4.2解一元一次方程（4）_教案模板

教学目标1．使学生掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法；2．培养学生观察、分析、归纳及概括的能力，加强他们的运算能力．教学重点：含有以常数为分母的一元一次方程的解法．教学难点：正确地去分母．（一）情境创设：与书同（二）探索活动由情景问题入手，引导学生审清题意，根据等量关系：学生总数的＋学生总数的＋学生总数的＋3＝学生总数列出方程.即设毕达哥拉斯的学生有x名，想一想由题意得＋＋＋3＝x.学生独立思考问题，尝试解方程，交流自己的解法，相互加以比较.思考：(1)怎样才能将它化成上节课中所学的方程的类型？(去分母)(2)如何去分母？(方程的每一项都乘以分母的最小公倍数)（三）自学例题1、解方程－＝－1解：(本题应如何去分母？学生答)去分母，得4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12，去括号，得移项，得合并同类项，得-8x=-4，系数化1，得x＝(1)为了去分母，方程两边应乘以什么数？.(2)去分母应注意什么？.例2、解方程＝＋1例3、（2x-5）=(x-3)-去分母时须注意：（1）（2）不要漏乘没有分母的项；（3）分数线有括号作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体.建议进行专项训练，如，－乘以6，8……例4、－＝3总结：解方程的一般步骤：1、去分母；2、去括号；3、移项；4、合并同类项；5、系数化为1（四）、教学小结：首先，应让学生思考以下问题，并回答：1．形式上比较复杂的一元一次方程是怎样求解的？2．它的解法的主要思路是什么？3．它的解法的主要步骤是什么？在计算或变形时，要养成良好的教学习惯，注意书写格式的规范性，避免在去分母，去括号、移项时易犯的错误．

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可化为一元一次方程的分式方程

一、教学目标

1．使学生理解分式方程的意义．

2．使学生掌握的一般解法．

3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．

4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．

5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．

二、教学重点和难点

1．教学重点：

(1)的解法．

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．

2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因．

三、教学方法

启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．

四、教学手段

演示法和同学练习相结合，以练习为主．

五、教学过程

(一)复习及引入新课

1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有未知数的等式叫做方程．

使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

2．

解：(1)当时，

左边=，

右边=0，

∴左边=右边，

∴

(2)

(3)

3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式：，根据量间的关系列出方程：

这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．

(二)新课

板书课题：

板书：分式方程的定义．

分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．

练习：判断下列各式哪个是分式方程．（投影）

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)

在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．

1、如何求解方程？

先由同学讨论如何解这个方程．

在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？方程两边同乘最简公分母.

解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得

90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.

如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．

检验：把x=18代入原方程

,

左边=右边

∴x=18是原方程的解．

2、如何解方程?

此题可由学生讨论解决.

解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2

解整式方程，得x=1.

x=1时原方程的解是否正确？

检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.

∴原方程无解．

讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？

分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解．

在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解．

在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解．

像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．

注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验．

由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．

例1、解方程

对于例题给学生示范做题的格式、步骤.（投影显示步骤格式）

解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得

5(x-2)=7x解这个整式方程，得

x=5．

检验：把x=-5代入最简公分母

x(x-2)=35≠0，

∴x=-5是原方程的解．

例2、解方程

解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得

1=x-1-3(x-2)．（-3这项不要忘乘）

解这个整式方程，得

x=2．

检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，

∴x=2是增根，

∴原方程无解．

注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.

(三)总结

解分式方程的一般步骤：

1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．

2．解这个整式方程．

3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

(四)练习

教材P．98中1由学生在黑板上写，教师订正．

六、作业

教材P．101中1．

七、板书设计

经典初中教案一元一次方程它的解法

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．要求学生学会用移项解方程的方法．

2．使学生掌握移项变号的基本原则．

（二）能力训练点

由移项变形方法的教学，培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力．

（三）德育渗透点

用代数方法解方程中，渗透了数学中的化未知为已知的重要数学思想．

（四）美育渗透点

用移项法解方程明显比用前面的方法解方程方便，体现了数学的方法美．

二、学法引导

1．教学方法：采用引导发现法发现法则，课堂训练体现学生的主体地位，引进竞争机制，调动课堂气氛．

2．学生学法：练习→移项法制→练习

三、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：移项法则的掌握．

2．难点：移项法解一元一次方程的步骤．

3．疑点：移项变号的掌握．

四、课时安排

3课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片、复合胶片．

六、师生互动活动设计

教师出示探索性练习题，学生观察讨论得出移项法则，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成．

七、教学步骤

（一）创设情境，复习导入

师提出问题：上节课我们研究了方程、方程的解和解方程的有关知识，请同学们首先回顾上节课的有关内容；回答下面问题．

（出示投影1）

利用等式的性质解方程

(1)；(2)；

解：方程的两边都加7，解：方程的两边都减去，

得，得，

即．合并同类项得．

【教法说明】通过上面两小题，对用等式性质解方程进行巩固、回忆，为讲解新方法奠定基础．

提出问题：下面我们观察上面方程的变形过程，从中观察变化的项的规律是什么？

（二）探索新知，讲授新课

投影展示上面变形的过程，用制作复合式运动胶片将上面的变形展示如下，让学生观察在变形过程中，变化的项的变化规律，引出新知识．

（出示投影2）

师提出问题：1．上述演示中，两个题目中的哪些项改变了在原方程中的位置？怎样变的？

2．改变的项有什么变化？

学生活动：分学习小组讨论，各组把讨论的结果派代表上报教师，最好分四组，这样节省时间．

师总结学生活动的结果：大家讨论的结论，有如下共同点：①方程(1)的已知项从左边移到了方程右边，方程(2)的项从右边移到了左边；②这些位置变化的项都改变了原来的符号．

【教法说明】在这里的投影变化中，教师要抓住时机，让学生发现变化的规律，准确掌握这种变化的法则，也是为以后解更复杂方程打下好的基础．

师归纳：像上面那样，把方程中的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．这里应注意移项要改变符号．

（三）尝试反馈，巩固练习

师提出问题：我们可以回过头来，想一想刚解过的两个方程哪个变化过程可以叫做移项．

学生活动：要求学生对课前解方程的变形能说出哪一过程是移项．

【教法说明】可由学生对前面两个解方程问题用移项过程，重新写一遍，以理解解方程的步骤和格式．

对比练习：（出示投影3）

解方程：(1)；(2)；

(3)；(4)．

学生活动：把学生分四组练习此题，一组、二组同学(1)(2)题用等式性质解，(3)(4)题移项变形解；三、四组同学(1)(2)题用移项变形解，(3)(4)题用等式性质解．

师提出问题：用哪种方法解方程更简便？解方程的步骤是什么？（答：移项法；移项、合并同类项、检验．）

【教法说明】这部分教学旨在于使学生学会用移项这一手段解方程的方法，通过学生动手尝试，理解解方程的步骤，从而掌握移项这一法则．

巩固练习：（出示投影4）

通过移项解下列方程，并写出检验．

(1)；(2)；

(3)；(4)．

【教法说明】这组题训练学生解题过程的严密性，故采取学生亲自动手做，四个同学板演形式完成．

（四）变式训练，培养能力

（出示投影5）

口答：

1．下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应怎样改正？

(1)从，得到；

(2)从，得到；

(3)从，得到；

2．小明在解方程时，是这样写的解题过程：；

(1)小明这样写对不对？为什么？

(2)应该怎样写？

【教法说明】通过以上两题进一步印证移项这种变形的规律，即“移项要变号”．要使学生认清这里的移项是把某项从方程的一边移到另一边而不是在同一边交换位置，弄懂解方程的书写格式是方程在变形，变形时保持“左右两边相等”这一数学模式．

（出示投影6）

用移项解方程：

(1)；(2)；

(3)；(4)．

【教法说明】这组题增加了难度，即移项变形是左右两边都有可移的项，教学时由学生思考后再进行解答书写，可提醒学生先分组讨论，各组由一名同学叙述解题过程，教师归纳出最严密最精炼的解题过程，最后全体学生都做这几个题目．

学生活动：5分钟竞赛：规则是分两大组，基础分100分，每组同学全对1人加10分，不全对1人减10分，互相判题，学习委员记分．

（出示投影7）

解下列方程：

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)；(6)．

【教法说明】这组题用竞赛的形式，由学生独立完成是为了培养学生的解方程的速度和能力，同时激发学生的竞争意识，从而达到调动全体学生参与的目的，而互相评判更增加了课堂上的民主意识．

（五）归纳小结

师：今天我们学习了解方程的变形方法，通过学习我们应该明确两个方面的问题：①解方程需把方程中的项从一边移到另一边，移项要变号这是重点．②检验要把所得未知数的值代入原方程．

八、随堂练习

1．判断下列移项是否正确

(1)从得（）

(2)从得（）

(3)从得（）

(4)从得（）

2．选择题

(1)对于方程，移项正确的是（）

A．B．

C．D．

(2)对于方程移项正确的是（）

A．B．

C．D．

3．用移项法解方程，并写出检验

(1)；

(2)；

(3)．

九、布置作业

课本第205页A组1．(1)(3)(5)．

十、板书设计

随堂练习答案

1．×××√

2．DC

3．略

作业答案

(5)

解：移项得

合并同类项得

检验：略

探究活动

运动与学习成绩

班里共有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会打篮球．全部掌握这三种运动项目的学生一个也没有．在这25个学生中，有6人数学成绩不及格．而参加以上运动的学生中，有2人数学成绩优秀，没有数学不及格的(学习成绩分优秀、良好、及格、不及格)．问：全班数学成绩优秀的学生有几名？既会游泳又会打篮球的有几人？

参考答案:

全班数学成绩及格的学生有25-6=19(人)，参加运动的人次共有17+13+8=38，因没有一个学生掌握三个运动项目，且数学没有不及格的，所以参加运动的学生共19人．每人掌握两个运动项目，19人中有17个会骑自行车，只有两个学生同时会游泳又会打篮球．

参加运动的共19人，且数学成绩全部及格，不参加运动的数学全不及格，所以全班数学成绩优秀的学生只有2名．

数学教案－一元一次方程它的解法

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．要求学生学会用移项解方程的方法．

2．使学生掌握移项变号的基本原则．

（二）能力训练点

由移项变形方法的教学，培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力．

（三）德育渗透点

用代数方法解方程中，渗透了数学中的化未知为已知的重要数学思想．

（四）美育渗透点

用移项法解方程明显比用前面的方法解方程方便，体现了数学的方法美．

二、学法引导

1．教学方法：采用引导发现法发现法则，课堂训练体现学生的主体地位，引进竞争机制，调动课堂气氛．

2．学生学法：练习→移项法制→练习

三、重点、难点、疑点及解决办法

1．重点：移项法则的掌握．

2．难点：移项法解一元一次方程的步骤．

3．疑点：移项变号的掌握．

四、课时安排

3课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片、复合胶片．

六、师生互动活动设计

教师出示探索性练习题，学生观察讨论得出移项法则，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成．

七、教学步骤

（一）创设情境，复习导入

师提出问题：上节课我们研究了方程、方程的解和解方程的有关知识，请同学们首先回顾上节课的有关内容；回答下面问题．

（出示投影1）

利用等式的性质解方程

(1)；(2)；

解：方程的两边都加7，解：方程的两边都减去，

得，得，

即．合并同类项得．

【教法说明】通过上面两小题，对用等式性质解方程进行巩固、回忆，为讲解新方法奠定基础．

提出问题：下面我们观察上面方程的变形过程，从中观察变化的项的规律是什么？

（二）探索新知，讲授新课

投影展示上面变形的过程，用制作复合式运动胶片将上面的变形展示如下，让学生观察在变形过程中，变化的项的变化规律，引出新知识．

（出示投影2）

师提出问题：1．上述演示中，两个题目中的哪些项改变了在原方程中的位置？怎样变的？

2．改变的项有什么变化？

学生活动：分学习小组讨论，各组把讨论的结果派代表上报教师，最好分四组，这样节省时间．

师总结学生活动的结果：大家讨论的结论，有如下共同点：①方程(1)的已知项从左边移到了方程右边，方程(2)的项从右边移到了左边；②这些位置变化的项都改变了原来的符号．

【教法说明】在这里的投影变化中，教师要抓住时机，让学生发现变化的规律，准确掌握这种变化的法则，也是为以后解更复杂方程打下好的基础．

师归纳：像上面那样，把方程中的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项．这里应注意移项要改变符号．

（三）尝试反馈，巩固练习

师提出问题：我们可以回过头来，想一想刚解过的两个方程哪个变化过程可以叫做移项．

学生活动：要求学生对课前解方程的变形能说出哪一过程是移项．

【教法说明】可由学生对前面两个解方程问题用移项过程，重新写一遍，以理解解方程的步骤和格式．

对比练习：（出示投影3）

解方程：(1)；(2)；

(3)；(4)．

学生活动：把学生分四组练习此题，一组、二组同学(1)(2)题用等式性质解，(3)(4)题移项变形解；三、四组同学(1)(2)题用移项变形解，(3)(4)题用等式性质解．

师提出问题：用哪种方法解方程更简便？解方程的步骤是什么？（答：移项法；移项、合并同类项、检验．）

【教法说明】这部分教学旨在于使学生学会用移项这一手段解方程的方法，通过学生动手尝试，理解解方程的步骤，从而掌握移项这一法则．

巩固练习：（出示投影4）

通过移项解下列方程，并写出检验．

(1)；(2)；

(3)；(4)．

【教法说明】这组题训练学生解题过程的严密性，故采取学生亲自动手做，四个同学板演形式完成．

（四）变式训练，培养能力

（出示投影5）

口答：

1．下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应怎样改正？

(1)从，得到；

(2)从，得到；

(3)从，得到；

2．小明在解方程时，是这样写的解题过程：；

(1)小明这样写对不对？为什么？

(2)应该怎样写？

【教法说明】通过以上两题进一步印证移项这种变形的规律，即“移项要变号”．要使学生认清这里的移项是把某项从方程的一边移到另一边而不是在同一边交换位置，弄懂解方程的书写格式是方程在变形，变形时保持“左右两边相等”这一数学模式．

（出示投影6）

用移项解方程：

(1)；(2)；

(3)；(4)．

【教法说明】这组题增加了难度，即移项变形是左右两边都有可移的项，教学时由学生思考后再进行解答书写，可提醒学生先分组讨论，各组由一名同学叙述解题过程，教师归纳出最严密最精炼的解题过程，最后全体学生都做这几个题目．

学生活动：5分钟竞赛：规则是分两大组，基础分100分，每组同学全对1人加10分，不全对1人减10分，互相判题，学习委员记分．

（出示投影7）

解下列方程：

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)；(6)．

【教法说明】这组题用竞赛的形式，由学生独立完成是为了培养学生的解方程的速度和能力，同时激发学生的竞争意识，从而达到调动全体学生参与的目的，而互相评判更增加了课堂上的民主意识．

（五）归纳小结

师：今天我们学习了解方程的变形方法，通过学习我们应该明确两个方面的问题：①解方程需把方程中的项从一边移到另一边，移项要变号这是重点．②检验要把所得未知数的值代入原方程．

八、随堂练习

1．判断下列移项是否正确

(1)从得（）

(2)从得（）

(3)从得（）

(4)从得（）

2．选择题

(1)对于方程，移项正确的是（）

A．B．

C．D．

(2)对于方程移项正确的是（）

A．B．

C．D．

3．用移项法解方程，并写出检验

(1)；

(2)；

(3)．

九、布置作业

课本第205页A组1．(1)(3)(5)．

十、板书设计

随堂练习答案

1．×××√

2．DC

3．略

作业答案

(5)

解：移项得

合并同类项得

检验：略

探究活动

运动与学习成绩

班里共有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会打篮球．全部掌握这三种运动项目的学生一个也没有．在这25个学生中，有6人数学成绩不及格．而参加以上运动的学生中，有2人数学成绩优秀，没有数学不及格的(学习成绩分优秀、良好、及格、不及格)．问：全班数学成绩优秀的学生有几名？既会游泳又会打篮球的有几人？

参考答案:

全班数学成绩及格的学生有25-6=19(人)，参加运动的人次共有17+13+8=38，因没有一个学生掌握三个运动项目，且数学没有不及格的，所以参加运动的学生共19人．每人掌握两个运动项目，19人中有17个会骑自行车，只有两个学生同时会游泳又会打篮球．

参加运动的共19人，且数学成绩全部及格，不参加运动的数学全不及格，所以全班数学成绩优秀的学生只有2名．

含字母系数的一元一次方程初中教案精选

教学目标

1．使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程．

2．使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法．

3．使学生会进行简单的公式变形．

4．培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力．5．通过公式变形例题，培养学生解决实际问题的能力，激发学生的求知欲望和学习兴趣．

教学重点：

(1)含有字母系数的一元一次方程的解法．

(2)公式变形．

教学难点：

(1)对字母函数的理解，并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系．

(2)在公式中会准确区分未知数与字母系数，并进行正确的公式变形．

教学方法

启发式教学和讨论式教学相结合

教学手段

多媒体

教学过程

(一)复习提问

提出问题：

1．什么是一元一次方程？

在学生答的基础上强调：(1)“一元”——一个未知数；“一次”——未知数的次数是1．

2．解一元一次方程的步骤是什么？

答：(1)去分母、去括号．

(2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边．

注意：移项要变号．

(3)合并同类项——提未知数．

(4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数，从而解得方程．

(二)引入新课

提出问题：一个数的a倍(a≠0)等于b，求这个数．

引导学生列出方程：ax=b(a≠0)．

让学生讨论：

(1)这个方程中的未知数是什么？已知数是什么？(a、b是已知数，x是未知数)

(2)这个方程是不是一元一次方程？它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系？(这个方程满足一元一次方程的定义，所以它是一元一次方程．)

强调指出：ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母)．a是x的系数，b是常数项．

(三)新课

1．含有字母系数的一元一次方程的定义

ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程．

2．含有字母系数的一元一次方程的解法

教师提问：ax=b(a≠0)是一元一次方程，而a、b是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样，如下解出方程：

ax=b(a≠0)．

由学生讨论这个解法的思路对不对，解的过程对不对？

在学生讨论的基础上，教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系．

含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤．)

特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零．

3．讲解例题

例1解方程ax+b2=bx+a2(a≠b)．

解：移项，得ax-bx=a2-b2，

合并同类项，得(a-b)x=a2-b2．

∵a≠b，∴a-b≠0．

x=a+b．

注意：

1．在没有特别说明的情况下，一般x、y、z表示未知数，a、b、c表示已知数．

2．在未知项系数化为1这一步是最易出错的一步，一定要说明未知项系数(式)不为零之后才可以方程两边同除以未知项系数(式)．

3．方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式．

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可化为一元一次方程的分式方程初中教案精选

一、教学目标

1．使学生理解分式方程的意义．

2．使学生掌握的一般解法．

3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．

4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．

5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．

二、教学重点和难点

1．教学重点：

(1)的解法．

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．

2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因．

三、教学方法

启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．

四、教学手段

演示法和同学练习相结合，以练习为主．

五、教学过程

(一)复习及引入新课

1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有未知数的等式叫做方程．

使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

2．

解：(1)当时，

左边=，

右边=0，

∴左边=右边，

∴

(2)

(3)

3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式：，根据量间的关系列出方程：

这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．

(二)新课

板书课题：

板书：分式方程的定义．

分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．

练习：判断下列各式哪个是分式方程．（投影）

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)

在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．

1、如何求解方程？

先由同学讨论如何解这个方程．

在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？方程两边同乘最简公分母.

解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得

90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.

如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．

检验：把x=18代入原方程

,

左边=右边

∴x=18是原方程的解．

2、如何解方程?

此题可由学生讨论解决.

解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2

解整式方程，得x=1.

x=1时原方程的解是否正确？

检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.

∴原方程无解．

讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？

分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解．

在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解．

在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解．

像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．

注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验．

由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．

例1、解方程

对于例题给学生示范做题的格式、步骤.（投影显示步骤格式）

解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得

5(x-2)=7x解这个整式方程，得

x=5．

检验：把x=-5代入最简公分母

x(x-2)=35≠0，

∴x=-5是原方程的解．

例2、解方程

解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得

1=x-1-3(x-2)．（-3这项不要忘乘）

解这个整式方程，得

x=2．

检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，

∴x=2是增根，

∴原方程无解．

注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.

(三)总结

解分式方程的一般步骤：

1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．

2．解这个整式方程．

3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

(四)练习

教材P．98中1由学生在黑板上写，教师订正．

六、作业

教材P．101中1．

七、板书设计

含字母系数的一元一次方程相关教学方案

教学目标

1．使学生正确认识含有字母系数的一元一次方程．

2．使学生掌握含有字母系数的一元一次方程的解法．

3．使学生会进行简单的公式变形．

4．培养学生由特殊到一般、由一般到特殊的逻辑思维能力．5．通过公式变形例题，培养学生解决实际问题的能力，激发学生的求知欲望和学习兴趣．

教学重点：

(1)含有字母系数的一元一次方程的解法．

(2)公式变形．

教学难点：

(1)对字母函数的理解，并能准确区分字母系数与数字系数的区别与联系．

(2)在公式中会准确区分未知数与字母系数，并进行正确的公式变形．

教学方法

启发式教学和讨论式教学相结合

教学手段

多媒体

教学过程

(一)复习提问

提出问题：

1．什么是一元一次方程？

在学生答的基础上强调：(1)“一元”——一个未知数；“一次”——未知数的次数是1．

2．解一元一次方程的步骤是什么？

答：(1)去分母、去括号．

(2)移项——未知项移到等号一边常数项移到等号另一边．

注意：移项要变号．

(3)合并同类项——提未知数．

(4)未知项系数化为1——方程两边同除以未知项系数，从而解得方程．

(二)引入新课

提出问题：一个数的a倍(a≠0)等于b，求这个数．

引导学生列出方程：ax=b(a≠0)．

让学生讨论：

(1)这个方程中的未知数是什么？已知数是什么？(a、b是已知数，x是未知数)

(2)这个方程是不是一元一次方程？它与我们以前所见过的一元一次方程有什么区别与联系？(这个方程满足一元一次方程的定义，所以它是一元一次方程．)

强调指出：ax=b(a≠0)这个一元一次方程与我们以前所见过的一元一次方程最大的区别在于已知数是a、b(字母)．a是x的系数，b是常数项．

(三)新课

1．含有字母系数的一元一次方程的定义

ax=b(a≠0)中对于未知数x来说a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程，今天我们就主要研究这样的方程．

2．含有字母系数的一元一次方程的解法

教师提问：ax=b(a≠0)是一元一次方程，而a、b是已知数，就可以当成数看，就像解一般的一元一次方程一样，如下解出方程：

ax=b(a≠0)．

由学生讨论这个解法的思路对不对，解的过程对不对？

在学生讨论的基础上，教师归纳总结出含有字母函数的一元一次方程和过去学过的一元一次方程的解法的区别和联系．

含有字母系数的一元一次方程的解法和学过的含有数字系数的一元一次方程的解法相同．(即仍需要采用去分母、去括号、移项、合并同类项、方程两边同除以未知数的系数等步骤．)

特别注意：用含有字母的式子去乘或者除方程的两边，这个式子的值不能为零．

3．讲解例题

例1解方程ax+b2=bx+a2(a≠b)．

解：移项，得ax-bx=a2-b2，

合并同类项，得(a-b)x=a2-b2．

∵a≠b，∴a-b≠0．

x=a+b．

注意：

1．在没有特别说明的情况下，一般x、y、z表示未知数，a、b、c表示已知数．

2．在未知项系数化为1这一步是最易出错的一步，一定要说明未知项系数(式)不为零之后才可以方程两边同除以未知项系数(式)．

3．方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式．

例2、解方程

分析：去分母时，要方程两边同乘ab，而需ab≠0，那么题目中有没有这个条件呢？有隐含条件a≠0，b≠0．

解：b(x-b)=2ab-a(x-a)(a+b≠0)．

bx-b2=2ab-ax+a2(去分母注意“2”这项不要忘记乘以最简公分母．)

ba+ax=a2+2ab+b2

(a+b)x=(a+b)2．

∵a+b≠0，

∴x=a+b．

(四)课堂练习

解下列方程：

教材P．90．练习题1—4．

补充练习：

5．a2(x+b)=b2(x+a)(a2≠b2)．

解：a2x+a2b=b2x+ab2

(a2-b2)x=ab(b-a)．

∵a2≠b2，∴a2-b2≠0

解：2x(a-3)-(a+2)(a-3)=x(a+2)

(a-b)x=(a+2)(a-3)．

∵a≠8，∴a-8≠0

(五)小结

1．这节课我们要理解含有字母系数的一元一次方程的概念，掌握含有字母系数的方程与数字系数方程的区别与联系．

2．含有字母系数的方程的解法与只含有数字系数的方程的解法相同．但必须注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这式子的值不能为零．

六、布置作业

教材P．93．A组1—6；B组1、

注意：A组第6题要给些提示．

七、板书设计

探究活动

a=bc型数量关系

问题引入：

问题设置：有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其中长度的值，怎样做比较简捷？（使用的工具不限，可以从中先取一段作为检验样品）

提示：由于电线的粗细均匀分布的，所以每段同样长度的电线的质量相等。

1、由学生讨论，得出结论。

2、教师再加深一步提问：在我们讨论的问题涉及的量中，如果电线的总质量为a，总

长度为b，单位长度的质量为c，a，b，c之间有什么关系？

由学生归纳出：a=bc。对于解决问题：可先取1米长的电线，称出它的质量，再称

出其余电线的总质量，则（米）是其余电线的长度，所以这捆电线的总长度为（）米。

引出可题：探究活动：a=bc型数量关系。

1、b、c之一为定值时.

读课本P.96—P.97并填表1和表2中发现a=bc型数量关系有什么规律和特点？

(1)分析表1

表1中，A=bc，b、c增加（或减小）A相应的增大（或减小）如矩形1和矩形2项比

较：宽c=1，长由2变为4。

面积也由2增加到4；矩形3，4类似，再看矩形1和矩形3：长都为b=2，宽由1增加到2，面积也变为原来的2倍，矩形2、4类似。

得出结论，A=bc中，当b,c之一为定值（定量）时，A随另一量的变化而变化，与之成正比例。

(2)分析表2

（1）表2从理论上证明了对表1的分析的结果。

（2）矩形推拉窗的活动扇的通风面积A和拉开长度b成正比。（高为定值）

（3）从实际中猜想，或由经验得出的结论，在经理论上去验证，再用于实际，这是

我们数需解决问题常用的方法之一，是由实际到抽象再由抽象到实际的辩证唯物主义思想。

2、为定值时

读书P.98—P.99，填P.99空，自己试着分析数据，看到出什么结论？

分析：这组数据的前提：面积A一定，b，c之间的关系是反比例。

可见，a=bc型数量关系不仅在实际生活中存在，而且有巨大的作用。

这三个式子是同一种数量关系的三种不同形式，由其中一个式子可以得出另两个式子。

3、实际问题中，常见的a=bc型数量关系。

（1）总价=单价×货物数量；

（2）利息=利率×本金；

（3）路程=速度×时间；

（4）工作量=效率×时间；

（5）质量=密度×体积。

…例1、每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额y（元）与学生数n（个）的关系。

策略：总价=单价×数量。而数量等于学生人数n，故不难求得关系式。

解：y=2n

总结：本题考查a=bc型关系式，解题关键是弄清数量关系。

例2、一辆汽车以30km/h的速度行驶，行驶路程s(km)与行使的时间t(h)有怎样的关系呢？请表示出来。

解：s=30t

例3、一种储蓄的年利率为2.25%，写出利息y（元）与存入本金x（元）之间的关系（假定存期一年）。

解：y=2.25%x

数学教案－可化为一元一次方程的分式方程相关教学方案

一、教学目标

1．使学生理解分式方程的意义．

2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．

3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．

4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．

5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．

二、教学重点和难点

1．教学重点：

(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．

2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因．

三、教学方法

启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．

四、教学手段

演示法和同学练习相结合，以练习为主．

五、教学过程

(一)复习及引入新课

1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？

答：含有未知数的等式叫做方程．

使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．

2．

解：(1)当时，

左边=，

右边=0，

∴左边=右边，

∴

(2)

(3)

3、在本章开始我们曾提出一个问题，经过分析得到问题的量为两个分式：，根据量间的关系列出方程：

这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．

(二)新课

板书课题：

板书：分式方程的定义．

分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．

练习：判断下列各式哪个是分式方程．（投影）

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)

在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．

1、如何求解方程？

先由同学讨论如何解这个方程．

在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．如何去掉？方程两边同乘最简公分母.

解：两边同乘以最简公分母x(x-6)得

90(x-6)=60x解这个整式方程得x=18.

如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．

检验：把x=18代入原方程

,

左边=右边

∴x=18是原方程的解．

2、如何解方程?

此题可由学生讨论解决.

解：方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得整式方程x+1=2

解整式方程，得x=1.

x=1时原方程的解是否正确？

检验：将x=1代入原方程，可知x=1使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此x=1不是原分式方程的解.

∴原方程无解．

讨论：1、2两题都是方程两边同除最简公分母将分式方程转化为整式方程，为什么2求出的x=1不是原方程的解，而我们又得到了x=1呢？

分析：方程同解原理2指出：方程的两边都乘以不等于零的同一个数，所得的方程与原方程同解．

在解1中，方程两边都乘以x(x-6)，接着求出x=18，而当x=18时，2(x+5)=216，所以相当于方程两边都乘以16(≠0)，因此所得的整式方程与原方程同解．

在解2中，方程两边都乘以(x+1)(x-1)，接着求出x=1，相当于方程两边都乘以零，结果使原方程无意义，这样得到的整式方程与原方程不同解．

像这样，在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．

注意：由分式方程转化为一元一次方程过程中，要去分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，就使得分式方程可能产生增根，因此解分式方程后就必须检验．

由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．

例1、解方程

对于例题给学生示范做题的格式、步骤.（投影显示步骤格式）

解：方程两边同乘x(x-2)，约去分母，得

5(x-2)=7x解这个整式方程，得

x=5．

检验：把x=-5代入最简公分母

x(x-2)=35≠0，

∴x=-5是原方程的解．

例2、解方程

解：方程两边同乘最简公分母(x-2)，约去分母，得

1=x-1-3(x-2)．（-3这项不要忘乘）

解这个整式方程，得

x=2．

检验：当x=2时，代入最简公分母(x-2)=0，

∴x=2是增根，

∴原方程无解．

注意：要求学生一定要严格按解题格式步骤完成.

(三)总结

解分式方程的一般步骤：

1．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．

2．解这个整式方程．

3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

(四)练习

教材P．98中1由学生在黑板上写，教师订正．

六、作业

教材P．101中1．

七、板书设计

用代入法解二元一次方程组教案模板

教学建议

一、重点、难点分析

本节的教学重点是使学生学会用代入法．教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便．

解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．

二、知识结构

三、教法建议

1．关于检验方程组的解的问题．教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等．”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点．检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调

这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误．检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出．

2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．

3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．掌握的步骤．

2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．

（二）能力训练点

1．培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形．

2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．

（三）德育渗透点

消元，化未知为已知的数学思想．

（四）美育渗透点

通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法．

2．学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．

三、重点、难点、疑点及解决办法

（－）重点

使学生会．

（二）难点

灵活运用代入法的技巧．

（三）疑点

如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．

（四）解决办法

一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等．

2．通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法．

3．再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解．

（二）整体感知

从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法．

（三）教学步骤

1．创设情境，复习导入

（1）已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示．并比较哪一种形式比较简单．

（2）选择题：

二元一次方程组的解是

A．B．C．D．

【教法说明】第（1）题为打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料．

通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习．

这样导入，可以激发学生的求知欲．

2．探索新知，讲授新课

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演．

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得

设买了香蕉千克，买了苹果千克，得

上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了．

解：由①得：③

把③代入②，得：

∴

把代入③，得：

∴

【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．

上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法．你能简单说说的基本思路吗？

学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导．纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．

例1解方程组

（1）观察上面的方程组，应该如何消元？（把①代入②）

（2）把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出．

（3）求出后代入哪个方程中求比较简单？（①）

学生活动：依次回答问题后，教师板书

解：把①代入②，得

∴

把代入①，得

∴

如何检验得到的结果是否正确？

学生活动：口答检验．

教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中．

【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯．

例2解方程组

要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元．方程②中的系数是1，比较简单．因此，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解．

学生活动：尝试完成例2．

教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化．

解：由②，得③

把③代入①，得

∴

∴

把代入③，得

∴

∴

检验后，师生共同讨论：

（1）由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？（得到的是恒等式，不能求解）

（2）把代入①或②可以求出吗？（可以）代入③有什么好处？（运算简便）

学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结的一般步骤，讨论后选代表发言．之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤．

教师板书：

（1）变形（）

（2）代入消元（）

（3）解一元一次方程得（）

（4）把代入求解

练习：P131．（1）（2）；P142．（1）（2）．

3．变式训练，培养能力

①由可以得到用表示．

②在中，当时，；当时，，则；．

③选择：若是方程组的解，则（）

A．B．C．D．

（四）总结、扩展

1．解二元一次方程组的思想：．

2．的步骤．

3．的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．

通过这节课的学习，我们要熟练运，并能检验结果是否正确．

八、布置作业

（一）必做题：P151．（2）（4），2．（1）（2）（3）（4）．

（二）选做题：P15B组1．

参考答案

（一）1．（2）（4）

2．（1）（2）（3）（4）

（二），

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