二次根式的加减法

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提起教案，我相信大家都不陌生，多写教案能够提升我们的策划能力，一份完整的教案有许多内容，优秀的初中教案是什么样子的？本站收集了《二次根式的加减法》，供您参考。

（一）教学过程

【复习提问】

1．同类二次根式的定义．

2．二次根式加减法的法则．

3．加减运算中注意的问题．

【例题】

例1判断：

（1）；（）

（2）；（）

（3）；（）

（4）；（）

（5）．（）

（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）

例2计算：

（1）．

解：

．

（2）．

解：

．

（3）．

解：

．

（4）．

解：

．

小结：二次根式加减运算的步骤：

（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

（3）合并同类二次根式．

例3当，时，求代数式的值．

解：

．

当时，时，

原式

．

例4已知，求下列各式的近似值（精确到0.01）：

（1）；

（2）．

解：（1）．

当时，

原式．

（2）

．

当时，

原式．

注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．

（二）随堂练习

计算：

（1）；

（2）；

（3）已知，，求式子的近似值（精确到0.01）．

（三）总结、扩展

正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等．

可通过例题加以说明．

练习：教材P191中2（6）、（7），3；P194中7

（四）布置作业

教材P193中3（7）、（8）、（9）、（10）；教材P194中4（5）、（6），5．

（五）板书设计

标题

1．例题2．练习题

例1……3．小结

例2……

例3……

八、背景知识与课外阅读

二次根式的加减法法则与乘除法法则的区别

运算

二次根式乘除法

同类二次根式的加减法

系数

系数相乘除

系数相加减

被开方数

被开方数相乘除

被开方数不变

化简

把最后结果化成最简二次根式

可先化成最简二次根式再运算

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二次根式的加减法教案模板

教学建议

本节的重点有两个：

⒈同类二次根式的概念

⒉二次根式加减运算的方法

本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点．

本节的难点运算

首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了．整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握运算是本节的难点．

本节的主要内容是讲解，而的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．

(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出和同类二次根式；二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和．两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁．

(2)在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感．

(3)在组织学生进行教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．

(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力．

(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如：①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况．教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.

教学设计示例1

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．

2．能判断二次根式中的同类二次根式．

3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．

（二）能力训练点

通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．

（三）德育渗透点

从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．

（四）美育渗透点

通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．

二、学法引导

1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．

2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点运算．

2．教学难点二次根式的化简．

3．疑点及解决办法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影片

六、师生互动活动设计

1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．

2．教师通过例题的示范让学生了解什么是，并引入同类的二次根式的定义．

3．再通过较复杂的计算，引导学生小结归纳出的法则．

4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．

七、教学步骤

（－）明确目标

学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究．

（二）整体感知

同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．

第一课时

（－）教学过程

【复习引入】

什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）

与的形式与实质是什么？

可以化简为．

继续提问：，可以化简吗？

，可以化简吗？

这就是本节课研究的内容——．

【讲解新课】

1．复习整式的加减运算

计算：

（1）；

（2）；

（3）．

小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．

2．例题

（1）计算．

解：．

（2）计算．

解：．

小结：

（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．

（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．

定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

3．例题

例1下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，．

解：略．

例2计算．

解：

．

例3计算．

解：

．

二次根式加减法的法则：

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

（可对比整式的加减法则）

例4计算：

（1）．

解：

．

（2）．

解：

．

（二）随堂练习

计算：

（1）；

（2）；

（3）．

练习：教材P192中1、2（1）、（2）、（3）、（4）、（5）；教材P193中1、2．

（三）总结、扩展

同类二次根式的定义．

与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．

（四）布置作业

教材P193中（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）；教材P194中4（1）、（2）、（3）、（4）．

（五）板书设计

标题

1．复习题5．例题（1）、（2）、

2．整式的加减例题（3）、（4）

3．例题（1）、（2）6．练习题

4．同类二次根式7．小结

经典初中教案二次根式的加减法

（一）教学过程

【复习提问】

1．同类二次根式的定义．

2．二次根式加减法的法则．

3．加减运算中注意的问题．

【例题】

例1判断：

（1）；（）

（2）；（）

（3）；（）

（4）；（）

（5）．（）

（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）

例2计算：

（1）．

解：

．

（2）．

解：

．

（3）．

解：

．

（4）．

解：

．

小结：二次根式加减运算的步骤：

（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

（3）合并同类二次根式．

例3当，时，求代数式的值．

解：

．

当时，时，

原式

．

例4已知，求下列各式的近似值（精确到0.01）：

（1）；

（2）．

解：（1）．

当时，

原式．

（2）

．

当时，

原式．

注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．

（二）随堂练习

计算：

（1）；

（2）；

（3）已知，，求式子的近似值（精确到0.01）．

（三）总结、扩展

正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等．

可通过例题加以说明．

练习：教材P191中2（6）、（7），3；P194中7

（四）布置作业

教材P193中3（7）、（8）、（9）、（10）；教材P194中4（5）、（6），5．

（五）板书设计

标题

1．例题2．练习题

例1……3．小结

例2……

例3……

八、背景知识与课外阅读

二次根式的加减法法则与乘除法法则的区别

运算

二次根式乘除法

同类二次根式的加减法

系数

系数相乘除

系数相加减

被开方数

被开方数相乘除

被开方数不变

化简

把最后结果化成最简二次根式

可先化成最简二次根式再运算

二次根式的加减法相关教学方案

（一）教学过程

【复习提问】

1．同类二次根式的定义．

2．二次根式加减法的法则．

3．加减运算中注意的问题．

【例题】

例1判断：

（1）；（）

（2）；（）

（3）；（）

（4）；（）

（5）．（）

（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）

例2计算：

（1）．

解：

．

（2）．

解：

．

（3）．

解：

．

（4）．

解：

．

小结：二次根式加减运算的步骤：

（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

（3）合并同类二次根式．

例3当，时，求代数式的值．

解：

．

当时，时，

原式

．

例4已知，求下列各式的近似值（精确到0.01）：

（1）；

（2）．

解：（1）．

当时，

原式．

（2）

．

当时，

原式．

注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．

（二）随堂练习

计算：

（1）；

（2）；

（3）已知，，求式子的近似值（精确到0.01）．

（三）总结、扩展

正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等．

可通过例题加以说明．

练习：教材P191中2（6）、（7），3；P194中7

（四）布置作业

教材P193中3（7）、（8）、（9）、（10）；教材P194中4（5）、（6），5．

（五）板书设计

标题

1．例题2．练习题

例1……3．小结

例2……

例3……

八、背景知识与课外阅读

二次根式的加减法法则与乘除法法则的区别

运算

二次根式乘除法

同类二次根式的加减法

系数

系数相乘除

系数相加减

被开方数

被开方数相乘除

被开方数不变

化简

把最后结果化成最简二次根式

可先化成最简二次根式再运算

经典初中教案数学教案－二次根式的加减法

教学建议

本节的重点有两个：

⒈同类二次根式的概念

⒉二次根式加减运算的方法

本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．二次根式的加减法运算实质是合并同类二次根式，前提是要充分了解同类二次根式的概念，因此同类二次根式的概念是本节的一个重点．

本节的难点二次根式的加减法运算

二次根式的加减法首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了．整式加减无非是去括号与合并同类项，二次根式的加减在化简之后也是如此，同类二次根式类似同类项．但是学生初次接触二次根式的加减法，在运算过程中容易出现各种各样的错误，因此熟练掌握二次根式的加减法运算是本节的难点．

本节的主要内容是讲解二次根式的加减法，而二次根式的加减法的关键是把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．

(1)在知识引入的讲解中，有两种不同的处理方法：一是按照教材中的方法，先给出几个二次根式，把他们都化成最简二次根式，在进行比较或者加减运算，从而引出二次根式的加减法和同类二次根式；二是先复习同类项的概念或进行一两道简单的正式加减的题目，通过类比引出同类二次根式和二次根式的加减法．两种处理方法各有优劣，教师在教学过程中可根据学生的实际情况进行选择，当然也可以把这两种方法综合应用，但有些过繁．

(2)在教材例1的教学中，教师可以根据学生情况进行细分处理，例如分成几个小问题：①把被开方数都是整数的放在一个小题中，②把被开方数都是分数的放在一个小题中，③把被开方数带有简单字母的放在一个小题中，④把字母次数略高于2的放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅入深的渐进过程，便于学生参与其中，也容易使学生获得成就感．

(3)在组织学生进行二次根式的加减法教学中，同样将例题细分成几个层次进行教学，例如：①不需要化简能直接进行相加减的，②需要化简但被开方数都是简单整数的，③被开方数都是有理数但既有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等等．

(4)在二次根式加减法的组织教学中，虽然教材已经不要求二次根式加减法的法则，但可以组织学生自己总结法则，既有利于学生的参与，又能提高学生的观察、分析和归纳能力．

(5)在二次根式加减法的整个教学环节中，教师都要及时纠正学生的错误认识，比如：①不是最简二次根式就不是同类二次根式，②该化简的没有化简，或化简的不正确，③该合并的没有合并，不该合并的给合并了，或者合并错了，等等类似情况．教师在教学中可以出一些容易出错的题目让学生进行辨别，以利于知识的巩固.

教学设计示例1

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生了解最简二次根式的概念和同类二次根式的概念．

2．能判断二次根式中的同类二次根式．

3．会用同类二次根式进行二次根式的加减．

（二）能力训练点

通过本节的学习，培养学生的思维能力并提高学生的运算能力．

（三）德育渗透点

从简单的同类二次根式的合并，层层深入，从解题的过程中，让学生体会转化的思维，渗透辩证唯物主义思想．

（四）美育渗透点

通过二次根式的加减，渗透二次根式化简合并后的形式简单美．

二、学法引导

1．教师教法引导法、比较法、剖析法，在比较和剖析中，不断纠正错误，从而树立牢固的计算方法．

2．学生学法通过不断的练习，从中体会、比较、二次根式加减法中，正确的方法使用，并注重小结出二次根式加减法的法则．

三、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点二次根式的加减法运算．

2．教学难点二次根式的化简．

3．疑点及解决办法二次根式的加减法的关键在于二次根式的化简，在适当复习二次根的化简后进行一步引入几个整式加减法的，以引起学生的求知欲与兴趣，从而最后引入同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生去伪存真，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的学习效果．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影片

六、师生互动活动设计

1．复习最简二根式整式及的加减运算，引入二次根式的加减运算，尽量让学生回答问题．

2．教师通过例题的示范让学生了解什么是二次根式的加减法，并引入同类的二次根式的定义．

3．再通过较复杂的二次根式的加减法计算，引导学生小结归纳出二次根式的加减法的法则．

4．通过学生的反复训练，发现问题及时纠正，并引导学生从解题过程中体会理解二次根式加减法的实质及解决的方法．

七、教学步骤

（－）明确目标

学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．

（二）整体感知

同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．

第一课时

（－）教学过程

【复习引入】

什么样的二次根式叫做最简二次根式？（由学生回答）

与的形式与实质是什么？

可以化简为．

继续提问：，可以化简吗？

，可以化简吗？

这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．

【讲解新课】

1．复习整式的加减运算

计算：

（1）；

（2）；

（3）．

小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．

2．例题

（1）计算．

解：．

（2）计算．

解：．

小结：

（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．

（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．

定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

3．例题

例1下列各式中，哪些是同类二次根式？，，，，，，．

解：略．

例2计算．

解：

．

例3计算．

解：

．

二次根式加减法的法则：

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

（可对比整式的加减法则）

例4计算：

（1）．

解：

．

（2）．

解：

．

（二）随堂练习

计算：

（1）；

（2）；

（3）．

练习：教材P192中1、2（1）、（2）、（3）、（4）、（5）；教材P193中1、2．

（三）总结、扩展

同类二次根式的定义．

二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．

（四）布置作业

教材P193中（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）；教材P194中4（1）、（2）、（3）、（4）．

（五）板书设计

标题

1．复习题5．例题（1）、（2）、

2．整式的加减例题（3）、（4）

3．例题（1）、（2）6．练习题

4．同类二次根式7．小结

数学教案－二次根式的加减法的教学方案

（一）教学过程

【复习提问】

1．同类二次根式的定义．

2．二次根式加减法的法则．

3．加减运算中注意的问题．

【例题】

例1判断：

（1）；（）

（2）；（）

（3）；（）

（4）；（）

（5）．（）

（要求学生找出错误的原因，能进行加减运算的，要加以改正．）

例2计算：

（1）．

解：

．

（2）．

解：

．

（3）．

解：

．

（4）．

解：

．

小结：二次根式加减运算的步骤：

（1）如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

（2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

（3）合并同类二次根式．

例3当，时，求代数式的值．

解：

．

当时，时，

原式

．

例4已知，求下列各式的近似值（精确到0.01）：

（1）；

（2）．

解：（1）．

当时，

原式．

（2）

．

当时，

原式．

注意：求值时，一般应对代数式先化简，再代入数值．

（二）随堂练习

计算：

（1）；

（2）；

（3）已知，，求式子的近似值（精确到0.01）．

（三）总结、扩展

正确地进行二次根式的加减法运算，需解决好几个环节：去括号，化简二次根式，确定同类二次根式，合并的方法等．

可通过例题加以说明．

练习：教材P191中2（6）、（7），3；P194中7

（四）布置作业

教材P193中3（7）、（8）、（9）、（10）；教材P194中4（5）、（6），5．

（五）板书设计

标题

1．例题2．练习题

例1……3．小结

例2……

例3……

八、背景知识与课外阅读

二次根式的加减法法则与乘除法法则的区别

运算

二次根式乘除法

同类二次根式的加减法

系数

系数相乘除

系数相加减

被开方数

被开方数相乘除

被开方数不变

化简

把最后结果化成最简二次根式

可先化成最简二次根式再运算

二次根式

一、教学过程

(一)复习提问

1．什么叫二次根式？

2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．

(二)二次根式的简单性质

上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质

我们知道，正数a有两个平方根，分别记作零的平方根是零。引导学生总结出，其中，就是一个非负数a的算术平方根。将符号看作开平方求算术平方根的运算，看作将一个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：

这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代表一个代数式吗？

请分析：引导学生答如时才成立。

时才成立，即a取任意实数时都成立。

我们知道

如果我们把，同学们想一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．

例1计算：

分析：这个例题中的四个小题，主要是运用公式。其中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第（2）小题中的，说明，这与带分数。因此，以后遇到，应写成，而不宜写成。

例2把下列非负数写成一个数的平方的形式：

(1)5；(2)11；(3)1.6；(4)0.35．

例3把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：

(1)4x2-1；(2)a4-9；

(3)3a2-10；(4)a4-6a2+9．

解：(1)4x2-1

=(2x)2-12

=(2x+1)(2x-1)．

(2)a4-9

=(a2)2-32

=(a2+3)(a2-3)

(3)3a2-10

(4)a4-6a2+32

=(a2)2-6a2+32

=(a2-3)2

(三)小结

1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．

2．关于公式的应用。

(1)经常用于乘法的运算中．

(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．

(四)练习和作业

练习：

1．填空

注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．

2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：

分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．

3．计算

二、作业

教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．

补充作业：

下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？

分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：

(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，

但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，

∴｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．

(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0

∴(m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，

∴m-n≤0，即m≤n．

说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．

三、板书设计

二次根式的化简

（第1课时）

一、教学目标

1.掌握二次根式的性质

2.能够利用二次根式的性质化简二次根式

3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法

二、教学设计

对比、归纳、总结

三、重点和难点

1.重点：理解并掌握二次根式的性质

2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学步骤

（一）教学过程

【复习引入】

1．求值、、、…

求值、、、…

结论：当时，；

当时，．

2．求值、…

结论：当时，式子有意义，，对于，不能为负数．

3．求值、…

结论：当时，．

问：若根号内这个式子中的底数，根式还有意义吗？其值等于什么？

例如，，其中－2与2互为相反数；，其中－3与3互为相反数；，其中与互为相反数．

【讲解新课】

提出问题：等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论：

教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若时，能否等于，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的理解和记忆．

例1化简：

（1）；（2）．

解：（略）．

注：可看作，把先写为；

可看作，把先写为．

例2化简：．

分析：底数是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件，可得．

∴．

解：（略）．

例3化简下列各式：

（1）（）；（2）（）；

（3）（）；（4）（）．

解：（1）∵

∴．

∴

．

（2）∵

∴，即．

∴

．

（3）∵

∴，即．

∴

．

（4）∵，

∵，即．

∴．

注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负．

在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力．

（二）随堂练习

1．求值：

（1）；（2）；（3）（）；

（4）；（5）．

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

（5）．

注：，学生易与相混淆．

2．化简：

（1）；（2）；（3）；

（4）（）；（5）（）．

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

（5）．

（三）总结、扩展

对公式，一定要在理解在基础上牢固掌握，要准确地运用公式进行二次根式的化简，关键是对根号内式子的底数的判断．

（四）布置作业

教材P213中1（2）、（3）；2（1）、（2）．

（五）板书设计

标题

1．复习题4．练习题

2．公式

3．例题

二次根式的乘法

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点是与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

教法建议：

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

2.积的算术平方根的性质和（）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

教学设计示例

(一)

一、教学目标

1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

2．会进行简单的运算．

3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

二、教学重点和难点

1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的运算．

2．难点：与积的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

观察下面的例子：

于是可得到：

又如：

类似地可以得到：

(二)新课

积的算术平方根．

由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有(a≥0，b≥0)．

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

例1把下面各数分解因数：

(1)20；(2)42；(3)63；(4)128．

说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

解：略．

例2化简：

（1）（2）

（3）（4）

分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

解：（1）

（2）

（3）

（4）

说明：①(a≥0，b≥0)可以推广为(a≥0，b≥0，c≥0)．

②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出：，，等结果，于是可以总结出：一般地，有

（a≥0）

关于a＜0时，，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

例3化简：

（1）；（2）

分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

解：（1）

（2）

说明：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

例4如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

解：∵AB2=AC2+BC2

∴

(cm)

答：AB长26cm．

(三)小结

1．本节课讲了积的算术平方根的性质

(a≥0，b≥0)．

通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

问学生：当a＜0，b＜0，也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

引导学生说出：若a＜0，b＜0，，在实数范围内没有意义.公式显然不成立．

2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）;(6)；

（7）；（8）

2．计算：

（1）；（2）；

（3）；（4）

3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

六、作业

教材P．177习题11．2；A组1、2、3、4、5．

七、板书设计

二次根式的除法

教学建议

知识结构：

重点难点分析：

是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.

教学难点是与商的算术平方根的关系及应用.与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.

教法建议：

1.本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.

2.本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式（被开方数的分母可以开得尽方的二次根式）；第二课时讨论法则，并运用这一法则进行简单的运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况；第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进行二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开.

3.引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励中国学习联盟胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.

教学设计示例

一、教学目标

1．掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算；

2．会进行简单的运算;

3．使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题；

4.培养学生利用公式进行化简与计算的能力；

5.通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力；

6.通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.

二、教学重点和难点

1．重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的运算，还要使学生掌握采用分母有理化的方法进行．

2．难点：与商的算术平方根的关系及应用．

三、教学方法

从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节

内容可引导学生自学，进行总结对比．

四、教学手段

利用投影仪．

五、教学过程

(一)引入新课

学生回忆及得算数平方根和性质：（a≥0，b≥0）是用什么样的方法引出的？(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的．)

学生观察下面的例子，并计算：

由学生总结上面两个式的关系得：

类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：

(二)新课

商的算术平方根．

一般地，有（a≥0，b＞0）

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．

让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a≥0，b＞0，对于为什么b＞0，要使学生通过讨论明确，因为b＝0时分母为0，没有意义．

引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算．

例1化简：

（1）；（2）；（3）；

解∶（1）

（2）

（3）

说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数；本节根号下的字母均为正数.

例2化简：

（1）；(2)；

解：（1）

（2）

让学生观察例题中分母的特点，然后提出，的问题怎样解决？

再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况，的问题，我们将在今后的学习中解决.

学生讨论本节课所学内容，并进行小结．

(三)小结

1．商的算术平方根的性质．(注意公式成立的条件)

2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简．

(四)练习

1．化简：

（1）；（2）；（3）.

2．化简：

（1）；（2）；(3)

六、作业

教材P．183习题11．3；A组1．

七、板书设计