不等式它的基本性质

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．

（二）能力训练点

培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．

（三）德育渗透点

培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．

（四）美育渗透点

通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操。

二、学法引导

1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．

2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点

掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

（二）难点

正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．

（三）疑点

弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．

（四）解决办法

讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．

四、课时安排

一课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．

2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．

3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．

（二）整体感知

通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．

（三）教学过程

1．创设情境，复习引入

什么是等式？等式的基本性质是什么？

学生活动：独立思考，指名回答．

教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．

请同学们继续观察习题：

（1）用“＞”或“＜”填空．

①7＋3____4＋3②7＋（－3）____4＋（－3）

③7×3____4×3④7×（－3）____4×（－3）

（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？

学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．

【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．

不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．

学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．

教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”

师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．

不等式基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？

学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．

【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？

师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．

不等式基本性质2不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

不等式基本性质3不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．

学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．

强调：要特别注意不等式基本性质3．

实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．

不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？

学生活动：思考、同桌讨论．

归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．

①若，则，；

②若，且，则，；

③若，且，则，．

师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．

注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．

2．尝试反馈，巩固知识

请学生先根据自己的理解，解答下面习题．

例1根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．

（1）（2）（3）（4）

学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．

教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．

解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．

所以

（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得

（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得

（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得

【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．

例2设，用“＜”或“＞”填空．

（1）（2）（3）

学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．

解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得

（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得

（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得

教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．

注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．

【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．

3．变式训练，培养能力

（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）

①∵∴（）②∵∴（）

③∵∴（）④∵∴（）

⑤∵∴⑥∵∴（）

学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．

答案：

①（A）②（B）

③（C）④（C）

⑤（C）⑥（A）

【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．

（2）单项选择：

①由得到的条件是（）

A．B．C．D．

②由由得到的条件是（）

A．B．C．D．

③由得到的条件是（）

A．B．C．D．是任意有理数

④若，则下列各式中错误的是（）

A．B．C．D．

师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．

答案：①A②D③C④D

（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”

①∵∴()②∵∴()

③∵∴()④若，则∴，()

学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．

答案：①√②×③√④×

【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．

（四）总结、扩展

1．本节重点：

（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．

（2）能正确应用性质对不等式进行变形．

2．注意事项：

（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．

（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．

3．考点剖析：

不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．

八、布置作业

（一）必做题：P61A组4，5．

（二）选做题：P62B组1，2，3．

参考答案

（一）4．（1）（2）（3）（4）

5．（1）（2）（3）（4）

（5）（6）

（二）1．（1）（2）（3）

2．（1）（2）（3）（4）

3．（1）（2）（3）

九、板书设计

6.1不等式和它的基本性质（二）

一、不等式的基本性质

1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

若，则，．

2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．

3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．

二、应用

例1解（1）（2）

（3）（4）

例2解（1）（2）

（3）

三、小结

注意不等式性质3的应用．

十、背景知识与课外阅读

盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？

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数学教案－不等式它的基本性质的教学方案

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节教学的重点是不等式的三条基本性质．难点是不等式的基本性质3．掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式（组）的解法等后续知识的基础．

1．不等式的概念

用不等号（“＜”、“＞”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式．

另外，（“≥”是把“＞”、“＝”）结合起来，读作“大于或等于”，或记作“≮”，亦即“不小于”）、（“≤”是把“＜”、“＝”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式．

2．当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时，所得结果仍是不等式．但变形所得的不等式中不等号的方向，有的与原不等式中不等号的方向相同，有的则不相同．因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”，而应明确变形所得的不等式中不等号的方向．

3．不等式成立与不等式不成立的意义

例如：在不等式中，字母表示未知数．当取某一数值时，的值小于2，我们就说当时，不等式成立；当取另外某一个数值时，的值不小于2，我们就说当时，不等式不成立．

4．不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质1、2类似等式性质，不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意．

一、素质教育目标

（－）知识教学点

1．了解不等式的意义．

2．理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法．

3．能依题意准确迅速地列出相应的不等式．

（二）能力训练点

1．培养学生运用类比方法研究相关内容的能力．

2．训练学生运用所学知识解决实际问题的能力．

（三）德育渗透点

通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识．

（四）美育渗透点

通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：观察法、引导发现法、讨论法．

2．学生学法：只有准确理解不等号的几种形式的意义，才能在实际中进行灵活的运用．

三、重点难点疑点及解决办法

（一）重点

掌握不等式是否成立的判定方法；依题意列出正确的不等式．

（二）难点

依题意列出正确的不等式

（三）疑点

如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号．

（四）解决方法

在正确理解不等号的意义后，通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．创设情境，通过复习有关等式的知识，自然导入新课的学习，激发学生的学习热情．

2．从演示的有关实验中，探究相应的不等量关系，从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式．

3．从师生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识，并培养学生具有一定的灵活应用能力．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式．

（二）整体感知

通过复习等式创设情境，自然过渡到不等式的学习过程中，又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系，从而列出正确的不等式．

（三）教学过程

1．创设情境，复习导入

我们已经学过等式和它的基本性质，请同学们观察下面习题，思考并回答：

（1）什么是等式？等式中“＝”两侧的代数式能否交换？“＝”是否具有方向性？

（2）已知数值：－5，，3，0，2，7，判断：上述数值哪些使等式成立？哪些使等式不成立？

学生活动：首先自己思考，然后指名回答．

教师释疑：①“＝”表示相等关系，它没有方向性，等号两例可以相互交换，有时不交换只是因为书写习惯，例如方程的解．

②判断数取何值，等式成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程的解，因为等式为一元一次方程，它只有惟一解，所以等式只有在时成立，此外，均不成立．

【教法说明】设置上述习题，目的是使学生温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．

2．探索新知，讲授新课

不等式和等式既有联系，又有区别，大家在学习时要自觉进行对比，请观察演示实验并回答：演示说明什么问题？

师生活动：教师演示课本第54页天平称物重的两个实例（同时指出演示中物重为克，每个砝码重量均为1克），学生观察实验，思考后回答：演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等．

【教法说明】结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识，能激发学生的学习兴趣．

在实际生活中，像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的，这种关系需用不等式来表示．那么什么是不等式呢？请看：

，，

，，

提问：（l）上述式子中有哪些表示数量关系的符号？（2）这些符号表示什么关系？（3）这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗？（4）什么叫不等式？

学生活动：观察式予，思考并回答问题．

答案：（1）分别使用“＜”“＞”“≠”．（2）表示不等关系．（3）不可以随意互换位置．（4）用不等号表示不等关系的式子叫不等式．

不等号除了“＜”“＞”“≠”之外，还有无其他形式？

学生活动：同桌讨论，尝试得到结论．

教师释疑：①不等号除“＜”“＞”“≠”外，还有“≥”“≤”两种形式（“≥”是指“＞”与“＝”结合起来，读作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”读作“小于或等于”，也可理解成“不大于”．）现在，我们来研究用“＞”“＜”表示的不等式．

②不等号“＞”“＜”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互交换，例如，不能写成．

【教法说明】①通过学生自己观察思考，进而猜测出不等式的意义，这种教法充分发挥了学生的主体作用．

②通过教师释疑，学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解．

3．尝试反馈，巩固知识

同类量之间的大小关系常用“＞”“＜”来表示，请同学们根据自己对不等式的理解，解答习题．

（1）用“＜”或“＞”境空．（抢答）

①4___－6；②－1____0③－8___－3；④－4.5___－4．

（2）用不等式表示：

①是正数；②是负数；③与3的和小于6；④与2的差大于－1；⑤的4倍大于等于7；⑥的一半小于3．

（3）学生独立完成课本第55页例1．

注意：不是所有同类量都可以比较大小，例如不在同一直线上的两个力，它们只有等与不等关系，而无大小关系，这一点无需向学生说明．

学生活动：第（l）题抢答；第（2）题在练习本上完成，由两个学生板演，完成之后，由学生判断板演是否正确

教师活动：巡视辅导，统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励．

【教法说明】①第（1）题是为了调动积极性，强化竞争意识；第（2）题则是为了训练学生书面表述能力．

②教学时要注意引导学生将题目中表示不等关系的词语翻译成相应的不等号，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示．

下面研究什么使不等式成立，请同学们尝试解答习题：

已知数值；－5，，3，0，2，－2.5，5.2；

（1）判断：上述数值哪些使不等式成立？哪些使不成立？

（2）说出几个使不等式成立的的数值；说出几个使不成立的数值．

学生活动：同桌研究讨论，尝试得到答案．

教师活动：引导学生回答，使未知数的取值不仅有正整数，还有负数、零、小数．

师生总结：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等号两侧数值的大小关系与不等另一致，称不等式成立；否则不成立．例如对于；当时，的值小于6，就说时不等式成立；当时，的值不小于6，就说时，不成立．

【教法说明】通过学生自己举例，培养他们运用已有的知识探索新知识的意识，同时也活跃了课堂气氛．

4．变式训练，培养能力

（1）当取下列数值时，不等式是否成立？

－7，0，0.5，1，，10

（2）①用不等式表示：与3的和小于等于（不大于）6；

②写出使上述不等式成立的几个的数值；

③取何值时，不等式总成立？取何值时不成立？

学生在练习本上完成1题，2题，同桌订正；教师抽查，强调注意事项．

【教法说明】

①使学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个，为6.2讲解不等式的解集做准备．

②强化思维能力和归纳总结能力．

（四）总结、扩展

学生小结，师生共同完善：

本节课的重点内容：1．掌握不等式是否成立的判断方法；2．依题意列出正确的不等式．

注意：列不等式时，要注意把表示不等关系的词语用相庆的不等号来表示．例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，这一点学生容易出现错误．

八、布置作业

（一）必做题：P61A组1，2，3．

（二）选做题：

1．单项选择

（1）绝对值小于3的非负整数有（）

A．1，2B．0，1C．0，1，2D．0，1，3

（2）下列选项中，正确的是（）

A．不是负数，则

B．是大于0的数，则

C．不小于－1，则

D．是负数，则

2．依题意列不等式

（1）的3倍与7的差是非正数

（2）与6的和大于9且小于12

（3）A市某天的最低气温是－5℃，最高气温是10℃，设这天气温为℃，则满足的条件是____________________．

【设计说明】1．再现本节重点，巩固所学知识．

2．有层次性地布置作业，可以调动全体学生的学习积极性，这也是实施素质教育的具体体现．

参考答案

1．＜，＜，＞，＞，＜，＜

2．5.2，6，8.3，11是的解，－10，－7，－4.5，0，3不是解

3．（1）（2）（3）（4）

（二）1．（1）C（2）D

2．（1）（2）（3）

九、板书设计

6.1不等式和它的基本性质（一）

一、什么叫不等式？

用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子叫不等式．

重点研究“＞”“＜”

二、依题意列不等式

“大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”；

三、不等式能否成立

时，（√）；时，（×）；

时，（×）

四、归纳总结重点

（一）依题意列不等式．

（二）会判断不等式是否成立．

十、背景知识与课外阅读

费马数

费马（P．deFermat）是17世纪法国著名数学家，是法国南部土鲁斯议会的议员，他在数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献．他无意发表自己的著作，平生没有完整的著作问世．去世后，人们才把他写在书页空白处和给朋友的书信中，以及一些陈旧手稿中的论述收集汇编成书．费马特别爱好数论，在这方面有好几项成就，如费马数、费马小定理、费马大定理等．

费马于1640年前后，在验算了形如

的数当的值分别为

3，5，17，257，65537

后（请注意这些数均为质数）便宣称：对于为任何自然数，是质数．

大约过了100年，1732年数学家欧拉（L．Euler）指出

．

从而否定了费马的上述结论（猜想）．

尔后，人们又对进行了大量研究，发现在中，除了上述五个质数外，人们尚未再发现新的质数．

虽然费马的这个猜想是错误的，但为了纪念这位数学家，人们仍把这种形式的数叫做费马数．

数学教案－不等式它的基本性质初中教案精选

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．

（二）能力训练点

培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．

（三）德育渗透点

培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．

（四）美育渗透点

通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操。

二、学法引导

1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．

2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．

三、重点难点疑点及解决办法

（一）重点

掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．

（二）难点

正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．

（三）疑点

弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．

（四）解决办法

讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．

四、课时安排

一课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．

2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．

3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．

（二）整体感知

通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．

（三）教学过程

1．创设情境，复习引入

什么是等式？等式的基本性质是什么？

学生活动：独立思考，指名回答．

教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．

请同学们继续观察习题：

（1）用“＞”或“＜”填空．

①7＋3____4＋3②7＋（－3）____4＋（－3）

③7×3____4×3④7×（－3）____4×（－3）

（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？

学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．

【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．

不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．

学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．

教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”

师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．

不等式基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？

学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．

【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？

师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．

不等式基本性质2不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

不等式基本性质3不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．

学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．

强调：要特别注意不等式基本性质3．

实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．

不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？

学生活动：思考、同桌讨论．

归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．

①若，则，；

②若，且，则，；

③若，且，则，．

师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．

注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．

2．尝试反馈，巩固知识

请学生先根据自己的理解，解答下面习题．

例1根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．

（1）（2）（3）（4）

学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．

教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．

解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．

所以

（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得

（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得

（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得

【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．

例2设，用“＜”或“＞”填空．

（1）（2）（3）

学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．

解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得

（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得

（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得

教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．

注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．

【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．

3．变式训练，培养能力

（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）

①∵∴（）②∵∴（）

③∵∴（）④∵∴（）

⑤∵∴⑥∵∴（）

学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．

答案：

①（A）②（B）

③（C）④（C）

⑤（C）⑥（A）

【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．

（2）单项选择：

①由得到的条件是（）

A．B．C．D．

②由由得到的条件是（）

A．B．C．D．

③由得到的条件是（）

A．B．C．D．是任意有理数

④若，则下列各式中错误的是（）

A．B．C．D．

师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．

答案：①A②D③C④D

（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”

①∵∴()②∵∴()

③∵∴()④若，则∴，()

学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．

答案：①√②×③√④×

【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．

（四）总结、扩展

1．本节重点：

（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．

（2）能正确应用性质对不等式进行变形．

2．注意事项：

（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．

（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．

3．考点剖析：

不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．

八、布置作业

（一）必做题：P61A组4，5．

（二）选做题：P62B组1，2，3．

参考答案

（一）4．（1）（2）（3）（4）

5．（1）（2）（3）（4）

（5）（6）

（二）1．（1）（2）（3）

2．（1）（2）（3）（4）

3．（1）（2）（3）

九、板书设计

6.1不等式和它的基本性质（二）

一、不等式的基本性质

1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

若，则，．

2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．

3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．

二、应用

例1解（1）（2）

（3）（4）

例2解（1）（2）

（3）

三、小结

注意不等式性质3的应用．

十、背景知识与课外阅读

盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？

3.4等式的基本性质的教学方案

一、教学目标

1、知识目标：

（1）通过天平实验让学生探索等式具有的性质并予以归纳。

（2）能利用等式的性质解一元一次方程。

2、能力目标：通过实验培养学生探索能力、观察能力、归纳能力和应用新知的能力

。3、情感目标：通过实验操作增强合作交流的意识。

二、教材分析：

1、地位与作用：在掌握了一元一次方程的概念及其初步应用后，需要解决的是一元一次方程的解法，借助于等式的性质来解一元一次方程。为下几节的学习铺平道路.首先通过天平的实验操作,使学生学会观察、尝试分析、归纳等式的性质。然后，利用等式的基本性质解一元一次方程。通过解方程的学习提高了学生观察问题、解决问题的能力.

2、重点：利用等式的性质解方程。

3、难点：对等式的性质的理解及应用。

三、教学准备：天平，砝码．

四、教学过程：

动（一）：温故知新：实验一：天平一边放重３００克的一本书，另一边放５０克的砝码多少各个才能使天平保持平衡？准备天平，让学生边做边观察边思考

活动（二）：提出问题、解决问题：问题一：你能解决这个问题吗？在天平平衡后，两边分别同时放上两个砝码，天平还能保持平衡吗？试一试。问题二：如果把天平看成等式，你能得到什么规律，试一试用文字语言叙述后再用字母表示先合作、交流，后找多名学生归纳规律，在学生都理解后教师出示：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。设x=y,则：x+c=y+cx-c=y-c(c为一个代数式)问题三：如果天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平还保持平衡吗？你能得到什么规律？并用字母表示。小组进行实验，总结规律。等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。设x=y,则：cx=cyx/c=y/c(c为一个不为零的数)

活动（三）拓展运用：例1解下列方程：（1）x+2=5（2）3=x-5第一题教师领学生完成，给出解方程的完整步骤，逐步培养学生推理能力。第二题学生口答，教师板书，锻炼学生组织语言能力。例2解下列方程：（1）-3x=15（2）-n/3-2=10学生独立完成（两生黑板练习），后两生给与评价。

活动（四）：议一议：通过对以上两个方程的求解，请你思考一下，用什么方法可以知道你的解对不对？合作交流并回答

活动（五）：练一练：课本随堂练习。

活动（六）：小结反思：通过上面的学习，你有什么收获？另外你有什么感触？活动（七）：布置作业：必做题推荐作业：

分式的基本性质

第一课时

（一）教学过程

【复习提问】

1．分式的定义？

2．分数的基本性质？有什么用途？

【新课】

1．类比分数的基本性质，由学生小结出：

分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：

，

（其中是不等于零的整式．）

2．加深对分式基本性质的理解：

例1下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）；

由学生口述分析，并反问：为什么？

解：∵

∴．

（2）；

学生口答，教师设疑：为什么题目未给的条件？（引导学生学会分析题目中的隐含条件．）

解：∵

∴．

（3）

学生口答．

解：∵，

∴．

例2填空：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．

例3不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．

（1）；

分析学生讨论：①怎样才能不改变公式的值？②怎样把分子分母中各项系数都化为整数？

解：．

（2）．

解：．

例4判断取何值时，等式成立？

学生分组讨论后得出结果：

∴．

（二）随堂练习

1．当为何值时，与的值相等（）

A．B．C．D．

2．若分式有意义，则，满足条件为（）

A．B．C．D．以上答案都不对

3．下列各式不正确的是（）

A．B．

C．D．

4．若把分式的和都扩大两倍，则分式的值

A．扩大两倍B．不变

C．缩小两倍D．缩小四倍

（三）总结、扩展

1．．

2．性质中的可代表任何非零整式．

3．注意挖掘题目中的隐含条件．

4．利用将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．

（四）布置作业

教材P61中2、3；P62中B组的1

（五）板书设计

不等式复习

不等式一章回眸知识梳理1、不等式、不等式组的有关概念（不等式的解和解集、不等式组的解集）；2、不等式的基本性质；3、一元一次不等式、一元一次不等式组的解法及其解集在数轴上的表示和确定。双基训练一、填空题（每题4分，计32分）1、如果a＜b，－3a_____－3b；；a－b_______0.2、如果a＜b＜0，则4a_______4b；|a|________|b|.3、不等式－2x＞－11的正整数解是__________________.4、当x________时，代数式的值是正数5、不等式组的解集是_____________.6、若代数式的值不小于代数式的值，那么x的取值范围是___.7、当a____时，不等式(a－3)x＞1的解集是8、已知x是内整数，满足不等式2x＋3＜5的x应为_______.二、选择题（每题4分，计32分）9、.如果a＜b，那么下列不等式中共有（）个正确的。（1）a－3＜b－3(2)a－b＞b－b(3)a－a＜b－a(4)a＋7＞b－7a．1b．2c．3d．410、如果不等式(a－1)x＞a－1的解集是x＜1，那么a的取值范围（）a.b.a＞1c.a＜1d.a＜011、要使代数式与的和小于，则m的取值范围（）a．不存在b．一切有理数c．d．12、使不等式成立的最小整数解是（）a．0b．－1c．1d．213、如果方程（2－）＝1的解是正数，那么（）a．k＞0b．k＜0c．k＜2d．k＞214、不等式组的解集在数轴上表示为（）15、不等式式组整数解的和是（）a．1b．0c．－1d．－216、满足不等式组的整数m的值是（）a．1个b．2个c．3个d．4个三、解答题17、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：（1）（2）18、解下列不等式组并把解集在数轴上表示出来(1)(2)19、已知关于x的不等式2x－a＞2与不等式3x＞4的解集相同，求a的值.20、求同时满足不等式的整数解21、某校住校生若干人，住若干间宿舍，，若每间住4人，则余20人无宿舍若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数。22、解关于x的不等式组能力训练一、填空题（每题4分，计32分）1、若a＞－a，则a________；若|a|＞a，则a______________.2、如果1＜x＜2，则(x－1)(x－2)______0；若x＜1或x＞2，则(x－1)(x－2)____.3、若a＋b＞b，a－b＞a，则a_________b.9－104、不等式mx－2＜3x＋4的解集是，则m的取值范围是____.5、若a＞0，b＜0，c＜0，则|ab|－c______0.6、已知x＝3是方程的解，那么不等式的解集是______7、若不等式组的解集为，那么的值等于（2001重庆）8、不等组的非负整数解是____________。二、选择题（每题4分，计32分）9、如果a＞b＞0，那么下列结论正确的是（）a.ac＞bcb.c.b2＞abd.a－b＞b10、若2－3a是正数，那么不等式的解集是（）a．b．c．d．11、如果(m－1)x＜m－1的解集是，那么m满足（）a.m＜－1b.m＞－1c.m＜1d.m＞112、如果代数式的值不大于1，则下列结论中正确的是（）a．b．x＜4c．d．13－713、已知实数、同时满足三个条件：①3－2＝4－，②4－3＝2＋，③＞，那么实数的取值范围使（）。a．＞－1b．＜1c．＜－1d．＞12002徐州14、如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）a．m＞8b．c．m＜8d．m815、如果方程组，则a的取值范围是（）a．a＞－3b．－6＜a＜3c．－3＜a＜6d．不同于以上答案16、若m＜n＜0，则不等式组，的解集为（）a．x＞2mb．x＞－2nc．2m，x＜2nd．空集三、解答题17、解不等式14－1818、解关于x的不等式19、设方程组的解满足y＞－1且x＜1，求整数k的值。20．关于x的不等式组的解集为－3＜x＜3，求a，b的值。21、一人10点10分离家去赶11点整的火车，已知他家离车站10千米，他离家后先以3千米/小时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误当次火车？22、某城市平均每天产生垃圾700吨，由于甲、乙两个处理厂处理。已知甲厂每小时可处理55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元。(1)甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需几小时完成？(2)如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？

一元一次不等式组它的解法

教学建议

一、知识结构

本书首先结合实例引入一元一次不等式组的解集的概念，然后通过三个例题说明利用数轴解一元一次不等式组的方法，最后对一元一次不等式组的解法步骤进行了总结．

二、重点、难点分析

本节教学的重点是掌握一元一次不等式组的解法步骤并准确地求出解集．难点是正确应用不等式的基本性质对不等式进行变形、求不等式组中各个不等式解集的公共部分．不等式在中学代数中是研究问题的重要工具，例如求函数的定义域、值域、研究函数的单调性，求最大值、最小值，一元二次方程根的讨论等，都要用到不等式的知识．不等式也是进一步学习其他数学内容的基础．学习和掌握不等式的求解和不等式的证明方法，对培养学生逻辑思维能力也有极其重要的作用．在处理解不等式的问题中，一元一次不等式组的解法，具有特别重要的意义．这是因为，解各类不等式的问题都可以归结为解一些由简单不等式所组成的不等式组．

1.在构成不等式组的几个不等式中

①这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数；②这里的“几个”并未确定不等式的个数，只要不是一个，两个，三个，四个……都行．

2.当几个不等式的解集没有公共部分时，我们就说这个不等式组无解．

3.由两个一元一次不等式组成的不等式的解集，共归结为下面四种基本情况：

【注意】①其中第（4）个不等式组，实质上是矛盾不等式组，任何数都不能使两个不等式同时成立．所以说这个不等式组无解或说其解集为空集．②从上面列出的表中，我们可以概括出来不等式组公共解的一规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找．

三、教法建议

1．解本节的引例及例1、例2、例3时，注意把解不等式组的思路讲清楚，即先分别解每一个不等式，求出解集，再求这些解集的公共部分．求公共部分的过程一定要结合数轴来讲．

2．这节课的讲解自始至终要突出解不等式组的基本思想以及解一元一次不等式组的步骤这两个重点．准确熟练地解一元一次不等式以及用数轴上的点表示不等式的解集是这节课的基础，因此讲新课之前要复习提问这些内容．

3．求公共解集是这节课的新授内容，教师要充分利用数轴表示不等式解集具有形象、直观、易于说明问题这些优点．解集的公共部分教师可用彩笔在数轴的相应部分描画出来，使学生感到醒目，便于理解记忆．

4．每组不等式不要超过三个，关键是使学生理解和掌握解不等式组的基本思想和两个步骤，不宜做过于难、过于多、重复的机械计算．

（一）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．理解一元一次不等式组解集的概念，会利用数轴较简单的一元一次不等式组．

2．掌握一元一次不等式组解集的几种情况．

（二）能力训练点

通过利用数轴解不等式组，培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力．

（三）德育渗透点

通过不等式组解集的求法，培养学生的观察与分析能力，渗透辩证唯物主义的观点．

（四）美育渗透点

用数轴求不等式组的解集，渗透用数学图形解题的直观性、简捷性的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：引导发现法、观察法、归纳总结法．

2．学生学法：学会利用数轴将两个不等式的解集表示出来，并观察出其公共部分，再小结出不等式组的解集．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点

理解一元一次不等式组解集的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．

（二）难点

正确理解一元一次不等式组解集的含义．

（三）疑点

弄清一元一次不等式解集和不等式组的解集的关系，以及对四种不等式组解集的一般形式的理解．

（四）解决办法

加强对不等式组解集含义的理解，并熟练掌握用数轴表示不等式解集，利用观察法、归纳法即可掌握求不等式组解集的办法．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

直尺、铅笔、投影仪或电脑、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师设计提问有关一元一次不等式的定义及其解集的概念，并复习用数轴表示一元一次不等式的解集的方法．

2．教示范一元一次不等式组解集的四种常规图形的表示方法，并引导学生理解记忆它们．

3．通过反复的师生共练，从实践中归纳小结出不等式组解集的规律．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课重点学习用数轴表示不等式组解集的方法，并能熟练地加以应用．

（二）整体感知

要正确表示出不等式组的解集的关键在于学会用数轴表示．若有解，必为其公共部分；若无公共部分，则为无解．并要正确地理解一元一次不等式组解集的规律．

（三）教学过程

1．创设情境，复习引入

（1）什么是一元一次不等式，不等式的解，不等式的解集，解不等式？

（2）已知一个数比2大但比4小，请在数轴上表示数．

学生活动：口答（1）题．板演（2）题，如下图所示：

教师分析：一个数比2大但比4小，说明取值使不等式与都成立，把一元一次不等式与合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，记作在数轴上表示不等式①②的解集

可以看出，使不等式，都成立的值，是所有大于2并且小于4的数（记作），它们是不等式①、②的解集的公共部分，在数轴上表示成：

不等式①、②的解集的公共部分，叫做由不等式①、②组成的一元一次不等式组的解集．

【教法说明】通过学生板演，教师分析，使学生形成对不等式组解集的初步认识，激发了他们应用旧知识探索新知识的热情．

2．探索新知，讲授新课

（1）不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们组成的不等式组的解集．

说明：求不等式组解集的关键是找不等式解集的“公共部分”．若有公共部分，公共部分即为解集；若无公共部分，则不等式组无解．

（2）解不等式组：求不等式组解集的过程叫解不等式组．

请同学们根据自己的理解，解答下列各题．

例1利用数轴判断下列不等式组有无解集？若有解集，请求出．

①②③④

学生活动：学生在练习本上完成，同时指定四个学生板演．板演完成后，由学生判断是否正确．

解：①②

不等式组解集为不等式组解集为

③④

不等式组解集为不等式组无解

【教法说明】教学时，可用彩笔在数轴上描出折线的公共部分，这样可以使学生直观、形象地理解不等式组解集的含义，并掌握解集的表示方法．

3．尝试反馈，巩固知识

利用数轴判断下列不等式组有无解集？如有，请表示出来．

（1）（2）（3）（4）

教学活动：独立完成，同桌互阅，投影出示正确答案．

教师活动：抽查部分学生，纠正错误．

一元一次不等式组中，不等式个数多于两个，解集求法有无变化呢？同学们通过解答下列各题，仔细体会．

利用数轴解下列不等式组：

（1）（2）

（3）（4）

学生活动：分析讨论，尝试得出答案；指名回答，与投影出示的正确解题过程对比．

答案：（1）（2）（3）（4）无解

4．变式训练，培养能力

单项选择：

（1）不等式组的整数解是（）

A．0，1B．0C．1D．

（2）不等式组的负整数解是（）

A．－2，0，－1B．－2C．－2，－1D．不能确定

（3）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

（4）不等式组的解集在数轴上表示正确的为（）

（5）根据图中所示可知不等式组的解集为（）

A．B．C．D．

学生活动：前后桌结组讨论完成，各组以抢答方式说出答案．

参考答案：C，C，D，A，C

【教法说明】设置上述题组旨在训练学生的思维能力；以抢答形式完成则是为了激发学生探索知识的热情．

（四）总结、扩展

不等式组1．图示

折线的公共部分

即为不等式组的解集

【教法说明】学生通过实践尝试得到规律，以此揭示规律存在的一般性、必然性，既训练了学生的归纳总结能力，也充分发挥了主体作用．

注意问题：教学时，每组不等式不要超过三个，关键是使学生理解和掌握解不等式的方法，不宜过于难、过于多，避免重复的机械计算．

八、布置作业

（一）必做题：P781；P79A组1．

（二）选择题：

填空题：

1．不等式组的非负整数解是_______________．

2．若同时满足与，则的取值范围是______________．

3．一元一次不等式组（）的解集为，则与的大小关系为____________．

【教法说明】补充题旨在训练学生的思维能力、应变能力和解题灵活性．

参考答案

略．

九、板书设计

6.4（一）

三、小结

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