数学教案－排列教学目标【推荐】

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我相信每一位高中教师都接触过教案，老师可以通过教案来对学生进行更好的教学，认真做好教案我们的教学工作会变得更加顺利，怎样写好自己的高中教案呢？小编为你推荐《数学教案－排列教学目标【推荐】》，希望您喜欢。

教学目标

（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；

（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；

（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题．难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中．

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．因此，两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同．排列数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能计算相应的排列数．排列与排列数是两个概念，前者是具有m个元素的排列，后者是这种排列的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是相应的排列数．

公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好的推导．

排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．

三、教法建议

①在讲解排列数的概念时，要注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念．一个排列是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号表示排列数．

②排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．

从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列．

在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．

在排列的定义中，如果有的书上叫选排列，如果，此时叫全排列．

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题．

③关于排列数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导，…，再推广到，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．

导出公式后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．

公式是在引出全排列数公式后，将排列数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在时也能成立，规定，如同时一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．

④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．

⑤学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．

教学设计示例

排列

教学目标

（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；

（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

（3）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

教学重点难点

重点是排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。

难点是解有关排列的应用题。

教学过程设计

一、复习引入

上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：

1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．

（1）从中任取1本，有多少种取法？

（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？

2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？

找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程

第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×40=2000．

第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．

二、讲授新课

学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习排列问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：

1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？

由学生设计好方案并回答．

（1）用加法原理设计方案．

首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

（2）用乘法原理设计方案．

首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．

根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票

再看一个实例．

在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？

找学生谈自己对这个问题的想法．

事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．

首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）．

根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）

第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．

由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．

请板演的学生谈谈怎样想的？

第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．

第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．

根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？

都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．

（2）取出的这些研究对象又做些什么？

实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．

（3）请大家看书，第×页、第×行．我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．

上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．

第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．

第三个问题呢？

从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．

给出排列定义

请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列？什么是不同的排列？

从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的排列．

如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个排列，第三个问题中，213与423也是两个排列．

再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列．

（2）还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数？

生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．

三、课堂练习

大家思考，下面的排列问题怎样解？

有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出）

分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的排列问题．

解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．

第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．

第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．

第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示：

所以，共有9种放法．

四、作业

课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7．

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排列(小编推荐)

教学目标

（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；

（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；

（3）掌握数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的数；

（4）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

（5）通过对应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是的定义、数及数的公式，并运用这个公式去解决有关数的应用问题．难点是导出数的公式和解有关的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决应用问题当中．

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个．因此，两个相同，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同．数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同的种数，只要弄清相同、不同，才有可能计算相应的数．与数是两个概念，前者是具有m个元素的，后者是这种的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个，而这种有序集的个数，就是相应的数．

公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好的推导．

的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

在教学应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．

三、教法建议

①在讲解数的概念时，要注意区分“数”与“一个”这两个概念．一个是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

其中每一种都叫一个，共有6种，而数字6就是数，符号表示数．

②的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序”．

从定义知，只有当元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同时，才是同一个，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的，都不是同一。叫不同．

在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．

在的定义中，如果有的书上叫选，如果，此时叫全．

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复问题．

③关于数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导，，…，再推广到，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．

导出公式后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．

公式是在引出全数公式后，将数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在时也能成立，规定，如同时一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．

④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．

⑤学生在开始做应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．

教学设计示例

教学目标

（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；

（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；

（3）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

教学重点难点

重点是的定义、数并运用这个公式去解决有关数的应用问题。

难点是解有关的应用题。

教学过程设计

一、复习引入

上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：

1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．

（1）从中任取1本，有多少种取法？

（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？

2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？

找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程

第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×40=2000．

第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．

二、讲授新课

学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：

1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？

由学生设计好方案并回答．

（1）用加法原理设计方案．

首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

（2）用乘法原理设计方案．

首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序不同方法共有3×2=6种．

根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票

再看一个实例．

在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？

找学生谈自己对这个问题的想法．

事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．

首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）．

根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）

第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．

由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．

请板演的学生谈谈怎样想的？

第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．

第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．

根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？

都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．

（2）取出的这些研究对象又做些什么？

实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．

（3）请大家看书，第×页、第×行．我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．

上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．

第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．

第三个问题呢？

从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．

给出定义

请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的？什么是不同的？

从的定义知道，如果两个相同，不仅这两个的元素必须完全相同，而且的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的．

如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个，第三个问题中，213与423也是两个．

再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但顺序不同，也是两个．

（2）还需要搞清楚一个问题，“一个”是不是一个数？

生：“一个”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个，“红黄绿”是一种信号，也是一个．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．

三、课堂练习

大家思考，下面的问题怎样解？

有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出）

分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的问题．

解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．

第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．

第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．

第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示：

所以，共有9种放法．

四、作业

课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7．

数学教案－直线的方程(小编推荐)

教学目标

（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．

（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．

（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．

（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力．

（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．

（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式．

（2）重点、难点分析

①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程．

解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用．

直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习．

②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明．

2．教法建议

（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．

（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础．

直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点

（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．

（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮．

求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程．

（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）．

（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力．

（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力．

（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上．

教学设计示例

直线方程的一般形式

教学目标：

（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．

（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明

（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．

教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程（不同时为0）的对应关系及其证明．

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

下面给出教学实施过程设计的简要思路：

教学设计思路：

（一）引入的设计

前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：

问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？

答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．

肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：

问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？

答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．

肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．

启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．

学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：

【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”

（二）本节主体内容教学的设计

这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．

学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．

经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：

思路一：…

思路二：…

……

教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．

当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程．

当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？

学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．

综合两种情况，我们得出如下结论：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程．

至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”．

同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？

学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．

这样上边的结论可以表述如下：

在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程．

启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？

【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？

不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？

师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：

回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即

（1）当时，方程可化为

这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线．

（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为

这表示一条与轴垂直的直线．

因此，得到结论：

在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．

为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．

【动画演示】

演示“直线各参数．gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．

至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．

（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略

高中教案排列【荐】

教学目标

（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；

（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；

（3）掌握数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的数；

（4）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

（5）通过对应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

教学建议

一、知识结构

二、重点难点分析

本小节的重点是的定义、数及数的公式，并运用这个公式去解决有关数的应用问题．难点是导出数的公式和解有关的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决应用问题当中．

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个．因此，两个相同，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同．数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同的种数，只要弄清相同、不同，才有可能计算相应的数．与数是两个概念，前者是具有m个元素的，后者是这种的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个，而这种有序集的个数，就是相应的数．

公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好的推导．

的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

在教学应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．

三、教法建议

①在讲解数的概念时，要注意区分“数”与“一个”这两个概念．一个是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

ab，ac，ba，bc，ca，cb，

其中每一种都叫一个，共有6种，而数字6就是数，符号表示数．

②的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序”．

从定义知，只有当元素完全相同，并且元素的顺序也完全相同时，才是同一个，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的，都不是同一。叫不同．

在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．

在的定义中，如果有的书上叫选，如果，此时叫全．

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复问题．

③关于数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导，，…，再推广到，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．

导出公式后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．

公式是在引出全数公式后，将数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在时也能成立，规定，如同时一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．

④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．

⑤学生在开始做应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．

教学设计示例

教学目标

（1）正确理解的意义。能利用树形图写出简单问题的所有；

（2）了解和数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的；

（3）会分析与数字有关的问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

教学重点难点

重点是的定义、数并运用这个公式去解决有关数的应用问题。

难点是解有关的应用题。

教学过程设计

一、复习引入

上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：

1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．

（1）从中任取1本，有多少种取法？

（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？

2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？

找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程

第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是：50×40=2000．

第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．

二、讲授新课

学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：

1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？

由学生设计好方案并回答．

（1）用加法原理设计方案．

首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

（2）用乘法原理设计方案．

首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序不同方法共有3×2=6种．

根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票

再看一个实例．

在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？

找学生谈自己对这个问题的想法．

事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．

首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）．

根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）

第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．

由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．

请板演的学生谈谈怎样想的？

第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．

第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．

根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？

都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．

（2）取出的这些研究对象又做些什么？

实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．

（3）请大家看书，第×页、第×行．我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．

上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．

第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．

第三个问题呢？

从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．

给出定义

请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个．

下面由教师提问，学生回答下列问题

（1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的？什么是不同的？

从的定义知道，如果两个相同，不仅这两个的元素必须完全相同，而且的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的．

如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个，第三个问题中，213与423也是两个．

再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但顺序不同，也是两个．

（2）还需要搞清楚一个问题，“一个”是不是一个数？

生：“一个”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个，“红黄绿”是一种信号，也是一个．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．

三、课堂练习

大家思考，下面的问题怎样解？

有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出）

分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的问题．

解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．

第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．

第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．

第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示：

所以，共有9种放法．

四、作业

课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7．

数学教案－曲线方程

教学目标

（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．

（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．

（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．

（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．

（5）进一步理解数形结合的思想方法．

教学建议

教材分析

（1）知识结构

曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．

（2）重点、难点分析

①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．

②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．

教法建议

（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．

（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．

（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．

（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：

设表示曲线上适合某种条件的点的集合；

表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．

可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即

（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．

这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即

文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的的代数方程

由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”

（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．

教学设计示例

课题：求曲线的方程（第一课时）

教学目标：

（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．

（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．

（3）初步掌握求曲线方程的方法．

（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．

教学重点、难点：求曲线的方程．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程：

【引入】

1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．

学生思考并回答．教师强调．

2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．

对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．

（2）通过方程，研究平面曲线的性质．

事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．

【问题】

如何根据已知条件，求出曲线的方程．

【实例分析】

例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．

首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．

解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），

由斜率关系可求得l的斜率为

于是有

即l的方程为

①

分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？

（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．

证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．

设是线段的垂直平分线上任意一点，则

即

将上式两边平方，整理得

这说明点的坐标是方程的解．

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

设点的坐标是方程①的任意一解，则

到、的距离分别为

所以，即点在直线上．

综合（1）、（2），①是所求直线的方程．

至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合

由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

将上式两边平方，整理得

果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．

这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．

让我们用这个方法试解如下问题：

例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．

分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．

求解过程略．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；

（2）写出适合条件的点的集合

；

（3）用坐标表示条件，列出方程；

（4）化方程为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．

上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．

下面再看一个问题：

例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．

解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合

由距离公式，点适合的条件可表示为

①

将①式移项后再两边平方，得

化简得

由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．

【练习巩固】

题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．

分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．

根据条件，代入坐标可得

化简得

①

由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结：

（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？

（2）如何求曲线的方程？

（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？

【作业】课本第72页练习1，2，3；

【板书设计】

§7．6求曲线的方程

坐标法：

解析几何：

基本问题：

（1）

（2）

例1：

例2：

求曲线方程的步骤：

例3

练习：

小结：

作业：

数学教案－不等式的证明（三）【推荐】

教学目标

1．掌握分析法证明不等式；

2．理解分析法实质——执果索因；

3．提高证明不等式证法灵活性.

教学重点分析法

教学难点分析法实质的理解

教学方法启发引导式

教学活动

（一）导入新课

（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．

（学生活动）回答和思考教师提出的问题．

［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

［问题2］能否用比较法或综合法证明不等式：

[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）

设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，

激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．

（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．

[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．

［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．

[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）

设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．

【例题示范、学会应用】

（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．

（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．