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收藏【www.jk251.com - 初中数学教案】
按照学校要求，初中老师都需要用到教案，通过不断的写教案，我们可以提高自己的语言组织能力，写出一份教学方案需要经过精心的准备，初中教案该怎么写？欢迎大家阅读小编为大家收集整理的《数学教案－下学期初中教案精选》。
教学设计示例
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．了解直线、射线和线段等概念的区别．
2．理解射线及其端点、线段及其端点、延长线等概念．
3．掌握射线、线段的表示方法．
（二）能力训练点
对学生继续进行几何语言和识图能力的训练，使学生逐步熟悉几何语句．准确区别直线、射线和线段等几种几何图形．
（三）德育渗透点
通过射线、线段的概念、性质、画法的教学，使学生体验到从实践到理论，以理论指导实践的认识过程，潜移默化地影响学生，形成理论联系实践的思想方法，培养学生勤于动脑，敢于实践的良好习惯．
（四）美育渗透点
通过射线、线段的具体实例体验形象美；通过射线、线段的图形体验几何中的对称美．
二、学法引导
1．教师教学：直观演示、阅读理解与尝试指导相结合．
2．学生学法：以直观形象来理解概念，以动手操作体会画法及性质的比较．
三、重点难点疑点及解决办法
（一）重点
线段、射线的概念及表示方法．
（二）难点
直线、射线、线段的区别与联系．
（三）疑点
直线、射线、线段的区别与联系．
（四）解决办法
通过学生小组内的讨论，针对直线、射线的概念、图形性质进行对比归类，教师根据学生回答整理，从而解决三者的区别与联系这一疑、难点．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片（软盘）、直尺．
六、师生互动活动设计
1．教师引导学生通过生活知识，阅读书本相应段落、自己动手操作等，使学生自己去体会、发现射线、线段的概念、表示、画法等．
2．通过反馈练习，及时掌握学生的学习情况．
七、教学步骤
（一）明确目标
通过本节课教学，应使学生理解和掌握射线、直线的概念和表示方法及与直线之间的关系，通过相关画图题，增强对知识点的认识，培养学生动手能力．
（二）整体感知
通过教师指导，学生积极思维，主动发现的模式进行教学，再辅以练习巩固．
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：在日常生活中，我们常常见到直线的实例，上节我们也举出了很多实例．我们知道，直线是向两方无限延伸的．但在日常生活中，还有这样的现象：手电筒或探照灯射出的光束，只向一个方向延伸（可用电脑显示），这就是我们要研究的一种新的几何图形—射线．
板书课题：
［板书］1.2射线、线段
探索新知
1．射线的概念
师：通过演示，我们发现射线向一方延伸．其实，它是直线的一部分，我们给它一个定义（板书射线的定义）．
［板书］射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点．
如图1，直线上的一点和它一旁的部分就是一条射线，点就是这条射线的端点．
图1
【教法说明】关于射线，教师可更形象地解释：“射线”就是像手电筒或探照灯“射”出的光束一样，因此，取名“射线”．这样可使意义与名词紧密联系起来，让学生对此印象深刻．对于定义只简单提一下；不作发挥，并告诉学生：我们以后还要学很多图形的定义．
2．射线的表示方法
学生活动：学生阅读课本第13页，射线的表示方法这一自然段，并在练习本上表示一条射线，并注意射线的表示方法中应注意什么．
【教法说明】学生看书能看懂的问题，教师就给学生一个机会，让学生自己支配自己，而不是由教师牵着鼻子走．
学生看书后回答射线的表示方法，教师演示画出图形．
（1）用射线的端点和射线上的另一点表示，但端点字母要写在前面．如图2，记作：射线．
图2
（2）射线也可以用一个小写字母表示．如图3：记作射线．注意“射线”两个字要写在的前面．
反馈练习：〈出示投影1〉
如图3：射线与射线是同一条射线吗？射线与射线是同一条射线吗？射线与射线是同一条射线吗？
图3
【教法说明】通过以上练习，强调射线的方向性．端点相同，方向相同的射线才是同一条射线．
3．射线的画法
由学生看书后，在练习本上练习画图，找同学到黑板上画一条射线并表示出来．由学生说出画射线的要领．如图，画射线一要画出射线端点；二要画出射线经过点，并向一旁延伸的情况．请同学们说出：射线与射线的端点，并画出这两条射线．
4．线段的概念
教师由射线定义引出线段定义，直线上的一点和它一旁的部分叫射线．我们研究了其表示方法，画法．那么，在直线上取两点又该怎么样呢？画出图形．
我们叫这两点间的部分为线段．（板书定义）
［板书］线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两点叫做线段的端点．如：长方体、正方体的棱等就是线段．
【教法说明】介绍线段定义后，可让同学们说出我们周围线段的实例，以调动其积极性，发挥其想像力．同时，也帮助理解线段的概念．
5．线段的表示方法
师：像直线和射线一样，线段也有两种表示法．你能依照直线和射线的表示方法，试着说出线段的两种表示方法吗？
同学之间相互讨论，最后得出线段的两种表示方法：如图4，、为端点的线段，可以记作线段或线段；也可以记作线段．
图4
【教法说明】有直线、射线表示方法的基础，对线段的表示方法学生能够举一反三，所以教师不必强加给他们，可以让学生自己想出其表示方法，体会其中的成就感．教学中一定注意，只要是学生自己能够理解、能够通过自身垢体会悟出的知识，教师就不要一味地“灌”，要使学生学会自我解决问题的方法．学生思考：线段和线段是同一条线段吗？
6．线段的画法
学生自己画线段，体会其画法，总结画线段的要领．
学生活动：在练习上画线段，同桌讨论画线段的方法和应注意的问题．根据学生回答情况，教师归纳注意问题．
（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况．（在这里可提问学生为什么．学生回答会说出：向两方延伸则成了直线，向一方延伸则成了射线．定会领略出射线、直线、线段的区别．）
（2）以后我们说“连结”就是指画以、为端点的线段．说明：“连结”是几何的专用名词，专指画出两点间的线段的意思．
7．直线、射线、线段的区别与联系
师：上节我们研究了直线的有关问题，这节我们又研究了射线和线段，通过我们的学习，你能试着总结一下直线、射线、线段三者的区别与联系吗？
学生活动：同桌间相互讨论，在练习本上小结三者的区别与联系．
【教法说明】学生总结一定不会有层次，但要放手让他们讨论，使学生学会归纳总结的方法．这也是学习几何中常用的方法，对一些概念、图形性质等往往需要对比归类，发现它们之间的相同点和不同点．教师从开始就要注意，引导学生学会对所学知识进行归纳、对比的学习方法．
根据学生回答教师整理：
联系：射线、线段都是直线的一部分，线段是直线的有限部分．
区别：直线无端点，长度无限，向两方无限延伸．射线只有一个端点，长度无限，向一方无限延伸．线段有两个端点，长度有限．
反馈练习（投影出示）
【教法说明】对于练习中的第1题要让学生把图形和几何的语句统一起来；第2题也可问以为端点有几条射线；第3题要注意所填的词应恰当．
（四）总结、扩展
由学生填写下表，归纳本节知识点．
八、布置作业
看本节所讲内容，预习下节内容．
JK251.com延伸阅读
数学教案－数轴初中教案精选
教学目标
1．了解数轴的概念和数轴的画法，掌握数轴的三要素；
2．会用数轴上的点表示有理数，会利用数轴比较有理数的大小；
3．使学生初步了解数形结合的思想方法，培养学生相互联系的观点。
教学建议
一、重点、难点分析
本节的重点是初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数,并会比较有理数的大小．难点是正确理解有理数与数轴上点的对应关系。数轴的概念包含两个内容，一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可，二是这三个要素都是规定的。另外应该明确的是，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。通过学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础．
二、知识结构
有了数轴，数和形得到了初步结合，这有利于对数学问题的研究，数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法，本课知识要点如下表：
定义
三要素
应用
数形结合
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴
原点
正方向
单位长度
帮助理解有理数的概念，每个有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并非都是有理数
比较有理数大小，数轴上右边的数总比左边的数要大
在理解并掌握数轴概念的基础之上，要会画出数轴，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数，要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小。
三、教法建议
小学里曾学过利用射线上的点来表示数，为此我们可引导学生思考：把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数?伴以温度计为模型，引出数轴的概念.数轴是一条具有三个要素（原点、正方向、单位长度）的直线，这三个要素是判断一条直线是不是数轴的根本依据。数轴与它所在的位置无关，但为了教学上需要，一般水平放置的数轴，规定从原点向右为正方向。要注意原点位置选择的任意性。
关于有理数与数轴上的点的对应关系，应该明确的是有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点与有理数并不存在一一对应的关系。根据几个有理数在数轴上所对应的点的相互位置关系，应该能够判断它们之间的大小关系。通过点与有理数的对应关系及其应用，逐步渗透数形结合的思想。
四、数轴的相关知识点
1．数轴的概念
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的．
（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．
以数轴是理解有理数概念与运算的重要工具．有了数轴，数和形得到初步结合，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想．另外，数轴能直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小．因此，应重视对数轴的学习．
2．数轴的画法
（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”．
（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头．
（3）选适当的长度作为单位长度，并标出…，－3，－2，－1，1，2，3…各点。具体如下图。
（4）标注数字时，负数的次序不能写错，如下图。
3．用数轴比较有理数的大小
（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。
（2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数要防止出现“”的写法，正确应写成“”。
五、数轴定义的理解
1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图1所示．
2.所有的有理数，都可以用数轴上的点表示．例如：在数轴上画出表示下列各数的点(如图2)．
A点表示-4；B点表示-1.5；
O点表示0；C点表示3.5；
D点表示6．
从上面的例子不难看出，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，又从正数和负数在数轴上的位置，可以知道：
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．
因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以，我们可以用，表示是正数；反之，知道是正数也可以表示为。
同理，，表示是负数；反之是负数也可以表示为。
3．正数轴常见几种错误
1)没有方向2)没有原点3)单位长度不统一教学设计示例数轴(一)教学目标1．使学生正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素；2．使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来；3．使学生初步理解数形结合的思想方法．教学重点和难点重点：初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．难点：正确理解有理数与数轴上点的对应关系．课堂教学过程设计一、从学生原有认知结构提出问题1．小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？2．用“射线”能不能表示有理数？为什么？3．你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容——数轴．二、讲授新课让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下(边说边画)：1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；2．规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，…提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？(可列举几个数)在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．三、运用举例变式练习例1画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：例2指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．课堂练习示出来．2．说出下面数轴上A，B，C，D，O，M各点表示什么数？最后引导学生得出结论：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，零用原点表示．四、小结指导学生阅读教材后指出：数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．本节课要求同学们能掌握数轴的三要素，正确地画出数轴，在此还要提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理数，这个问题以后再研究．五、作业1．在下面数轴上：(1)分别指出表示-2，3，-4，0，1各数的点．(2)A，H，D，E，O各点分别表示什么数？2．在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？3．下列各小题先分别画出数轴，然后在数轴上画出表示大括号内的一组数的点：(1)｛-5，2，-1，-3，0｝；(2)｛-4，2.5，-1.5，3.5｝；课堂教学设计说明从学生已有知识、经验出发研究新问题，是我们组织教学的一个重要原则．小学里曾学过利用射线上的点来表示数，为此我们可引导学生思考：把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数？伴以温度计为模型，引出数轴的概念．教学中，数轴的三要素中的每一要素都要认真分析它的作用，使学生从直观认识上升到理性认识．直线、数轴都是非常抽象的数学概念，当然对初学者不宜讲的过多，但适当引导学生进行抽象的思维活动还是可行的．例如，向学生提问：在数轴上对应一亿万分之一的点，你能画出来吗？它是不是存在等．数轴（二）一、素质教育目标（一）知识教学点1．掌握数轴的三要素，能正确画出数轴．2．能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数．（二）能力训练点1．使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识．2．对学生渗透数形结合的思想方法．（三）德育渗透点使学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点．（四）美育渗透点通过画数轴，给学生以图形美的教育，同时由于数形的结合，学生会得到和谐美的享受．二、学法引导1．教学方法：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法．2．学生学法：动手画数轴，动脑概括数轴的三要素，动手、动脑做练习．三、重点、难点、疑点及解决办法1．重点：正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．2．难点：有理数和数轴上的点的对应关系。四、课时安排1课时五、教具学具准备电脑、投影仪、自制胶片．六、师生互动活动设计师生同步画数轴，学生概括数轴三要素，师出示投影，生动手动脑练习七、教学步骤（一）创设情境，引入新课师：大家知识温度计的用途是什么？生：温度计可以测量温度（出示投影1）三个温度计．其中一个温度计的液面在0上20个刻度，一个温度计的液面在0下5个刻度，一个温度计的液面在0刻度．师：三个温度计所表示的温度是多少？生：2℃，－5℃，0℃．我们能否用类似温度计的图形表示有理数呢？这种表示数的图形就是今天我们要学的内容—数轴（板书课题）．【教法说明】从温度计用标有读数的刻度来表示温度的高低这个事实出发，引出本节课所要学的内容—数轴．再从温度计这个实物形象抽象出数轴来研究．既激发了学生的学习兴趣，又使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，培养了用数学的意识．（二）探索新知，讲授新课1．数轴的画法与温度计类似，可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零，具体做法如下：第一步：画直线定原点原点表示0（相当于温度计上的0℃）．第二步：规定从原点向右的为正方向那么相反的方向（从原点向左）则为负方向．（相当于温度计上℃以上为正，0℃以下为负）．第三步：选择适当的长度为单位长度（相当于温度计上每1℃占1小格的长度）．【教法说明】教师边讲解边示范，学生跟着一起画图．培养学生动手、动脑和实际操作能力，同时，把类比作为一种重要方法贯穿于概念形成过程的始终，让学生在认知过程中领悟这种思想方法．让学生观察画好的直线，思考以下问题：（出示投影1）（1）原点表示什么数？（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？（3）表示＋2的点在什么位置？表示－1的点在什么位置？（4）原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数？原点向左个单位长度的B点表示什么数？根据老师画图的步骤，学生思考在一条水平的直线上都画出什么？然后归纳出数轴的定义．学生活动：同学们思考，并要求同桌相互叙述，互相纠正补充，语句通顺后举手回答．大家思考准备更正或补充．【教法说明】通过“观察—类比—思考—概括—表达”展现知识的形成是从感性认识上升到理性认识的过程，让学生在获取知识的过程中，领会数学思想和思维方法，并有意识地训练学生归纳概括和口头表达能力．教师根据学生回答给予肯定或否定，纠正后板书．2．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．向学生提出问题：数轴上为什么要规定原点、正方向和单位长度呢？它们各起什么作用？引导学生结合温度订正确回答这个问题，从而知道数轴三要素的重要性，了解三者缺一不可，认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据．学生活动：同桌之间、前后桌之间讨论．使学生从直观认识上升到理性认识．3．尝试反馈，巩固练习请大家回答下列问题：（出示投影2）（1）有人说一条直线是一条数轴，对不对？为什么？（2）下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？学生活动：学生思考，不准讨论，想好后举手回答．让其他学生对其回答进行评判，对确有疑问的题目，教师给予讲解．【教法说明】此组练习的目的是巩固数轴的概念．答案：（2）①缺原点，②缺正方向，③数轴不是射线而是直线，④缺单位长度，⑥提醒学生注意在同一数轮上必须用同一单位长度进行度量．⑤⑦是数轴，同时⑦为学习平面直角坐标系打基础．4．有理数与数轴上点的关系通过刚才的学习我们知道所有的有理数都可以用数轴上的点来表示．例1画一条数轴，并画出表示下列各数的点：1，5，0，－2.5，．学生练习：同学们在练习本上画一条数轴，然后在数轴上标出各点，一名学生板演．教师巡回指导，发现问题及时纠正．【教法说明】让学生动手自己画数轴，有助于培养学生实际操作能力．例1是把给定的有理数用数轴上的点来表示，完成由“数”到“形”的思维过程，有助于学生加深对数轴概念的理解．（出示投影4）例2指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数？先让学生思考一会，然后学生举手回答解：A表示－3；B表示；C表示3；D表示；E表．【教法说明】例2是让学生说出数轴上的点表示的有理数，完成了由“形”到“数”的思维过程．例1、例2从各自不同的两个侧面，体现出数形结合，渗透了数形之间相互转化的数学思想．5．尝试反馈，巩固练习（出示投影5）①说出下面数轴上A、B、C、D、O、M各点表示什么数？②将－3，，1.5，－6，，2.25，，－5，1各数用数轴上的点表示出来．【教法说明】①题由点读数练习，②题由数找点练习，进一步巩固加深本节所学的内容．（三）归纳小结师：①数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示数与形之间的内在联系，是帮助学生理解数学、学习数学的重要思想方法．本章有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的．②掌握数轴三要素，正确地画出数轴，提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的各点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的各点，并不是都表示有理数．以后再研究．八、随堂练习1．判断题（1）直线就是数轴（）（2）数轴是直线（）（3）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示（）（4）数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是＋3（）（5）数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的数是正数，原点表示的数是0．（）2．画一条数轮，并画出表示下列各数的点，－5，0，＋3.2，－1.4九、布置作业（－）必做题：课本第56页1、2．（二）选做题：课本第56页及第57页B组l．（三）思考题：①在数轮上距原点3个单位长度的点表示的数是_____________②在数轮上表示－6的点在原点的___________侧，距离原点___________个单位长度，表示＋6的点在原点的__________侧，距离原点____________个单位长度．【教法说明】由于学生在知识、技能、能力方面发展不尽相同，所以分层次地布置作业，兼顾学习有困难和学有余力的学生，使他们都能达到大纲中规定的基本要求，并使部分学生能发展他们的数学才能．十、板书设计随堂练习答案1．×√√×√2．略作业答案（一）必做题1．（1）依次是（2）依次是2．依次是（二）选做题：3．略B组1．（1）－6，（2）－1，（3）3；（4）0（三）思考题：①②左，6，右，6探究活动(1)在数轴上表示出距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点，并用“＜”号将这些点所表示的数排列起来；(2)写出比-4大但不大于2的所有整数．分析：画数轴时，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．(1)在数轴上，距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点各有两个，它们分别在原点两旁且关于原点对称．画出这些点，这些点所表示的数的大小就排列出来了；(2)在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围，这个范围内整数点所表示的整数就是所求．“不大于2”的意思是小于或等于2．解：(1)数轴上，距离原点3个单位的点是+3和-3，距离原点4.5个单位的点是+4.5和-4.5．由图看出：-4.5＜-3＜3＜4.5(2)在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围．由图知，大于-4但不大于2的整数是：-3，-2，-1，0，1，2．点评：利用数轴，数形结合，是解这一类问题的好方法．教学目标1．了解数轴的概念和数轴的画法，掌握数轴的三要素；2．会用数轴上的点表示有理数，会利用数轴比较有理数的大小；3．使学生初步了解数形结合的思想方法，培养学生相互联系的观点。教学建议一、重点、难点分析本节的重点是初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数,并会比较有理数的大小．难点是正确理解有理数与数轴上点的对应关系。数轴的概念包含两个内容，一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可，二是这三个要素都是规定的。另外应该明确的是，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。通过学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础．二、知识结构有了数轴，数和形得到了初步结合，这有利于对数学问题的研究，数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法，本课知识要点如下表：定义三要素应用数形结合规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴原点正方向单位长度帮助理解有理数的概念，每个有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点并非都是有理数比较有理数大小，数轴上右边的数总比左边的数要大在理解并掌握数轴概念的基础之上，要会画出数轴，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数，要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小。三、教法建议小学里曾学过利用射线上的点来表示数，为此我们可引导学生思考：把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数?伴以温度计为模型，引出数轴的概念.数轴是一条具有三个要素（原点、正方向、单位长度）的直线，这三个要素是判断一条直线是不是数轴的根本依据。数轴与它所在的位置无关，但为了教学上需要，一般水平放置的数轴，规定从原点向右为正方向。要注意原点位置选择的任意性。关于有理数与数轴上的点的对应关系，应该明确的是有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点与有理数并不存在一一对应的关系。根据几个有理数在数轴上所对应的点的相互位置关系，应该能够判断它们之间的大小关系。通过点与有理数的对应关系及其应用，逐步渗透数形结合的思想。四、数轴的相关知识点1．数轴的概念（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的．（2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数．以数轴是理解有理数概念与运算的重要工具．有了数轴，数和形得到初步结合，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想．另外，数轴能直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小．因此，应重视对数轴的学习．2．数轴的画法（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”．（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头．（3）选适当的长度作为单位长度，并标出…，－3，－2，－1，1，2，3…各点。具体如下图。（4）标注数字时，负数的次序不能写错，如下图。3．用数轴比较有理数的大小（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。（2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数要防止出现“”的写法，正确应写成“”。五、数轴定义的理解1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图1所示．2.所有的有理数，都可以用数轴上的点表示．例如：在数轴上画出表示下列各数的点(如图2)．A点表示-4；B点表示-1.5；O点表示0；C点表示3.5；D点表示6．从上面的例子不难看出，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，又从正数和负数在数轴上的位置，可以知道：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以，我们可以用，表示是正数；反之，知道是正数也可以表示为。同理，，表示是负数；反之是负数也可以表示为。3．正数轴常见几种错误1)没有方向2)没有原点3)单位长度不统一教学设计示例数轴(一)教学目标1．使学生正确理解数轴的意义，掌握数轴的三要素；2．使学生学会由数轴上的已知点说出它所表示的数，能将有理数用数轴上的点表示出来；3．使学生初步理解数形结合的思想方法．教学重点和难点重点：初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．难点：正确理解有理数与数轴上点的对应关系．课堂教学过程设计一、从学生原有认知结构提出问题1．小学里曾用“射线”上的点来表示数，你能在射线上表示出1和2吗？2．用“射线”能不能表示有理数？为什么？3．你认为把“射线”做怎样的改动，才能用来表示有理数呢？待学生回答后，教师指出，这就是我们本节课所要学习的内容——数轴．二、讲授新课让学生观察挂图——放大的温度计，同时教师给予语言指导：利用温度计可以测量温度，在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示-5℃．与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．具体方法如下(边说边画)：1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；2．规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为-1，-2，-3，…提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？(可列举几个数)在此基础上，给出数轴的定义，即规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数-5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是-5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．三、运用举例变式练习例1画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：例2指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．课堂练习示出来．2．说出下面数轴上A，B，C，D，O，M各点表示什么数？最后引导学生得出结论：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，零用原点表示．四、小结指导学生阅读教材后指出：数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．本节课要求同学们能掌握数轴的三要素，正确地画出数轴，在此还要提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理数，这个问题以后再研究．五、作业1．在下面数轴上：(1)分别指出表示-2，3，-4，0，1各数的点．(2)A，H，D，E，O各点分别表示什么数？2．在下面数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？3．下列各小题先分别画出数轴，然后在数轴上画出表示大括号内的一组数的点：(1)｛-5，2，-1，-3，0｝；(2)｛-4，2.5，-1.5，3.5｝；课堂教学设计说明从学生已有知识、经验出发研究新问题，是我们组织教学的一个重要原则．小学里曾学过利用射线上的点来表示数，为此我们可引导学生思考：把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数？伴以温度计为模型，引出数轴的概念．教学中，数轴的三要素中的每一要素都要认真分析它的作用，使学生从直观认识上升到理性认识．直线、数轴都是非常抽象的数学概念，当然对初学者不宜讲的过多，但适当引导学生进行抽象的思维活动还是可行的．例如，向学生提问：在数轴上对应一亿万分之一的点，你能画出来吗？它是不是存在等．数轴（二）一、素质教育目标（一）知识教学点1．掌握数轴的三要素，能正确画出数轴．2．能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数．（二）能力训练点1．使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识．2．对学生渗透数形结合的思想方法．（三）德育渗透点使学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点．（四）美育渗透点通过画数轴，给学生以图形美的教育，同时由于数形的结合，学生会得到和谐美的享受．二、学法引导1．教学方法：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法．2．学生学法：动手画数轴，动脑概括数轴的三要素，动手、动脑做练习．三、重点、难点、疑点及解决办法1．重点：正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．2．难点：有理数和数轴上的点的对应关系。四、课时安排1课时五、教具学具准备电脑、投影仪、自制胶片．六、师生互动活动设计师生同步画数轴，学生概括数轴三要素，师出示投影，生动手动脑练习七、教学步骤（一）创设情境，引入新课师：大家知识温度计的用途是什么？生：温度计可以测量温度（出示投影1）三个温度计．其中一个温度计的液面在0上20个刻度，一个温度计的液面在0下5个刻度，一个温度计的液面在0刻度．师：三个温度计所表示的温度是多少？生：2℃，－5℃，0℃．我们能否用类似温度计的图形表示有理数呢？这种表示数的图形就是今天我们要学的内容—数轴（板书课题）．【教法说明】从温度计用标有读数的刻度来表示温度的高低这个事实出发，引出本节课所要学的内容—数轴．再从温度计这个实物形象抽象出数轴来研究．既激发了学生的学习兴趣，又使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，培养了用数学的意识．（二）探索新知，讲授新课1．数轴的画法与温度计类似，可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零，具体做法如下：第一步：画直线定原点原点表示0（相当于温度计上的0℃）．第二步：规定从原点向右的为正方向那么相反的方向（从原点向左）则为负方向．（相当于温度计上℃以上为正，0℃以下为负）．第三步：选择适当的长度为单位长度（相当于温度计上每1℃占1小格的长度）．【教法说明】教师边讲解边示范，学生跟着一起画图．培养学生动手、动脑和实际操作能力，同时，把类比作为一种重要方法贯穿于概念形成过程的始终，让学生在认知过程中领悟这种思想方法．让学生观察画好的直线，思考以下问题：（出示投影1）（1）原点表示什么数？（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？（3）表示＋2的点在什么位置？表示－1的点在什么位置？（4）原点向右0.5个单位长度的A点表示什么数？原点向左个单位长度的B点表示什么数？根据老师画图的步骤，学生思考在一条水平的直线上都画出什么？然后归纳出数轴的定义．学生活动：同学们思考，并要求同桌相互叙述，互相纠正补充，语句通顺后举手回答．大家思考准备更正或补充．【教法说明】通过“观察—类比—思考—概括—表达”展现知识的形成是从感性认识上升到理性认识的过程，让学生在获取知识的过程中，领会数学思想和思维方法，并有意识地训练学生归纳概括和口头表达能力．教师根据学生回答给予肯定或否定，纠正后板书．2．数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．向学生提出问题：数轴上为什么要规定原点、正方向和单位长度呢？它们各起什么作用？引导学生结合温度订正确回答这个问题，从而知道数轴三要素的重要性，了解三者缺一不可，认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据．学生活动：同桌之间、前后桌之间讨论．使学生从直观认识上升到理性认识．3．尝试反馈，巩固练习请大家回答下列问题：（出示投影2）（1）有人说一条直线是一条数轴，对不对？为什么？（2）下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？学生活动：学生思考，不准讨论，想好后举手回答．让其他学生对其回答进行评判，对确有疑问的题目，教师给予讲解．【教法说明】此组练习的目的是巩固数轴的概念．答案：（2）①缺原点，②缺正方向，③数轴不是射线而是直线，④缺单位长度，⑥提醒学生注意在同一数轮上必须用同一单位长度进行度量．⑤⑦是数轴，同时⑦为学习平面直角坐标系打基础．4．有理数与数轴上点的关系通过刚才的学习我们知道所有的有理数都可以用数轴上的点来表示．例1画一条数轴，并画出表示下列各数的点：1，5，0，－2.5，．学生练习：同学们在练习本上画一条数轴，然后在数轴上标出各点，一名学生板演．教师巡回指导，发现问题及时纠正．【教法说明】让学生动手自己画数轴，有助于培养学生实际操作能力．例1是把给定的有理数用数轴上的点来表示，完成由“数”到“形”的思维过程，有助于学生加深对数轴概念的理解．（出示投影4）例2指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数？先让学生思考一会，然后学生举手回答解：A表示－3；B表示；C表示3；D表示；E表．【教法说明】例2是让学生说出数轴上的点表示的有理数，完成了由“形”到“数”的思维过程．例1、例2从各自不同的两个侧面，体现出数形结合，渗透了数形之间相互转化的数学思想．5．尝试反馈，巩固练习（出示投影5）①说出下面数轴上A、B、C、D、O、M各点表示什么数？②将－3，，1.5，－6，，2.25，，－5，1各数用数轴上的点表示出来．【教法说明】①题由点读数练习，②题由数找点练习，进一步巩固加深本节所学的内容．（三）归纳小结师：①数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示数与形之间的内在联系，是帮助学生理解数学、学习数学的重要思想方法．本章有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的．②掌握数轴三要素，正确地画出数轴，提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的各点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的各点，并不是都表示有理数．以后再研究．八、随堂练习1．判断题（1）直线就是数轴（）（2）数轴是直线（）（3）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示（）（4）数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是＋3（）（5）数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的数是正数，原点表示的数是0．（）2．画一条数轮，并画出表示下列各数的点，－5，0，＋3.2，－1.4九、布置作业（－）必做题：课本第56页1、2．（二）选做题：课本第56页及第57页B组l．（三）思考题：①在数轮上距原点3个单位长度的点表示的数是_____________②在数轮上表示－6的点在原点的___________侧，距离原点___________个单位长度，表示＋6的点在原点的__________侧，距离原点____________个单位长度．【教法说明】由于学生在知识、技能、能力方面发展不尽相同，所以分层次地布置作业，兼顾学习有困难和学有余力的学生，使他们都能达到大纲中规定的基本要求，并使部分学生能发展他们的数学才能．十、板书设计随堂练习答案1．×√√×√2．略作业答案（一）必做题1．（1）依次是（2）依次是2．依次是（二）选做题：3．略B组1．（1）－6，（2）－1，（3）3；（4）0（三）思考题：①②左，6，右，6探究活动(1)在数轴上表示出距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点，并用“＜”号将这些点所表示的数排列起来；(2)写出比-4大但不大于2的所有整数．分析：画数轴时，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．(1)在数轴上，距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点各有两个，它们分别在原点两旁且关于原点对称．画出这些点，这些点所表示的数的大小就排列出来了；(2)在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围，这个范围内整数点所表示的整数就是所求．“不大于2”的意思是小于或等于2．解：(1)数轴上，距离原点3个单位的点是+3和-3，距离原点4.5个单位的点是+4.5和-4.5．由图看出：-4.5＜-3＜3＜4.5(2)在数轴上画出大于-4但不大于2的数的范围．由图知，大于-4但不大于2的整数是：-3，-2，-1，0，1，2．点评：利用数轴，数形结合，是解这一类问题的好方法．
数学教案－梯形初中教案精选
一、教学目标
1.掌握等腰梯形的判定方法.
2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力．
3.通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想
二、教法设计
小组讨论，引导发现、练习巩固
三、重点、难点
1．教学重点：等腰梯形判定．
2．教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
多媒体，小黑板，常用画图工具
六、师生互动活动设计
教师复习引入，学生阅读课本；学生在教师引导下探索等腰梯形的判定，归纳小结梯形转化的常见的辅助线
七、教学步骤
【复习提问】
1．什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？
2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？
3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？
我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题．
【引人新课】
等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
前面我们用等腰三角形的定理证明了等腰梯形的性质定理，现在我们也可以用等腰三角形的判定定理来证明等腰梯形的判定定理．
例1已知：如图，在梯形中，，，求证：．
分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，定理就容易证明了．
（引导学生口述证明方法，然后利用投影仪出示三种证明方法）
（1）如图，过点作、，交于，得，所以得．
又由得，因此可得．
（2）作高、，通过证推出．
（3）分别延长、交于点，则与都是等腰三角形，所以可得．
（证明过程略）．
例3求证：对角线相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图，在梯形中，，．
求证：．
分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．
在和中，已有两边对应相等，别人要能证，就可通过证得到．
（引导学生说出证明思路，教师板书证明过程）
证明：过点作，交延长线于，得，
∴．
∵，∴
∴
∵，∴
又∵、，∴
∴．
说明：如果、交于点，那么由可得，，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．
例4画一等腰梯形，使它上、下底长分别5cm，高为4cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．
分析：如图，先算出长，可画等腰三角形，然后完成的画图．
画法：①画，使．
.
②延长到使.
③分别过、作，，、交于点．
四边形就是所求的等腰梯形．
解：梯形周长．
答：梯形周长为26cm，面积为．
【总结、扩展】
小结：（由学生总结）
（l）等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．
（2）梯形的画图：一般先画出有关的三角形，在此基础上再画出有关的平行四边形，最后得到所求图形．（三角形奠基法）
八、布置作业
l．已知：如图，梯形中，，、分别为、中点，且，求证：梯形为等腰梯形．
九、板书设计
十、随堂练习
教材P177中l；P179中B组2
数学教案－矩形初中教案精选
一、教学目标
1．掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系．
2．掌握矩形的性质定理．
3．使学生能应用矩形定义、性质等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
4．通过性质的学习，体会矩形的应用美．
二、教法设计
观察、启发、总结、提高，类比探讨，讨论分析，启发式．
三、重点、难点及解决办法
1．教学重点：矩形的性质及其推论．
2．教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
教具（一个活动的平行四边形），投影仪及胶片，常用画图工具
六、师生互动活动设计
教具演示、创设情境，观察猜想，推理论证
七、教学步骤
【复习提问】
什么叫平行四边形？它和四边形有什么区别？
【引入新课】
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形，堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形（写出课题）．
【讲解新课】
制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）．
矩形的性质：
既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质．
继续演示教具，当它变成矩形时，学生容易看到它的四个角都是直角；它的对角线也相等（写出这两个结论），指出观察出来的结论不能做为定理，需要证明．引导学生利用平行四边形角的性质证明得出．
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．
矩形性质定理2：矩形对角线相等．
由矩形性质定理2我们可以得到
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（这实际上是△的一个重要性质，即△斜边中点到三顶点的距离相等，它在求线段长或线段部分关系时经常用到）
例1已知如图1矩形的两条对角线相交于点，，，求矩形对角线的长．（按教材的格式）
（强调这种计算题的解题格式，防止学生离开几何元素之间的关系，而单纯进行代数计算）
【总结、扩展】
1．小结：（用投影打出）
（1）矩形、平行四边形、四边形从属关系如图．
（2）矩形性质．
1．具有平行四边形的所有性质．
2．特有性质：四个角都是直角，对角线相等．
3．思考题：已知如图，是矩形对角线交点，平分，，求的度数
数学教案－比例线初中教案精选
教学建议
知识结构
重难点分析
本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系，从本章开始研究线段及相关图形的比例关系――相似三角形，这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用.
本节的难点是比例性质及应用，虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但由于内容比较简单，而且间隔时间较长，学生印象并不深刻，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，合分比性质以及等比性质学生又是初次接触，内容不但多，而且容易混淆，作题不知应用哪条性质，不知如何应用是常有的.
教法建议
1．生活中比例的例子比比皆是，在新课引入时最好从生活实例引入，可使学生感觉轻松自然，容易产生兴趣，增加学生学习的主动性
2．小学时曾学过数的比及相关概念，学习时也可以复习引入，从数的比过渡到线段的比，渗透类比思想
3．这一节概念比较多，也比较容易混淆，教学中可设计不同层次的题组来进行巩固，特别是要举一些反例，同时要注意对相近概念的比较
4．黄金分割的内容要求学生理解，主要体现数学美，可由学生从生活中寻找实例，激发学生的兴趣和参与感
5．比例性质由于变式多，理解和应用上容易出现错误，教学时可利用等式性质和分式性质来处理
教学设计示例1
（第1课时）
一、教学目标
1．理解线段的比的概念．
2．通过与小学知识到比较，初步培养学生“类比”的数学思想．
3．通过线段的比的有关计算，培养学习的计算能力．
4．通过“引言”及“例1”的教学，激发学生学习兴趣，对学生进行热爱爱国主义教育．
二、教学设计
先学后做，启发引导
三、重点及难点
1．教学重点两条线段比的概念．
2．教学难点正确理解两条线段的比及应用．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
股影仪、胶片、常用画图工具
六、教学步骤
【复习提问】
找学生回答小学学过的比、比的前项和后项的概念．
（两个数相除又叫做两数的比，记作或a：b，其中a叫比的前项，b叫比的后项）
【讲解新课】
把学生分成三组，分别以米、厘米、毫米作为长度单位，量一下几何教材的长与宽（令长为a，宽为b）．再求出长与宽的比．然后找三名同学把结果写在黑板上．如：
等．
可以看出，在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比．
一般地：若a、b的长度分别是m、n（单位相同），那么就说这两条线段的比是，或写成，和数的比一样，a叫比的前项，b叫比的后项．
关于两条线段比的概念，教学中要揭示它的实质，即表示a是b的k倍，这是学生已有的知识，较易理解，也容易使学生注意到求比时，长度单位要一致．另外，可组织学生举例实际生活中两条线段的比的问题，充分调动学生联系实际和积极思维的能力，对活跃课堂气氛也很有利，但教师需注意尺度．
就刚才三组学生做过的练习及问题回答，在教师启发和点拨下，让学生讨论或试述两条线段的比应注意的问题，归纳出：
（l）两条线段的比就是它们的长度的比．
（2）比与所选线段的长度单位无关，求比时，两条线段的长度单位要一致．
（3）两条线段的比值总是正数．（并不都是正数）
（4）除了a＝b之外，．与互为倒数．
例1见教材P202．
讲解完例1后：
（l）提问学生AB是的多少倍，是AB的多少倍，以加深学生对线段比的逾义的理解．
（2）给出：比例尺＝，就例1的图上，若图距是8cm的两地，实际距离是多少？
另外，还可鼓励学生课后根据地图上的比例尺，测量并计算出你所在省会与首都北京的直线距离，从而丰富了知识，激发了学习兴趣．
例2见教材P202．
讲解完例2后：
（l）可改变线段AB的长度，或给出AC、BC的长度，再求这些比，使学生认识这种三角形中边的比与长度无关．
（2）常识1：有一锐角是30°的直角三角形中，三边（从小到大）的比为．
常识2：等腰直角三角形三边（从小到大）的比为1：1：．
学生掌握了这些常识可有两点好处：
①知道例2中“”以及习题5．l第2题（1）中“边长为4”．（2）中的“对角线AC＝a”这些条件实际上都是多余的．
【小结】
1．两条线段比的概念以及应注意的问题．
2．会求两条线段的比．
七、布置作业
教材P210中2、3．
八、板书设计
数学教案－定理与证明初中教案精选
一、教学目标
1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．
2．了解综合法证明的格式和步骤．
3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力．
4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．
5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．
二、学法引导
1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合．
2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现．
三、重点难点及解决办法
（－）重点
证明的步骤和格式是本节重点．
（二）难点
理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证．
（三）解决办法
通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点．
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
投影仪、三角板、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．通过引例创设情境，点题，引入新课．
2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授．
3．通过提问的形式完成小结．
七、教学步骤
（－）明确目标
使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。
（二）整体感知
以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知．
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念．并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明．我们再看这一命题的证明（投影出示）．
例1已知：如图1，，是截线，求证：．
证明：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（对项角相等），∴（等量代换）．
这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式．
［板书］2.9定理与证明
探究新知
1．命题证明步骤
学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步．
【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解，二是培养学生归纳总结能力。在总结步骤时，学生所说的层次不一定有逻辑性，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次．
根据学生讨论，回答结果．教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：
第一步，画出命题的图形．
先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步，结合图形写出已知、求证．
把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．
第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．
学生活动：结合“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明，理解以上命题证明的一般步骤（给学生一定时间理解记忆）．
【教法说明】在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成．
反馈练习：（1）画出证明命题“两直线平行，同旁内角互补”时的图形，写出已知、求证．
（2）课本第112页A组第5题．
【教法说明】由学生依照例1“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明画出图形，写出已知、求证，巩固命题证明的第一、二步．
2．命题的证明
例2证明：邻补角的平分线互相垂直．
【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难，但教师也不能包办代替，最好通过让学生分步讨论，同桌互相磋商，分步完成的方法，使学生对命题证明的每一步都进一步理解，教师可以给学生指明思考步骤．
（1）分析命题的题设与结论，画出命题证明所需要的图形．
邻补角用图2表示：
图2
添画邻补角的平分线，见图3：
图3
（2）根据命题的题设与结论写出已知、求证．邻补角用几何符号语言提示：，角平分线用几何符号语言表示：，，求证邻补角平分钱互相垂直，用符号语言表示：．
（3）分析由已知谁出求证途径，写出证明过程．
有什么结论后可得（），由已知可以推导吗？学生讨论思考．
【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路，具体结论的得出与操作要由学生独立完成．找一个学生到黑板上板演，其他同学在练习本上写出完成整过程．
已知：如图，，，．
求证：
证明：∵（已知），又∵，（已知），∴．
∴（垂直定义）．
证明完成后提醒学生注意以下几点：
①要证明的是一个简单叙述的命题，题设和结论不明显，可以先根据题意画出图形．如例2，结合图形分析命题的题设和结论．
②在写已知、求证的内容时，要将文字语言转化为符号语言来表示，转化时的写法也不是惟一的，要根据使用的方便来写，如：与互为邻补角，在已知中写为，角平分线有几种表示方法，如是的平分线，，，根据此题写成较好，方便于下面的推理计算．
③对命题的分析、画图，如何推理的思考过程，证明时不必写出来，不属于证明内容．
反馈练习：按证明命题的步骤证明：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等．”
【教法说明】由学生独立完成，找学生板演，发现问题教师及时纠正．
3．判定一个命题是假命题的方法
师：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法．那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？
【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法，而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题，让学生自己尝试着去说明，体验从反面去说明一个问题的方法，然后教师归纳小结．
根据学生说明，教师小结：
判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，也就是说你所举命题符合命题的题设，但不满足结论．如“同位角相等”可如图，与是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”．
反馈练习：课本第111页习题2.3A组第4题．
【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法，再就是要澄清一些错误的概念．
反馈练习
投影出示以下练习：
1．指出下列命题的题设和结论
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
（2）两个角的和等于直角，这两个角互为余角．
（3）对项角相等．
（4）同角或等角的余角相等．
2．画图，写出已知，求证（不证明）
（1）同垂直于一条直线的两条直线平行．
（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．
3．抄写下题并填空
已知：如图，．
求证：．
证明：∵（），
∴（）．
∴（）．
【教法说明】以上练习让学生独立完成，第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论；第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力；第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤．
总结、扩展
以提问的形式归纳出本节课的知识结构：
八、布置作业
（－）必做题
课本第110页习题2.3A组第3（2）、（3）、（4）题．
（二）思考题
课本第112页B组第l、2题．
作业答案
A组（略）
B组1．已知两直线平行，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角互补）（同角的补角相等）．
2．已知：如图，，、分别平分与．求证：．
数学教案－等式它的性质初中教案精选
教学设计示例
一、素质教育目标
（一）知识起学点
1．理解：等式的意义，并能举出有关等式的例子．
2．掌握：关于等式变形的两条性质，并能语言叙述．
3．应用：会用等式的两条性质将等式变形，并能对变形说明理由．
（二）能力训练点
通过等式的两条性质的教学，培养学生由等式走向新等式的解题思想，即为以后方程的同解变形打下基础．
（三）德育渗透点
从特殊到一般的思维方法．
（四）美育渗透点
等式的两条性质体现了数学的对称美．
二、学法引导
1．教学方法：采取引导发现法，创设合理的问题情境，激发学生思维的积极性，充分展现学生的主体作用．
2．学生学法：演示实验→等式性质→巩固练习．
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：等式概念的认识理解，等式性质的归纳．
2．难点：利用等式的两条性质变形等式．
3．疑点：（1）等式性质2中，关于除数不为零的理解．
（2）利用性质变形时，对“等式两边”的理解．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片、简单实物．
六、师生互动活动设计
师生共同做演示实验，得出等式性质，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成．
七、教学步骤
（－）创设情境，复习导入
教师在上课开始时，给出如下的数学关系
（出示投影1）
；；
；；
；
师提出问题：观察上面式子表示了什么关系？由学生回答“相等关系”后引出等式的概念和等式的含义，分清等式的左边和右边．
教师和学生一起完成一个演示实验：
两只手中各拿4支粉笔，现在我们再分别从粉笔盒里拿出两支，放入相应手中，问两只手中粉笔个数的关系？如果我们将开始手中的粉笔各放回两支怎样呢？既扩大到原来的2倍，或缩小到原来的2倍，结果还是相等．
（二）探索新知，讲授新课
教师引导学生，把上面实验抽象为一个数学问题．
即：4＝4．
提出问题：由上面两组等式变形，我们可以得出关于等式变形什么结论？把上面式中2，改3或－5行吗？
学生活动：让全体学生参与讨论，启发学生怎样用精炼的语言叙述，或分组推荐代表回答．
师总结等式的性质：
由前两式总结：1．等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个等整式，所得结果仍是等式．
由后两式总结：2．等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所得结果仍是等式．
提出问题：①4＝4两边都加上整式如：两边都加上结果还是等式吗？
②第二结论中所说除数可以是零吗？
学生活动：学生回答问题后，教师对上面结论加以补充说明．
教师归纳：以上两个规律，就是我们今天学习的“等式性质”
【教法说明】通过以上两条性质的总结，教师应强调以下四点：
①等式的性质1是加法和减法运算，等式的性质2是乘法或除法运算．
②等式的两边都参与运算，并且是同一种运算．
③加（或减）、乘以（或除以）的是同一个数．
④零不能做除数或分母．
（三）尝试反馈，巩固练习
【教法说明】由于这组题是例题的巩固，因此可以由学生讨论分组，以竞赛形式回答以增加课堂上的参与意识．
（出示投影2）
1．判断：已知等式，下列等式是否成立？
①；②；③；④．
2．若，请同学们根据等式性质编出三个等式并说出你的编写根据．
【教法说明】这组题是对等式性质的辨析，教学时应多让学生思考，并能说出依据．
（出示投影3）
1．从能不能得到呢？为什么？
2．从能不能得到呢？为什么？
3．从能不能得到呢？为什么？
4．从能不能得到呢？为什么？
学生活动：分组抢答．
【教法说明】从以上题目可知，根据等式的性质，从已知等式出发通过变形可得出新的等式．
（出示投影4）
例用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式
1．如果，那么；
2．如果，那么；
3．如果，那么．
【教法说明】分析：
1题从已知的一边入手，怎样变形就得到呢？（原等式两边都减去5）根据___________________________________________？
2题观察等式的右边怎样由变形成5（两边加上），即原来两边都加上，根据等式性质1．
3题观察等式左边怎样由变形为，即等式两边都除以0.2，根据等式性质2．
巩固练习：（出示投影5）
练习：用适当数填空，并且说出根据等式的哪条性质及怎样变形的？
1．如果，那么；
2．如果，那么；
3．如果，那么；
4．如果，那么；
5．如果，那么．
学生活动：分组讨论回答．
【教法说明】这一段是学生尝试利用等式性质对等式变形的练习过程，因此可采用小组竞赛、抢答等灵活的课堂训练形式．
师提出问题：上面问题同学们解答的非常好，下面请大家考虑一个问题，每个同学编一道和上面填空题类似的题目，交给同桌同学解答，并请对方谈谈所编题目是否符合标准．
【教法说明】上面问题教师应指导学生编题、解答，最后应用由学生代表性地评比一下，以培养学生灵活性、多角度思考数学问题的方法．
（四）变式训练，培养能力
我们通过学习等式的性质，不难发现可以利用等式的性质解决方程的求解问题（也就是可以求方程未知数的值）．
（出示投影6）
利用等式的性质解方程：
（1）；（2）；
解：等式两边都乘以2解：等式两边都加上7得
得
等式的两边都除以5
得．
【教法说明】上面题目可启发学生思考如何应用等式性质求方程中未知数的值，由学生思考后教师引导作答写出以上过程
（出示投影7）
已知：、都是数，利用等式性质将下列各小题中的等式进行变形，然后填空．
（1）如果，那么
这就是说，如果两个数的和为零，那么这两个数___________．
（2）如果，那么．
这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数__________．
【教法说明】这是利用等式变形来认识相反数、倒数问题，解题时注意“互为”问题的有关概念语言．
（五）归纳小结
师：我们今天学习了等式的概念和等式的性质，通过学习我们应该清楚：
1．能根据等式的性质，把已知等式通过变形得到一个新等式，问题的关键在于怎样从新等式出发考虑用什么性质变形，这要靠大家的观察分析能力．
2．我们今天学习的等式的性质，是将来解方程的依据．
八、随堂练习
1．填空题
（1）将等式的两边都__________得到，这是根据等式性质______．
（2）将等式的两边都乘以____________、或除以___________得到，这是根据等式性质____________；
（3）将等式的两边都____________得到，这是根据等式性质_____________；
（4）将等式的两边都__________得到，这是根据等式性质________．
2．用适当的整式填空，使所得结果仍是等式
（1）如果，那么；
（2）如果，那么；
（3）如果，那么；
（4）如果，那么；
（5）如果，那么．
3．判断下列变形是否正确
（1）由得到．（）
（2）由得到．（）
（3）由得到．（）
（4）由得到．（）
（5）由得到．（）
（6）由得到．（）
九、布置作业
1．课本第186页习题4.1A组，4.（6）（7）（8）；
2．课本第187页B组3．
十、板书设计
十一、参考答案
1．（1）加3，1；（2）2，，2；（3）减去，1；（4）除以，2．
2．（1）2；（2）－3；（3）；（4）；（5），3．
3．√√×××√
作业答案
4．（6）；（7）；（8）；
B组3．①，零；②，是1．
数学教案－角的比较初中教案精选
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是角的大小比较，角平分线的意义，两个角的和、差、倍、分的意义．难点是空间观念，几何识图能力的培养．角的比较的相关知识是进一步学习角的度量和画法，以及进一步研究平面几何图形的基础.
1﹒角的大小的比较有两种方法：
（1）重合法：即把要比较的两个角的顶点和一条边重合，再比较另一条边的位置；
（2）度量法；即比较两个角的度数．
两种方法的比较结果是一致的．
2．利用比较角大小的上述两种方法，就可以画出角的和、差、倍、分，并进而比较角的和、差、倍、分的大小．
3．对于角平分线的概念，要注意以下两点：
（1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分．
（2）要掌握角平分线的数学表达式：若OC是的平分线，则或
4．在比较角的大小时，应注意角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而非线段．若用射线旋转成角的定义，也可以说转得较多的角较大．
三、教法建议
1．本节教材，完全可以对照线段的比较，线段的和差倍分，以及中点的意义来进行．两者是十分相似的．
2．比较两个角的大小时，把角叠合起来，一定要使两个角的顶点及一边重合，另一边落在第一条边的同旁，否则不能进行比较．这可以通过叠合两块三角尺比较角的大小的实例来说明．这和线段大小比较十分相似．
3．由于前面学过线段的大小比较和线段的和、差、倍、分．本课教学的指导思想就是运用类比联想的思维方法，引导学生利用旧知识，解决新问题．
4．在本课的练习中，在可能的情况下，将以后经常遇到的图形，提前让学生见到，为以后的学习奠定了基础．
5．在角的和、差、倍、分的计算中，由于度、分、秒的四则运算还没有讲到，因此只进行度的加、减．
教学设计示例
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．理解两个角的和、差、倍、分的意义．
2．掌握角平分线的概念
3．会比较角的大小，会用量角器画一个角等于已知角．
（二）能力训练点
1．通过让学生亲自动手演示比较角的大小，画一个角等于已知角等，培养训练学生的动手操作能力．
2．通过角的和、差、倍、分的意义，角平分线的意义，进一步训练学生几何语言的表达能力及几何识图能力，培养其空间观念．
（三）德育渗透点
通过具体实物演示，对角的大小进行比较这一由感性认识上升到理性认识的过程，培养学生严谨的科学态度，对学生进行辩证唯物主义思想教育．
（四）美育渗透点
通过对角的大小比较，提高学生的鉴赏力，通过学生自己作角及角平分线，使学生进一步体会几何图形的形象直观美．
二、学法引导
1．教师教法：直观演示、尝试、指导相结合．
2．学生学法：主动参与、积极思维、动手实践相结合．
三、重点难点疑点及解决办法
（一）重点
角的大小比较，角平分线的意义，两个角的和、差、倍、分的意义．
（二）难点
空间观念，几何识图能力的培养．
（三）疑点
角的和、差、倍、分的意义．
（四）解决办法
通过学生主动参与，在自觉与不自觉中掌握知识点，再经过练习，解决难点和疑点．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、一副三角板、自制胶片（软盘）、量角器．
六、师生互动活动设计
七、教学步骤
（一）明确目标
通过教学，使学生在角的比较中掌握方法，理解相应概念，并掌握角平分线的概念．
（二）整体感知
通过现代化教学手段与学生的画图相结合，完成本节教学任务．
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：请同学们拿出你的一副三角板，你能说出这几个角的大小吗？
学生基本知道一副三角板各角的度数，他们可能利用度数比较，也可能通过观察，也会有同学用叠合法．这里可以让学生讨论，说出采用的比较方法，但叙述可能不规范．教师既不给予肯定也不否定，只是再提出新问题．
投影显示：两个度数相差1度以内的角，不标明度数，只凭眼观察不能确定两个角的大小．
师：对于这两个角你能说出它们哪一个大？哪一个小吗？
（学生困惑时教师点出课题．）这节课我们就学习角的比较．同学们提出的比较一副三角板各角的方法有些很好，但不规范．希望同学们认真学习本节内容，掌握角的比较等知识，为以后的学习打好基础．（板书课题）
［板书］1.5角的比较
【教法说明】由学生熟知的三角板各角的比较入手，把学生带入比较角的大小的意境．但问题一转，出现了不标度数，观察又不能确定大小的角，当学生束手无策时，教师提出这就是我们要学习的新内容，调动学生的积极性，吸引其注意力．
探究新知
1．角的比较
（1）叠合法
教师通过活动投影演示：两个角设计成不同颜色，三种情况：
，，，如图1所示．
图1
演示：移动，使其顶点与的顶点重合，一边和重合，出现以下三种情况，如图2所示．
图2
师：请同学们观察的另一边的位置情况，你能确定出两个角的大小关系吗？
学生活动：观察教师演示后，同桌也可以利用两副三角板演示以上过程，帮助理解比较两角的大小，回答教师提出的问题．
教师根据学生回答整理板书．
［板书］
①与重合，等于，记作．
②落在的内部，小于，记作．
③落在的外部，大于，记作．
【教法说明】通过直观的实物演示和投影（电脑）显示，既加强了角的比较的直观性，又可提高学生的兴趣．注意再次强调角的大小只与开口大小有关，与边的长短无关，以及角的符号与小于号、大于号书写时的区别．
（2）测量法
师：小学我们学过用量角器测量一个角，角的大小也可以按其度数比较．度数大的角则大，度数小的则小．反之，角大度数大，角小度数小．
学生活动：请同桌分别画两个角，然后交换用量角器测量其度数，比较它们的大小．
【教法说明】测量前教师可提问使用量角器应注意的问题．即三点：对中；重合；读数．让学生动手操作，培养他们动手能力．
反馈练习：课本第32页习题1.3A组第3题，用量角器测量、、的大小，同桌交换结果看是否准确．
2．角的和、差、倍、分投影显示：如图1，、．
图1
提出问题：如图1，，把移到上，使它们的顶点重合，一边重合，会有几种情况？请同学们在练习本上画出．你如何把移到上，才能保证的大小不变呢？
学生活动：讨论如何移到上，移动后有几种情况，在练习本上画出图形．（有小学测量的基础，学生不会感到困难，可放手让学生自己动手操作．）
教师根据学生回答小结：量角器可起移角的作用，先测量的度数，然后以的顶点为顶点，其中一边为作作一个角等于，出现两种情况．如图2及图3所示：
（1）在内部时，如图2，是与的差，记作：．
（2）在外部时，如图3，是与的和，记作：．
【教法说明】在以上教学过程中，一定要注意训练学生的看图能力和几何语句表达能力，如与的和差所得到的两个图形中，还可让学生观察得到图2中是与的差，记作：，或与的和等于，记作：，图3中是与的差，记作：等进行看图能力的训练．
图2图3
反馈练习：学生在练习本上完成画图．
已知如图4，，画，使．
师：两个的和是，那么是的2倍，记作，或是的，记作：．同样，有角的3倍和等等．角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分．
图4
3．角平分线
学生观察以上反馈练习中的图形，，也就是把分成了两个相等的角，这条射线叫的平分线．
［板书］定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
几何语言表示：是的平分线，（或）．
说明：若，则是的平分线，同样有两条三等分线，三条四等分线，等等．
变式训练，培养能力
投影显示：
1．如图1填空：
图1
①
②
2．是的平分线，那么，
①
②
图2
3．如图2：是的平分线，是的平分线
①若，则
②，，则度
【教法说明】练习中的第1、2题可口答，第3题在教师引导下写出过程，初步渗透推理过程，培养学生的逻辑推理能力，推理过程由已知入手，联想得出结论．
（四）总结、扩展
找学生回答：今天学习了哪些内容？教师归纳得出以下知识结构：
八、布置作业
课本第33页B组第1、2题．
作业答案
1．解：，若，那么，
2．解：∵是的平分线，∴．
又∵是的平分线，∴．
又∵，∴．
说明：学生作业或回答问题，尽量要求用“∵∴”的形式，为以后解证明题打好基础．
九、板书设计
同七、（四）的格式．
数学教案－圆的比例线初中教案精选
教学建议
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明．
难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆．
2、教学建议
本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3．
（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；
（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动．
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；
2．学会作两条已知线段的比例中项；
3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；
4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．
教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论．
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．
教学活动设计
（一）设置学习情境
1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）
①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．
②进一步得出：△APC∽△DPB．
．
③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答．
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P．
求证：PAPB＝PCPD．
（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）
（证明略）
（二）定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PAPB＝PCPD．
2、从一般到特殊，发现结论．
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2＝PAPB．
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确．教师纠正，并板书．
推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PAPB．
若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PAPB；AC2＝APAB；CB2＝BPAB
（三）应用、反思
例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解．
例2已知：线段a，b．
求作：线段c，使c2＝ab．
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．
作法：口述作法．
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用．同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图．
练习1如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．
变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的长．
练习3如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求证：PC2＝PAPB
引导学生分析：由APPB，联想到相交弦定理，于是想到延长CP交⊙O于D，于是有PCPD＝PAPB．又根据条件OP⊥PC．易证得PC＝PD问题得证．
（四）小结
知识：相交弦定理及其推论；
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法．
（五）作业
教材P132中9，10；P134中B组4(1)．
第2课时切割线定理
教学目标：
1．掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；
2．掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．
教学重点：
理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．
教学难点：
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点．
教学活动设计
（一）提出问题
1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？
2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PAPB．
3、证明：
让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想．
分析：要证PT2=PAPB，可以证明，为此可证以PAPT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．
4、引导学生用语言表达上述结论．
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
（二）切割线定理的推论
1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?
观察图4，提出猜想：PAPB=PCPD．
2、组织学生用多种方法证明：
方法一：要证PAPB=PCPD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．(如图4)
方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P．因此△PAD∽△PCB．(如图5)
方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现．PT2=PAPB，同时PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD．PAPB=PCPD
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）
（三）初步应用
例1已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米，PO=10.9厘米，求⊙O的半径．
分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．
（解略）教师示范解题．
例2已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，
求证：AE＝BF．
分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC．因此它们的积相等，问题得证．
学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2＝ACCD和BF2＝BDDC等．
巩固练习：P128练习1、2题
（四）小结
知识：切割线定理及推论；
能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；
方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握．
（五）作业教材P132中，11、12题．
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米)．
分析与解如图1所示．AB是足球门，点P是边锋所在的位置．最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示．即OP是圆的切线，而OB是圆的割线．
故，又，
OB=30.34+7.32＝37.66．
OP=(米)．
注：上述解法适用于更一般情形．如图2所示．△BOP可为任意角．
经典初中教案数学教案－圆
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：①点和圆的三种位置关系，圆的有关概念，因为它们是研究圆的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备.
难点：①圆的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂.
2、教法建议
本节内容需要4课时
第一课时：圆的定义和点和圆的位置关系
（1）让学生自己画圆，自己给圆下定义，进行交流，归纳、概括，调动学生积极主动的参与教学活动；对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究，给圆下定义（参看教案圆（一））；
（2）点和圆的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在“数形”的过程中，学习新知识.
第二课时：圆的有关概念
（1）对（A）层学生放开自学，对（B）层学生在老师引导下自学，要提高学生的学习能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必要去讲；
（2）课堂活动要抓住：由“数”想“形”，由“形”思“数”，的主线.
第三、四课时：点的轨迹
条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐步从形象思维较强向抽象思维过度.但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学生是学习的主体这一原则.
第一课时：圆（一）
教学目标：
1、理解圆的描述性定义，了解用集合的观点对圆的定义；
2、理解点和圆的位置关系和确定圆的条件；
3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；
4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.
教学重点：点和圆的关系
教学难点：以点的集合定义圆所具备的两个条件教学方法：自主探讨式教学过程设计(总框架)：
一、创设情境，开展学习活动
1、让学生画圆、描述、交流，得出圆的第一定义：
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“圆O”.
2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出圆的第二定义.
从旧知识中发现新问题
观察：
共性：这些点到O点的距离相等
想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径的长r）；
（2）到定点距离等于定长的点都在圆上.
定义2：圆是到定点距离等于定长的点的集合.
3、点和圆的位置关系
问题三：点和圆的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
点在圆上d=r；
点在圆内d
点在圆外d>r.
“数”“形”
二、例题分析，变式练习
练习：已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________；当OP=10cm时，点A在⊙O________；当OP=18cm时，点A在⊙O___________.
例1求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上.
已知（略）
求证（略）
分析：四边形ABCD是矩形
A=OC，OB=OD；AC=BDOA=OC=OB=OD要证A、B、C、D4个点在以O为圆心的圆上证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC，OB=OD；AC=BD∴OA=OC=OB=OD∴A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.符号的应用（要求学生了解）证明：四边形ABCD是矩形OA=OC=OB=ODA、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上.小结：要证几个点在同一个圆上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个圆上.（让学生探讨）练习1求证：菱形各边的中点在同一个圆上.（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成）练习2设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.(1)和点A的距离等于2cm的点的集合；(2)和点B的距离等于2cm的点的集合；(3)和点A，B的距离都等于2cm的点的集合；(4)和点A，B的距离都小于2cm的点的集合；（A层自主完成）三、课堂小结问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：(1)主要学习了圆的两种不同的定义方法与圆的三种位置关系；(2)在用点的集合定义圆时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；(3)注重对数学能力的培养四、作业82页2、3、4.第二课时：圆（二）教学目标1、使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念；初步会运用这些概念判断真假命题。2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学生观察、比较、分析、概括知识的能力。3、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识。教学重点、难点和疑点1、重点：理解圆的有关概念．2、难点：对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．3、疑点：学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。教学过程设计：（一）阅读、理解重点概念：1、弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2、直径：经过圆心的弦是直径．3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧．半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．5、同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．6、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．7、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（二）小组交流、师生对话问题：1、一个圆有多少条弦？最长的弦是什么？2、弧分为哪几种？怎样表示？3、弓形与弦有什么区别？在一个圆中一条弦能得到几个弓形？4、在等圆、等弧中，“互相重合”是什么含义？（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排除疑难）（三）概念辨析：判断题目：（1）直径是弦（）（2）弦是直径（）（3）半圆是弧（）（4）弧是半圆（）（5）长度相等的两段弧是等弧（）（6）等弧的长度相等（）（7）两个劣弧之和等于半圆（）（8）半径相等的两个半圆是等弧（）（主要理解以下概念：（1）弦与直径；（2）弧与半圆；（3）同心圆、等圆指两个图形；（4）等圆、等弧是互相重合得到，等弧的条件作用．）（四）应用、练习例1、已知：如图，AB、CB为⊙O的两条弦，试写出图中的所有弧．解：一共有6条弧．、、、、、．（目的：让学生会表示弧，并加深理解优弧和劣弧的概念）例2、已知：如图，在⊙O中，AB、CD为直径．求证：AD∥BC．（由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题．锻炼学生动口、动脑、动手实践能力，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识．）巩固练习：教材P66练习中2题(学生自己完成)．（五）小结教师引导学生自己做出总结：1、本节所学似的知识点；2、概念理解：①弦与直径；②弧与半圆；③同心圆、等圆指两个图形；④等圆和等弧．3、弧的表示方法．（六）作业教材P66练习中3题，P82习题l(3)、(4)．第三、四课时圆（三）——点的轨迹教学目标1、在了解用集合的观点定义圆的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹；2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡；3、提高学生数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。重点、难点1、重点：对圆点的轨迹的认识。2、难点：对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。教学活动设计（在老师与学生的交流对话中完成教学目标）（一）创设学习情境1、对“圆”的形成观察——理解——引出轨迹的概念（使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识）观察：圆是到定点的距离等于定长的的点的集合；（电脑动画）理解：圆上的点具有两个性质：(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)；(2)到定点距离等于定长的的点都在圆上；（结合下图）引出轨迹的概念：我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上．（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师要精讲，细讲）上面左图符合（1）但不符合（2）；中图不符合（1）但符合（2）；只有右图（1）（2）都符合．因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是圆．轨迹1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”。（研究圆是轨迹概念的切入口、基础和关键）（二）类比、研究1（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识）轨迹2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；轨迹3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；（三）巩固概念练习：画图说明满足下列条件的点的轨迹：(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹；(3)经过已知点A、B的圆O，圆心O的轨迹．（A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹；B、C层学生在老师的指导或带领下完成）（四）类比、研究2（这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升．这次通过电脑动画，使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力）轨迹4：到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线；轨迹5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线．（五）巩固训练练习题1：画图说明满足下面条件的点的轨迹：1．到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；2．已知直线AB∥CD，到AB、CD距离相等的点的轨迹．（A层学生独立画图探索；然后回答出点的轨迹是什么，对B、C层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生）练习题2：判断题1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线．()2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹，是到点B的距离等于5cm的圆．()3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线．()4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹，是底边a的垂直平分线．()(这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性．题目由学生自主完成、交流、反思)(教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求)（六）理解、小结（1）轨迹的定义两层意思；（2）常见的五种轨迹。（七）作业教材P82习题2、6．探究活动爱尔特希问题在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?分析与解：开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑．最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为圆心，作一个圆，其他三个点在此圆上寻找，只要使这圆上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上，只要将任一圆周5等分，取其中任意四点即可(见图中的第4个图)．综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：①任意等腰三角形的三个顶点及其外接圆圆心(即外心)；②任意菱形的4个顶点；③任意正五边形的其中4个顶点．上述问题是大数学家爱尔特希(P．Erdos)提出的：“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中n＝4的情形．当n＝3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解．已经证明，时，问题无解．
