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  • 数学教案-的教学方案

    发表时间:2022-01-30

    充分准备一份教案是一名教师的职责所在,教案在我们的教学生活当中十分常见,用心编写教案才能促进初中的教学进一步发展,你是否在烦恼初中教案怎么写呢?下面是小编为大家整理的“数学教案-的教学方案”相关内容,仅供参考,欢迎大家阅读。

    第二节平面直角坐标系

    一:教学目标

    1:认识并能画出平面直角坐标系;能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标。

    2:经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识。

    二:教学重点

    能画出平面直角坐标系;会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标。

    三:教学难点

    能能建立平面直角坐标系;求出点的坐标,由点的位置写出它的坐标。

    四:教学时间

    三课时

    五:教学过程

    第一课时

    一)引入新课

    1:要在平面内确定一个地点的位置需要几个数据?

    2:练习如图你能确定各个景点的位置吗?“大成殿”在“中心广场”西、南各多少个格?“碑林”在“中心广场”东、北各多少个格?

    二)新课

    1:我们可以以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴,分别取向右和向上的方向为数轴的正方向,一个方格的边长看做一个单位长度,你能表示出“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置吗?(学生回答,老师小结)

    2:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。(通常两条数轴成水平位置与铅直位置,取向上或向右为正方向,水平位置的数轴叫横轴,铅直位置的数轴叫纵轴,它们的公共原点叫直角坐标系的原点。)

    3:两条坐标轴把平面分成四部分:右上部分叫第一象限,其它三部分按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。

    4:怎样求平面内点的坐标?

    对于平面内任意一点,过该点分别向横轴、纵轴作垂线,垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫该点的横坐标、纵坐标。

    例1写出多边形ABCDEF各顶点的坐标

    y

    AB

    FOCx

    ED

    5:想一想

    (1)点A与B的纵坐标相同,线段AB的位置有什么特点?

    (2)线段DB的位置有什么特点?

    (3)坐标轴上点的坐标有什么特点?

    6:练习P131做一做

    三:小结(1)怎样画平面直角坐标系?

    (2)怎样求平面内点的坐标?

    (4)知道点的坐标怎样描出点?

    四:作业P132

    第二课时

    一:复习

    1)怎样画平面直角坐标系?

    (学生练习画平面直角坐标系)

    (2)怎样求平面内点的坐标?

    y

    A

    BC

    Ox

    已知等边三角形的边长为2cm,求出各顶点的坐标?

    (3)道点的坐标怎样描出点?

    二:新课

    例在直角坐标系中描出下列各点,并将各组内的点用线段依次连接起来。

    (1)(-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3),(-6,5)

    (2)-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3)

    (3)(3.5,9),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(3.5,9)

    (4)(3,7),(1,5),(2,5),(5,5),(6,5),(4,7)

    (5)(2,5),(0,3),(3,3),(3,0),(4,0),(4,3),(7,3),(5,5)

    观察所得的图形,你觉得它像什么?

    y

    Ox

    三:练习P134做一做

    四:作业P135习题5.4(1、2)

    第三课时

    一;新课引入与复习

    1)怎样画平面直角坐标系?画平面直角坐标系时应注意些什么?

    2)怎样求平面内点的坐标?(对于平面内任意一点,过该点分别向横轴、纵轴作垂线,垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫该点的横坐标、纵坐标。)

    二:新课

    例3如图,矩形ABCD的长与宽分别是6,4。建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标。

    y

    BA

    解:如图:以点C为坐标原点,分别以CD、CB所在

    直线为x轴y轴,建立直角坐标系。此时C(0,0)

    O

    CDx

    由CD长为6,CB长为4,可得D,B,A的坐标分别为D(6,0),B(0,4),A(,4)

    思考:(还可以建立直角坐标系吗?与同学交流)

    例4对于边长为4的正三角形ABC,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标。

    A

    BC

    三:小结建立适当的直角坐标系,求的坐标要注意以下几点?

    1)要找出坐标原点。

    2)要说明横轴与纵轴的位置。

    3)要求出必要的线段的长度。

    四:练习P161(议一议)与随堂练习

    P162习题的第一题

    五:作业P162习题的第二题

    六:课外练习P162(试一试)

    鱼的变化第二课时

    一:复习点的坐标的特征

    1)关于横轴对称的两点横坐标相等,纵坐标相反

    2)关于纵轴对称的两点纵坐标相等,横坐标相反

    3)关于原点对称的两点横坐标相反,纵坐标相反

    二:看图确定点的坐标

    1)左右两幅图关于Y轴对称,已知A(1,3)B(-3,-1),试确定点C,D的坐标?

    AC

    BD

    2)左右两幅图关于Y轴对称,已知A(-3,2)B(-3,1),试确定点C,D的坐标?

    y

    AD

    BC

    x

    三;练习

    1)P142做一做

    2)P143随堂练习

    四:小结P143议一议

    五:作业P144习题(做在书上)

    第五章回顾与思考

    一:学生看书回答问题

    1)在平面内,确定点的位置一般需要几个数据?举例说明。

    2)在直角坐标系中,如何确定给定点的坐标?举例说明。

    3)在直角坐标系中,横、纵坐标系轴上点的坐标各有什么特点?举例说明。

    4)在直角坐标系中,将图形沿坐标轴方向平移,变化前后的对应点的坐标有什么异同?举例说明。

    5)在直角坐标系中,将图形上各点的横坐标或纵坐标加上一个数(或乘-1),变化前后的图形有什么关系?举例说明。

    二:练习

    P145复习题A组

    三:小结点的坐标•一:点P(a,b)到X轴的距离是︱b︱,到Y轴的距离是︱a︱,到原点的距离是√a2+b2•二:对称性1)关于X轴对称的两点横坐标相等,纵坐标互为相反。•2)关于Y轴对称的两点横坐标互为相反,纵坐标相等。•3)关于原点轴对称的两点横坐标互为相反,纵坐标互为相反。•三:平行1)两点的横坐标相等,纵坐标不相等,则这两点所在的直线与Y轴平行,与X轴垂直。2)两点的横坐标不相等,纵坐标相等,则这两点所在的直线与X轴平行,与Y轴垂直。举例•1)点P(-3,4)与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•2)点A(6,-3)到X轴的距离为,•到Y轴的距离为,到原点轴的距离为•3)点A(a,-4)与B(2,b)所在的直线与X轴平行,则a,b.所在的直线与Y轴平行,则a,b.•4)点A(a,b)在第一、三象限的角平分线上,则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上,则a、b的关系是。练习•1)点P(4,-3)与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•2)点A(-2,-3)到X轴的距离为,•到Y轴的距离为,到原点轴的距离为•3)点A(a-1,-4)与B(2,b+3)所在的直线与X轴平行,则a,b.所在的直线与Y轴平行,则a,b.•4)点A(-a,b)在第一、三象限的角平分线上,则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上,则a、b的关系是点的平移练习•一:1)点P(-2,3)沿X轴的方向向右平移四个单位长度得到的点的坐标为。•2)点P(-2,3)沿X轴的方向向左平移四个单位长度得到的点的坐标为。•3)点P(-2,3)沿Y轴的方向向上平移四个单位长度得到的点的坐标为。•4)点P(-2,3)沿Y轴的方向向下平移四个单位长度得到的点的坐标为。•5)点P(-2,3)沿X轴的方向先向右平移四个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6)点P(-2,3)沿X轴的方向先向左平移二个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•5)点P(-2,3)沿Y轴的方向先向上平移四个单位长度再沿X轴的方向向右平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6)点P(-2,3)沿Y轴的方向先向下平移二个单位长度再•沿X轴的方向向左平移三个单位长度得到的点的坐标为。•二1)把点P(3,-2)沿X轴方向向平移个单位得到点A(5,-2)•2)把点P(3,-2)沿X轴方向向平移个单位得到点A(0,-2)•3)把点P(3,-2)沿Y轴方向向平移个单位得到点A(3,2)•4)把点P(3,-2)沿Y轴方向向平移个单位得到点A(3,1)点的坐标练习•1)点P(3,-4)沿X轴的方向向右平移四个单位长度得到的点的坐标为。•2)点P(-2,5)沿X轴的方向向左平移四个单位长度得到的点的坐标为。•3)点P(0,-3)沿Y轴的方向向上平移四个单位长度得到的点的坐标为。•4)点P(-1,-3)沿Y轴的方向向下平移四个单位长度得到的点的坐标为。•5)点P(4,-2)沿X轴的方向先向右平移四个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6)点P(-2,0)沿X轴的方向先向左平移二个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•7)点P(-1,3)沿Y轴的方向先向上平移四个单位长度再沿X轴的方向向右平移三个单位长度得到的点的坐标为。•8)点P(-2,1.5)沿Y轴的方向先向下平移二个单位长度再沿X轴的方向向左平移三个单位长度得到的点的坐标为。•9)把点P(-2,-2)沿X轴方向向平移个单位得到点A(5,-2)•10)把点P(3,2)沿X轴方向向平移个单位得到点A(0,-2)•12)把点P(3,-2)沿Y轴方向向平移个单位得到点A(3,2)•13)把点P(-3,-4)沿Y轴方向向平移个单位得到点A(3,1)•14)点P(4,-2)与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•15)点A(-4,-1)到X轴的距离为,•到Y轴的距离为,到原点轴的距离为•16)点A(a,3)与B(-2,b)所在的直线与X轴平行,则a,b.所在的直线与Y轴平行,则a,b.•17)点A(a,b)在第一、三象限的角平分线上,则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上,则a、b的关系是。•18)点P(-2,-3)与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•19)点A(5,-2)到X轴的距离为,•到Y轴的距离为,到原点轴的距离为•20)点A(a+1,-4)与B(2,b+3)所在的直线与X轴平行,则a,b.所在的直线与Y轴平行,则a,b.•21)点A(a,-b)在第一、三象限的角平分线上,则a、b的•关系是。在第二、四象限的角平分线上,则a、b的关系是•22)X轴上的坐标为0,Y轴上的坐标为0。•23)点P(a,b)若a=0,则点P在,若b=0则点P在。若ab=o,则点P在。

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    数学教案-分式的乘除法的教学方案


    一、教学过程

    【复习提问】

    1.分式的基本性质?

    2.分式的变号法则?

    【新课】

    数学小笑话:(配上漫画插图幻灯片)

    从前有个不学无术的富家子弟,有一次,父母出远门去办事,把他交给厨师照看,厨师问他:“我每天三餐每顿给你做两个馒头,够吗?”他哭丧着脸说:“不够,不够!”厨师又问:“那我就一天给你吃六个,怎么样?”他马上欣喜地说:“够了!够了!”

    问:这个富家子弟为什么会犯这样的错误?

    分数约分的方法及依据是什么?

    1.提出课题:分式可不可以约分?根据什么?怎样约分?约到何时为止?

    学生分组讨论,最终达成共识.

    2.教师小结:

    (1)约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.

    (2)分式约分的依据:分式的基本性质.

    (3)分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.

    (4)最简分式的概念:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式.

    3.例题与练习:

    例1约分:

    (1);

    请学生观察思考:①有没有公因式?②公因式是什么?

    解:.

    小结:①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式,所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂,注意系数也要约分.②分子或分母的系数是负数时,一般先把负号提到分式本身的前边.

    (2);

    请学生分析如何约分.

    解:.

    小结:①当分式的分子、分母为多项式时,先要进行因式分解,才能够依据分式的基本性质进行约分.②注意对分子、分母符号的处理.

    (3);

    解:原式.

    (4);

    解:原式

    (5);

    解:原式.

    例2化简求值:

    .其中,.

    分析:约分是实现化简分式的一种手段,通过约分可把分式化成最简,而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件.

    解:原式.

    当,时.

    二、随堂练习

    教材P65练习1、2.

    三、总结、扩展

    1.约分的依据是分式的基本性质.

    2.若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式,则约去分子、分母中相同因式的最低次幂,分子、分母和系数约去它们的最大公约数.

    3.若分式的分子、分母中有多项式,则要先分解因式,再约分.

    四、布置作业

    教材P73中2、3.

    补充思考讨论题:

    1.将下列各式约分:

    (1);(2);

    (3)

    2.已知,则

    五、板书设计

    数学教案-角的平分线的教学方案


    3.9角的平分线

    教学目标

    1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.

    2.理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题.

    3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

    教学重点和难点

    角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.

    性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

    教学过程设计

    一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

    1,复习引入课题.

    (1)提问关于直角三角形全等的判定定理.

    (2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角

    平分线OC.

    2.画图探索角平分线的性质并证明之.

    (1)在图3-86中,让学生在角平分线OC上任取一

    点P,并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段

    PD,PE.

    (2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知识进行证明,得出定理.

    数学教案-有理数的乘法的教学方案


    教学目标

    1.理解有理数乘法的意义,掌握有理数乘法法则中的符号法则和绝对值运算法则,并初步理解有理数乘法法则的合理性;

    2.能根据有理数乘法法则熟练地进行有理数乘法运算,使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则;

    3.三个或三个以上不等于0的有理数相乘时,能正确应用乘法交换律、结合律、分配律简化运算过程;

    4.通过有理数乘法法则及运算律在乘法运算中的运用,培养学生的运算能力;

    5.本节课通过行程问题说明有理数的乘法法则的合理性,让学生感知到数学知识来源于生活,并应用于生活。

    教学建议

    (一)重点、难点分析

    本节的教学重点是能够熟练进行有理数的乘法运算。依据有理数的乘法法则和运算律灵活进行有理数乘法运算是进一步学习除法运算和乘方运算的基础。有理数的乘法运算和加法运算一样,都包括符号判定与绝对值运算两个步骤。因数不包含0的乘法运算中积的符号取决于因数中所含负号的个数。当负号的个数为奇数时,积的符号为负号;当负号的个数为偶数时,积的符号为正数。积的绝对值是各个因数的绝对值的积。运用乘法交换律恰当的结合因数可以简化运算过程。

    本节的难点是对有理数的乘法法则的理解。有理数的乘法法则中的“同号得正,异号得负”只是针对两个因数相乘的情况而言的。乘法法则给出了判定积的符号和积的绝对值的方法。即两个因数符号相同,积的符号是正号;两个因数符号不同,积的符号是负号。积的绝对值是这两个因数的绝对值的积。

    (二)知识结构

    (三)教法建议

    1.有理数乘法法则,实际上是一种规定。行程问题是为了了解这种规定的合理性。

    2.两数相乘时,确定符号的依据是“同号得正,异号得负”.绝对值相乘也就是小学学过的算术乘法.

    3.基础较差的同学,要注意乘法求积的符号法则与加法求和的符号法则的区别。

    4.几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之,如果积为0,那么,至少有一个因数为0.

    5.小学学过的乘法交换律、结合律、分配律对有理数乘法仍适用,需注意的是这里的字母a、b、c既可以是正有理数、0,也可以是负有理数。

    6.如果因数是带分数,一般要将它化为假分数,以便于约分。

    教学设计示例

    有理数的乘法(第一课时)

    教学目标

    1.使学生在了解有理数的乘法意义基础上,理解有理数乘法法则,并初步理解有理数乘法法则的合理性;

    2.通过有理数的乘法运算,培养学生的运算能力;

    3.通过教材给出的行程问题,认识数学来源于实践并反作用于实践。

    教学重点和难点

    重点:依据有理数的乘法法则,熟练进行有理数的乘法运算;

    难点:有理数乘法法则的理解.

    课堂教学过程设计

    一、从学生原有认知结构提出问题

    1.计算(-2)+(-2)+(-2).

    2.有理数包括哪些数?小学学习四则运算是在有理数的什么范围中进行的?(非负数)

    3.有理数加减运算中,关键问题是什么?和小学运算中最主要的不同点是什么?(符号问题)

    4.根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负数加减,运算的关键是确定符号问题,你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么?(负数问题,符号的确定)

    二、师生共同研究有理数乘法法则

    问题1水库的水位每小时上升3厘米,2小时上升了多少厘米?

    解:3×2=6(厘米)①

    答:上升了6厘米.

    问题2水库的水位平均每小时下降3厘米,2小时上升多少厘米?

    解:-3×2=-6(厘米)②

    答:上升-6厘米(即下降6厘米).

    引导学生比较①,②得出:

    把一个因数换成它的相反数,所得的积是原来的积的相反数.

    这是一条很重要的结论,应用此结论,3×(-2)=?(-3)×(-2)=?(学生答)

    把3×(-2)和①式对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积应是原来的积“6”的相反数“-6”,即3×(-2)=-6.

    把(-3)×(-2)和②式对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数“-2”,所得的积应是原来的积“-6”的相反数“6”,即(-3)×(-2)=6.

    此外,(-3)×0=0.

    综合上面各种情况,引导学生自己归纳出有理数乘法的法则:

    两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;

    任何数同0相乘,都得0.

    继而教师强调指出:

    “同号得正”中正数乘以正数得正数就是小学学习的乘法,有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”.

    用有理数乘法法则与小学学习的乘法相比,由于介入了负数,使乘法较小学当然复杂多了,但并不难,关键仍然是乘法的符号法则:“同号得正,异号得负”,符号一旦确定,就归结为小学的乘法了.

    因此,在进行有理数乘法时,需要时时强调:先定符号后定值.

    三、运用举例,变式练习

    例1计算:

    例2某一物体温度每小时上升a度,现在温度是0度.

    (1)t小时后温度是多少?

    (2)当a,t分别是下列各数时的结果:

    ①a=3,t=2;②a=-3,t=2;

    ②a=3,t=-2;④a=-3,t=-2;

    教师引导学生检验一下(2)中各结果是否合乎实际.

    课堂练习

    1.口答:

    (1)6×(-9);(2)(-6)×(-9);(3)(-6)×9;(4)(-6)×1;

    (5)(-6)×(-1);(6)6×(-1);(7)(-6)×0;(8)0×(-6);

    2.口答:

    (1)1×(-5);(2)(-1)×(-5);(3)+(-5);

    (4)-(-5);(5)1×a;(6)(-1)×a.

    这一组题做完后让学生自己总结:一个数乘以1都等于它本身;一个数乘以-1都等于它的相反数.+(-5)可以看成是1×(-5),-(-5)可以看成是(-1)×(-5).同时教师强调指出,a可以是正数,也可以是负数或0;-a未必是负数,也可以是正数或0.

    3.当a,b是下列各数值时,填写空格中计算的积与和:

    4.填空:

    (1)1×(-6)=______;(2)1+(-6)=_______;

    (3)(-1)×6=________;(4)(-1)+6=______;

    (5)(-1)×(-6)=______;(6)(-1)+(-6)=_____;

    (9)|-7|×|-3|=_______;(10)(-7)×(-3)=______.

    5.判断下列方程的解是正数还是负数或0:

    (1)4x=-16;(2)-3x=18;(3)-9x=-36;(4)-5x=0.

    四、小结

    今天主要学习了有理数乘法法则,大家要牢记,两个负数相乘得正数,简单地说:“负负得正”.

    五、作业

    1.计算:

    (1)(-16)×15;(2)(-9)×(-14);(3)(-36)×(-1);

    (4)100×(-0.001);(5)-4.8×(-1.25);(6)-4.5×(-0.32).

    2.计算:

    3.填空(用“>”或“<”号连接):

    (1)如果a<0,b<0,那么ab________0;

    (2)如果a<0,b<0,那么ab_______0;

    (3)如果a>0时,那么a____________2a;

    (4)如果a<0时,那么a__________2a.

    探究活动

    问题:桌上放7只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中的4只,能否经过若干次翻转,把它们翻成杯口全部朝下?

    答案:“±1”将告诉你:不管你翻转多少次,总是无法使这7只杯口全部朝下.道理很简单,用“+1”表示杯口朝上,“-1”表示杯口朝下,问题就变成:“把7个+1每次改变其中4个的符号,若干次后能否都变成-1?”考虑这7个数的乘积,由于每次都改变4个数的符号,所以它们的乘积永远不变(为+1).而7个杯口全部朝下时,7个数的乘积等于-1,这是不可能的.

    道理竟是如此简单,证明竟是如此巧妙,这要归功于“±1”语言.

    数学教案-分式的加减法的教学方案


    教学目标:

    (1)理解通分的意义,理解最简公分母的意义;

    (2)掌握分式的通分法则,能熟练掌握通分运算。

    教学重点:分式通分的理解和掌握。

    教学难点:分式通分中最简公分母的确定。

    教学工具:投影仪

    教学方法:启发式、讨论式

    教学过程:

    (一)引入

    (1)如何计算:

    由此让学生复习分数通分的意义、通分的根据、通分的法则以及最简公分母的概念。

    (2)如何计算:

    (3)何计算:

    引导学生思考,猜想如何求解?

    (二)新课

    1、类比分数的通分得到分式的通分:

    把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

    注意:通分保证(1)各分式与原分式相等;(2)各分式分母相等。

    2.通分的依据:分式的基本性质.

    3.通分的关键:确定几个分式的最简公分母.

    通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母,这样的公分母叫做最简公分母.

    根据分式通分和最简公分母的定义,将分式,,通分:

    最简公分母为:,然后根据分式的基本性质,分别对原来的各分式的分子和分母乘一个适当的整式,使各分式的分母都化为。通分如下:

    通过本例使学生对于分式的通分大致过程和思路有所了解。让学生归纳通分的思路过程。

    例1通分:

    (1),,;

    分析:让学生找分式的公分母,可设问“分母的系数各不相同如何解决?”,依据分数的通分找最小公倍数。

    解:∵最简公分母是12xy2,

    小结:各分母的系数都是整数时,通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

    解:∵最简公分母是10a2b2c2,

    由学生归纳最简公分母的思路。

    分式通分中求最简公分母概括为:(1)取各分母系数的最小公倍数;(2)凡出现的字母为底的幂的因式都要取;(3)相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。

    例2通分:

    设问:对于分母为多项式的分式通分如何找最简公分母?

    前面讲的是单项式,对于多项式首先应该对多项式因式分解,确定各分母所含的因子然后再确定最简公分母。

    解:∵最简公分母是2x(x+1)(x-1),

    小结:当分母是多项式时,应先分解因式.

    解:

    将分母分解因式:x2-4=(x+2)(x-2).4-2x=-2(x-2).

    ∴最简公分母为2(x+2)(x-2).

    由学生归纳一般分式通分:

    通分的关键是确定几个分式的最简公分母,其步骤如下:

    1.将各个分式的分母分解因式;

    2.取各分母系数的最小公倍数;

    3.凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取;

    4.相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的;

    5.将上述取得的式子都乘起来,就得到了最简公分母;

    6.原来各分式的分子和分母同乘一个适当的整式,使各分式的分母都化为最简公分母。

    练习:教材P.79中1、2、3.

    (三)课堂小结

    1.通分与约分虽都是针对分式而言,但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言,而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简,而通分是把分式化繁,从而把各分式的分母统一起来.

    2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形,其共同点是保持分式的值不变.

    3.一般地,通分结果中,分母不展开而写成连乘积的形式,分子则乘出来写成多项式,为进一步运算作准备.

    六、作业

    教材P.85中1、2.

    七、板书设计

    数学教案-平行线的特征的教学方案


    课题:平行线的特征

    1、经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。

    2、经历探索平行线特征的过程,掌握平行线的特征,并能解决一些问题。

    教材设置了一个通过测量探索平行线特征的活动,在活动中,鼓励学生充分交流,运用多种方法进行探索,尽可能地发现有关事实,并能应用平行线的性质解决一些问题,运用自己的语言说明理由,使学生的推理能力和语言表达能力得到提高。

    平行线的特征的探索

    运用平行线的特征进行有条理的分析、表达

    为学生提供充足的探索与交流的时间和空间,重视学生在实际操作以及在操作过程中的思考,使学生的空间观念、推理能力得到培养。

    一、巩固旧知,问题引入。

    巩固平行线的判定方法,并引导学生分析平行线的判定是由一些角的关系得出平行的结论

    在学生分析的基础上,提出若交换判定中的条件与结论,能否由“两直线平行”得出“同位角相等”等一些角的关系,从而引入课题。

    二、实验验证,探索特征。

    1、教室的窗户的横格是平行的,请看老师用三角尺去检验一对同位角,看看结果怎样?(教师用三角尺在窗户上演示,学生观察并思考)

    2、学生实验(发印好平行线的纸单)

    (1)已知,a//b,任意画一条直线c与平行线a、b相交。

    (2)任选一对同位角,用适当的方法实验,看看这一对同位角有什么关系

    (要求学生多画几条截线试试,鼓励学生用多种方法进行探索)

    3、实验结论:

    两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。

    简记为“两直线平行,同位角相等”

    识记该性质,并讨论在这个特征中,已知的是什么,结论是什么?它与前面学过的“同位角相等,两直线平行”有什么不同?

    4、问题讨论:

    我们知道两条平行线被第三条直线所截,不但形成有同位角,还有内错角、同旁内角。我们已经知道“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”。那么请同学们想一想:两条平行线被第三条直线所截,内错角、同旁内角有什么关系呢

    如图,已知直线a//b,思考∠1与∠2、∠2与∠3之间有什么关系?为什么?

    (小组讨论,给予充足的时间交流,可引导学生

    与同位角进行比较,从而得出结论,关注学生在

    此能否积极地、有条理地思考)

    结论:“两直线平行,内错角相等”

    “两直线平行,同旁内角互补”

    5、归纳平行线的三个性质及三个判定

    三个性质:

    三个判定:

    三、例题学习,实践运用。

    (一)找找看:

    如图所示,AB∥CD,AC∥BD,分别找出与∠1相等或互补的角。

    (学生可通过讨论交流找到所有的答案,

    并标注在图中)

    如图,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2,∠3=∠4,

    (1)∠1、∠3的大小有什么关系?∠2与∠4呢?

    (2)反射光线BC与EF也平行吗?

    (1)AB∥CD→∠1=∠3→∠2=∠4

    (2)∠2=∠4→BC∥EF

    如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片,工作人员从玉片上已经量得∠A=115°,∠D=100°。已知梯形的两底AD//BC,请你求出另外两个角的度数。

    数学教案-圆扇形弓形的面积的教学方案


    圆、扇形、弓形的面积(一)

    教学目标:

    1、掌握扇形面积公式的推导过程,初步运用扇形面积公式进行一些有关计算;

    2、通过扇形面积公式的推导,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力;

    3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中,渗透“从特殊到一般,再由一般到特殊”的辩证思想.

    教学重点:扇形面积公式的导出及应用.

    教学难点:对图形的分析.

    教学活动设计:

    (一)复习(圆面积)

    已知⊙O半径为R,⊙O的面积S是多少?

    S=πR2

    我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积,如图中阴影图形的面积.为了更好研究这样的图形引出一个概念.

    扇形:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.

    提出新问题:已知⊙O半径为R,求圆心角n°的扇形的面积.

    (二)迁移方法、探究新问题、归纳结论

    1、迁移方法

    教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤:

    (1)圆周长C=2πR;

    (2)1°圆心角所对弧长=;

    (3)n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍;

    (4)n°圆心角所对弧长=.

    归纳结论:若设⊙O半径为R,n°圆心角所对弧长l,则(弧长公式)

    2、探究新问题

    教师组织学生对比研究:

    (1)圆面积S=πR2;

    (2)圆心角为1°的扇形的面积=;

    (3)圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍;

    (4)圆心角为n°的扇形的面积=.

    归纳结论:若设⊙O半径为R,圆心角为n°的扇形的面积S扇形,则

    S扇形=(扇形面积公式)

    (三)理解公式

    教师引导学生理解:

    (1)在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时,要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的;

    (2)公式可以理解记忆(即按照上面推导过程记忆);

    提出问题:扇形的面积公式与弧长公式有联系吗?(教师组织学生探讨)

    S扇形=lR

    想一想:这个公式与什么公式类似?(教师引导学生进行,或小组协作研究)

    与三角形的面积公式类似,只要把扇形看成一个曲边三角形,把弧长l看作底,R看作高就行了.这样对比,帮助学生记忆公式.实际上,把扇形的弧分得越来越小,作经过各分点的半径,并顺次连结各分点,得到越来越多的小三角形,那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让学生在理解的基础上记住公式.

    (四)应用

    练习:1、已知扇形的圆心角为120°,半径为2,则这个扇形的面积,S扇=____.

    2、已知扇形面积为,圆心角为120°,则这个扇形的半径R=____.

    3、已知半径为2的扇形,面积为,则它的圆心角的度数=____.

    4、已知半径为2cm的扇形,其弧长为,则这个扇形的面积,S扇=____.

    5、已知半径为2的扇形,面积为,则这个扇形的弧长=____.

    (,2,120°,,)

    例1、已知正三角形的边长为a,求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.

    学生独立完成,对基础较差的学生教师指导

    (1)怎样求圆环的面积?

    (2)如果设外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,R、r与已知边长a有什么联系?

    解:设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R,r,面积为S1、S2.

    S=.

    ∵,∴S=.

    说明:要注意整体代入.

    对于教材中的例2,可以采用典型例题中第4题,充分让学生探究.

    课堂练习:教材P181练习中2、4题.

    (五)总结

    知识:扇形及扇形面积公式S扇形=,S扇形=lR.

    方法能力:迁移能力,对比方法;计算能力的培养.

    (六)作业教材P181练习1、3;P187中10.

    圆、扇形、弓形的面积(二)

    教学目标:

    1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上,会计算弓形面积;

    2、培养学生观察、理解能力,综合运用知识分析问题和解决问题的能力;

    3、通过面积问题实际应用题的解决,向学生渗透理论联系实际的观点.

    教学重点:扇形面积公式的导出及应用.

    教学难点:对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.

    教学活动设计:

    (一)概念与认识

    弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

    弦AB把圆分成两部分,这两部分都是弓形.弓形是一个最简单的组合图形之一.

    (二)弓形的面积

    提出问题:怎样求弓形的面积呢?

    学生以小组的形式研究,交流归纳出结论:

    (1)当弓形的弧小于半圆时,弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差;

    (2)当弓形的弧大于半圆时,它的面积等于扇形面积与三角的面积的和;

    (3)当弓形弧是半圆时,它的面积是圆面积的一半.

    理解:如果组成弓形的弧是半圆,则此弓形面积是圆面积的一半;如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积;如果组成弓形的弧是优弧,则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说:要计算弓形的面积,首先观察它的弧属于半圆?劣弧?优弧?只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.

    (三)应用与反思

    练习:

    (1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°,弓形的弦长为a,那么这个弓形的面积等于_______;

    (2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°,弓形的弦长为a,那么这个弓形的面积等于_______.

    (学生独立完成,巩固新知识)

    例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m,其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)

    教师引导学生并渗透数学建模思想,分析:

    (1)“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息?

    (2)求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息?

    (3)扇形、三角形、弓形是什么关系,选择什么公式计算?

    学生完成解题过程,并归纳三角形OAB的面积的求解方法.

    反思:①要注重题目的信息,处理信息;②归纳三角形OAB的面积的求解方法,根据条件特征,灵活应用公式;③弓形的面积可以选用图形分解法,将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.

    例4、已知:⊙O的半径为R,直径AB⊥CD,以B为圆心,以BC为半径作.求与围成的新月牙形ACED的面积S.

    解:∵,

    有∵,

    ,,

    ∴.

    组织学生反思解题方法:图形的分解与组合;公式的灵活应用.

    (四)总结

    1、弓形面积的计算:首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧,从而选择分解方案;

    2、应用弓形面积解决实际问题;

    3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差.

    (五)作业教材P183练习2;P188中12.

    圆、扇形、弓形的面积(三)

    教学目标:

    1、掌握简单组合图形分解和面积的求法;

    2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力;

    3、渗透图形的外在美和内在关系.

    教学重点:简单组合图形的分解.

    教学难点:对图形的分解和组合.

    教学活动设计:

    (一)知识回顾

    复习提问:1、圆面积公式是什么?2、扇形面积公式是什么?如何选择公式?3、当弓形的弧是半圆时,其面积等于什么?4、当弓形的弧是劣弧时,其面积怎样求?5、当弓形的弧是优弧时,其面积怎样求?

    (二)简单图形的分解和组合

    1、图形的组合

    让学生认识图形,并体验图形的外在美,激发学生的研究兴趣,促进学生的创造力.

    2、提出问题:正方形的边长为a,以各边为直径,在正方形内画半圆,求所围成的图形(阴影部分)的面积.

    以小组的形式协作研究,班内交流思想和方法,教师组织.给学生发展思维的空间,充分发挥学生的主体作用.

    归纳交流结论:

    方案1.S阴=S正方形-4S空白.

    方案2、S阴=4S瓣=4(S半圆-S△AOB)

    =2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD

    方案3、S阴=4S瓣=4(S半圆-S正方形AEOF)

    =2S圆-4S正方形AEOF=2S圆-S正方形ABCD

    方案4、S阴=4S半圆-S正方形ABCD

    ……………

    反思:①对图形的分解不同,解题的难易程度不同,解题中要认真观察图形,追求最美的解法;②图形的美也存在着内在的规律.

    练习1:如图,圆的半径为r,分别以圆周上三个等分点为圆心,以r为半径画圆弧,则阴影部分面积是多少?

    分析:连结OA,阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.

    解:连结AO,设P为其中一个三等分点,

    连结PA、PO,则△POA是等边三角形.

    说明:①图形的分解与重新组合是重要方法;②本题还可以用下面方法求:若连结AB,用六个弓形APB的面积减去⊙O面积,也可得到阴影部分的面积.

    练习2:教材P185练习第1题

    例5、已知⊙O的半径为R.

    (1)求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径(2R)的比值;

    (2)求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).

    例5的计算量较大,老师引导学生完成.并进一步巩固正多边形的计算知识,提高学生的计算能力.

    说明:从例5(1)可以看出:正多边形的周长与它的外接圆直径的比值,与直径的大小无关.实际上,古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数,使正多边形的周长趋近于圆的周长,从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出,增加圆内接正多边形的边数,可使它的面积趋近于圆的面积

    (三)总结

    1、简单组合图形的分解;

    2、进一步巩固了正多边形的计算以,巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.

    3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.

    (四)作业教材P185练习2、3;P187中8、11.

    探究活动

    四瓣花形

    在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心,以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形,如图(1)所示.

    再分别以四边中点为圆心,以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”,如图(12)所示.

    探讨:(1)两图中的圆弧均被互分为三等份.

    (2)两朵“花”是相似图形.

    (3)试求两“花”面积

    提示:分析与解(1)如图21所示,连结PD、PC,由PD=PC=DC知,∠PDC=60°.

    从而,∠ADP=30°.

    同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°,即,P、Q是AC弧的三等分点.

    由对称性知,四段弧均被三等分.

    如果证明了结论(2),则图(12)也得相同结论.

    (2)如图(22)所示,连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影.显然两“花”是相似图形;其相似比是AB﹕EF=﹕1.

    (3)花形的面积为:,.

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