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过三点的圆相关教学方案

发表时间：2022-02-06

【www.jk251.com - 过三点的圆】

现在，很多初中教学都需要用到教案，通过不断的写教案，我们可以提高自己的语言组织能力，初中老师经常会为写教案感到苦恼，对于初中教案报的撰写你是否毫无头绪呢？下面是由小编为大家整理的过三点的圆相关教学方案，仅供参考，欢迎大家阅读。

第一课时

（一）学习活动设计：

（二）学习载体设计：

（1）实践：（a）过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？

（b）过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？……（发现新问题）.

（2）实验：应用电脑动画，使学生观察、发现新问题.

（3）作图：已知：不在同一条直线上的三个已知点A、B、C（如图）

求作：⊙O，使它经过点A、B、C.

（4）应用和拓展：给弧找圆心、三角形的外接圆.不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能？什么情况下不能？

（三）学生交流、师生对话活动设计：

学生交流与师生对话，在上课之前无法确定，要根据学生学习中的需要，但在两处必须要进行：（1）在实践（或实验）中发现的问题；（2）解决问题的方法.

探究活动

确定圆的个数

1、如图1，直线上两个不同点A、B和直线外一点P可以确定一个圆；如图2，直线上三个不同点A、B、C和直线外一点P可以确定三个圆；……；那么直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外一点P可以确定多少个圆？

……

2、如图4，直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外两个不同的点P、Q，则这（n+2）个点最多可以确定多少个圆？

3、如图5，在⊙O上的n个不同点A1、A2、A3……An和P，可以确定多少个圆？

参考答案：

1、可以确定个圆；

2、分类求解

（1）取P点和直线上两个点，一共可以确定个圆；

（2）取Q点和直线上两个点，一共可以确定个圆；

（3）取P、Q两点和直线上一个点，一共n个圆；

∴最多可以确定个圆.

3、可以确定个圆.

jk251.cOm扩展阅读

过三点的圆

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：①确定圆的定理.它是圆中的基础知识，是确定圆的理论依据；②不在同一直线上的三点作圆.“作圆”不仅体现在证明“确定圆的定理”的重要作用，也是解决实际问题中常用的方法；③反证法证明命题的一般步骤.反证法虽是选学内容，但它是证明数学命题的重要的基本方法之一.

难点：反证法不是直接以题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题正确，又因为矛盾的多样化，学生刚刚接触，所以反证法不仅是本节的难点，也是本章的难点.

2、教学建议

本节内容需要两个课时.在第一课时的教学中：

（1）把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体和发现问题、解决问题的能力上.让学生作图、观察、分析、概括出定理.

（2）组织学生开展“找直角、锐角和钝角三角形的外心”的位置活动，在激发学生的学习兴趣中，提高作图能力.

（3）在教学中，解决过已知点作圆的问题，应紧紧抓住对圆心和半径的探讨，已知圆心和半径就可以作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思路，因此作圆的问题就是如何根据已知条件去找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定，因此作圆的问题又变成了找圆心的问题，是否可以作圆以及能作多少个圆，都取决于能否确定圆心的位置和圆心的个数.

在第二课时反证法的教学中：

（1）对于A层的学生尽量使学生理解并会简单应用，对B层的学生使学生了解即可.

（2）在教学中老师要精讲：①为什么要用反证法；②反证法的基本步骤；③精讲精练.

第一课时

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法。

2．了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

（二）能力训练点

1．培养学生观察、分析、概括的能力；

2．培养学生准确简述自己观点的能力；

3．培养学生动手作图的准确操作的能力。

（三）德育渗透点

通过引言的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生的知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证只许物主义观念。

（四）美育渗透点

通过对圆的进一步学习，使学生既能体会圆的完美性（与其他图形的结合等），又培养美育素质，提高对数学中美的欣赏。

二、教学步骤

（一）教学过程

学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经，这三点的位置要进行讨论．有两种情况：①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．怎样才能做出这个圆呢？这时教师出示幻灯片．

例1作圆，使它经过不在同一直线上三点．

由学生分析首先得出这个命题的题设和结论．

已知：，求作：⊙O，使它经过A、B、C三点．

接着教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？由于一开课在设计学校的位置时，学生已经有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：作的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交点O就是圆心．圆心O确定了，那么要经过三点A、B、C的圆的半径可以选OA或OB都可以．作图过程教师示范，学生和老师一起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确．

定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

注意：经过在同一条直线上三点不能确定一个圆．

这样做的目的，不是教师“填鸭式”地往里灌，而是学生自己经过探索确定圆的条件，这样得到的结论印象深刻，效果要比全部由老师讲更好．

接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与的顶点的关系，得出：经过三角形各项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．理解这些术语的意义，指出语言表达的规范化．为了更好地掌握新概念，出示练习题（投影）．

练习1：按图填空：

（1）是⊙O的_________三角形；

（2）⊙O是的_________圆，

这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意．

练习2：判断题：

（1）经过三点一定可以作圆；（）

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）

（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）

（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）

（5）三角形的外心到三角形各项点的距离相等．（）

这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性．

练习3：

经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？

练习4：

选择题：钝角三角形的外心在三角形（）

（A）内部（B）一边上（C）外部（D）可能在内部也可能在外部

练习3．4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性有关．

练习5：教材P．59中4题（略）．

习题作业的参考方案

练习1：内接、外接．

练习2：（1）×（2）√（3）×（4）×（5）√

练习3：不一定．因为要想作经过4个点的圆，应先作经过其中不在同一条直线上三点的圆，而第四个点到该圆圆心的距离不一定等于半径．所以经过4个点不一定能作圆．

练习4．C

练习5．略．

（二）总结、扩展

师生共同完成总结．

知识点方面：

2．（l）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

3．

方法方面：

1．用尺规作三角形的外接圆的方法。

2．重点词语的区别：“内接”“外接”。

三、布置作业

1．教材P68中7、8、9。

2．补充作业：已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎。

四、板书设计

数学教案－过三点的圆的教学方案

第一课时过三点的圆

（一）学习活动设计：

（二）学习载体设计：

（1）实践：（a）过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？

（b）过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？……（发现新问题）.

（2）实验：应用电脑动画，使学生观察、发现新问题.

（3）作图：已知：不在同一条直线上的三个已知点A、B、C（如图）

求作：⊙O，使它经过点A、B、C.

（4）应用和拓展：给弧找圆心、三角形的外接圆.不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能？什么情况下不能？

（三）学生交流、师生对话活动设计：

探究活动

确定圆的个数

……

2、如图4，直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外两个不同的点P、Q，则这（n+2）个点最多可以确定多少个圆？

3、如图5，在⊙O上的n个不同点A1、A2、A3……An和P，可以确定多少个圆？

参考答案：

1、可以确定个圆；

2、分类求解

（1）取P点和直线上两个点，一共可以确定个圆；

（2）取Q点和直线上两个点，一共可以确定个圆；

（3）取P、Q两点和直线上一个点，一共n个圆；

∴最多可以确定个圆.

3、可以确定个圆.

经典初中教案过三点的圆

第一课时

（一）学习活动设计：

（二）学习载体设计：

（1）实践：（a）过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？

（b）过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？……（发现新问题）.

（2）实验：应用电脑动画，使学生观察、发现新问题.

（3）作图：已知：不在同一条直线上的三个已知点A、B、C（如图）

求作：⊙O，使它经过点A、B、C.

（4）应用和拓展：给弧找圆心、三角形的外接圆.不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能？什么情况下不能？

（三）学生交流、师生对话活动设计：

探究活动

确定圆的个数

……

2、如图4，直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外两个不同的点P、Q，则这（n+2）个点最多可以确定多少个圆？

3、如图5，在⊙O上的n个不同点A1、A2、A3……An和P，可以确定多少个圆？

参考答案：

1、可以确定个圆；

2、分类求解

（1）取P点和直线上两个点，一共可以确定个圆；

（2）取Q点和直线上两个点，一共可以确定个圆；

（3）取P、Q两点和直线上一个点，一共n个圆；

∴最多可以确定个圆.

3、可以确定个圆.

过三点的圆初中教案精选

第一课时

（一）学习活动设计：

（二）学习载体设计：

（1）实践：（a）过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？

（b）过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？……（发现新问题）.

（2）实验：应用电脑动画，使学生观察、发现新问题.

（3）作图：已知：不在同一条直线上的三个已知点A、B、C（如图）

求作：⊙O，使它经过点A、B、C.

（4）应用和拓展：给弧找圆心、三角形的外接圆.不在同一条直线上的四个点能否作圆，什么情况下能？什么情况下不能？

（三）学生交流、师生对话活动设计：

探究活动

确定圆的个数

……

2、如图4，直线上n个不同点A1、A2、A3……An和直线外两个不同的点P、Q，则这（n+2）个点最多可以确定多少个圆？

3、如图5，在⊙O上的n个不同点A1、A2、A3……An和P，可以确定多少个圆？

参考答案：

1、可以确定个圆；

2、分类求解

（1）取P点和直线上两个点，一共可以确定个圆；

（2）取Q点和直线上两个点，一共可以确定个圆；

（3）取P、Q两点和直线上一个点，一共n个圆；

∴最多可以确定个圆.

3、可以确定个圆.

直线圆的位置关系相关教学方案

1.知识结构

2.重点、难点分析

重点：的性质和判定．因为它是本单元的基础（如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的），也是高中解析几何中研究的基础．

难点：在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），学生较难理解．

3.教法建议

本节内容需要一个课时．

（1）教师通过电脑演示，组织学生自主观察、分析，并引导学生把“点和圆的位置关系”研究的方法迁移过来，指导学生归纳、概括；

（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”判断“形”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．

教学目标：

1、使学生理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质；

2、通过的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生

观察、分析和概括的能力；

3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点．

教学重点：的判定方法和性质．

教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用．

教学设计：

（一）基本概念

1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识）

2、归纳：（引导学生完成）

（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点

3、概念：（指导学生完成）

由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：

（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

研究与理解：

①直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同．

②直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么?

（二）直线与圆的位置关系的数量特征

1、迁移：点与圆的位置关系

（1）点P在⊙O内d

（2）点P在⊙O上d=r；

（3）点P在⊙O外d>r．

2、归纳概括：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么

(1)直线l和⊙O相交d

(2)直线l和⊙O相切d=r；

(3)直线l和⊙O相离d>r．

（三）应用

例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？

（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．

学生自主完成，老师指导学生规范解题过程．

解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，

在Rt△ABC中，∠C=90°，

AB=，

∵，∴AB·CD=AC·BC，

∴（cm），

（1）当r=2cm时CD＞r，∴圆C与AB相离；

（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；

（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．

练习P105，1、2．

（四）小结：

1、知识：（指导学生归纳）

2、能力：观察、归纳、概括能力，知识迁移能力，知识应用能力．

（五）作业：教材P115，1（1）、2、3．

探究活动

问题：如图，正三角形ABC的边长为6厘米，⊙O的半径为r厘米，当圆心O从点A出发，沿着线路AB一BC一CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动．在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数．

略解：由正三角形的边长为6厘米，可得它一边上的高为9厘米．

①∴当⊙O的半径r＝9厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3．

②当0＜r＜9时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切六次，即

圆的周长弧长相关教学方案

圆周长、弧长(一)

教学目标：

1、初步掌握圆周长、弧长公式；

2、通过弧长公式的推导，培养学生探究新问题的能力；

3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;

4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．

教学重点：弧长公式．

教学难点：正确理解弧长公式．

教学活动设计：

（一）复习（圆周长）

已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多少？

C=2πR

这里π=3.14159…，这个无限不循环的小数叫做圆周率．

由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？

提出新问题：已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．

（二）探究新问题、归纳结论

教师组织学生探讨（因为问题并不难，学生完全可以自己研究得到公式）．

研究步骤：

（1）圆周长C=2πR；

（2）1°圆心角所对弧长=；

（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；

（4）n°圆心角所对弧长=．

归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则

（弧长公式）

（三）理解公式、区分概念

教师引导学生理解：

（1）在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；

（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；

（3）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．

（四）初步应用

例1、已知：如图，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d(精确到1mm)．

分析：（1）圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？

（2）已知周长怎样求半径？

（学生独立完成）

解：设外圆的半径为R1，内圆的半径为R2，则

d=．

∵，，

∴（cm）

例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)

教师引导学生把实际问题抽象成数学问题，渗透数学建模思想．

解：由弧长公式，得

（mm）

所要求的展直长度

L（mm）

答：管道的展直长度为2970mm．

课堂练习：P176练习1、4题．

（五）总结

知识：圆周长、弧长公式；圆周率概念；

能力：探究问题的方法和能力，弧长公式的记忆方法；初步应用弧长公式解决问题．

（六）作业教材P176练习2、3；P186习题3．

圆周长、弧长(二)

教学目标：

1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题；

2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力；

3、通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点．

教学重点：灵活运用弧长公式解有关的应用题．

教学难点：建立数学模型．

教学活动设计：

（一）灵活运用弧长公式

例1、填空：

（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；

（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；

（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______．

（学生独立完成，在弧长公式中l、n、R知二求一．）

答案：（1）2π；（2）24；（3）60°．

说明：使学生灵活运用公式，为综合题目作准备．

练习：P196练习第1题

（二）综合应用题

例2、如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．

教师引导学生建立数学模型：

分析：（1）皮带长包括哪几部分（+DC++AB）；

（2）“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？

（3）AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．）

（4）如何求每一部分的长？

这里给学生考虑的时间和空间，充分发挥学生的主体作用．

解：(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E．

∵O1O2=2.1，，，

∴，

∴（m）

∵，∴，

∴的长l1（m）．

∵，∴的长（m）．

∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62（m）．

（2）设大轮每分钟转数为n，则

，（转）

答：皮带长约5.63m，大轮每分钟约转277转．

说明：通过本题渗透数学建模思想，弧长公式的应用，求两圆公切线的方法和计算能力．

巩固练习：P196练习2、3题.

探究活动

钢管捆扎问题

已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度．

请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明．

提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：

当n=2时，L2=（π+2）d．

当n=3时，L3=（π+3）d．

当n=4时，L4=（π+4）d．

当n=5时，L5=（π+5）d．

当n=6时，L6=（π+6）d．

当n=7时，L7=（π+6）d．

当n=8时，L8=（π+7）d．

猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）d．

证明略．

九年级数学下不共线三点确定二次函数的表达式教学教案相关教学方案

【知识与技能】

1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.

2.由已知条件的特点,灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析式,可使计算过程简便.

【过程与方法】

通过例题讲解使学生初步掌握,用待定系数法求二次函数的解析式.

【情感态度】

通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力.

【教学重点】

用待定系数法求二次函数的解析式.

【教学难点】

灵活选择合适的表达式设法.

一、情境导入，初步认识

1.同学们想一想，已知一次函数图象上两个点的坐标，如何用待定系数法求它的解析式？

学生回答：

2.已知二次函数图象上有两个点的坐标，能求出其解析式吗？三个点的坐标呢？

二、思考探究，获取新知

探究1已知三点求二次函数解析式讲解：教材p21例1，例2.

【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的方法.

探究2用顶点式求二次函数解析式.

例3已知二次函数的顶点为a(1,-4)且过b(3,0),求二次函数解析式.

【分析】已知抛物线的顶点,设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.

解：∵抛物线顶点为a(1,-4),∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,∵点b（3，0）在图象上，∴0=4a-4,∴a=1,∴y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.

【教学说明】已知顶点坐标，设顶点式比较方便，另外已知函数的最（大或小）值即为顶点纵坐标，对称轴与顶点横坐标一致.

探究3用交点式求二次函数解析式

例4(甘肃白银中考)已知一抛物线与x轴交于点a（-2，0），b（1，0），且经过点c（2，8）.求二次函数解析式.

【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为a（-2，0），b（1，0），可设解析式为交点式：y=a(x-x1)(x-x2).

解：a（-2，0），b（1，0）在x轴上，设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-1).又∵图象过点c（2，8），∴8=a(2+2)(2-1),∴a=2,∴y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.

【教学说明】因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.

圆扇形弓形的面积相关教学方案

(一)

教学目标：

1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；

2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；

3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想．

教学重点：扇形面积公式的导出及应用．

教学难点：对图形的分析．

教学活动设计：

（一）复习（圆面积）

已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？

S=πR2

我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积．为了更好研究这样的图形引出一个概念．

扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．

提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积．

（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论

1、迁移方法

教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：

（1）圆周长C=2πR；

（2）1°圆心角所对弧长=；

（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；

（4）n°圆心角所对弧长=．

归纳结论：若设⊙O半径为R，n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）

2、探究新问题

教师组织学生对比研究：

（1）圆面积S=πR2；

（2）圆心角为1°的扇形的面积=；

（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；

（4）圆心角为n°的扇形的面积=．

归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则

S扇形=（扇形面积公式）

（三）理解公式

教师引导学生理解：

（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；

（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；

提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）

S扇形=lR

想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）

与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了．这样对比，帮助学生记忆公式．实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限．要让学生在理解的基础上记住公式．

（四）应用

练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____．

2、已知扇形面积为，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____．

3、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数=____．

4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇=____．

5、已知半径为2的扇形，面积为，则这个扇形的弧长=____．

（，2，120°，，）

例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．

学生独立完成，对基础较差的学生教师指导

（1）怎样求圆环的面积？

（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，R、r与已知边长a有什么联系？

解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2．

S=．

∵，∴S=．

说明：要注意整体代入．

对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究．

课堂练习：教材P181练习中2、4题．

（五）总结

知识：扇形及扇形面积公式S扇形=，S扇形=lR．

方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养．

（六）作业教材P181练习1、3；P187中10．

(二)

教学目标：

1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；

2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；

3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点．

教学重点：扇形面积公式的导出及应用．

教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立．

教学活动设计：

（一）概念与认识

弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形．弓形是一个最简单的组合图形之一．

（二）弓形的面积

提出问题：怎样求弓形的面积呢？

学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：

（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；

（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；

（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半．

理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积．也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确．

（三）应用与反思

练习：

(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；

(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______．

（学生独立完成，巩固新知识）

例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面积．(精确到0.01m2)

教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：

（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？

（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？

（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？

学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法．

反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决．

例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作．求与围成的新月牙形ACED的面积S．

解：∵，

有∵，

，，

∴．

组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用．

（四）总结

1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；

2、应用弓形面积解决实际问题；

3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差．

（五）作业教材P183练习2；P188中12．

(三)

教学目标：

1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；

2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；

3、渗透图形的外在美和内在关系．

教学重点：简单组合图形的分解．

教学难点：对图形的分解和组合．

教学活动设计：

（一）知识回顾

复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？

（二）简单图形的分解和组合

1、图形的组合

让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力．

2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积．

以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织．给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用．

归纳交流结论：

方案1．S阴=S正方形-4S空白．

方案2、S阴=4S瓣=4(S半圆-S△AOB)

=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD

方案3、S阴=4S瓣=4(S半圆-S正方形AEOF)

=2S圆-4S正方形AEOF=2S圆-S正方形ABCD

方案4、S阴=4S半圆-S正方形ABCD

……………

反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律．

练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?

分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成．

解：连结AO，设P为其中一个三等分点，

连结PA、PO，则△POA是等边三角形．

．

∴

说明：①图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积．

练习2：教材P185练习第1题

例5、已知⊙O的半径为R．

（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；

（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数)．

例5的计算量较大，老师引导学生完成．并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力．

说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关．实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值．从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积

（三）总结

1、简单组合图形的分解；

2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算．

3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理．

（四）作业教材P185练习2、3；P187中8、11．

探究活动

四瓣花形

在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图(1)所示．

再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图(12)所示．

探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份．

（2）两朵“花”是相似图形．

（3）试求两“花”面积

提示：分析与解(1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°．

从而，∠ADP=30°．

同理∠CDQ=30°．故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点．

由对称性知，四段弧均被三等分．

如果证明了结论(2)，则图(12)也得相同结论．

(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图(1)的缩影．显然两“花”是相似图形；其相似比是AB﹕EF=﹕1．

(3)花形的面积为：，．

直线与圆的位置关系相关教学方案

《直线和圆的位置关系》的教学设计

太平溪九四中学何风光

一、素质教育目标

㈠知识教学点

⒈使学生理解直线和圆的位置关系。

⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。

㈡能力训练点

两圆的公切线相关教学方案

第一课时（一）

教学目标：

（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；

（2）培养学生的归纳、总结能力；

（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．

教学重点：

理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．

教学难点：

两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．

教学活动设计

（一）实际问题（引入）

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

（二）概念

1、概念：

教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．

(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．

(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．

(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．

2、理解概念：

(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．

(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．

（三）两圆的位置与公切线条数的关系

组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材P143练习第2题表．

（四）应用、反思、总结

例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．

分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）

解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．

过O1作O1C⊥O2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，

于是有

O1C⊥CO2，O1C=AB，O1A=CB．

在Rt△O2CO1和．

O1O2=13，O2C=O2B-O1A=5

AB=O1C=(cm)．

反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．

例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．

分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作CD如图，因为AB是，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解．

解：过点P作CD

∵AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点

∴∠CPA=∠BAP∠CPB=∠ABP

又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

∴2∠CPA+2∠CPB=180°

∴∠CPA+∠CPB=90°即∠APB=90°

在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2

说明：两圆相切时，常过切点作，沟通两圆中的角的关系．

（五）巩固练习

1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()

(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对．

此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)