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收藏【www.jk251.com - 圆的面积教学设计】
大家对教案都很熟悉了吧，教案有利于教学水平的提高，高质量的教案对初中生的成长有促进作用，初中教案应该从哪方面来写呢？为了帮助大家，下面是由小编为大家整理的圆扇形弓形的面积的教学方案，仅供参考，欢迎大家阅读。
(一)
教学目标：
1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；
2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想．
教学重点：扇形面积公式的导出及应用．
教学难点：对图形的分析．
教学活动设计：
（一）复习（圆面积）
已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积．为了更好研究这样的图形引出一个概念．
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．
提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积．
（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）
2、探究新问题
教师组织学生对比研究：
（1）圆面积S=πR2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积=；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形=（扇形面积公式）
（三）理解公式
教师引导学生理解：
（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形=lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了．这样对比，帮助学生记忆公式．实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限．要让学生在理解的基础上记住公式．
（四）应用
练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____．
2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____．
3、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数=____．
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=____．
5、已知半径为2的扇形，面积为，则这个扇形的弧长=____．
（，2，120°，，）
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
学生独立完成，对基础较差的学生教师指导
（1）怎样求圆环的面积？
（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，R、r与已知边长a有什么联系？
解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2．
S=．
∵，∴S=．
说明：要注意整体代入．
对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究．
课堂练习：教材P181练习中2、4题．
（五）总结
知识：扇形及扇形面积公式S扇形=，S扇形=lR．
方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养．
（六）作业教材P181练习1、3；P187中10．
第1234页
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圆扇形弓形的面积相关教学方案
(一)
教学目标：
1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；
2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想．
教学重点：扇形面积公式的导出及应用．
教学难点：对图形的分析．
教学活动设计：
（一）复习（圆面积）
已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积．为了更好研究这样的图形引出一个概念．
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．
提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积．
（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）
2、探究新问题
教师组织学生对比研究：
（1）圆面积S=πR2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积=；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形=（扇形面积公式）
（三）理解公式
教师引导学生理解：
（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形=lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了．这样对比，帮助学生记忆公式．实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限．要让学生在理解的基础上记住公式．
（四）应用
练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____．
2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____．
3、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数=____．
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=____．
5、已知半径为2的扇形，面积为，则这个扇形的弧长=____．
（，2，120°，，）
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
学生独立完成，对基础较差的学生教师指导
（1）怎样求圆环的面积？
（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，R、r与已知边长a有什么联系？
解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2．
S=．
∵，∴S=．
说明：要注意整体代入．
对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究．
课堂练习：教材P181练习中2、4题．
（五）总结
知识：扇形及扇形面积公式S扇形=，S扇形=lR．
方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养．
（六）作业教材P181练习1、3；P187中10．
(二)
教学目标：
1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；
2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；
3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点．
教学重点：扇形面积公式的导出及应用．
教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立．
教学活动设计：
（一）概念与认识
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形．弓形是一个最简单的组合图形之一．
（二）弓形的面积
提出问题：怎样求弓形的面积呢？
学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：
（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；
（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；
（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半．
理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积．也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确．
（三）应用与反思
练习：
(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；
(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______．
（学生独立完成，巩固新知识）
例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面积．(精确到0.01m2)
教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：
（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？
（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？
（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？
学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法．
反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决．
例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作．求与围成的新月牙形ACED的面积S．
解：∵，
有∵，
，，
∴．
组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用．
（四）总结
1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；
2、应用弓形面积解决实际问题；
3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差．
（五）作业教材P183练习2；P188中12．
(三)
教学目标：
1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；
2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、渗透图形的外在美和内在关系．
教学重点：简单组合图形的分解．
教学难点：对图形的分解和组合．
教学活动设计：
（一）知识回顾
复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？
（二）简单图形的分解和组合
1、图形的组合
让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力．
2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积．
以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织．给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用．
归纳交流结论：
方案1．S阴=S正方形-4S空白．
方案2、S阴=4S瓣=4(S半圆-S△AOB)
=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD
方案3、S阴=4S瓣=4(S半圆-S正方形AEOF)
=2S圆-4S正方形AEOF=2S圆-S正方形ABCD
方案4、S阴=4S半圆-S正方形ABCD
……………
反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律．
练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?
分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成．
解：连结AO，设P为其中一个三等分点，
连结PA、PO，则△POA是等边三角形．
．
∴
说明：①图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积．
练习2：教材P185练习第1题
例5、已知⊙O的半径为R．
（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；
（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数)．
例5的计算量较大，老师引导学生完成．并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力．
说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关．实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值．从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积
（三）总结
1、简单组合图形的分解；
2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算．
3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理．
（四）作业教材P185练习2、3；P187中8、11．
探究活动
四瓣花形
在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图(1)所示．
再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图(12)所示．
探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份．
（2）两朵“花”是相似图形．
（3）试求两“花”面积
提示：分析与解(1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°．
从而，∠ADP=30°．
同理∠CDQ=30°．故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点．
由对称性知，四段弧均被三等分．
如果证明了结论(2)，则图(12)也得相同结论．
(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影．显然两“花”是相似图形；其相似比是AB﹕EF=﹕1．
(3)花形的面积为：，．
数学教案－圆扇形弓形的面积的教学方案
圆、扇形、弓形的面积(一)
教学目标：
1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；
2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想．
教学重点：扇形面积公式的导出及应用．
教学难点：对图形的分析．
教学活动设计：
（一）复习（圆面积）
已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积．为了更好研究这样的图形引出一个概念．
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．
提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积．
（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）
2、探究新问题
教师组织学生对比研究：
（1）圆面积S=πR2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积=；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积=．
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形=（扇形面积公式）
（三）理解公式
教师引导学生理解：
（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形=lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了．这样对比，帮助学生记忆公式．实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限．要让学生在理解的基础上记住公式．
（四）应用
练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____．
2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____．
3、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数=____．
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=____．
5、已知半径为2的扇形，面积为，则这个扇形的弧长=____．
（，2，120°，，）
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
学生独立完成，对基础较差的学生教师指导
（1）怎样求圆环的面积？
（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，R、r与已知边长a有什么联系？
解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2．
S=．
∵，∴S=．
说明：要注意整体代入．
对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究．
课堂练习：教材P181练习中2、4题．
（五）总结
知识：扇形及扇形面积公式S扇形=，S扇形=lR．
方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养．
（六）作业教材P181练习1、3；P187中10．
圆、扇形、弓形的面积(二)
教学目标：
1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；
2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；
3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点．
教学重点：扇形面积公式的导出及应用．
教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立．
教学活动设计：
（一）概念与认识
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形．弓形是一个最简单的组合图形之一．
（二）弓形的面积
提出问题：怎样求弓形的面积呢？
学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：
（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；
（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；
（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半．
理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积．也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确．
（三）应用与反思
练习：
(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；
(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______．
（学生独立完成，巩固新知识）
例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面积．(精确到0.01m2)
教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：
（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？
（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？
（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？
学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法．
反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决．
例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作．求与围成的新月牙形ACED的面积S．
解：∵，
有∵，
，，
∴．
组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用．
（四）总结
1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；
2、应用弓形面积解决实际问题；
3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差．
（五）作业教材P183练习2；P188中12．
圆、扇形、弓形的面积(三)
教学目标：
1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；
2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、渗透图形的外在美和内在关系．
教学重点：简单组合图形的分解．
教学难点：对图形的分解和组合．
教学活动设计：
（一）知识回顾
复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？
（二）简单图形的分解和组合
1、图形的组合
让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力．
2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积．
以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织．给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用．
归纳交流结论：
方案1．S阴=S正方形-4S空白．
方案2、S阴=4S瓣=4(S半圆-S△AOB)
=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD
方案3、S阴=4S瓣=4(S半圆-S正方形AEOF)
=2S圆-4S正方形AEOF=2S圆-S正方形ABCD
方案4、S阴=4S半圆-S正方形ABCD
……………
反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律．
练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?
分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成．
解：连结AO，设P为其中一个三等分点，
连结PA、PO，则△POA是等边三角形．
．
∴
说明：①图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积．
练习2：教材P185练习第1题
例5、已知⊙O的半径为R．
（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；
（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数)．
例5的计算量较大，老师引导学生完成．并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力．
说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关．实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值．从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积
（三）总结
1、简单组合图形的分解；
2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算．
3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理．
（四）作业教材P185练习2、3；P187中8、11．
探究活动
四瓣花形
在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图(1)所示．
再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图(12)所示．
探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份．
（2）两朵“花”是相似图形．
（3）试求两“花”面积
提示：分析与解(1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°．
从而，∠ADP=30°．
同理∠CDQ=30°．故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点．
由对称性知，四段弧均被三等分．
如果证明了结论(2)，则图(12)也得相同结论．
(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影．显然两“花”是相似图形；其相似比是AB﹕EF=﹕1．
(3)花形的面积为：，．
圆的教学方案
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：①点和的三种位置关系，的有关概念，因为它们是研究的基础；②五种常见的点的轨迹，一是对几何图形的深刻理解，二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备.
难点：①的集合定义，学生不容易理解为什么必须满足两个条件，内容本身属于难点；②点的轨迹，由于学生形象思维较强，抽象思维弱，而这部分知识比较抽象和难懂.
2、教法建议
本节内容需要4课时
第一课时：的定义和点和的位置关系
（1）让学生自己画，自己给下定义，进行交流，归纳、概括，调动学生积极主动的参与教学活动；对于高层次的学生可以直接通过点的集合来研究，给下定义（参看教案（一））；
（2）点和的位置关系，让学生自己观察、分类、探究，在“数形”的过程中，学习新知识.
第二课时：的有关概念
（1）对（A）层学生放开自学，对（B）层学生在老师引导下自学，要提高学生的学习能力，特别是概念较多而没有很多发挥的内容，老师没必要去讲；
（2）课堂活动要抓住：由“数”想“形”，由“形”思“数”，的主线.
第三、四课时：点的轨迹
条件较好的学校可以利用电脑动画来加深和帮助学生对点的轨迹的理解，一般学校可让学生动手画图，使学生在动手、动脑、观察、思考、理解的过程中，逐步从形象思维较强向抽象思维过度.但我的观点是不管怎样组织教学，都要遵循学生是学习的主体这一原则.
第一课时：（一）
教学目标：
1、理解的描述性定义，了解用集合的观点对的定义；
2、理解点和的位置关系和确定的条件；
3、培养学生通过动手实践发现问题的能力；
4、渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法.
教学重点：点和的关系
教学难点：以点的集合定义所具备的两个条件教学方法：自主探讨式教学过程设计(总框架)：
一、创设情境，开展学习活动
1、让学生画、描述、交流，得出的第一定义：
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做.固定的端点O叫做心，线段OA叫做半径.记作⊙O，读作“O”.
2、让学生观察、思考、交流，并在老师的指导下，得出的第二定义.
从旧知识中发现新问题
观察：
共性：这些点到O点的距离相等
想一想：在平面内还有到O点的距离相等的点吗？它们构成什么图形？
（1）上各点到定点（心O）的距离都等于定长（半径的长r）；
（2）到定点距离等于定长的点都在上.
定义2：是到定点距离等于定长的点的集合.
3、点和的位置关系
问题三：点和的位置关系怎样？（学生自主完成得出结论）
如果的半径为r，点到心的距离为d，则：
点在上d=r；
点在内d
点在外d>r.
“数”“形”
二、例题分析，变式练习
练习：已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A在⊙O________；当OP=10cm时，点A在⊙O________；当OP=18cm时，点A在⊙O___________.
例1求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为心的同一个上.
已知（略）
求证（略）
分析：四边形ABCD是矩形
A=OC，OB=OD；AC=BDOA=OC=OB=OD要证A、B、C、D4个点在以O为心的上证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC，OB=OD；AC=BD∴OA=OC=OB=OD∴A、B、C、D4个点在以O为心，OA为半径的上.符号的应用（要求学生了解）证明：四边形ABCD是矩形OA=OC=OB=ODA、B、C、D4个点在以O为心，OA为半径的上.小结：要证几个点在同一个上，可以证明这几个点与一个定点的距离相等.问题拓展研究：我们所研究过的基本图形中（平行四边形，菱形，，正方形，等腰梯形）哪些图形的顶点在同一个上.（让学生探讨）练习1求证：菱形各边的中点在同一个上.（目的：培养学生的分析问题的能力和逻辑思维能力.A层自主完成）练习2设AB=3cm，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形.(1)和点A的距离等于2cm的点的集合；(2)和点B的距离等于2cm的点的集合；(3)和点A，B的距离都等于2cm的点的集合；(4)和点A，B的距离都小于2cm的点的集合；（A层自主完成）三、课堂小结问：这节课学习的主要内容是什么？在学习时应注意哪些问题？在学生回答的基础上，强调：(1)主要学习了的两种不同的定义方法与的三种位置关系；(2)在用点的集合定义时，必须注意应具备两个条件，二者缺一不可；(3)注重对数学能力的培养四、作业82页2、3、4.第二课时：（二）教学目标1、使学生理解弦、弧、弓形、同心、等、等孤的概念；初步会运用这些概念判断真假命题。2、逐步培养学生阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力；进一步指导学生观察、比较、分析、概括知识的能力。3、通过动手、动脑的全过程，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识。教学重点、难点和疑点1、重点：理解的有关概念．2、难点：对“等”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．3、疑点：学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧。让学生阅读教材、理解、交流和与教师对话交流中排除疑难。教学过程设计：（一）阅读、理解重点概念：1、弦：连结上任意两点的线段叫做弦．2、直径：经过心的弦是直径．3、弧：上任意两点间的部分叫做弧．简称弧．半弧：的任意一条直径的两个端点分成两条弧，每一条弧叫做半；优弧：大于半的弧叫优弧；劣弧：小于半的弧叫做劣弧．4、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．5、同心：即心相同，半径不相等的两个叫做同心．6、等：能够重合的两个叫做等．7、等弧：在同或等中，能够互相重合的弧叫做等弧．（二）小组交流、师生对话问题：1、一个有多少条弦？最长的弦是什么？2、弧分为哪几种？怎样表示？3、弓形与弦有什么区别？在一个中一条弦能得到几个弓形？4、在等、等弧中，“互相重合”是什么含义？（通过问题，使学生与学生，学生与老师进行交流、学习，加深对概念的理解，排除疑难）（三）概念辨析：判断题目：（1）直径是弦（）（2）弦是直径（）（3）半是弧（）（4）弧是半（）（5）长度相等的两段弧是等弧（）（6）等弧的长度相等（）（7）两个劣弧之和等于半（）（8）半径相等的两个半是等弧（）（主要理解以下概念：（1）弦与直径；（2）弧与半；（3）同心、等指两个图形；（4）等、等弧是互相重合得到，等弧的条件作用．）（四）应用、练习例1、已知：如图，AB、CB为⊙O的两条弦，试写出图中的所有弧．解：一共有6条弧．、、、、、．（目的：让学生会表示弧，并加深理解优弧和劣弧的概念）例2、已知：如图，在⊙O中，AB、CD为直径．求证：AD∥BC．（由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题．锻炼学生动口、动脑、动手实践能力，调动学生主动学习的积极性，使学生从积极主动获得知识．）巩固练习：教材P66练习中2题(学生自己完成)．（五）小结教师引导学生自己做出总结：1、本节所学似的知识点；2、概念理解：①弦与直径；②弧与半；③同心、等指两个图形；④等和等弧．3、弧的表示方法．（六）作业教材P66练习中3题，P82习题l(3)、(4)．第三、四课时（三）——点的轨迹教学目标1、在了解用集合的观点定义的基础上，进一步使学生了解轨迹的有关概念以及熟悉五种常用的点的轨迹；2、培养学生从形象思维向抽象思维的过渡；3、提高学生数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义观点的认识。重点、难点1、重点：对点的轨迹的认识。2、难点：对点的轨迹概念的认识，因为这个概念比较抽象。教学活动设计（在老师与学生的交流对话中完成教学目标）（一）创设学习情境1、对的形成观察——理解——引出轨迹的概念（使学生在老师的引导下从感性知识到理性知识）观察：是到定点的距离等于定长的的点的集合；（电脑动画）理解：上的点具有两个性质：(1)上各点到定点(心O)的距离都等于定长(半径的长r)；(2)到定点距离等于定长的的点都在上；（结合下图）引出轨迹的概念：我们把符合某一条件的所有的点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上．（轨迹的概念非常抽象，是教学的难点，这里教师要精讲，细讲）上面左图符合（1）但不符合（2）；中图不符合（1）但符合（2）；只有右图（1）（2）都符合．因此“到定点距离等于定长的点的轨迹”是．轨迹1：“到定点距离等于定长的点的轨迹，是以定点为心，定长为半径的”。（研究是轨迹概念的切入口、基础和关键）（二）类比、研究1（在老师指导下，通过电脑动画，学生归纳、整理、概括、迁移，获得新知识）轨迹2：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；轨迹3：到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线；（三）巩固概念练习：画图说明满足下列条件的点的轨迹：(1)到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；(2)到∠AOC的两边距离相等的点的轨迹；(3)经过已知点A、B的O，心O的轨迹．（A层学生独立画图，回答满足这个条件的轨迹是什么?归纳出每一个题的点的轨迹属于哪一个基本轨迹；B、C层学生在老师的指导或带领下完成）（四）类比、研究2（这是第二次“类比”，目的：使学生的知识和能力螺旋上升．这次通过电脑动画，使A层学生自己做，进一步提高学生归纳、整理、概括、迁移等能力）轨迹4：到直线l的距离等于定长d的点的轨迹，是平行于这条直线，并且到这条直线的距离等于定长的两条直线；轨迹5：到两条平行线的距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线．（五）巩固训练练习题1：画图说明满足下面条件的点的轨迹：1．到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；2．已知直线AB∥CD，到AB、CD距离相等的点的轨迹．（A层学生独立画图探索；然后回答出点的轨迹是什么，对B、C层学生回答有一定的困难，这时教师要从规律上和方法上指导学生）练习题2：判断题1、到一条直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于这条直线到这条直线的距离等于定长的直线．()2、和点B的距离等于5cm的点的轨迹，是到点B的距离等于5cm的．()3、到两条平行线的距离等于8cm的点的轨迹，是和这两条平行线的平行且距离等于8cm的一条直线．()4、底边为a的等腰三角形的顶点轨迹，是底边a的垂直平分线．()(这组练习题的目的，训练学生思维的准确性和语言表达的正确性．题目由学生自主完成、交流、反思)(教材的练习题、习题即可，因为这部分知识属于选学内容，而轨迹概念又比较抽象，不要对学生要求太高，了解就行、理解就高要求)（六）理解、小结（1）轨迹的定义两层意思；（2）常见的五种轨迹。（七）作业教材P82习题2、6．探究活动爱尔特希问题在平面上有四个点，任意三点都可以构成等腰三角形，你能找到这样的四点吗?分析与解：开始自然是尝试、探索，主要应以如何构造出这样的点来考虑．最容易想到的是，使一个点到另三个点等距离，换句话说，以一个点为心，作一个，其他三个点在此上寻找，只要使这上的三点构成等腰三角形即可，于是得到如图中的上面两种形式.其次，取边长都相等的四边形，即为菱形的四个顶点(见图中第3个图).最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是这样苛刻条件的梯形存在吗?实际上，只要将任一周5等分，取其中任意四点即可(见图中的第4个图)．综上所述，符合题意的四点有且仅有三种构形：①任意等腰三角形的三个顶点及其外接心(即外心)；②任意菱形的4个顶点；③任意正五边形的其中4个顶点．上述问题是大数学家爱尔特希(P．Erdos)提出的：“在平面内有n个点，其中任意三点都能构成等腰三角形”中n＝4的情形．当n＝3、4、5、6时，爱尔特希问题都有解．已经证明，时，问题无解．
圆的比例线的教学方案
教学建议
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明．
难点：正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆．
2、教学建议
本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3．
（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；
（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动．
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；
2．学会作两条已知线段的比例中项；
3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；
4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．
教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论．
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．
教学活动设计
（一）设置学习情境
1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）
①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．
②进一步得出：△APC∽△DPB．
．
③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答．
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P．
求证：PA·PB＝PC·PD．
（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）
（证明略）
（二）定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD．
2、从一般到特殊，发现结论．
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2＝PA·PB．
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确．教师纠正，并板书．
推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB．
若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2＝PA·PB；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB
（三）应用、反思
例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解．
例2已知：线段a，b．
求作：线段c，使c2＝ab．
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．
作法：口述作法．
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用．同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图．
练习1如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．
变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的长．
练习3如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C．求证：PC2＝PA·PB
引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根据条件OP⊥PC．易证得PC＝PD问题得证．
（四）小结
知识：相交弦定理及其推论；
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法．
（五）作业
教材P132中9，10；P134中B组4(1)．
第2课时切割线定理
教学目标：
1．掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；
2．掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．
教学重点：
理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．
教学难点：
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点．
教学活动设计
（一）提出问题
1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？
2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB．
3、证明：
让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想．
分析：要证PT2=PA·PB，可以证明，为此可证以PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．
4、引导学生用语言表达上述结论．
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
（二）切割线定理的推论
1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?
观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD．
2、组织学生用多种方法证明：
方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．(如图4)
方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P．因此△PAD∽△PCB．(如图5)
方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现．PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）
（三）初步应用
例1已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米，PO=10.9厘米，求⊙O的半径．
分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．
（解略）教师示范解题．
例2已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，
求证：AE＝BF．
分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC．因此它们的积相等，问题得证．
学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等．
巩固练习：P128练习1、2题
（四）小结
知识：切割线定理及推论；
能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；
方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握．
（五）作业教材P132中，11、12题．
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米)．
分析与解如图1所示．AB是足球门，点P是边锋所在的位置．最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示．即OP是圆的切线，而OB是圆的割线．
故，又，
OB=30.34+7.32＝37.66．
OP=(米)．
注：上述解法适用于更一般情形．如图2所示．△BOP可为任意角．
直线圆的位置关系的教学方案
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点：的性质和判定．因为它是本单元的基础（如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的），也是高中解析几何中研究的基础．
难点：在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），学生较难理解．
3.教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）教师通过电脑演示，组织学生自主观察、分析，并引导学生把“点和圆的位置关系”研究的方法迁移过来，指导学生归纳、概括；
（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”判断“形”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．
第12页
两圆的位置关系的教学方案
课题:两圆的位置关系
教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；
教学重点：两圆的五种位置的判定．
教学难点：知识的综合运用．
教学过程：一,复习引入：
请说出直线和圆的位置关系有哪几种？
研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，
直线和圆的位置关系
相离
相切
相交
直线和圆的公共点个数
0
1
2
d与r的关系
d>r
d=r
d
二.讲解:圆和圆位置关系.
⑴两圆的公共点个数；
⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．
两圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
两圆的交点个数
0
1
2
1
0
d与R、r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r
d=R-r
d
定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则
⑴d>R+rÛ两圆外离；
⑵d=R+rÛ两圆外切；
⑶R-r
⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；
⑸d
三.巩固：
⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）
（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离
⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）
（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定
⒊已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1和⊙2的位置关系．
⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；
⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1和⊙O2重合；
四作业:P1372.3.4.5
两圆的公切线的教学方案
第一课时（一）
教学目标：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．
教学难点：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）概念
1、概念：
教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材p143练习第2题表．
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半径分别为2cm和7cm，圆心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切线，切点分别是a、b．求：公切线的长ab．
分析：首先想到切线性质，故连结o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
过o1作o1c⊥o2b，垂足为c，则四边形o1abc为矩形，
于是有
o1c⊥co2，o1c=ab，o1a=cb．
在rt△o2co1和．
o1o2=13，o2c=o2b-o1a=5
ab=o1c=(cm)．
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．
例2*、如图，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直线ab为，a、b为切点，若pa=8cm，pb=6cm，求切线ab的长．
分析：因为线段ab是△apb的一条边，在△apb中，已知pa和pb的长，只需先证明△pab是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△pab是直角三角形，只需证△apb中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过p作cd如图，因为ab是，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因为∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此题得解．
解：过点p作cd
∵ab是⊙o1和⊙o2的切线，a、b为切点
∴∠cpa=∠bap∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90°即∠apb=90°
在rt△apb中，ab2=ap2+bp2
说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系．
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()
(a)直角三角形(b)等腰三角形(c)等边三角形(d)以上答案都不对．
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(d)
2、外公切线是指
(a)和两圆都祖切的直线(b)两切点间的距离
(c)两圆在公切线两旁时的公切线(d)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断．答案：(d)
3、教材p141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想．
（七）作业：p151习题10，11．
第二课时（二）
教学目标：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．
教学难点：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．
（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一条内公切线，切点分别是a，b．
求：公切线的长ab。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．
解：连结o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
过o1作o1c⊥o2b，交o2b的延长线于c，
则o1c=ab，o1a=bc．
在rt△o2co1和．
o1o2=10，o2c=o2b+o1a=6
∴o1c=(cm)．
∴ab=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．
例2（教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求v形角α的度数．
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．
组织学生进行，教师引导．
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和r+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．
，；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．
（三）巩固训练
教材p142练习第1题，教材p145练习第1题．
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．
（五）作业
教材p153中12、13、14．
第三课时（三）
教学目标：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用,辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．
教学难点：
综合知识的灵活应用和综合能力培养．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）概念．
（2）切线的性质，弦切角等有关概念．
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙o1和⊙o2外切于点a，bc是⊙o1和⊙o2的公切线，b，c为切点．若连结ab、ac会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠bac=90°
证明：过点a作⊙o1和⊙o2的内切线交bc于点o．
∵oa、ob是⊙o1的切线，
∴oa=ob．
同理oa=oc．
∴oa=ob=oc．
∴∠bac=90°．
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作是常见的一种作辅助线的方法．
例2、己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆的弦ab交小圆于c，d．
求证：∠apc＝∠bpd．
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线o1o2，或作外公切线．
证明：过p点作mn．
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd．
反思：（1）作了两圆公切线mn后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视mn的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙o1和⊙o2内切于p，大圆⊙o1的弦ab与小圆⊙o2相切于c点．
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．
（三）练习
练习1、教材145练习第2题．
练习2、如图，已知两圆内切于p，大圆的弦ab切小圆于c，大圆的弦pd过c点．
求证：pa·pb=pd·pc．
证明：过点p作ef
∵ab是小圆的切线，c为切点
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．
（三）总结
学习了，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．
（四）作业教材p151习题中15，b组2．
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于a、b，直线cd与两圆分别相交于c、e、f、d．
(1)用量角器量出∠eaf与∠cbd的大小，根据量得结果，请你猜想∠eaf与∠cbd的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．
(2)当直线cd的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点a”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°．证明略（如图作辅助线）．
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄っ鞑孪氤闪ⅲ庖彩数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若cd移动到与两圆相切于点c、d，那么结论又将变为∠cad＝90°．
