经典初中教案数学教案－二次函数教学设计

发表时间：2022-02-08

二次函数的教学设计

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一.一.创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2.①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？jk251.coM

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二.二.归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）

由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三.三.尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

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二次函数教学设计初中教案精选

二次函数的教学设计

马玉宝

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一.一.创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2.①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二.二.归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三.三.尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

经典初中教案数学教案－二次函数y=ax+bx+c

教学目标：

1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；

2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想.培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力.

3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学.逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力.

教学重点：初步理解数形结合的数学思想

教学难点：初步理解数形结合的数学思想

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程：

例1、已知：抛物线y=x2－（m2－1）x－2m2－2

⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

解：

△=(m2－1)2＋4(2m2＋2)

=m4－2m2＋1＋8m2＋8

=m4＋6m2＋9

=(m2＋3)2

m2≥0

∴m2＋3＞0

∴△＞0

∴抛物线与x轴有两个交点

问题：为什么说当△＞0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点.（能否从数和形两方面说明）

设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高.②学会合作，消除个人中心.③发现自我，提高参与度.④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性.

数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程.反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上.抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上.所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式.设交点坐标为（x，y）

∴

这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解.代入y=0，消去y，转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题.根据以前学过的知识，当△＞0时，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.∴y=ax2+bx+c

y=0

有两个不等的实数解

∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点.

形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下.或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上.

设计意图：渗透解析几何的基本思想

使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性.掌握数形结合，分类讨论的思想方法.逐步学会数学的思维.

转化成代数语言为：

小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想.将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题.

第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观.发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化.这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法.

思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别式的符号的关系.

设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程.使主体积极地参与到学习中去.以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念.

⑵m取什么实数时,两交点间距离最短?是多少?

解：设二次函数与x轴的两交点为(x1,0)，(x2,0)

解法㈠由⑴可知m为任何实数时,都有△＞0

解①

∴x1＋x2=m2－1

x1x2=－2(m2＋1)

∴│x2－x1│=

=m2＋3

∴当m=0时,两交点最小距离为3

这里两交点间距离是m的函数

设计意图：培养学生的问题意识.在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法.培养学生独立地获取数学知识的能力.渗透函数思想

问题：观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同？具有一般的规律吗？如何说明.

设x1、x2为ax2+bx+c=0的两根

可以推出：

还可以理解为顶点到x轴距离最短.

设计意图：在对比、分析中，明确概念，揭示知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构.

小结：观察这道题的结论，我们猜测出规律，将其一般化，推导出这个公式，这是学习数学知识的一般方法.

解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.

思考：一元二次方程与二次函数的关系.

思考：求m取什么实数时，y=x2－（m2－1）x－2m2－2被直线y=2所截得的线段最短？是多少？

练习：

观察函数的图象，回答：

（1）y>0时，x的取值范围如何？

（2）y=0时，x取什么值？

（1）y

小结：数与形是数学中相互依赖的两个方面.图形比较直观，可以启发思路；而数学的严格证明也是必不可少的.直观性和形式化是数学的两重性.

探究活动

探究问题：

欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这批雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把。如果零售单价每降价0.1元,月销售量就要增加5把.

(1)欣欣日用品零售商店以零售单价14元出售时，一个月的利润为多少元？

(2)欣欣日用品零售商店为了扩大销售记录,现实行降价销售,问分别降价0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元时的利润是多少？

(3)欣欣日用品零售商店实行降价销售后，问降价多少元时利润最大？最大利润为多少元？

(4)现在该公司的批发部为了再次扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原价九五折（即百分之95）付费，但零售价每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额—进货款额）

解：（1）（14—8）（元）

（2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。

（3）设降价元时利润最大，最大利润为元

∴当时，有最大值

元

（4）设降价元时利润最大，利润为元

（其中）。

化简，得。

，

∴当时，有最大值。

∴。

二次函数教学设计教案模板

教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页

教学目标：

1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；

2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；

3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。

教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。

教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。

教学过程设计：

一.一.创设情景、建模引入

我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：

1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式

答：S=πR2.①

2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系

答：S=L（30-L）=30L-L2②

分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？

S是否是R、L的一次函数？

由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？

答：二次函数。

这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）

二.二.归纳抽象、形成概念

一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，

那么，y叫做x的二次函数.

注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.

练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。

2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。

（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）

（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）

三.三.尝试模仿、巩固提高

让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究

1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？

请同学们画出函数y=x2的图象。

（学生分别画图，教师巡视了解情况。）

2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。

解：一、列表：

-3

-2

-1

Y=x2

二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.

经典初中教案二次函数的应用时

2.4二次函数的应用(2)

教学目标：

1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：

一、复习：

1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。出示上节课的引例的动态

图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）

设问：（1）对角线（l）与边长（x）有什何关系？

（2）对角线（l）是否也有最值？如果有怎样求？

l与x并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x的二次函数，并且有最小值。引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）。指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值。

二、例题讲解

例题2：b船位于a船正东26km处，现在a、b两船同时出发，a船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，b船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？

多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？

(2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？

设经过t小时后ab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(12t)2=169t2-260t+676。（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）

因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。

解:设经过t时后，a，bab两船分别到达a’，b’，两船之间距离为

s=a’b’=ab’2+aa’2=(26-5t)2+(12t)2

=169t2-260t+676=169（t-1013）2+576（t>0）

当t=1013时，被开方式169（t-1013）2+576有最小值576。

所以当t=1013时，s最小值=576=24（km）

答：经过1013时，两船之间的距离最近，最近距离为24km

练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。

三、课堂小结

应用二次函数解决实际问题的一般步骤

四、布置作业

见作业本

经典初中教案数学教案－最简二次根式

教学目的

1．使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式；

2．会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。

教学重点

最简二次根式的定义。

教学难点

一个二次根式化成最简二次根式的方法。

教学过程

一、复习引入

1．把下列各根式化简，并说出化简的根据：

2．引导学生观察考虑：

化简前后的根式，被开方数有什么不同？

化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。

3．启发学生回答：

二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？

二、讲解新课

1．总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：

满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。

2．练习：

下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：

3．例题：

例1把下列各式化成最简二次根式：

例2把下列各式化成最简二次根式：

4．总结

把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？

当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。

当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。

此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。

三、巩固练习

1．把下列各式化成最简二次根式：

2．判断下列各根式，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？如果不是，把它化成最简二次根式。

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