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  • 数学教案-比例线

    发表时间:2022-01-29

    【www.jk251.com - 数学教案】

    无论何时,教案都是我们准备教学的一种最好的方式,教案是保证教学质量的基本条件,认真做好教案我们的工作会变得更加顺利,初中教案要写哪些内容呢?可以看看本站收集的《数学教案-比例线》,希望能够为您提供参考。

    一、教学目标

    1.理解成比例线段以及项、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项等的概念.

    2.掌握比例基本性质和合分比性质.

    3.通过通过的应用,培养学习的计算能力.

    4.通过比例性质的教学,渗透转化思想.

    5.通过比例性质的教学,激发学生学习兴趣.

    二、教学设计

    先学后做,启发引导

    三、重点及难点

    1.教学重点比例性质及应用.

    2.教学难点正确理解成比例线段及应用.

    四、课时安排

    1课时

    五、教具学具准备

    股影仪、胶片、常用画图工具

    六、教学步骤

    【复习提问】

    1.什么是线段的比?

    2.已知这两条线段的比是吗,为什么?

    【讲解新课】

    1.比例线段:见教材P203页。

    如:见教材P203页图5-2。

    又如:

    即a、b、c、d是成比例线段。

    注:①已知问这四条线段成比例吗?

    (答:成比例。,这里与顺序无关)。

    ②若已知a、b、c、d是成比例线段,是指不能写成(在说四条线段成比例时,一定要将这四条线段按顺序列出,这里与顺序有关)。

    板书教材P203页比例线段的一些附属概念。

    2.比例的性质:

    (1)比例的基本性质:如果,那么。

    它的逆命题也成立,即:如果,那么。

    推论:如果,那么。

    反之亦然:如果,那么。

    ①基本性质证明了“比例式”和“等积式”是可以互化的。

    ②由,除可得到外,还可得到其它七个比例式。即由一个等积式,可写成八个不同的比例式(让学生试写)。然后教师教给方法。即:先按左:右=右:左“写出四个比例式。。再由等式的对称性写出另外四个比例式:。注意区别与联系。

    ③用比例的基本性质,可检查所作的比例变形是否正确。即把比例式化成等积式,看与原式所得的等积式是否相同即可。

    ④等积化比例、比例化等积是本章一个重要能力,要使学生达到非常熟练的程度,以利于后面学习。

    (2)合比性质:如果,那么

    证明:∵,∴即:

    同理可证:(找学生板演)

    (3)等比性质:如果

    那么

    证明:设;则

    等比性质的证明思路及思想非常重要,它是解决数学中连比问题的通法,希望同学们认真体会,务必掌握。

    例1(要求了解即可)

    (1)已知:,求证:。

    证明:∵,∴

    “通法”:∵,∴即

    (2)已知:,求证:。

    方法一:

    方法二:

    (1)÷(2)得:

    【小结】

    (1)比例线段的概念及附属概念。

    (2)比例的基本性质及其应用。

    八、布置作业

    (1)求

    ①②③

    (2)求下列各式中的x

    ①②③④

    九、板书设计

    比例线段(二)

    1.比例线段:

    教师板书定义

    ………

    比例线段的附属概念

    ………

    2.比例的性质

    (1)比例基本性质

    …………

    注意:(1)

    3.课堂练习

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    教学建议

    1、教材分析

    (1)知识结构

    (2)重点、难点分析

    重点:相交弦定理及其推论,切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点,而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识,主要应用与圆有关的计算和证明.

    难点:正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多,学生容易混淆.

    2、教学建议

    本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论,做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论,做例3.第3课时是习题课,讲例4并做有关的练3.

    (1)教师通过教学,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题,逐步培养学生研究性学习意识,激发学生的学习热情;

    (2)在教学中,引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习,教师组织下,以学生为主体开展教学活动.

    第1课时:相交弦定理

    教学目标:

    1.理解相交弦定理及其推论,并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算;

    2.学会作两条已知线段的比例中项;

    3.通过让学生自己发现问题,调动学生的思维积极性,培养学生发现问题的能力和探索精神;

    4.通过推论的推导,向学生渗透由一般到特殊的思想方法.

    教学重点:

    正确理解相交弦定理及其推论.

    教学难点:

    在定理的叙述和应用时,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混,从而导致证明中发生错误,因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程,了解是哪两个三角形相似,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.

    教学活动设计

    (一)设置学习情境

    1、图形变换:(利用电脑使AB与CD弦变动)

    ①引导学生观察图形,发现规律:∠A=∠D,∠C=∠B.

    ②进一步得出:△APC∽△DPB.

    ③如果将图形做些变换,去掉AC和BD,图中线段PA,PB,PC,PO之间的关系会发生变化吗?为什么?

    组织学生观察,并回答.

    2、证明:

    已知:弦AB和CD交于⊙O内一点P.

    求证:PAPB=PCPD.

    (A层学生要训练学生写出已知、求证、证明;B、C层学生在老师引导下完成)

    (证明略)

    (二)定理及推论

    1、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.

    结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理:在⊙O中;弦AB,CD相交于点P,那么PAPB=PCPD.

    2、从一般到特殊,发现结论.

    对两条相交弦的位置进行适当的调整,使其中一条是直径,并且它们互相垂直如图,AB是直径,并且AB⊥CD于P.

    提问:根据相交弦定理,能得到什么结论?

    指出:PC2=PAPB.

    请学生用文字语言将这一结论叙述出来,如果叙述不完全、不准确.教师纠正,并板书.

    推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.

    3、深刻理解推论:由于圆是轴对称图形,上述结论又可叙述为:半圆上一点C向直径AB作垂线,垂足是P,则PC2=PAPB.

    若再连结AC,BC,则在图中又出现了射影定理的基本图形,于是有:

    PC2=PAPB;AC2=APAB;CB2=BPAB

    (三)应用、反思

    例1已知圆中两条弦相交,第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段,第二条弦的长为32厘米,求第二条弦被交点分成的两段的长.

    引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.

    例2已知:线段a,b.

    求作:线段c,使c2=ab.

    分析:这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式,因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆,仿照推论即可作出要求作的线段.

    作法:口述作法.

    反思:这个作图是作两已知线段的比例中项的问题,可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.

    练习1如图,AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP=1厘米,求CD.

    变式练习:若AP=2厘米,PB=2.5厘米,CP,DP的长度皆为整数.那么CD的长度是多少?

    将条件隐化,增加难度,提高学生学习兴趣

    练习2如图,CD是⊙O的直径,AB⊥CD,垂足为P,AP=4厘米,PD=2厘米.求PO的长.

    练习3如图:在⊙O中,P是弦AB上一点,OP⊥PC,PC交⊙O于C.求证:PC2=PAPB

    引导学生分析:由APPB,联想到相交弦定理,于是想到延长CP交⊙O于D,于是有PCPD=PAPB.又根据条件OP⊥PC.易证得PC=PD问题得证.

    (四)小结

    知识:相交弦定理及其推论;

    能力:作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;

    思想方法:学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.

    (五)作业

    教材P132中9,10;P134中B组4(1).

    第2课时切割线定理

    教学目标:

    1.掌握切割线定理及其推论,并初步学会运用它们进行计算和证明;

    2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

    3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论,培养学生辩证唯物主义的观点.

    教学重点:

    理解切割线定理及其推论,它是以后学习中经常用到的重要定理.

    教学难点:

    定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.

    教学活动设计

    (一)提出问题

    1、引出问题:相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P,那么该点到割线与圆交点的四条线段PA,PB,PC,PD的长之间有什么关系?(如图1)

    当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时,由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA,PB,PT之间又有什么关系?

    2、猜想:引导学生猜想出图中三条线段PT,PA,PB间的关系为PT2=PAPB.

    3、证明:

    让学生根据图2写出已知、求证,并进行分析、证明猜想.

    分析:要证PT2=PAPB,可以证明,为此可证以PAPT为边的三角形与以PT,BP为边的三角形相似,于是考虑作辅助线TP,PB.(图3).容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P,因此△BPT∽△TPA,于是问题可证.

    4、引导学生用语言表达上述结论.

    切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

    (二)切割线定理的推论

    1、再提出问题:当PB、PD为两条割线时,线段PA,PB,PC,PD之间有什么关系?

    观察图4,提出猜想:PAPB=PCPD.

    2、组织学生用多种方法证明:

    方法一:要证PAPB=PCPD,可证此可证以PA,PC为边的三角形和以PD,PB为边的三角形相似,所以考虑作辅助线AC,BD,容易证明∠PAC=∠D,∠P=∠P,因此△PAC∽△PDB.(如图4)

    方法二:要证,还可考虑证明以PA,PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似,所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明∠B=∠D,又∠P=∠P.因此△PAD∽△PCB.(如图5)

    方法三:引导学生再次观察图2,立即会发现.PT2=PAPB,同时PT2=PCPD,于是可以得出PAPB=PCPD.PAPB=PCPD

    推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)

    (三)初步应用

    例1已知:如图6,⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B,PA=6厘米,AB=8厘米,PO=10.9厘米,求⊙O的半径.

    分析:由于PO既不是⊙O的切线也不是割线,故须将PO延长交⊙O于D,构成了圆的一条割线,而OD又恰好是⊙O的半径,于是运用切割线定理的推论,问题得解.

    (解略)教师示范解题.

    例2已知如图7,线段AB和⊙O交于点C,D,AC=BD,AE,BF分别切⊙O于点E,F,

    求证:AE=BF.

    分析:要证明的两条线段AE,BF均与⊙O相切,且从A、B两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上,且AC=BD,AD=BC.因此它们的积相等,问题得证.

    学生自主完成,教师随时纠正学生解题过程中出现的错误,如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.

    巩固练习:P128练习1、2题

    (四)小结

    知识:切割线定理及推论;

    能力:结合具体图形时,应能写出正确的等积式;

    方法:在证明切割线定理和推论时,所用的构造相似三角形的方法十分重要,应注意很好地掌握.

    (五)作业教材P132中,11、12题.

    探究活动

    最佳射门位置

    国际足联规定法国世界杯决赛阶段,比赛场地长105米,宽68米,足蛎趴?.32米,高2.44米,试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).

    分析与解如图1所示.AB是足球门,点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置,即向P上方或下方移动,视角都变小,因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点,如图1所示.即OP是圆的切线,而OB是圆的割线.

    故,又,

    OB=30.34+7.32=37.66.

    OP=(米).

    注:上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.

    数学教案-平行线分线成比例定理初中教案精选


    (第二课时)

    一、教学目标

    1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.

    2.使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.

    3.已知线的成已知比的作图问题.

    4.通过应用,培养识图能力和推理论证能力.

    5.通过定理的教学,进一步培养学生类比的数学思想.

    二、教学设计

    观察、猜想、归纳、讲解

    三、重点、难点

    l.教学重点:是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.

    2.教学难点:是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.

    四、课时安排

    1课时

    五、教具学具准备

    投影仪、胶片、常用画图工具.

    六、教学步骤

    【复习提问】

    叙述平行线分线段成比例定理(要求:结合图形,做出六个比例式).

    【讲解新课】

    在黑板上画出图,观察其特点:与的交点A在直线上,根据平行线分线段成比例定理有:……(六个比例式)然后把图中有关线擦掉,剩下如图所示,这样即可得到:

    平行于的边BC的直线DE截AB、AC,所得对应线段成比例.

    在黑板上画出左图,观察其特点:与的交点A在直线上,同样可得出:(六个比例式),然后擦掉图中有关线,得到右图,这样即可证到:

    平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线,所以对应线段成比例.

    综上所述,可以得到:

    推论:(三角形一边平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.

    如图,(六个比例式).

    此推论是判定三角形相似的基础.

    注:关于推论中“或两边的延长线”,是指三角形两边在第三边同一侧的延长线,如果已知,DE是截线,这个推论包含了下图的各种情况.

    这个推论不包含下图的情况.

    后者,教学中如学生不提起,可不必向学生交待.(考虑改用投影仪或小黑板)

    例3已知:如图,,求:AE.

    教材上采用了先求CE再求AE的方法,建议在列比例式时,把CE写成比例第一项,即:.

    让学生思考,是否可直接未出AE(找学生板演).

    【小结】

    1.知道推论的探索方法.

    2.重点是推论的正确运用

    七、布置作业

    (1)教材P215中2.

    (2)选作教材P222中B组1.

    八、板书设计

    比例线


    教学建议

    知识结构

    重难点分析

    本节的重点是线段的比和的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系,从本章开始研究线段及相关图形的比例关系――相似三角形,这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用.

    本节的难点是比例性质及应用,虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识,但由于内容比较简单,而且间隔时间较长,学生印象并不深刻,而本节涉及到的比例基本性质变式较多,合分比性质以及等比性质学生又是初次接触,内容不但多,而且容易混淆,作题不知应用哪条性质,不知如何应用是常有的.

    教法建议

    1.生活中比例的例子比比皆是,在新课引入时最好从生活实例引入,可使学生感觉轻松自然,容易产生兴趣,增加学生学习的主动性

    2.小学时曾学过数的比及相关概念,学习时也可以复习引入,从数的比过渡到线段的比,渗透类比思想

    3.这一节概念比较多,也比较容易混淆,教学中可设计不同层次的题组来进行巩固,特别是要举一些反例,同时要注意对相近概念的比较

    4.黄金分割的内容要求学生理解,主要体现数学美,可由学生从生活中寻找实例,激发学生的兴趣和参与感

    5.比例性质由于变式多,理解和应用上容易出现错误,教学时可利用等式性质和分式性质来处理

    教学设计示例1

    (第1课时)

    一、教学目标

    1.理解线段的比的概念.

    2.通过与小学知识到比较,初步培养学生“类比”的数学思想.

    3.通过线段的比的有关计算,培养学习的计算能力.

    4.通过“引言”及“例1”的教学,激发学生学习兴趣,对学生进行热爱爱国主义教育.

    二、教学设计

    先学后做,启发引导

    三、重点及难点

    1.教学重点两条线段比的概念.

    2.教学难点正确理解两条线段的比及应用.

    四、课时安排

    1课时

    五、教具学具准备

    股影仪、胶片、常用画图工具

    六、教学步骤

    【复习提问】

    找学生回答小学学过的比、比的前项和后项的概念.

    (两个数相除又叫做两数的比,记作或a:b,其中a叫比的前项,b叫比的后项)

    【讲解新课】

    把学生分成三组,分别以米、厘米、毫米作为长度单位,量一下几何教材的长与宽(令长为a,宽为b).再求出长与宽的比.然后找三名同学把结果写在黑板上.如:

    等.

    可以看出,在同一长度单位下,两条线段长度的比就是两条线段的比.

    一般地:若a、b的长度分别是m、n(单位相同),那么就说这两条线段的比是,或写成,和数的比一样,a叫比的前项,b叫比的后项.

    关于两条线段比的概念,教学中要揭示它的实质,即表示a是b的k倍,这是学生已有的知识,较易理解,也容易使学生注意到求比时,长度单位要一致.另外,可组织学生举例实际生活中两条线段的比的问题,充分调动学生联系实际和积极思维的能力,对活跃课堂气氛也很有利,但教师需注意尺度.

    就刚才三组学生做过的练习及问题回答,在教师启发和点拨下,让学生讨论或试述两条线段的比应注意的问题,归纳出:

    (l)两条线段的比就是它们的长度的比.

    (2)比与所选线段的长度单位无关,求比时,两条线段的长度单位要一致.

    (3)两条线段的比值总是正数.(并不都是正数)

    (4)除了a=b之外,.与互为倒数.

    例1见教材P202.

    讲解完例1后:

    (l)提问学生AB是的多少倍,是AB的多少倍,以加深学生对线段比的逾义的理解.

    (2)给出:比例尺=,就例1的图上,若图距是8cm的两地,实际距离是多少?

    另外,还可鼓励学生课后根据地图上的比例尺,测量并计算出你所在省会与首都北京的直线距离,从而丰富了知识,激发了学习兴趣.

    例2见教材P202.

    讲解完例2后:

    (l)可改变线段AB的长度,或给出AC、BC的长度,再求这些比,使学生认识这种三角形中边的比与长度无关.

    (2)常识1:有一锐角是30°的直角三角形中,三边(从小到大)的比为.

    常识2:等腰直角三角形三边(从小到大)的比为1:1:.

    学生掌握了这些常识可有两点好处:

    ①知道例2中“”以及习题5.l第2题(1)中“边长为4”.(2)中的“对角线AC=a”这些条件实际上都是多余的.

    【小结】

    1.两条线段比的概念以及应注意的问题.

    2.会求两条线段的比.

    七、布置作业

    教材P210中2、3.

    八、板书设计

    比例线教案模板


    教学建议

    知识结构

    重难点分析

    本节的重点是线段的比和的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系,从本章开始研究线段及相关图形的比例关系――相似三角形,这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用.

    本节的难点是比例性质及应用,虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识,但由于内容比较简单,而且间隔时间较长,学生印象并不深刻,而本节涉及到的比例基本性质变式较多,合分比性质以及等比性质学生又是初次接触,内容不但多,而且容易混淆,作题不知应用哪条性质,不知如何应用是常有的.

    教法建议

    1.生活中比例的例子比比皆是,在新课引入时最好从生活实例引入,可使学生感觉轻松自然,容易产生兴趣,增加学生学习的主动性

    2.小学时曾学过数的比及相关概念,学习时也可以复习引入,从数的比过渡到线段的比,渗透类比思想

    3.这一节概念比较多,也比较容易混淆,教学中可设计不同层次的题组来进行巩固,特别是要举一些反例,同时要注意对相近概念的比较

    4.黄金分割的内容要求学生理解,主要体现数学美,可由学生从生活中寻找实例,激发学生的兴趣和参与感

    5.比例性质由于变式多,理解和应用上容易出现错误,教学时可利用等式性质和分式性质来处理

    教学设计示例1

    (第1课时)

    一、教学目标

    1.理解线段的比的概念.

    2.通过与小学知识到比较,初步培养学生“类比”的数学思想.

    3.通过线段的比的有关计算,培养学习的计算能力.

    4.通过“引言”及“例1”的教学,激发学生学习兴趣,对学生进行热爱爱国主义教育.

    二、教学设计

    先学后做,启发引导

    三、重点及难点

    1.教学重点两条线段比的概念.

    2.教学难点正确理解两条线段的比及应用.

    四、课时安排

    1课时

    五、教具学具准备

    股影仪、胶片、常用画图工具

    六、教学步骤

    【复习提问】

    找学生回答小学学过的比、比的前项和后项的概念.

    (两个数相除又叫做两数的比,记作或a:b,其中a叫比的前项,b叫比的后项)

    【讲解新课】

    把学生分成三组,分别以米、厘米、毫米作为长度单位,量一下几何教材的长与宽(令长为a,宽为b).再求出长与宽的比.然后找三名同学把结果写在黑板上.如:

    等.

    可以看出,在同一长度单位下,两条线段长度的比就是两条线段的比.

    一般地:若a、b的长度分别是m、n(单位相同),那么就说这两条线段的比是,或写成,和数的比一样,a叫比的前项,b叫比的后项.

    关于两条线段比的概念,教学中要揭示它的实质,即表示a是b的k倍,这是学生已有的知识,较易理解,也容易使学生注意到求比时,长度单位要一致.另外,可组织学生举例实际生活中两条线段的比的问题,充分调动学生联系实际和积极思维的能力,对活跃课堂气氛也很有利,但教师需注意尺度.

    就刚才三组学生做过的练习及问题回答,在教师启发和点拨下,让学生讨论或试述两条线段的比应注意的问题,归纳出:

    (l)两条线段的比就是它们的长度的比.

    (2)比与所选线段的长度单位无关,求比时,两条线段的长度单位要一致.

    (3)两条线段的比值总是正数.(并不都是正数)

    (4)除了a=b之外,.与互为倒数.

    例1见教材P202.

    讲解完例1后:

    (l)提问学生AB是的多少倍,是AB的多少倍,以加深学生对线段比的逾义的理解.

    (2)给出:比例尺=,就例1的图上,若图距是8cm的两地,实际距离是多少?

    另外,还可鼓励学生课后根据地图上的比例尺,测量并计算出你所在省会与首都北京的直线距离,从而丰富了知识,激发了学习兴趣.

    例2见教材P202.

    讲解完例2后:

    (l)可改变线段AB的长度,或给出AC、BC的长度,再求这些比,使学生认识这种三角形中边的比与长度无关.

    (2)常识1:有一锐角是30°的直角三角形中,三边(从小到大)的比为.

    常识2:等腰直角三角形三边(从小到大)的比为1:1:.

    学生掌握了这些常识可有两点好处:

    ①知道例2中“”以及习题5.l第2题(1)中“边长为4”.(2)中的“对角线AC=a”这些条件实际上都是多余的.

    【小结】

    1.两条线段比的概念以及应注意的问题.

    2.会求两条线段的比.

    七、布置作业

    教材P210中2、3.

    八、板书设计

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