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收藏【www.jk251.com - 两圆的位置关系】
初中教师上课前最好是准备一份教案，多写教案能够提升我们的策划能力，在教案中总结好经验与教训，我们才能逐步成熟起来。什么样的初中教案比较高质量？下面是小编为您精心收集整理，为您带来的《两圆的位置关系教案模板》，仅供参考，希望对您有帮助。
课题:两圆的位置关系
教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；
教学重点：两圆的五种位置的判定．
教学难点：知识的综合运用．
教学过程：一,复习引入：
请说出直线和圆的位置关系有哪几种？
研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，
⑴直线和圆的公共点个数；
⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
直线和圆的公共点个数
0
1
2
d与r的关系
d>r
d=r
d
二.讲解:圆和圆位置关系.
⑴两圆的公共点个数；
⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．
两圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
两圆的交点个数
0
1
2
1
0
d与R、r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r
d=R-r
d
定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则
⑴d>R+rÛ两圆外离；
⑵d=R+rÛ两圆外切；
⑶R-r
⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；
⑸d
三.巩固：
⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）
（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离
⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）
（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定
⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．
⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；⑷O1O2=1cm；
⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；
四作业:P1372.3.4.5
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经典初中教案两圆的位置关系
课题:两圆的位置关系
教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；
教学重点：两圆的五种位置的判定．
教学难点：知识的综合运用．
教学过程：一,复习引入：
请说出直线和圆的位置关系有哪几种？
研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
直线和圆的公共点个数
0
1
2
d与r的关系
d>r
d=r
d
二.讲解:圆和圆位置关系.
⑴两圆的公共点个数；
⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．
两圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
两圆的交点个数
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d与R、r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r
d=R-r
d
定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则
⑴d>R+rÛ两圆外离；
⑵d=R+rÛ两圆外切；
⑶R-r
⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；
⑸d
三.巩固：
⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）
（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离
⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）
（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定
⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．
⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；
⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；
四作业:P1372.3.4.5
课题:两圆的位置关系
教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；
教学重点：两圆的五种位置的判定．
教学难点：知识的综合运用．
教学过程：一,复习引入：
请说出直线和圆的位置关系有哪几种？
研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
直线和圆的公共点个数
0
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d与r的关系
d>r
d=r
d
二.讲解:圆和圆位置关系.
⑴两圆的公共点个数；
⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．
两圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
两圆的交点个数
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d与R、r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r
d=R-r
d
定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则
⑴d>R+rÛ两圆外离；
⑵d=R+rÛ两圆外切；
⑶R-r
⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；
⑸d
三.巩固：
⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）
（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离
⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）
（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定
⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．
⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；
⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；
四作业:P1372.3.4.5
数学教案－两圆的位置关系初中教案精选
课题:两圆的位置关系
教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；
教学重点：两圆的五种位置的判定．
教学难点：知识的综合运用．
教学过程：一,复习引入：
请说出直线和圆的位置关系有哪几种？
研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
直线和圆的公共点个数
0
1
2
d与r的关系
d>r
d=r
d
二.讲解:圆和圆位置关系.
⑴两圆的公共点个数；
⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．
两圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
两圆的交点个数
0
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d与R、r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r
d=R-r
d
定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则
⑴d>R+rÛ两圆外离；
⑵d=R+rÛ两圆外切；
⑶R-r
⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；
⑸d
三.巩固：
⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）
（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离
⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）
（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定
⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．
⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；
⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；
四作业:P1372.3.4.5
直线圆的位置关系教案模板
授课时间：2004.11.17早上第二节授课班级：初三、1班授课教师：
教学内容：7.7直线和圆的位置关系
教学目标：
知识与技能目标：1、理解直线和圆相交、相切、相离的概念。
2.初步掌握直线和圆的位置关系的性质和判定及其灵活的应用。
过程与方法目标：1．通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思
想，培养学生观察、分析、概括、知识迁移的能力；
2.通过例题教学，培养学生灵活运用知识的解决能力。
情感与态度目标：让学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、关注知识的生成，发展与变化的过程,主动探索，勇于发现。从而领悟世界上的一切物体都是运动变化着的，并且在一定的条件下可以转化的辩证唯物主义观点。
教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质
教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用
教学程序设计：
程序
教师活动
学生活动
备注
创设
问题
情景
利用多媒体放映落日的动画。引导学生从公共点个数和圆心到直线的距离两方面体会直线和圆的不同位置关系。
学生看投影并思考问题
调动学生积极主动参与数学活动中．
探
究
新
知
今天我们学习7.7直线和圆的位置关系。
1、通过观察直线和圆的公共点个数得出直线和圆相离、相交、相切的定义。
2、观察圆心到直线的距离d与r的大小变化，类比点和圆的位置关系由圆半径和点与圆心的距离的数量关系来判定，总结得出直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系来判定。得到直线和圆的位置关系的判定方法和性质。
例1（课本第89页例）
例2如图，正方形ABCD，边长
为5，AC与BD交于点O，过点
O作EF∥AB分别交AD、BC于
点E、F。以A为圆心，为
半径作圆，则⊙A与直线BD、EF、BC位置关系怎样，说明理由。
学生观察、讨论、概括、总结后回答
学生讨论试解看清条件与图形做出正确的判断
问题的提出及解决，为深刻理解直线和圆的概念做好铺垫
类比点和圆的位置关系来得到新知识
从多个角度对所学知识加以运用
反馈
训练
应用
提高
练习1：教材P．90中1，2．
练习2：在Rt△ABC中，∠C＝900，AC=3，AB=5，若以C为圆心、r为半径作圆，那么（）
（1）当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是
（1）当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是
（1）当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是
学生在练习本上笔答，互相帮助、纠正
培养了团结协作，相互交流的精神，也培养了学生正确的书写习惯
小结
提高
直线和圆的位置关系：
指导学生回答
探究
活动
问题：如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数
．
布置
作业
1、课本第101页7.3A组第2、3题
2、课余时间，留心观察周围事物，找出直线和圆相交，相切，相离的实例，说给大家听。
两圆的公切线教案模板
第一课时（一）
教学目标：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．
教学难点：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）概念
1、概念：
教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材p143练习第2题表．
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．
分析：首先想到切线性质，故连结o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
过o1作o1c⊥o2b，垂足为c，则四边形o1abc为矩形，
于是有
o1c⊥co2，o1c=ab，o1a=cb．
在rt△o2co1和．
o1o2=13，o2c=o2b-o1a=5
ab=o1c=(cm)．
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．
例2*、如图，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直线ab为，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长．
分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△pab是直角三角形，只需证△apb中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作cd如图，因为ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解．
解：过点p作cd
∵ab是⊙o1和⊙o2的切线，a、b为切点
∴∠cpa=∠bap∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90°即∠apb=90°
在rt△apb中，ab2=ap2+bp2
说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系．
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()
(a)直角三角形(b)等腰三角形(c)等边三角形(d)以上答案都不对．
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)
2、外公切线是指
(a)和两圆都祖切的直线(b)两切点间的距离
(c)两圆在公切线两旁时的公切线(d)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)
3、教材p141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想．
（七）作业：p151习题10，11．
第二课时（二）
教学目标：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．
教学难点：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．
（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．
求：公切线的长ab。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
过o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c，
则o1c=ab，o1a=bc．
在rt△o2co1和．
o1o2=10，o2c=o2b+o1a=6
∴o1c=(cm)．
∴ab=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．
例2（教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．
组织学生进行，教师引导．
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．
，；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．
（三）巩固训练
教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．
（五）作业
教材p153中12、13、14．
第三课时（三）
教学目标：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用,辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．
教学难点：
综合知识的灵活应用和综合能力培养．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念．
（2）切线的性质，弦切角等有关概念．
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠bac=90°
证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．
∵oa、ob是⊙o1的切线，
∴oa=ob．
同理oa=oc．
∴oa=ob=oc．
∴∠bac=90°．
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作是常见的一种作辅助线的方法．
例2、己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d．
求证：∠apc＝∠bpd．
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o1o2，或作外公切线．
证明：过p点作mn．
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd．
反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视mn的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆⊙o1的弦ab与小圆⊙o2相切于c点．
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．
（三）练习
练习1、教材145练习第2题．
练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点．
求证：pa·pb=pd·pc．
证明：过点p作ef
∵ab是小圆的切线，c为切点
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．
（三）总结
学习了，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．
（四）作业教材p151习题中15，b组2．
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d．
(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．
(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°．证明略（如图作辅助线）．
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°．
直线圆的位置关系
教学目标：
1．使学生理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。
2．掌握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。
3．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。
重点难点：
1．重点：直线与圆的三种位置关系的概念。
2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。
教学过程：
一．复习引入
1．提问：复习点和圆的三种位置关系。
（目的：让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比，以便更好的掌握直线和圆的位置关系）
2．由日出升起过程中的三个特殊位置引入直线与圆的位置关系问题。
（目的：让学生感知直线和圆的位置关系，并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力）
二．定义、性质和判定
1．结合关于日出的三幅图形，通过学生讨论，给出直线与圆的三种位置关系的定义。
（1）线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。
（2）直线和圆有唯一的公点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。
（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
2．直线和圆三种位置关系的性质和判定：
如果⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
（1）线l与⊙O相交d＜r
（2）直线l与⊙O相切d=r
（3）直线l与⊙O相离d＞r
三．例题分析：
例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径。
①当r=时，圆与AB相切。
②当r=2cm时，圆与AB有怎样的位置关系，为什么？
③当r=3cm时，圆与AB又是怎样的位置关系，为什么？
④思考：当r满足什么条件时圆与斜边AB有一个交点？
四．小结（学生完成）
五、随堂练习：
(1)直线和圆有种位置关系，是用直线和圆的个数来定义的；这也是判断直线和圆的位置关系的重要方法。
(2)已知⊙O的直径为13cm，直线L与圆心O的距离为d。
①当d=5cm时，直线L与圆的位置关系是；
②当d=13cm时，直线L与圆的位置关系是；
③当d=6.5cm时，直线L与圆的位置关系是；
（目的：直线和圆的位置关系的判定的应用）
(3)⊙O的半径r=3cm，点O到直线L的距离为d，若直线L与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）
(A)d=3(B)d≤3(C)d3
（目的：直线和圆的位置关系的性质的应用）
(4)⊙O半径=3cm.点P在直线L上，若OP=5cm，则直线L与⊙O的位置关系是（）
(A)相离(B)相切(C)相交(D)相切或相交
（目的：点和圆，直线和圆的位置关系的结合，提高学生的综合、开放性思维）
想一想：
在平面直角坐标系中有一点A(-3，-4)，以点A为圆心，r长为半径时，
思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况。(有五种情况)
六、作业：P100—2、3
两圆的公切线
教学目标：1、使学生理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用；2．掌握辅助线规律，并能熟练应用．2、通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．教学重点：使学生学会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能熟练应用于几何题证明中．教学难点：在证明中学生引出辅助线后，新旧知识结合得不好，难以打开证题思路．教学过程：一、新课引入：我们已经学习了圆的切线在几何证明中的重要作用，这节课，我们来学习两圆公切线在证明中的作用．实际上两圆的公切线，对两圆起着一个桥梁的作用，首先，对于每一个圆，公切线都会产生切线的性质．另外公切线和过切点的两圆的弦，会产生弦切角定理运用的前提，从而把两个圆中的圆周角建立相等关系，我们有下面的例子．二、新课讲解：例4教材p.144如图7-110，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b、c为切点．
求证：ab⊥ac．分析：题目中已知⊙o1和⊙2外切于点a．这是一个非常特殊的点，过点a我们引两圆的内公切线，产生了三种可能：①运用弦切角定理．②切线的性质定理．③切线长定理．在一道关于两圆相切的问题中，作出公切线后，还要针对已知条件，选择之，本例中已知两圆的外公切线bc，所以过点a的内公切线与之相交，必然产生切线长定理运用的前提，使问题得证．证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内公切线交bc于点o．练习一，p.145中2如图7-111，⊙o1和⊙o2相切于点t，直线ab、cd经过点t，交⊙o1于点a、c，交⊙o2于点b、d，求证：ac∥bd．
分析：欲证ac∥bd，须证∠a=∠b，图(1)中∠a和∠b是内错角，图(2)中∠a和∠b是同位角．而∠a和∠b从图形中的位置看是两个圆中的圆周角，必须存在第三个角，使∠a和∠b都与之相等，从而∠a和∠b相等．证明：过点t作两圆的内公切线te．练习二，p.153中14已知：⊙o和⊙o′外切于点a，经过点a作直线bc和de，bc交⊙o于点b，交⊙o′于点c，de交⊙o于点d，交⊙o′于e，∠bad=40°，∠abd=70°，求∠aec的度数．
分析：已知⊙o中的圆周角求⊙o′中的圆周角，而两圆外切，作内公切线即可．解：过点a作⊙o和⊙o′的内公切线af．练习三，p.153中15．经过相内切的两圆的切点a作大圆的弦ad、ae，设ad、ae分别和小圆相交于b、c．求证：p.153中ab∶ac=ad∶ae．
分析：证比例线段，一是三角形相似，二是平行线．由题设两圆相切，可作出切线，证平行线所成比例线段．证明：连结bc、de．过点a作两圆的公切线af．三、课堂小结：学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面；(让学生自己总结，并全班交流)．1．由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．2．公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．3．常用的辅助线：(1)两圆在各种情况下常考虑添连心线；(2)两圆外切时，常添内公切线；(3)两圆内切时，常添外公切线；(4)计算公切线长时，常平移公切线，使它过其中一个圆的圆心．四、布置作业：1．教材p.154中b组2．
数学教案－两圆的公切线
第一课时两圆的公切线（一）
教学目标：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．
教学难点：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）两圆的公切线概念
1、概念：
教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材p143练习第2题表．
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．
分析：首先想到切线性质，故连结o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
过o1作o1c⊥o2b，垂足为c，则四边形o1abc为矩形，
于是有
o1c⊥co2，o1c=ab，o1a=cb．
在rt△o2co1和．
o1o2=13，o2c=o2b-o1a=5
ab=o1c=(cm)．
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．
例2*、如图，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直线ab为两圆的公切线，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长．
分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△pab是直角三角形，只需证△apb中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作两圆的公切线cd如图，因为ab是两圆的公切线，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解．
解：过点p作两圆的公切线cd
∵ab是⊙o1和⊙o2的切线，a、b为切点
∴∠cpa=∠bap∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90°即∠apb=90°
在rt△apb中，ab2=ap2+bp2
说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()
(a)直角三角形(b)等腰三角形(c)等边三角形(d)以上答案都不对．
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)
2、外公切线是指
(a)和两圆都祖切的直线(b)两切点间的距离
(c)两圆在公切线两旁时的公切线(d)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)
3、教材p141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想．
（七）作业：p151习题10，11．
第二课时两圆的公切线（二）
教学目标：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．
教学难点：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．
（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．
求：公切线的长ab。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
过o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c，
则o1c=ab，o1a=bc．
在rt△o2co1和．
o1o2=10，o2c=o2b+o1a=6
∴o1c=(cm)．
∴ab=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．
例2（教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．
组织学生进行，教师引导．
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．
，；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．
（三）巩固训练
教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．
（五）作业
教材p153中12、13、14．
第三课时两圆的公切线（三）
教学目标：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用,辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．
教学难点：
综合知识的灵活应用和综合能力培养．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）两圆的公切线概念．
（2）切线的性质，弦切角等有关概念．
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠bac=90°
证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．
∵oa、ob是⊙o1的切线，
∴oa=ob．
同理oa=oc．
∴oa=ob=oc．
∴∠bac=90°．
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．
例2、己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d．
求证：∠apc＝∠bpd．
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o1o2，或作外公切线．
证明：过p点作两圆的公切线mn．
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd．
反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视mn的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆⊙o1的弦ab与小圆⊙o2相切于c点．
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．
（三）练习
练习1、教材145练习第2题．
练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点．
求证：papb=pdpc．
证明：过点p作两圆的公切线ef
∵ab是小圆的切线，c为切点
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴papb=pdpc
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．
（三）总结
学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．
（四）作业教材p151习题中15，b组2．
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d．
(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．
(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°．证明略（如图作辅助线）．
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°．
直线与圆的位置关系
一、素质教育目标
㈠知识教学点
⒈使学生理解直线和圆的位置关系。
⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。
㈡能力训练点
