数学教案－正切余切教案模板

锐角的三角比

------正切和余切

一、教学目标：

1、理解锐角的正切、余切概念，能正确使用锐角的正切、余切的符号语言。

2、通过探究活动，培养学生观察、分析问题，归纳、总结知识的能力；通过题目的变式，培养用转化思想解决数学问题的能力；通过不同题型的训练，提高学生的通试能力；通过探索题的教学，培养学生的创新意识。

3、通过不同题型的训练，培养学生的数学学习素养，通过学习形式的变换，孕育学生的品质。

4、培养学生间良好的互动协作精神和对知识强烈的求知欲。

二、教学设计的指导思想：

贯彻“教为主导、学为主体、练为主线”的原则，引导学生自始至终地参与学习的全过程，让学生在探索过程中学得愉快、扎实、灵活，学会学习，发展能力。

三、重、难点及教学策略：

重点：锐角的正切、余切概念，探究能力的培养

难点：理解一个锐角确定的直角三角形的两边的比是一个确定的值。

策略：突出重点、突破难点。

四、教学准备：

U盘，电脑，一副三角板，一块三角形模型，网格纸

五、教学环节的流程简图：

创设问题情境——→问题的研究——→讲授新课——→归纳小结及布置作业

六、教学过程：

一）创设问题情境：

1、引领练习：

①在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=45°时，

随着三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

②在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，

随着三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

2、提出问题：

在Rt△ABC中，∠C=90°，一般情况下，

当∠A的大小确定，三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

二）问题的研究：

1、几何画板动画演示：

2、运用定理证明：

得出结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，一般情况下，

当∠A的大小确定，三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值不变。

三）讲授新课：

课题：29.1正切和余切

1、基本概念：

①在Rt△ABC中，∠C=90°，

正切：tgA==

（tangent）（tanA）

（tg∠BAC）

余切：ctgA==

（cotA）

②tgA=

③若∠A+∠B=90°，则tgA=ctgB，ctgA=tgB

2、例题讲解：

例1：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝７，

①求ｔｇＡ的值．

②求ｔｇＢ的值．

③过Ｃ点作ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，求ｔｇ∠ＤＣＡ的值．

3、巩固练习：

①选择题：

1.在Rt△ABC中,∠C＝90°,若各边的长都扩大3倍,则∠B的正切值()

A.扩大3倍B.缩小为原来的C.没有变化D.扩大9倍

2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A和∠B的对边是a,b,则与的值相等的是()

A.tgAB.tgBC.ctgAD.ctgB

②解答题：

如图，△ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°，Ｄ、Ｅ在ＢＣ上，ＡＣ＝４，

ＢＤ＝５，ＤＥ＝２，ＥＣ＝３，∠ＡＢＣ＝α，

∠ＡＤＣ＝β，∠ＡＥＣ＝γ，

求：①ｔｇα。

②ctgβ。

③ｔｇγ。

4、探索题：能否在网格纸中画一个Rt△,使其中一个锐角的正切值为。

四）小结：（略）

五）思考题：已知:在Rt△ABC中,∠C＝90°,tgA、tgB是方程的两根,求m.。

六）布置作业：

七、板书设计：（略）

八、教学随笔：（略）

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经典初中教案正切余切

第一课时

一、教学目标

1．使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用、表示直角三角形（其中一个锐角为）中两边的比，了解与成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系。

2．逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

3．培养学生独立思考、勇于创新的精神。

二、学法引导

1．教学方法：运用类比法指导学生探索研究新知。

2．学生学法：运用类比法主动探索研究新知。

三、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值。

2．难点：了解的概念。

3．疑点：正切与余切概念的混淆．

4．解决办法：通过类比引出概念和性质，再通过大量直接应用，巩固概念和性质。

四、教具准备

投影机、投影片（自制）、三角板

五、教学步骤

（一）明确目标

1．什么是锐角的正弦、余弦？（结合下图回答）。

2．填表

3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？

4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其他一些三角函数，本节课我们学习。

（二）整体感知

正切、余切的概念，也是本间的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要，教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切，像这样，把概论、计算和应用分成两块，每块自与一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识。

（三）教学过程

1．引入正切、余切概念

①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？

因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是”。

②给出正切、余切概念。

如图，在中，把的对边与邻边的比叫做的正切，记作。

即

并把的邻边与对边的比叫做的余切，记作，

即

2．与的关系

请学生观察与的表达式，得结论（或，）这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与区别开．

3．锐角三角函数

由上图，，，，，把锐角的正弦、余弦、正切、余切都叫做的锐角三角函数。

锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目。

问：锐角三角函数能否为负数？

学生回答这个问题很容易。

4．特殊角的三角函数。

①教师出示幻灯片

请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下图）

；

；

；

；

；

．

通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想。

0°，90°正切值与余切值可引导学生查“表”，学生完全能独立查出。

5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系。

结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

即，．

练习：1）请学生回答与的值各是多少？与？与呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：与有何关系？为什么？与呢？

2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。

6．例题

【例1】求下列各式的值：

（1）；

（2）．

解：（1）；（2）＝2．练习1．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．2．填空：（1）（2）若，则锐角（3）若，则锐角学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力。（四）总结扩展请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及与关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．结合及，可扩展为．六、布置作业1．看教材P12～P14，培养学生看书习惯。2．教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6．七、板书设计第12页

正切余切相关教学方案

一、教学目标：

1、理解锐角的正切、余切概念，能正确使用锐角的正切、余切的符号语言。

2、通过探究活动，培养学生观察、分析问题，归纳、总结知识的能力；通过题目的变式，培养用转化思想解决数学问题的能力；通过不同题型的训练，提高学生的通试能力；通过探索题的教学，培养学生的创新意识。

3、通过不同题型的训练，培养学生的数学学习素养，通过学习形式的变换，孕育学生的品质。

4、培养学生间良好的互动协作精神和对知识强烈的求知欲。

二、教学设计的指导思想：

贯彻“教为主导、学为主体、练为主线”的原则，引导学生自始至终地参与学习的全过程，让学生在探索过程中学得愉快、扎实、灵活，学会学习，发展能力。

三、重、难点及教学策略：

重点：锐角的正切、余切概念，探究能力的培养

难点：理解一个锐角确定的直角三角形的两边的比是一个确定的值。

策略：突出重点、突破难点。

四、教学准备：

U盘，电脑，一副三角板，一块三角形模型，网格纸

五、教学环节的流程简图：

创设问题情境——→问题的研究——→讲授新课——→归纳小结及布置作业

六、教学过程：

一）创设问题情境：

1、引领练习：

①在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=45°时，

随着三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

②在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，

随着三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

2、提出问题：

在Rt△ABC中，∠C=90°，一般情况下，

当∠A的大小确定，三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值是否发生变化？

二）问题的研究：

1、几何画板动画演示：

2、运用定理证明：

得出结论：在Rt△ABC中，∠C=90°，一般情况下，

当∠A的大小确定，三角形的边长的放大或缩小时，上面的比值不变。

三）讲授新课：

课题：29.1正切和余切

1、基本概念：

①在Rt△ABC中，∠C=90°，

正切：tgA==

（tangent）（tanA）

（tg∠BAC）

余切：ctgA==

（cotA）

②tgA=

③若∠A+∠B=90°，则tgA=ctgB，ctgA=tgB

2、例题讲解：

例1：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝７，

①求ｔｇＡ的值．

②求ｔｇＢ的值．

③过Ｃ点作ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，求ｔｇ∠ＤＣＡ的值．

3、巩固练习：

①选择题：

1.在Rt△ABC中,∠C＝90°,若各边的长都扩大3倍,则∠B的正切值()

A.扩大3倍B.缩小为原来的C.没有变化D.扩大9倍

2.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A和∠B的对边是a,b,则与的值相等的是()

A.tgAB.tgBC.ctgAD.ctgB

②解答题：

如图，△ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°，Ｄ、Ｅ在ＢＣ上，ＡＣ＝４，

ＢＤ＝５，ＤＥ＝２，ＥＣ＝３，∠ＡＢＣ＝α，

∠ＡＤＣ＝β，∠ＡＥＣ＝γ，

求：①ｔｇα。

②ctgβ。

③ｔｇγ。

4、探索题：能否在网格纸中画一个Rt△,使其中一个锐角的正切值为。

四）小结：（略）

五）思考题：已知:在Rt△ABC中,∠C＝90°,tgA、tgB是方程的两根,求m.。

六）布置作业：

七、板书设计：（略）

八、教学随笔：（略）

正切余切的教学方案

第一课时

一、教学目标

1．使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用、表示直角三角形（其中一个锐角为）中两边的比，了解与成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系。

2．逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。

3．培养学生独立思考、勇于创新的精神。

二、学法引导

1．教学方法：运用类比法指导学生探索研究新知。

2．学生学法：运用类比法主动探索研究新知。

三、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值。

2．难点：了解的概念。

3．疑点：正切与余切概念的混淆．

4．解决办法：通过类比引出概念和性质，再通过大量直接应用，巩固概念和性质。

四、教具准备

投影机、投影片（自制）、三角板

五、教学步骤

（一）明确目标

1．什么是锐角的正弦、余弦？（结合下图回答）。

2．填表

3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？

4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其他一些三角函数，本节课我们学习。

（二）整体感知

正切、余切的概念，也是本间的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要，教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切，像这样，把概论、计算和应用分成两块，每块自与一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识。

（三）教学过程

1．引入正切、余切概念

①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？

因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是”。

②给出正切、余切概念。

如图，在中，把的对边与邻边的比叫做的正切，记作。

即

并把的邻边与对边的比叫做的余切，记作，

即

2．与的关系

请学生观察与的表达式，得结论（或，）这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与区别开．

3．锐角三角函数

由上图，，，，，把锐角的正弦、余弦、正切、余切都叫做的锐角三角函数。

锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目。

问：锐角三角函数能否为负数？

学生回答这个问题很容易。

4．特殊角的三角函数。

①教师出示幻灯片

请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下图）

；

；

；

；

；

．

通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想。

0°，90°正切值与余切值可引导学生查“表”，学生完全能独立查出。

5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系。

结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

即，．

练习：1）请学生回答与的值各是多少？与？与呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：与有何关系？为什么？与呢？

2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。

6．例题

【例1】求下列各式的值：

（1）；

（2）．

解：（1）；（2）＝2．练习1．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．2．填空：（1）（2）若，则锐角（3）若，则锐角学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力。（四）总结扩展请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及与关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．结合及，可扩展为．六、布置作业1．看教材P12～P14，培养学生看书习惯。2．教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6．七、板书设计第二课时一、教学目标1．巩固正、余切概念，学会用正、余切来解决问题．2．通过例题教学，培养学生分析问题、解决问题的能力；通过归纳、概括，培养学生逻辑思维能力。3．培养学生独立思考、勇于创新的精神及良好的学习习惯。二、学法引导1．教学方法：指导探索研究法。2．学生学法：主动探索研究法。三、重点、难点、疑点及解决办法1．重点：用正、余切解直角三角形。2．难点：灵活运用正切、余切。3．疑点：学生可能对正切、余切概念掌握不牢，导致出现之类的错误，教学中应引起重视，使学生熟能生巧。4．解决办法：通过教师精心引导，学生积极思维，主动研究发现，及练习巩固解决重难点及疑点。四、教具准备投影机（或电脑）、自制投影片（或课件）、三角板五、教学步骤（一）明确目标结合图，说出什么是的正切、余切？请班级里较差学生回答，以检测其掌握情况．2．与具有什么关系？答：（或或）．3．互为余角的正切值与余切值具有什么关系？答：，3．互为余角的正切值与余切值具有什么关系？答：，4．在0°～90°间，正切、余切值随角度变化而变化的规律是什么？通过以上四个问题，使学生对新学的知识有了系统的认识，便于应用．对概念的巩固最好的途径是配备练习题．因此，教师在引导学生复习有关概念后，应出示练习题（投影片）．1．在中，为直角，、、所对的边分别为。①若，，则，，，②若，则2．比较大小：①②③④3．计算题：①；②．（二）整体感知本课安排在本小节末，运用本小节的知识去解决一个简单问题，再次为本章第二节解直角三角形做好准备．当然，这个问题只用上一小节学过的正弦、余弦也可以解决，不过那样做，就要先求出斜边，解的过程要繁琐一些。（三）教学过程1．讲授新课【例】在中，为直角，所对的边分别是，已知，，求（保留两位有效数字）．这个题是本大节知识的综合运用，考查知识点面面俱到，是检查全体学生是否全面达到教学目标要求有效途径，教学中应引导学生全体参与，积极地探求各种解法，然后加以比较，优选出最佳方法，以培养学生思维的敏捷性、深刻性，形成良好的思维品质。分析：本题已知和，求，观察图不难发现，边恰好是的对边与邻邦边，因此求可选用以下两个关系式：（1），（2）．请学生比较一下，哪一个关系计算更简便呢？答：若选用，由此得，用除以含四位有效数字的数，计算比较麻烦；而选用，由此得．用乘以含四位有效数字的数，计算相对方便．解：，∴解完例题之后，应引导学生小结：本题显示了“除法与乘法在一定条件下可以互相转化”，其中“条件”是与互为倒数．认真分析和利用这种转化，有时可使计算简便．2．巩固练习本节课实际上是对前面课的综合，通过对前面知识的综合运用，以培养学生的比较、分析、概括等逻辑思维能力．因此例题后应安排练习题如下：在中，为直角，、、所对的边分别为．（1）已知，，求和．（2）已知，，求和．（3）已知，，求．（4）已知，，求．（5）已知，，求．（6）已知，，求和（保留两位有效数字）．教法说明：给学生足够的时间，引导学生讨论、研究，筛选出最佳关系式使计算简便，既培养学生计算能力，巩固所学知识，又能培养学生的思维能力．[参考答案]（1），；（2），；（3）；（4）；（5）；（6），．3．对学有余力的学生，可引导其读教材P15想一想．使学生对正弦、余弦间的关系，正切、余切间的关系以及弦、切间的关系有所了解，保证知识的完整性，为高中三角函数的学习打下基础．教师板书．（四）总结、扩展引导学生总结：1．要认真分析直角三角形中的各边与角的三角函数关系．2．因为同一个角的可以互相转化，所以在选用关系时昼选择乘法使计算较简便．六、布置作业1．看教材P1～P17，培养学生看书习惯。2．教材P17习题A组7、8，学有余力的学生可选做B组题。七、板书设计

数学教案－基本作图教案模板

教学目标：

1、知识目标：

（1）要掌握尺规作图的方法及一般步骤；

（2）掌握五种基本作图,明确尺规作图的意义。

2、能力目标：

（1）通过“作图题”练习，提高学生的几何语言表达能力；

（2）通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.

3、情感目标：

（1）体验数学语言的简洁严谨。

（2）体会数学作图语言和图形的和谐统一。

教学重点：熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。

教学难点：作图语言的准确应用，作图的规范与准确。

教学用具：直尺，圆规

教学方法：讲练结合法

教学过程：

前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题．在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形．本节我们学习这种几何作图方法．

1、阅读教材，理解概念

学生阅读教材第一部分，并回答问题：

(1)尺规作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．

(学生使用的尺子都有刻度，这里告诉学生，直尺是用来画直线的，或者延长线段、射线成直线的．我们作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就是这里所说的直尺)

(2)基本作图：最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．

一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段，这是一种基本作图，下面再介绍几种基本作图：

练习：作一条线段等于已知线段

2、讲解例题，熟悉语言

教师边作图边用语言叙述作法，让学生听懂。

前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等，进而达到角相等的目的．

1．作一个角等于已知角

分析：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作。对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假设∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如图2，在OA、OB、OA、OB上取点C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD．

由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，OD=OD，CD=CD，这就是前面学过的“已知三边画三角形”．

作法：1、作射线

2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D

3、以点为圆心，以OC长为半径作弧，交于

4、以点为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于

5、经过点作射线。就是所求的角

证明：连结CD、CD，由作法可知

△COD≌△COD(SSS)

∴∠COD=∠COD(全等三角形对应角相等)．

即∠AOB=∠AOB．

说明：作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它作根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．

练习：如图3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．

首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规．

然后引导学生分析题意，弄清已知是什么，求作是什么？画出已知条件(一个角)，写出已知、求作．在求作中先写出什么图形，再写使它合乎什么条件．

作法可让学生或教师作图，学生叙述作法．

让学生写出证明过程．

2．平分已知角

前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来画已知角的平分线呢？

分析：如图4，假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB如图5

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．

（2）分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C．

(3)作射线OC．

OC就是所求的射线．

证明：连结CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)．

即∠AOC=∠BOC．

小结：

(1)基本作图1、2有一个不同之点，即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部，位置有指定性，基本作图1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁．

(2)作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹)．

(3)只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．如基本作图中要写出“∠AOB就是所求的角．”

3．经过一点作已知直线的垂线

分两种情况来考虑：

(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．

(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线．

引导学生写出解题的全过程：已知、求作、作法、证明．关键地方和疑点要向学生解释清楚．

分析：现在要寻找“经过直线外一点作这条直线的垂线”的方法，能利用角平分线的作法吗？如图6，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OF，如果画出直线DE，那么∠AOB的平分线OF与直线DE垂直吗？为什么？

如果我们把D、E看成一条直线上的两点，那么点O就是这条直线外的一点，图6启发我们经过直线DE外一点O作这条直线的垂线的关键在于确定点F，你会确定点F吗？

①已知：直线AB和AB上一点C，如图7．

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：证明引导学生写出．

②已知：直线AB和AB外一点C，如图8．

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：引导学生写出，要向学生说明所取的点K必须要使它和C在AB的两旁，通过反例说明不这样作不行的道理．对教材中略去的证明要让学生补出来．提示：连结CD、CE、FD、FE，设CF与AB交于点O．首先证明△CDF≌△CEF，再证明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，从而得∠DOF=∠EOF=90°．

4．作线段的垂直平分线

先让学生理解线段垂直平分线的概念．

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．

分析：在图6中OF是线段DE的垂直平分线吗？为什么？

想一想：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么？

引导学生写出已知、求作、作法．参照1．让学生补上证明过程．以判定两个三角形全等的公理或推论为根据，做几何作图题的证明，一方面可以使学生确信作图的正确性；另一方面也可以复习巩固证明三角形全等的方法．

因为直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

小结：

作角平分线、垂线、中垂线从本质上讲是一致的：根据“SSS”公理，确定两点，从而确定所求直(射)线．

至此，基本作图共讲了5个，第一章中有一个“作一条线段等于已知线段”，本章又有4个．对于这些基本作图应该牢固掌握，灵活运用，因为它是几何作图的基础．反复练习5个基本作图，让学生熟悉解作图题的全过程，及时准确总结出几种常见几何作图语言即作图范句

例4、已知：线段

求作：，使

作法：1、作线段BC＝a

2、分别以点B、C为圆心，以为半径作弧，两弧交于点A

3、连结AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知两角和其中一角的对边，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作线段

2、在BC的同侧作

DE、EC交于点A。

为所求的三角形

证明：（略）

让学生补充证明。

3、总结归纳，便于掌握

（一）常用的作图语言：

（1）过点、作线段或射线、直线；（2）连结两点、；（3）在线段或射线上截取＝；（4）以点为圆心，以的长为半径作圆（或画弧），交于点；（5）分别以点，点为圆心，以，的长为半径作弧，两弧相交于点；（6）延长到点，使＝。

（二）作图题说明

在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

(1)作线段＝；（2）作∠＝∠；（3）作（射线）平分∠；

（4）过点作，垂足为点；（5）作线段的垂直平分线；

4、课堂练习，巩固内容

(1)平分已知角

(2)作线段的垂直平分线

学生板书并讲解,教师点评。

5、布置作业：

a、书面作业P88＃1

b、上交作业P88＃3、9

板书设计：

数学教案－切线长定理教案模板

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．

难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．

2、教法建议

本节内容需要一个课时．

（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；

（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．

教学目标

1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；

2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．

3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．

教学重点:

切线长定理是教学重点

教学难点:

切线长定理的灵活运用是教学难点

教学过程设计:

（一）观察、猜想、证明，形成定理

1、切线长的概念．

如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．

引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

2、观察

利用电脑变动点P的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．

3、猜想

引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB．PA＝PB．

4、证明猜想，形成定理．

猜想是否正确。需要证明．

组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．

想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？

∠OPA＝∠OPB(如图)等．

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

5、归纳：

把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质

6、切线长定理的基本图形研究

如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C

(1)写出图中所有的垂直关系；

(2)写出图中所有的全等三角形；

(3)写出图中所有的相似三角形；

(4)写出图中所有的等腰三角形．

说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．

（二）应用、归纳、反思

例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，

A和B是切点，BC是直径．

求证：AC∥OP．

分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作辅助线AB.

从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．

证法一．如图．连结AB．

PA，PB分别切⊙O于A，B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴OP⊥AB

又∵BC为⊙O直径

∴AC⊥AB

∴AC∥OP(学生板书)

证法二．连结AB，交OP于D

PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA＝PB∠APO＝∠BPO

∴AD＝BD

又∵BO=DO

∴OD是△ABC的中位线

∴AC∥OP

证法三．连结AB，设OP与AB弧交于点E

PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA＝PB

∴OP⊥AB

∴=

∴∠C＝∠POB

∴AC∥OP

反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力．

例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等．

（分析和解题略）

反思：（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．

P120练习：

练习1填空

如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝________

练习2已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长．

分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米．后列出关于x,y，z的方程组，解方程组便可求出结果．

（解略）

反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题．通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力．

（三）小结

1、提出问题学生归纳

（1）这节课学习的具体内容；

（2）学习用的数学思想方法；

（3）应注意哪些概念之间的区别?

2、归纳基本图形的结论

3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．

（四）作业

教材P131习题7．4A组1．(1)，2，3，4．B组1题．

探究活动

图中找错

你能找出（图1）与（图2）的错误所在吗？

在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线．

提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上．

在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，则有

a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+c①

c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+b②

a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+b③

将②代人①式得

a=P1P3+（P2P3+b）=P1P3+P2P3+b，

∴a-b=P1P3+P2P3

由③得a-b=P1P2得

∴P1P2=P2P3+P1P3

∴P1、P2、P3应重合，故图2是错误的．

数学教案－作图题举例教案模板

（1）知识结构

重点与难点分析

本节内容的重点是根据基本作图作出符合要求的几何图形。几何作图题同一般画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，这样有助于培养学生的逻辑推理能力；另外，以后复杂的作图题常用基本作图中的三角形作基础，通过三角形来完成。

本节内容的难点是如何构思作图思路，如何分解所要求作的几何图形，探索出作图步骤。比较复杂的作图题，要经过严竦胤治觯拍苷业阶魍嫉母莺头椒ǎ舛酝评砟芰Φ囊蟊冉细摺６愿崭?lt;STRONG>学习几何作图问题的初二学生来讲，他们会感到困难的，所以把上述作为难点来对待。

教法建议

本节课教学模式的选择与学习方法主要是通过师生互动交流、学生群体互动交流，教给学生学习数学的切实方法。让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

（1）本节课开始，由同学们写出五种基本作图并作图，保留痕迹。要求同桌互相检查，从一开始就鼓励双边交流与多边交流。体现以“学生为主体”的教学思想。

（2）出示问题（例1，例2，例3），让学生主动探索解决。

对例1学生可以独立思考或者相互讨论。教师巡视，若发现有一些学生已经通过某种途径获得问题的解答，则可以让学生表述自己的解法，否则可以启发。教师注意强调作图题的有关事项。

对例2、例3仍是学生思考与交流。需要的话，教师应当提供必要的帮助：大家是否有点困难？有没有思路？你是否知道自己要达到的目的，或者说你想得到什么（必要的话，可以提示学生回顾一下例1作法过程）然后，让学生试着写出作法，利用投影展示学生的作品，师生共同纠正完善。

这一过程给学生提供了自主活动的机会，通过尝试几个实例，进而获得作图题的一般解题思路和方法。讲清尺规作图题的如何分析作法的来源。

教学目标：

1、知识目标：

（1）能够利用基本作图作出符合要求作的几何图形；

（2）熟练作图的规范语言；

2、能力目标：

（1）通过作图题，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维与推理能力；

（2）通过作图问题的解决，提高作图的技能和技巧.

3、情感目标：

通过作图练习，培养学生良好的书写习惯.

教学重点：根据基本作图作出符合要求的几何图形.

教学难点：如何构思作图思路，如何分解所要求作的几何图形，探索出作图步骤.

教学用具：直尺，微机

教学方法：自学辅导

教学过程：

1、复习引入

（1）五种基本作图是什么？（学生回答后，投影显示）

（2）学生在练习本上画出五种基本作图（不写作法，保留痕迹）

教师巡视，并指导个别学生.

2、新课

（1）讲解例1：教师注重作法的思路分析，并板书作法.

例1已知两边及其夹角，求作三角形.

已知：，线段，如图，

求作：，使A＝，AB＝，AC＝

作法：1、作MAN＝

2、在射线AM、AN上分别作线段AB＝，AC＝

3、连结BC

为所求作的三角形

强调说明：

①一般几何作图题的步骤：已知、求作、作法、证明.在一般情况下，只要求掌握已知、求作、作法三个步骤.

②几何作图题的作法的书写规定：在几何作图题中，要反复用到上节学过的基本作图，但不需重复基本作图过程，只要写出是哪个基本作图就可以了.例如“作MAN＝”

③作图语言要规范.

（2）讲解例2

①（投影）例2已知底边，底边上的高，求作等腰三角形.

已知：线段、

求作：，使AB＝AC，且BC＝，高AD＝

②学生思考，教师点拨.

③找学生代表口述作法，教师板书.

作法：1、作线段BC＝

2、作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D

3、在MN上截取DA，使DA＝

4、连结AB、AC

为所求的等腰三角形

（3）讲解例3

①（投影）例3求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段

已知：线段

求作：，使∠A＝，AB＝AC，BC＝

②学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论

③找学生代表口述作法思路

思路1：作两直角的平分线

思路2：先作一个角为，然后再作另一个角与其相等

思路3：先作一个角为，再作直角.

思路4：利用等腰直角三角形的性质，斜边上的高等于斜边的一半.

师生共同讨论，说明各种思路的优势.

3、课堂小结：

一些简单作图都是由基本作图组成的，由此，在几何作图时，先应画出草图分析，将简单的尺规作图分解为若干个基本作图.

4、布置作业：

a、书面作业P88＃7

b、上交作业P88＃11、12

c、思考题：如图

板书设计：

数学教案－数学

数怎么不够用了

年级：初一执笔：徐城审核：授课时间：2004/9/16

2、掌握有理数的两种分类方法；

3、熟练地将有理数按一定的要求分类。

一、前提测评：

1、请同学们完成下列计算：（注意观察图形所表达的含义）

加10分扣10分得0分

集体举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分，每个队的基本分均分为0分，四个代表答题情况如下表：

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

总得分

第一队

得分

第二队

得分

第三队

得分

第四队

得分

㈡自我评价

1、小结

1、对于比0分低的得分，我们引进“—”号。例：比0低10分表示为

“－10”。

对于比0分高的得分，我们引进“+”号。例：比0高10分表示为“+10”。

2、我们常常用负数：正数表示相反意义的量。

2、概念：

1、正数：像+5、1.2、…这样的数，举例如：_________________________（正数前“+”号可写可不写）。

2、负数：在正数前面加上“—”号的数，举例如：_________________（负数前“—”号不可以省略）。

3、0既不是正数也不是负数。

3、练习：把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合里。

+684+9.15—120—1—0.01

正数集合负数集合

4、数的大小：所有的正数都大于0，所有的负数都小于0。

5、练习，比较大小：0—50+0.0010—100（填＞、＜＝。

6、正负数的意义，表示相反意义的量，例：如果零下5℃记作“+5℃”，那么零下5℃记作“—5℃”。

练习：（1）某人转动方向盘，如果+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈表示为。

（2）某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克，记作+0.02克，那么—0.03克表示______________。

（3）在4个不同时刻，对同一水池中的水位进行测量，记录如下：

上升3厘米下降6厘米下降1厘米不升不降

7、数的分类：正数正整数如：1、2、3…

（1）有理数如：、0.1、…

0

负数如：—1、—2、—3…

如：—、—0.1、—…

正整数如：1、2、3…

整数

（2）有理数如：—1、—2、—3…

分数如：1、0.1、+

如：—0.3、—、—4…

练习：把下列各数填在相应的大括号里：

2，—3.5，0，+32，—0.8，—3，—10，25%，+，0.0001

①正整数集合｛…｝；

②负整数集合｛…｝；

③正分数集合｛…｝；

④负分数集合｛…｝；

⑤有理数集合｛…｝。

8、小结：①有理数分数类；

②负数的意义。

一、判断：

（1）0既是正数，也是负数。（）

（2）一个数不是正数就是负数。（）

（3）0是最小的正整数。（）

（4）一个数不是正数就是负数或零。（）

（5）0是整数但不是正数。（）

（6）正数和负数统称有理数。（）

二、填空：

（1）高于海平面1250米的地方高度表示为海拔+1250米，低于海平面37米的地方高度表示为海拔米。

（2）如果+20%表示增加20%，那么—6%表示。

（3）某日傍晚，黄山的气温由中午的零上2℃下降了7℃，这天傍晚黄山的气温是_____℃，这天傍晚黄山的气温是_____℃。

（4）_____统称整数，_____统称分数。整数和分数统称_____。

（5）比较大小0___—5—___0100___25+0.101___0

（6）将下列各数填在相应的集合内：

—135.20—7+—0.12π35%880+20

整数集合｛…｝；分数集合｛…｝；

（2）小明和小华同时从A地出发，如果小明向东走36米记为+36米，则小华向西走记作_____米，这时两人相距_____米。

数学教案－

课题函数（二）

一、教学目的

1．使学生理解自变量的取值范围和函数值的意义。

2．使学生理解求自变量的取值范围的两个依据。

3．使学生掌握关于解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并会求其函数值。

4．通过求函数中自变量的取值范围使学生进一步理解函数概念。

二、教学重点、难点

重点：函数自变量取值的求法。

难点：函灵敏处变量取值的确定。

三、教学过程

复习提问

1．函数的定义是什么？函数概念包含哪三个方面的内容？

2．什么叫分式？当x取什么数时，分式x+2/2x+3有意义？

（答：分母里含有字母的有理式叫分式，分母≠0，即x≠3/2。）

3．什么叫二次根式？使二次根式成立的条件是什么？

（答：根指数是2的根式叫二次根式，使二次根式成立的条件是被开方数≥0。）

4．举出一个函数的实例，并指出式中的变量与常量、自变量与函数。

新课

1．结合同学举出的实例说明解析法的意义：用教学式子表示函数方法叫解析法。并指出，函数表示法除了解析法外，还有图象法和列表法。

2．结合同学举出的实例，说明函数的自变量取值范围有时要受到限制这就可以引出自变量取值范围的意义，并说明求自变量的取值范围的两个依据是：

（1）自变量取值范围是使函数解析式（即是函数表达式）有意义。

（2）自变量取值范围要使实际问题有意义。

3．讲解P93中例2。并指出例2四个小题代表三类题型：（1），（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；（3）题给出的是只含有一个自变量的分式；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式。

推广与联想：请同学按上述三类题型自编3个题，并写出解答，同桌互对答案，老师评讲。

4．讲解P93中例3。结合例3引出函数值的意义。并指出两点：

（1）例3中的4个小题归纳起来仍是三类题型。

（2）求函数值的问题实际是求代数式值的问题。

补充例题

求下列函数当x=3时的函数值：

（1）y=6x-4；（2）y=--5x2；（3）y=3/7x-1；（4）。

（答：（1）y=14；（2）y=-45；（3）y=3/20；（4）y=0。）

小结

1．解析法的意义：用数学式子表示函数的方法叫解析法。

2．求函数自变量取值范围的两个方法（依据）：

（1）要使函数的解析式有意义。

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。

3．求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相庆原函数值。

练习：P94中1，2，3。

作业：P95~P96中A组3，4，5，6，7。B组1，2。

四、教学注意问题

1．注意渗透与训练学生的归纳思维。比如例2、例3中各是4个小题，对每一个例题均可归纳为三类题型。而对于例2、例3这两道例题，虽然要求各异，但题目结构仍是三类题型：整式、分式、二次根式。

2．注意训练与培养学生的优质联想能力。要求学生仿照例题自编题目是有效手段。

3．注意培养学生对于“具体问题要具体分析”的良好学习方法。比如对于有实际意义来确定，由于实际问题千差万别，所以我们就要具体分析，灵活处置。

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