经典初中教案两圆的位置关系

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初中教师上课前最好是准备一份教案，教案有利于教学水平的提高，可以通过编写教案认识自己教学的优点和不足。好的初中教案都有哪些内容？可以看看本站收集的《经典初中教案两圆的位置关系》，希望能够为您提供参考。

课题:两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点：知识的综合运用．

教学过程：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相离

相切

相交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解:圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

两圆的交点个数

0

1

2

1

0

d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+rÛ两圆外离；

⑵d=R+rÛ两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；

⑸dr)Û两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）

（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）

（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定

⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；

四作业:P1372.3.4.5

课题:两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点：知识的综合运用．

教学过程：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相离

相切

相交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解:圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

两圆的交点个数

0

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d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+rÛ两圆外离；

⑵d=R+rÛ两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；

⑸dr)Û两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）

（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）

（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定

⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；

四作业:P1372.3.4.5

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两圆的位置关系教案模板

课题:两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点：知识的综合运用．

教学过程：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，

⑴直线和圆的公共点个数；

⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相离

相切

相交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解:圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

两圆的交点个数

0

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d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+rÛ两圆外离；

⑵d=R+rÛ两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；

⑸dr)Û两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）

（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）

（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定

⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；⑷O1O2=1cm；

⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；

四作业:P1372.3.4.5

数学教案－两圆的位置关系初中教案精选

课题:两圆的位置关系

教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；

教学重点：两圆的五种位置的判定．

教学难点：知识的综合运用．

教学过程：一,复习引入：

请说出直线和圆的位置关系有哪几种？

研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，

直线和圆的位置关系

相离

相切

相交

直线和圆的公共点个数

0

1

2

d与r的关系

d>r

d=r

d

二.讲解:圆和圆位置关系.

⑴两圆的公共点个数；

⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．

两圆的位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

两圆的交点个数

0

1

2

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0

d与R、r的关系

d>R+r

d=R+r

R-r

d=R-r

d

定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则

⑴d>R+rÛ两圆外离；

⑵d=R+rÛ两圆外切；

⑶R-r

⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；

⑸dr)Û两圆内含．

三.巩固：

⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）

（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离

⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）

（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定

⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．

⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；

⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；

四作业:P1372.3.4.5

经典初中教案直线圆的位置关系

1.知识结构

2.重点、难点分析

重点：的性质和判定．因为它是本单元的基础（如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的），也是高中解析几何中研究的基础．

难点：在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），学生较难理解．

3.教法建议

本节内容需要一个课时．

（1）教师通过电脑演示，组织学生自主观察、分析，并引导学生把“点和圆的位置关系”研究的方法迁移过来，指导学生归纳、概括；

（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”判断“形”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．

教学目标：

1、使学生理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质；

2、通过的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生

观察、分析和概括的能力；

3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点．

教学重点：的判定方法和性质．

教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用．

教学设计：

（一）基本概念

1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）

2、归纳：（引导学生完成）

（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点

3、概念：（指导学生完成）

由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：

（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

研究与理解：

①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同．

②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?

（二）直线与圆的位置关系的数量特征

1、迁移：点与圆的位置关系

（1）点P在⊙O内d

（2）点P在⊙O上d=r；

（3）点P在⊙O外d>r．

2、归纳概括：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么

(1)直线l和⊙O相交d

(2)直线l和⊙O相切d=r；

(3)直线l和⊙O相离d>r．

（三）应用

例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？

（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．

学生自主完成，老师指导学生规范解题过程．

解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，

在Rt△ABC中，∠C=90°，

AB=，

∵，∴AB·CD=AC·BC，

∴（cm），

（1）当r=2cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；

（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；

（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．

练习P105，1、2．

（四）小结：

1、知识：（指导学生归纳）

2、能力：观察、归纳、概括能力，知识迁移能力，知识应用能力．

（五）作业：教材P115，1（1）、2、3．

探究活动

问题：如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数．

略解：由正三角形的边长为6厘米，可得它一边上的高为9厘米．

①∴当⊙O的半径r＝9厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3．

②当0＜r＜9时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次，即

经典初中教案两圆的公切线

第一课时（一）

教学目标：

（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；

（2）培养学生的归纳、总结能力；

（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．

教学重点：

理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．

教学难点：

两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．

教学活动设计

（一）实际问题（引入）

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

（二）概念

1、概念：

教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．

(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．

(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．

(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．

2、理解概念：

(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．

(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．

（三）两圆的位置与公切线条数的关系

组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材p143练习第2题表．

（四）应用、反思、总结

例1、已知：⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．

分析：首先想到切线性质，故连结o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）

解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．

过o1作o1c⊥o2b，垂足为c，则四边形o1abc为矩形，

于是有

o1c⊥co2，o1c=ab，o1a=cb．

在rt△o2co1和．

o1o2=13，o2c=o2b-o1a=5

ab=o1c=(cm)．

反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．

例2*、如图，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直线ab为，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长．

分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△pab是直角三角形，只需证△apb中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作cd如图，因为ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解．

解：过点p作cd

∵ab是⊙o1和⊙o2的切线，a、b为切点

∴∠cpa=∠bap∠cpb=∠abp

又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°

∴2∠cpa+2∠cpb=180°

∴∠cpa+∠cpb=90°即∠apb=90°

在rt△apb中，ab2=ap2+bp2

说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系．

（五）巩固练习

1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()

(a)直角三角形(b)等腰三角形(c)等边三角形(d)以上答案都不对．

此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)

2、外公切线是指

(a)和两圆都祖切的直线(b)两切点间的距离

(c)两圆在公切线两旁时的公切线(d)两圆在公切线同旁时的公切线

直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)

3、教材p141练习（略）

（六）小结（组织学生进行）

知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；

能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；

思想：“转化”思想．

（七）作业：p151习题10，11．

第二课时（二）

教学目标：

（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；

（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；

（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．

教学重点：

两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．

教学难点：

两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．

教学活动设计

（一）复习基础知识

（1）概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．

（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）

（二）应用、反思

例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．

求：公切线的长ab。

组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．

解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．

过o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c，

则o1c=ab，o1a=bc．

在rt△o2co1和．

o1o2=10，o2c=o2b+o1a=6

∴o1c=(cm)．

∴ab=8（cm）

反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．

例2（教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．

解：(略)

反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．

组织学生进行，教师引导．

归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．

，；

（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．

（三）巩固训练

教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．

学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．

（四）小结

（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；

（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；

（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．

（五）作业

教材p153中12、13、14．

第三课时（三）

教学目标：

（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用,辅助线规律，并会应用；

（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．

教学重点：

会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．

教学难点：

综合知识的灵活应用和综合能力培养．

教学活动设计

（一）复习基础知识

（1）概念．

（2）切线的性质，弦切角等有关概念．

（二）公切线在解题中的应用

例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？

观察、度量实验（组织学生进行）

猜想：（学生猜想）∠bac=90°

证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．

∵oa、ob是⊙o1的切线，

∴oa=ob．

同理oa=oc．

∴oa=ob=oc．

∴∠bac=90°．

反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作是常见的一种作辅助线的方法．

例2、己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d．

求证：∠apc＝∠bpd．

分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o1o2，或作外公切线．

证明：过p点作mn．

∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，

∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，

即∠apc＝∠bpd．

反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视mn的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．

拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）

己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆⊙o1的弦ab与小圆⊙o2相切于c点．

是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．

答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．

（三）练习

练习1、教材145练习第2题．

练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点．

求证：pa·pb=pd·pc．

证明：过点p作ef

∵ab是小圆的切线，c为切点

∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a

又∵∠1=∠bcp-∠a∠2=∠fpc-∠fpb

∴∠1=∠2∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb

∴pa·pb=pd·pc

说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．

（三）总结

学习了，应该掌握以下几个方面

1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．

2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．

3、常用的辅助线：

（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；

（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．

4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．

（四）作业教材p151习题中15，b组2．

探究活动

问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d．

(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．

(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．

(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．

提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°．证明略（如图作辅助线）．

说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°．

经典初中教案数学教案－直线圆的位置关系

公开课教案

授课时间：2004.11.17早上第二节授课班级：初三、1班授课教师：

教学内容：7.7直线和圆的位置关系

教学目标：

知识与技能目标：1、理解直线和圆相交、相切、相离的概念。

2.初步掌握直线和圆的位置关系的性质和判定及其灵活的应用。

过程与方法目标：1．通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思

想，培养学生观察、分析、概括、知识迁移的能力；

2.通过例题教学，培养学生灵活运用知识的解决能力。

情感与态度目标：让学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、关注知识的生成，发展与变化的过程,主动探索，勇于发现。从而领悟世界上的一切物体都是运动变化着的，并且在一定的条件下可以转化的辩证唯物主义观点。

教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质

教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用

教学程序设计：

程序

教师活动

学生活动

备注

创设

问题

情景

利用多媒体放映落日的动画。引导学生从公共点个数和圆心到直线的距离两方面体会直线和圆的不同位置关系。

学生看投影并思考问题

调动学生积极主动参与数学活动中．

探

究

新

知

今天我们学习7.7直线和圆的位置关系。

1、通过观察直线和圆的公共点个数得出直线和圆相离、相交、相切的定义。

2、观察圆心到直线的距离d与r的大小变化，类比点和圆的位置关系由圆半径和点与圆心的距离的数量关系来判定，总结得出直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系来判定。得到直线和圆的位置关系的判定方法和性质。

例1（课本第89页例）

例2如图，正方形ABCD，边长

为5，AC与BD交于点O，过点

O作EF∥AB分别交AD、BC于

点E、F。以A为圆心，为

半径作圆，则⊙A与直线BD、EF、BC位置关系怎样，说明理由。

学生观察、讨论、概括、总结后回答

学生讨论试解看清条件与图形做出正确的判断

问题的提出及解决，为深刻理解直线和圆的概念做好铺垫

类比点和圆的位置关系来得到新知识

从多个角度对所学知识加以运用

反馈

训练

应用

提高

练习1：教材P．90中1，2．

练习2：在Rt△ABC中，∠C＝900，AC=3，AB=5，若以C为圆心、r为半径作圆，那么（）

（1）当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是

（1）当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是

（1）当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是

学生在练习本上笔答，互相帮助、纠正

培养了团结协作，相互交流的精神，也培养了学生正确的书写习惯

小结

提高

直线和圆的位置关系：

指导学生回答

探究

活动

问题：如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数

．

布置

作业

1、课本第101页7.3A组第2、3题

2、课余时间，留心观察周围事物，找出直线和圆相交，相切，相离的实例，说给大家听。

经典初中教案圆圆的位置关系

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质．它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识．

难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用．由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏；而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．”看成是真命题．

2、教法建议

本节内容需要两个课时．第一课时主要研究；第二课时相交两圆的性质．

（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识；

（2）要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力；

（3）在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程．

第一课时

教学目标：

1．掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质；

2．通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力；

3．通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力．

教学重点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系．

教学难点：

两圆位置关系及判定．

（一）复习、引出问题

1．复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

（教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交．各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

2．引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?

（二）观察、分类，得出概念

1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：

(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．(图(1))

(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(2))

(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．(图(3))

(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．(图(4))

(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5))．两圆同心是两圆内含的一个特例．(图(6))

2、归纳：

(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点．

(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切)．

教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系．

（三）分析、研究

1、相切两圆的性质．

让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．

这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

2、两圆位置关系的数量特征．

设两圆半径分别为R和r．圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系．（图形略）

两圆外切d＝R+r；

两圆内切d＝R-r(R＞r);

两圆外离d＞R+r；

两圆内含d＜R-r(R＞r);

两圆相交R-r＜d＜R+r．

说明：注重“数形结合”思想的教学．

（四）应用、练习

例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?

解：（1）设⊙P与⊙O外切与点A，则

PA=PO-OA

∴PA=3cm．

（2）设⊙P与⊙O内切与点B，则

PB=PO+OB

∴PB=13cm．

例2：已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作．

求证：⊙O与⊙B相外切．

证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，

∴⊙O的半径，且O是AC的中点

∴，∵∠C=90°且BC=8，

∴，

∵⊙O的半径，⊙B的半径，

∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．

练习(P138)

（五）小结

知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含；

②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系；

③两圆相切时切点在连心线上的性质．

能力：观察、分析、分类、数形结合等能力．

思想方法：分类思想、数形结合思想．

（六）作业

教材P151中习题A组2，3，4题．

第二课时相交两圆的性质

教学目标1、掌握相交两圆的性质定理；2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法；3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力；4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美．教学重点相交两圆的性质及应用．教学难点应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线．教学活动设计（一）图形的对称美相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形．相交两圆具有什么性质呢?（二）观察、猜想、证明1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形．2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”．3、证明：对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成．已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B．求证：Q1O2是AB的垂直平分线．分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B．证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，∴O1点在AB的垂直平分线上．又∵O2A＝O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上．因此O1O2是AB的垂直平分线．也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴．∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上．∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，∴连心线O1O2是AB的垂直平分线．定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．（三）应用、反思例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。求∠OlAB的度数．分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形．从而可由∠OlAO2＝60°，推得∠OlAB＝30°．解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆∴OlA=O1O2=AO2∴∠O1AO2=60°，又AB⊥O1O2∴∠OlAB=30°．例2、已知，如图，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。求证：AM=AN．证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN．∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN．例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F．求证：EC∥DF证明：连结AB∵在⊙O2中∠F=∠CAB，在⊙Ol中∠CAB=∠E，∴∠F=∠E，∴EC∥DF．反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解．（四）小结知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦．该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据．能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；②圆的对称性的应用．（五）作业教材P152习题A组7、8、9题；B组1题．探究活动问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切．设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn．(1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系；(2)当n=3时，判断Cl+C2+C3与C的大小关系；(3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论．提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+C3=C；（3）Cl十C2十…十Cn=C．问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转？提示：1、实验：用硬币作初步实验；结果硬币一共转了4转．2、分析：当你把动圆无滑动地沿着圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了．在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的的弧线旋转的时候，一共走过的不是转；而是转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了转

直线圆的位置关系

教学目标：

1．使学生理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。

2．掌握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。

3．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。

重点难点：

1．重点：直线与圆的三种位置关系的概念。

2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。

教学过程：

一．复习引入

1．提问：复习点和圆的三种位置关系。

（目的：让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比，以便更好的掌握直线和圆的位置关系）

2．由日出升起过程中的三个特殊位置引入直线与圆的位置关系问题。

（目的：让学生感知直线和圆的位置关系，并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力）

二．定义、性质和判定

1．结合关于日出的三幅图形，通过学生讨论，给出直线与圆的三种位置关系的定义。

（1）线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。

（2）直线和圆有唯一的公点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2．直线和圆三种位置关系的性质和判定：

如果⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）线l与⊙O相交d＜r

（2）直线l与⊙O相切d=r

（3）直线l与⊙O相离d＞r

三．例题分析：

例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径。

①当r=时，圆与AB相切。

②当r=2cm时，圆与AB有怎样的位置关系，为什么？

③当r=3cm时，圆与AB又是怎样的位置关系，为什么？

④思考：当r满足什么条件时圆与斜边AB有一个交点？

四．小结（学生完成）

五、随堂练习：

(1)直线和圆有种位置关系，是用直线和圆的个数来定义的；这也是判断直线和圆的位置关系的重要方法。

(2)已知⊙O的直径为13cm，直线L与圆心O的距离为d。

①当d=5cm时，直线L与圆的位置关系是；

②当d=13cm时，直线L与圆的位置关系是；

③当d=6.5cm时，直线L与圆的位置关系是；

（目的：直线和圆的位置关系的判定的应用）

(3)⊙O的半径r=3cm，点O到直线L的距离为d，若直线L与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）

(A)d=3(B)d≤3(C)d3

（目的：直线和圆的位置关系的性质的应用）

(4)⊙O半径=3cm.点P在直线L上，若OP=5cm，则直线L与⊙O的位置关系是（）

(A)相离(B)相切(C)相交(D)相切或相交

（目的：点和圆，直线和圆的位置关系的结合，提高学生的综合、开放性思维）

想一想：

在平面直角坐标系中有一点A(-3，-4)，以点A为圆心，r长为半径时，

思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况。(有五种情况)

六、作业：P100—2、3