P130中B1,2
六、板书设计
13.8反比例函数及其图像
引例:(1)例1:例2:例3:
(2)
1.反比例函数:
2.反比例函数的性质探究活动
已知:如图,一次函数的图像经过第一、二、三象限,且与反比例函数的图像交于A、B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D。。
(1)求反比例函数的解析式;
(2)设点A的横坐标为m,的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)当的面积等于时,试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能,求此时抛物线的解析式;如果不能,请说明理由。
解:(1)过点B作轴于点H。
在Rt中,
由勾股定理,得
又,
∴点B(-3,-1)。
设反比例函数的解析式为
。
∵点B在反比例函数的图像上,
。
∴反比例函数的解析式为。
(2)设直线AB的解析式为。
由点A在第一象限,得。
又由点A在函数的图像上,可求得点A的纵坐标为。
∵点B(-3,-1),点,
∴解关于、的方程组,得
∴直线AB的解析式为。
令。
求得点D的横坐标为。
过点A作轴于点G
由已知,直线经过第一、二、三象限,
∴,即。
由此得
∴。
即。
(3)过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
证明如下:
。
由,
得
解得。
经检验,都是这个方程的根。
,
∴不合题意,舍去。
∴点A(1,3)。
设过A(1,3)、B(-3,-1)两点的抛物线的解析式为。
∴由此得
即。
设抛物线与x轴两交点的横坐标为。
则
令
则。
即。
整理,得。
,
∴方程无实数根。
因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
数学教案-锐角三角函数的教学方案
一、锐角三角函数
正弦和余弦
第一課时:正弦和余弦(1)
教学目的
1,使学生了解本章所要解决的新问题是:已知直角三角形的一条边和另一个元素(一边或一锐角),求这个直角三角形的其他元素。
2,使学生了解“在直角三角形中,当锐角A取固定值时,它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键
1,重点:正弦的概念。
2,难点:正弦的概念。
3,关键:相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程
一、复习提问
1、什么叫直角三角形?
2,如果直角三角形ABC中∠C为直角,它的直角边是什么?斜边是什么?这个直角三角形可用什么记号来表示?
二、新授
1,让学生阅读教科书第一页上的插图和引例,然后回答问题:
(1)这个有关测量的实际问题有什么特点?(有一个重要的测量点不可能到达)
(2)把这个实际问题转化为数学模型后,其图形是什么图形?(直角三角形)
(3)显然本例不能用勾股定理求解,那么能不能根据已知条件,在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形,并在这个全等图形上进行测量?(不一定能,因为斜边即水管的长度是一个较大的数值,这样做就需要较大面积的平地或纸张,再说画图也不方便。)
(4)这个实际问题可归结为怎样的数学问题?(在Rt△ABC中,已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。)
但由于∠A不一定是特殊角,难以运用学过的定理来证明BC的长度,因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。
2,在RT△ABC中,∠C=900,∠A=300,不管三角尺大小如何,∠A的对边与斜边的比值都等于1/2,根据这个比值,已知斜边AB的长,就能算出∠A的对边BC的长。
类似地,在所有等腰的那块三角尺中,由勾股定理可得∠A的对边/斜边=BC/AB=BC/=1/=/2这就是说,当∠A=450时,∠A的对边与斜边的比值等于/2,根据这个比值,已知斜边AB的长,就能算出∠A的对边BC的长。
那么,当锐角A取其他固定值时,∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢?
(引导学生回答;在这些直角三角形中,∠A的对边与斜边的比值仍是一个固定值。)
三、巩固练习:
在△ABC中,∠C为直角。
1,如果∠A=600,那么∠B的对边与斜边的比值是多少?
2,如果∠A=600,那么∠A的对边与斜边的比值是多少?
3,如果∠A=300,那么∠B的对边与斜边的比值是多少?
4,如果∠A=450,那么∠B的对边与斜边的比值是多少?
四、小结
五、作业
1,复习教科书第1-3页的全部内容。
2,选用課时作业设计。
数学教案-数学
数怎么不够用了
年级:初一执笔:徐城审核:授课时间:2004/9/16
2、掌握有理数的两种分类方法;
3、熟练地将有理数按一定的要求分类。
一、前提测评:
1、请同学们完成下列计算:(注意观察图形所表达的含义)
加10分扣10分得0分
集体举行知识竞赛,评分标准是:答对一题加10分,答错一题扣10分,不回答得0分,每个队的基本分均分为0分,四个代表答题情况如下表:
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
总得分
第一队
得分
第二队
得分
第三队
得分
第四队
得分
㈡自我评价
1、小结
1、对于比0分低的得分,我们引进“—”号。例:比0低10分表示为
“-10”。
对于比0分高的得分,我们引进“+”号。例:比0高10分表示为“+10”。
2、我们常常用负数:正数表示相反意义的量。
2、概念:
1、正数:像+5、1.2、…这样的数,举例如:_________________________(正数前“+”号可写可不写)。
2、负数:在正数前面加上“—”号的数,举例如:_________________(负数前“—”号不可以省略)。
3、0既不是正数也不是负数。
3、练习:把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合里。
+684+9.15—120—1—0.01
正数集合负数集合
4、数的大小:所有的正数都大于0,所有的负数都小于0。
5、练习,比较大小:0—50+0.0010—100(填>、<=。
6、正负数的意义,表示相反意义的量,例:如果零下5℃记作“+5℃”,那么零下5℃记作“—5℃”。
练习:(1)某人转动方向盘,如果+5圈表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈表示为。
(2)某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克,记作+0.02克,那么—0.03克表示______________。
(3)在4个不同时刻,对同一水池中的水位进行测量,记录如下:
上升3厘米下降6厘米下降1厘米不升不降
7、数的分类:正数正整数如:1、2、3…
(1)有理数如:、0.1、…
0
负数如:—1、—2、—3…
如:—、—0.1、—…
正整数如:1、2、3…
整数
(2)有理数如:—1、—2、—3…
分数如:1、0.1、+
如:—0.3、—、—4…
练习:把下列各数填在相应的大括号里:
2,—3.5,0,+32,—0.8,—3,—10,25%,+,0.0001
①正整数集合{…};
②负整数集合{…};
③正分数集合{…};
④负分数集合{…};
⑤有理数集合{…}。
8、小结:①有理数分数类;
②负数的意义。
一、判断:
(1)0既是正数,也是负数。()
(2)一个数不是正数就是负数。()
(3)0是最小的正整数。()
(4)一个数不是正数就是负数或零。()
(5)0是整数但不是正数。()
(6)正数和负数统称有理数。()
二、填空:
(1)高于海平面1250米的地方高度表示为海拔+1250米,低于海平面37米的地方高度表示为海拔米。
(2)如果+20%表示增加20%,那么—6%表示。
(3)某日傍晚,黄山的气温由中午的零上2℃下降了7℃,这天傍晚黄山的气温是_____℃,这天傍晚黄山的气温是_____℃。
(4)_____统称整数,_____统称分数。整数和分数统称_____。
(5)比较大小0___—5—___0100___25+0.101___0
(6)将下列各数填在相应的集合内:
—135.20—7+—0.12π35%880+20
整数集合{…};分数集合{…};
(2)小明和小华同时从A地出发,如果小明向东走36米记为+36米,则小华向西走记作_____米,这时两人相距_____米。
(3)产量增加-150千克是什么意思?经典初中教案数学教案-二次函数y=ax+bx+c
教学目标:
1、使学生进一步理解二次函数的基本性质;
2、渗透解析几何,数形结合,函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题,及逻辑思维的能力.
3、使学生参与教学过程,通过主体的积极思维,体验感悟数学.逐步建立数学的观念,培养学生独立地获取知识的能力.
教学重点:初步理解数形结合的数学思想
教学难点:初步理解数形结合的数学思想
教学用具:微机
教学方法:探究式、小组合作学习
教学过程:
例1、已知:抛物线y=x2-(m2-1)x-2m2-2
⑴求证:无论m取什么实数,抛物线与x轴一定有两个交点
⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?
解:
△=(m2-1)2+4(2m2+2)
=m4-2m2+1+8m2+8
=m4+6m2+9
=(m2+3)2
m2≥0
∴m2+3>0
∴△>0
∴抛物线与x轴有两个交点
问题:为什么说当△>0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点.(能否从数和形两方面说明)
设计意图:在课堂上创设让学生说数学的机会,学会合作学习,以达到①经验共享,在思维的碰撞中共同提高.②学会合作,消除个人中心.③发现自我,提高参与度.④弘扬个体的主体性,形成健康,丰富的个性.
数:点在曲线上,点的坐标满足曲线的方程.反之,曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点,既在抛物线上,又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式,也满足x轴的解析式.设交点坐标为(x,y)
∴
这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y=0,消去y,转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识,当△>0时,ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y=ax2+bx+c
y=0
有两个不等的实数解
∴抛物线与x轴交于两个不同的点.
形:顶点在x轴上方,且开口向下.或者顶点在x轴下方,且开口向上.
设计意图:渗透解析几何的基本思想
使学生掌握转化思想使学生在解题过程中,感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合,分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.
转化成代数语言为:
小结:第一种方法,根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题,转化成求方程组的解的问题.
第二种方法,借助于图象思考问题,比较直观.发现规律后,再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法,也是探索解数学问题的一般方法.
思考:试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别式的符号的关系.
设计意图:数学学习是一个再创造的过程,不能等同于数学知识的汇集,而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体,揭示出蕴涵于其中的数学思想方法,逐步形成数学观念.
⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?
解:设二次函数与x轴的两交点为(x1,0),(x2,0)
解法㈠由⑴可知m为任何实数时,都有△>0
解①
∴x1+x2=m2-1
x1x2=-2(m2+1)
∴│x2-x1│=
=
=
=
=m2+3
∴当m=0时,两交点最小距离为3
这里两交点间距离是m的函数
设计意图:培养学生的问题意识.在解题过程中,发现问题,并能运用已有的数学知识,将其一般化,形式化,解决问题,体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想
问题:观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同?具有一般的规律吗?如何说明.
设x1、x2为ax2+bx+c=0的两根
可以推出:
还可以理解为顶点到x轴距离最短.
设计意图:在对比、分析中,明确概念,揭示知识间的联系,帮助学生建立良好的认知结构.
小结:观察这道题的结论,我们猜测出规律,将其一般化,推导出这个公式,这是学习数学知识的一般方法.
解法㈡:用十字相乘法或求根公式法求根.
思考:一元二次方程与二次函数的关系.
思考:求m取什么实数时,y=x2-(m2-1)x-2m2-2被直线y=2所截得的线段最短?是多少?
练习:
观察函数的图象,回答:
(1)y>0时,x的取值范围如何?
(2)y=0时,x取什么值?
(1)y
小结:数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观,可以启发思路;而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.
探究活动
探究问题:
欣欣日用品零售商店,从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞(数量至少为100把),欣欣商店根据销售记录,这批雨伞以零售单价每把为14元出售时,月销售量为100把。如果零售单价每降价0.1元,月销售量就要增加5把.
(1)欣欣日用品零售商店以零售单价14元出售时,一个月的利润为多少元?
(2)欣欣日用品零售商店为了扩大销售记录,现实行降价销售,问分别降价0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元时的利润是多少?
(3)欣欣日用品零售商店实行降价销售后,问降价多少元时利润最大?最大利润为多少元?
(4)现在该公司的批发部为了再次扩大这种雨伞的销售量,给零售商制定如下优惠措施:如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把,其超过100把的部分每把按原价九五折(即百分之95)付费,但零售价每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时,才能使这种雨伞的月销售利润最大?最大月销售利润是多少元?(销售利润=销售款额—进货款额)
解:(1)(14—8)(元)
(2)638元、728元、748元、792元、792元、750元。
(3)设降价元时利润最大,最大利润为元
=
=
=
∴当时,有最大值
元
(4)设降价元时利润最大,利润为元
(其中)。
化简,得。
,
∴当时,有最大值。
∴。
数学教案-
课题函数(二)
一、教学目的
1.使学生理解自变量的取值范围和函数值的意义。
2.使学生理解求自变量的取值范围的两个依据。
3.使学生掌握关于解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法,并会求其函数值。
4.通过求函数中自变量的取值范围使学生进一步理解函数概念。
二、教学重点、难点
重点:函数自变量取值的求法。
难点:函灵敏处变量取值的确定。
三、教学过程
复习提问
1.函数的定义是什么?函数概念包含哪三个方面的内容?
2.什么叫分式?当x取什么数时,分式x+2/2x+3有意义?
(答:分母里含有字母的有理式叫分式,分母≠0,即x≠3/2。)
3.什么叫二次根式?使二次根式成立的条件是什么?
(答:根指数是2的根式叫二次根式,使二次根式成立的条件是被开方数≥0。)
4.举出一个函数的实例,并指出式中的变量与常量、自变量与函数。
新课
1.结合同学举出的实例说明解析法的意义:用教学式子表示函数方法叫解析法。并指出,函数表示法除了解析法外,还有图象法和列表法。
2.结合同学举出的实例,说明函数的自变量取值范围有时要受到限制这就可以引出自变量取值范围的意义,并说明求自变量的取值范围的两个依据是:
(1)自变量取值范围是使函数解析式(即是函数表达式)有意义。
(2)自变量取值范围要使实际问题有意义。
3.讲解P93中例2。并指出例2四个小题代表三类题型:(1),(2)题给出的是只含有一个自变量的整式;(3)题给出的是只含有一个自变量的分式;(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式。
推广与联想:请同学按上述三类题型自编3个题,并写出解答,同桌互对答案,老师评讲。
4.讲解P93中例3。结合例3引出函数值的意义。并指出两点:
(1)例3中的4个小题归纳起来仍是三类题型。
(2)求函数值的问题实际是求代数式值的问题。
补充例题
求下列函数当x=3时的函数值:
(1)y=6x-4;(2)y=--5x2;(3)y=3/7x-1;(4)。
(答:(1)y=14;(2)y=-45;(3)y=3/20;(4)y=0。)
小结
1.解析法的意义:用数学式子表示函数的方法叫解析法。
2.求函数自变量取值范围的两个方法(依据):
(1)要使函数的解析式有意义。
①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;
②函数的解析式是分式时,自变量的取值应使分母≠0;
③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0。
(2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义。
3.求函数值的方法:把所给出的自变量的值代入函数解析式中,即可求出相庆原函数值。
练习:P94中1,2,3。
作业:P95~P96中A组3,4,5,6,7。B组1,2。
四、教学注意问题
1.注意渗透与训练学生的归纳思维。比如例2、例3中各是4个小题,对每一个例题均可归纳为三类题型。而对于例2、例3这两道例题,虽然要求各异,但题目结构仍是三类题型:整式、分式、二次根式。
2.注意训练与培养学生的优质联想能力。要求学生仿照例题自编题目是有效手段。
3.注意培养学生对于“具体问题要具体分析”的良好学习方法。比如对于有实际意义来确定,由于实际问题千差万别,所以我们就要具体分析,灵活处置。