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  • 关于等差数列的高中教案推荐

    发表时间:2022-01-12

    【www.jk251.com - 等差数列】

    我相信每一位高中教师都接触过教案,教案能够详细安排教学的方方面面,认真做好教案我们的教学工作会变得更加顺利,自己的高中教案如何写呢?希望《关于等差数列的高中教案推荐》能够为您提供帮助。

    教学目标

    1.理解的概念,掌握的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.

    (1)了解公差的概念,明确一个数列是的限定条件,能根据定义判断一个数列是,了解等差中项的概念;

    (2)正确认识使用的各种表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;

    (3)能通过通项公式与图像认识的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

    2.通过的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用,渗透方程思想.

    3.通过概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对的研究,使学生明确与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

    关于的教学建议

    (1)知识结构

    (2)重点、难点分析

    ①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用,是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.

    ②通过不完全归纳法得出的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外,出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

    (3)教法建议

    ①本节内容分为两课时,一节为的定义与表示法,一节为通项公式的应用.

    ②定义的引出可先给出几组,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.

    ③的定义归纳出来后,由学生举一些的例子,以此让学生思考确定一个的条件.

    ④由学生根据一般数列的表示法尝试表示,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项可看作项数的一次型()函数,这与其图像的形状相对应.

    ⑤有穷的末项与通项是有区别的,数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式,有穷的项数未必是,即其末项未必是该数列的第项,在教学中一定要强调这一点.

    ⑥前项和的公式推导离不开的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.

    ⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.

    通项公式的教学设计示例

    教学目标

    1.通过教与学的互动,使学生加深对通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;

    2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;

    3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.

    教学重点,难点

    教学重点是通项公式的认识;教学难点是对公式的灵活运用.

    教学用具

    实物投影仪,多媒体软件,电脑.

    教学方法

    研探式.

    教学过程一.复习提问前一节课我们学习了的概念、表示法,请同学们回忆的定义,其表示法都有哪些?的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式反映了项与项数之间的函数关系,当的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知求).找学生试举一例如:“已知中,首项,公差,求.”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用(1)已知中,首项,公差,则-397是该数列的第______项.(2)已知中,首项,则公差(3)已知中,公差,则首项这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量,在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.2.基本量方法的使用(1)已知中,,求的值.(2)已知中,,求.若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于和的二元方程组,所以这些是确定的,由和写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于和的二元方程组,以求得和,和称作基本量.教师提出新的问题,已知的一个条件(等式),能否确定一个?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于和的二元方程,这是一个和的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).如:已知中,…由条件可得即,可知,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题(3)已知中,求;;;;….类似的还有(4)已知中,求的值.以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出3.研究的单调性,考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数,其单调性取决于的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如(1)已知数列的通项公式为,问数列从第几项开始小于0?(2)从第________项起以后每项均为负数.三.小结1.用方程思想认识通项公式;2.用函数思想解决问题.四.板书设计通项公式1.方程思想的运用2.基本量方法的使用3.研究的单调性4.研究项的符号

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    等差数列--精选版


    教材:(一)目的:要求学生掌握等差数列的意义,通项公式及等差中项的有关概念、计算公式,并能用来解决有关问题。过程:

    一、引导观察数列:4,5,6,7,8,9,10,……3,0,-3,-6,……,,,,……12,9,6,3,……特点:从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数—“等差”

    二、得出等差数列的定义:注意:从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数。1.名称:首项公差2.若则该数列为常数列3.寻求等差数列的通项公式:由此归纳为当时(成立)注意:1°等差数列的通项公式是关于的一次函数2°如果通项公式是关于的一次函数,则该数列成ap证明:若它是以为首项,为公差的ap。3°公式中若则数列递增,则数列递减4°图象:一条直线上的一群孤立点三、例题:注意在中,,,四数中已知三个可以求出另一个。例一(见教材)例二(见教材)

    四、关于等差中项:如果成等差数列则证明:设公差为,则∴例四《教学与测试》p77例一:在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成ap,求此数列。五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业:

    等差数列的前n项【精】


    教学目标

    1.掌握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.

    (1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;

    (2)用方程思想认识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;

    (3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.

    2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.

    3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.

    4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.

    教学建议

    (1)知识结构

    本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.

    (2)重点、难点分析

    教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.

    推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.

    高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.

    (3)教法建议

    ①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.

    ②前项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.

    ③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.

    ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.

    ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.

    等差数列的前项和公式教学设计示例

    教学目标

    1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.

    2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.

    教学重点,难点

    教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.

    教学用具

    实物投影仪,多媒体软件,电脑.

    教学方法

    讲授法.

    教学过程

    一.新课引入

    提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)

    问题就是(板书)“”

    这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

    我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?

    二.讲解新课

    (板书)等差数列前项和公式

    1.公式推导(板书)

    问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

    思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得

    ,有以下等式

    ,问题是一共有多少个,似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

    思路二:

    上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,,两式左右分别相加,得

    于是有:.这就是倒序相加法.

    思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.

    于是得到了两个公式(投影片):和.

    2.公式记忆

    用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.

    3.公式的应用

    公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.

    例1.求和:(1);

    (2)(结果用表示)

    解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.

    例2.等差数列中前多少项的和是9900?

    本题实质是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注意得到的项数必须是正整数.

    三.小结

    1.推导等差数列前项和公式的思路;

    2.公式的应用中的数学思想.

    四.板书设计

    等差数列的前n项


    教学目标

    1.掌握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.

    (1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;

    (2)用方程思想认识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;

    (3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.

    2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.

    3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.

    4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.

    教学建议

    (1)知识结构

    本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.

    (2)重点、难点分析

    教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.

    推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.

    高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.

    (3)教法建议

    ①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.

    ②前项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.

    ③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.

    ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.

    ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.

    等差数列的前项和公式教学设计示例

    教学目标

    1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.

    2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.

    教学重点,难点

    教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.

    教学用具

    实物投影仪,多媒体软件,电脑.

    教学方法

    讲授法.

    教学过程

    一.新课引入

    提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)

    问题就是(板书)“”

    这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

    我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?

    二.讲解新课

    (板书)等差数列前项和公式

    1.公式推导(板书)

    问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

    思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得

    ,有以下等式

    ,问题是一共有多少个,似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

    思路二:

    上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,,两式左右分别相加,得

    于是有:.这就是倒序相加法.

    思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.

    于是得到了两个公式(投影片):和.

    2.公式记忆

    用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.

    3.公式的应用

    公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.

    例1.求和:(1);

    (2)(结果用表示)

    解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.

    例2.等差数列中前多少项的和是9900?

    本题实质是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注意得到的项数必须是正整数.

    三.小结

    1.推导等差数列前项和公式的思路;

    2.公式的应用中的数学思想.

    四.板书设计

    等差数列的前n项--精选版


    教学目标

    1.掌握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.

    (1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;

    (2)用方程思想认识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;

    (3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.

    2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法.

    3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发展学生的思维水平.

    4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.

    教学建议

    (1)知识结构

    本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.

    (2)重点、难点分析

    教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.

    推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从特殊问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.

    高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.

    (3)教法建议

    ①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.

    ②前项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.

    ③强调从特殊到一般,再从一般到特殊的思考方法与研究方法.

    ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.

    ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式.

    等差数列的前项和公式教学设计示例

    教学目标

    1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.

    2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.

    教学重点,难点

    教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.

    教学用具

    实物投影仪,多媒体软件,电脑.

    教学方法

    讲授法.

    教学过程

    一.新课引入

    提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)

    问题就是(板书)“”

    这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

    我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?

    二.讲解新课

    (板书)等差数列前项和公式

    1.公式推导(板书)

    问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

    思路一:运用基本量思想,将各项用和表示,得

    ,有以下等式

    ,问题是一共有多少个,似乎与的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

    思路二:

    上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,,两式左右分别相加,得

    于是有:.这就是倒序相加法.

    思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.

    于是得到了两个公式(投影片):和.

    2.公式记忆

    用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.

    3.公式的应用

    公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.

    例1.求和:(1);

    (2)(结果用表示)

    解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.

    例2.等差数列中前多少项的和是9900?

    本题实质是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注意得到的项数必须是正整数.

    三.小结

    1.推导等差数列前项和公式的思路;

    2.公式的应用中的数学思想.

    四.板书设计

    等差数列__万能通用篇


    教学目标

    1.理解的概念,掌握的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.

    (1)了解公差的概念,明确一个数列是的限定条件,能根据定义判断一个数列是,了解等差中项的概念;

    (2)正确认识使用的各种表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;

    (3)能通过通项公式与图像认识的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

    2.通过的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用,渗透方程思想.

    3.通过概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对的研究,使学生明确与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

    关于的教学建议

    (1)知识结构

    (2)重点、难点分析

    ①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用,是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.

    ②通过不完全归纳法得出的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外,出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

    (3)教法建议

    ①本节内容分为两课时,一节为的定义与表示法,一节为通项公式的应用.

    ②定义的引出可先给出几组,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.

    ③的定义归纳出来后,由学生举一些的例子,以此让学生思考确定一个的条件.

    ④由学生根据一般数列的表示法尝试表示,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项可看作项数的一次型()函数,这与其图像的形状相对应.

    ⑤有穷的末项与通项是有区别的,数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式,有穷的项数未必是,即其末项未必是该数列的第项,在教学中一定要强调这一点.

    ⑥前项和的公式推导离不开的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.

    ⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.

    通项公式的教学设计示例

    教学目标

    1.通过教与学的互动,使学生加深对通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;

    2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;

    3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.

    教学重点,难点

    教学重点是通项公式的认识;教学难点是对公式的灵活运用.

    教学用具

    实物投影仪,多媒体软件,电脑.

    教学方法

    研探式.

    教学过程一.复习提问前一节课我们学习了的概念、表示法,请同学们回忆的定义,其表示法都有哪些?的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.二.主体设计通项公式反映了项与项数之间的函数关系,当的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知求).找学生试举一例如:“已知中,首项,公差,求.”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.1.方程思想的运用(1)已知中,首项,公差,则-397是该数列的第______项.(2)已知中,首项,则公差(3)已知中,公差,则首项这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量,在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.2.基本量方法的使用(1)已知中,,求的值.(2)已知中,,求.若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于和的二元方程组,所以这些是确定的,由和写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于和的二元方程组,以求得和,和称作基本量.教师提出新的问题,已知的一个条件(等式),能否确定一个?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于和的二元方程,这是一个和的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).如:已知中,…由条件可得即,可知,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题(3)已知中,求;;;;….类似的还有(4)已知中,求的值.以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出3.研究的单调性,考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数,其单调性取决于的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.4.研究项的符号这是为研究前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如(1)已知数列的通项公式为,问数列从第几项开始小于0?(2)从第________项起以后每项均为负数.三.小结1.用方程思想认识通项公式;2.用函数思想解决问题.四.板书设计通项公式1.方程思想的运用2.基本量方法的使用3.研究的单调性4.研究项的符号

    说课—等差数列前n项的公式--精选版


    深圳中学白教授掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。

    B、能力目标:

    (1)通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

    (2)利用以退求进的思维策略,遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式,培养学生类比思维能力。

    (3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题和解决问题的能力。

    C、情感目标:(数学文化价值)

    (1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中,从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

    (2)通过公式的运用,树立学生"大众教学"的思想意识。

    (3)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。

    教学重点:等差数列前n项和的公式。

    教学难点:等差数列前n项和的公式的灵活运用。

    教学方法:启发、讨论、引导式。

    教具:现代教育多媒体技术。

    教学过程

    一、创设情景,导入新课。

    师:上几节,我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。提起数列求和,我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小学四年级时,一次教师布置了一道数学习题:"把从1到100的自然数加起来,和是多少?"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050,这使教师非常吃惊,那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算,那你们就是二十世纪末的新高斯。(教师观察学生的表情反映,然后将此问题缩小十倍)。我们来看这样一道一例题。

    例1,计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

    这道题除了累加计算以外,还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后,让学生自行发言解答。

    生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可凑成5个11,得到55。

    生2:可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根据加法交换律,又可写成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

    上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

    10个

    所以我们得到S=55,

    即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

    师:高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法,和上述两位同学的方法相类似。

    理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50个101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下,上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢?

    生3:数列{an}是等差数列,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.

    二、教授新课(尝试推导)

    师:如果已知等差数列的首项a1,项数为n,第n项an,根据等差数列的性质,如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢?根据上面的例子同学们自己完成推导,并请一位学生板演。

    生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

    Sn=an+an-1+......a2+a1

    两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

    n个

    =n(a1+an)

    所以Sn=(I)

    师:好!如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

    Sn=na1+d(II)

    上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式(I)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n。引导学生总结:这些公式中出现了几个量?(a1,d,n,an,Sn),它们由哪几个关系联系?[an=a1+(n-1)d,Sn==na1+d];这些量中有几个可自由变化?(三个)从而了解到:只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式(I)和(II)的一些应用。

    三、公式的应用(通过实例演练,形成技能)。

    1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)例2、计算:

    (1)1+2+3+......+n

    (2)1+3+5+......+(2n-1)

    (3)2+4+6+......+2n

    (4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

    请同学们先完成(1)-(3),并请一位同学回答。

    生5:直接利用等差数列求和公式(I),得

    (1)1+2+3+......+n=

    (2)1+3+5+......+(2n-1)=

    (3)2+4+6+......+2n==n(n+1)

    师:第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用Sn公式求解?若不能,那应如何解答?小组讨论后,让学生发言解答。

    生6:(4)中的数列共有2n项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列,所以

    原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

    =n2-n(n+1)=-n

    生7:上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法:

    原式=-1-1-......-1=-n

    n个

    师:很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解。

    例3、(1)数列{an}是公差d=-2的等差数列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。

    生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4

    又∵d=-2,∴a1=6

    ∴S12=12a1+66×(-2)=-60

    生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4

    a8+a9+a10=75,a1+8d=25

    解得a1=1,d=3∴S10=10a1+=145

    师:通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在Sn公式有5个变量。已知三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二),请同学们根据例3自己编题,作为本节的课外练习题,以便下节课交流。

    师:(继续引导学生,将第(2)小题改编)

    ①数列{an}等差数列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n

    ②若此题不求a1,d而只求S10时,是否一定非来求得a1,d不可呢?引导学生运用等差数列性质,用整体思想考虑求a1+a10的值。

    2、用整体观点认识Sn公式。

    例4,在等差数列{an},(1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教师启发学生解)

    师:来看第(1)小题,写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较,你发现了什么?

    生10:根据等差数列的性质,有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。

    师:对!(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差数列的性质可求a1与an的和,于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

    师:由于时间关系,我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析,引导学生观察当d≠0时,Sn是n的二次函数,那么从二次(或一次)的函数的观点如何来认识Sn公式后,这留给同学们课外继续思考。

    最后请大家课外思考Sn公式(1)的逆命题:

    已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有自然数n,都有Sn=。数列{an}是否为等差数列,并说明理由。

    四、小结与作业。

    师:接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。

    生11:1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。

    2、用所推导的两个公式解决有关例题,熟悉对Sn公式的运用。

    生12:1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

    2、具体用Sn公式时,要根据已知灵活选择公式(I)或(II),掌握知三求二的解题通法。

    3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时,要认真观察,灵活应用等差数列的有关性质,看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

    师:通过以上几例,说明在解题中灵活应用所学性质,要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人,去发现更多的性质,主动积极地去学习。

    本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

    数学思想:类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

    作业:P49:13、14、15、17

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