让教学设计更符合学生的认知(小编推荐)

摘要：数学教学难点之所以成为难点，一是由于学生的认知结构难以“容纳”这一知识，二是由于教师的教学设计难以找到适当的切入点。新知识应该如何“修剪”得适合学生吸收，如何使学生“活动”起来，做适合他的认知结构的活动。一、复杂方法简约化；二、前后呼应流畅化；三、实际问题逐步数学化；四、形式理解溯源化；五、借助几何意义动态化。关键词：数学教学难点认知教学设计我们在教学实践、观课活动或与同行的交流中，常有这样的同感：课前对一些内容的教学设计在课堂上实施时，感到不自然，无法与学生产生共鸣，或自圆其说，或越俎代疱，或生拉硬扯。这些数学内容称之为数学教学难点，数学教学难点之所以成为难点，一是由于学生的认知结构难以“容纳”这一知识，二是由于教师的教学设计难以找到适当的切入点。按照皮亚杰的观点，对客体的认识是一个“同化”的过程，即如何把对象纳入（整合）到已有的认识框架（认知结构）之中；也只有借助于同化过程，客体才获得真正的意义。与此同时，认识框架本身也有一个不断发展或建构的过程，特别是，在已有的认知结构无法“容纳”新的对象的情况下，主体就必须对已有的认知结构进变革，以使其与客体相适应，这就是所谓的“顺应”。教学设计就是设计教学情境，帮助学生逐步将数学难点与头脑中已有的数学知识和经验联系起来。教师的作用是为学生的参与创造适宜的挑战环境，学生思维的发生和发展过程，去了解学生的数学结构，分析他的主观感知有什么问题，新知识应该如何“修剪”得适合学生吸收，如何使学生“活动”起来，做适合他的认知结构的活动。1、复杂方法简约化人的认识总是不断在反思中发展、前进，思维不断在清晰化——明朗化——简约化的过程中得到提升。教学设计也应适时地“修剪”、重组教材（教学）中内容、方法，以适合学生吸收。案例1、正弦定理的向量证法。

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jk251.coM小编推荐

让文字自动适应Word表格大小(小编推荐)

在word中，当我们向表格中输入文字时，表格的列宽会自动增加以适应文字，但如果我们不想让单元格的尺寸发生变化时，软件也可以自动调整文字间距以适应单元格。要启动这项功能，可进行如下设置：

选中该单元格。从表格菜单中选择表格属性命令，随后出现表格属性对话框。在表格选项卡中，单击选项按钮，随后弹出表格选项对话框，清除自动重调尺寸以适应内容复选框以固定表格尺寸。在单元格选项卡中，单击选项按钮，弹出单元格选项对话框，单击选中适应文字复选框。为了让单元格容下尽量多的文字你还可以把单元格边距全都设为0。设置完成后，单击确定按钮退出表格属性对话框。

然后在该单元格内输入文字时，word会自动调整字符间距以适应单元格大小，但字符字号不变。在excel中也可以进行类似的设置让文字适应单元格的大小，方法是执行格式单元格对齐缩小字体填充命令。

“网页制作”教学设计与思考(小编推荐)

[摘要]中小学信息技术课已不再是单纯的计算机技能课，它强调以培养信息素养为目标，以任务驱动为模式，以应用软件为载体。只有在实际教学中突破以往的教学模式，才能培养出适应信息社会发展的有用人才。本文以“网页制作”单元为例，阐述了信息技术课教学设计的新思路，并就现行教材的编排组织提出了几点建设性意见。

[关键词]信息技术/网页制作/任务驱动

中学信息技术课程的任务是培养学生的信息素养，具体包括快速获取信息的能力，正确地评价信息，有效地利用信息和准确地表达信息。因此，信息技术课也应以信息处理为主线来展开，而不该成为单纯的计算机应用软件操作课。以“网页制作”为例，整个制作过程对学生获取、评价、表达和利用信息的各项能力都是一种培养和锻炼。下面，笔者就这一单元的教学设计做具体阐述。

一、教材分析

我校目前使用的教材是江苏省中小学教学研究室编写的高一《信息技术》。网页制作是其中第五章的教学内容。在这之前，学生已初步掌握了网络通信的基础知识，因特网的信息服务，网络信息的搜索、浏览和下载，以及电子邮件的使用等内容。因此，学生已经具备了获取信息的能力，网页制作单元就可侧重培养信息表达的能力，这对于加强学生的信息意识，提高信息处理的能力有着重要的作用；网页的设计也给学生提供了展示个性、自主创新的机会，促使他们主动地学、创造性地学；网页的评价则能使学生了解内容编排的原则，页面布局的种类，色彩搭配的风格等，提高他们的艺术修养和审美情趣。

教材中采用的网页制作软件是FrontPage2000。由于FrontPage2000采用了与Word等其他Office软件相类似的图形操作界面，可以自动生成Html代码，轻松实现网页发布。在第三章，学生已经学过了Word字处理软件。因此，对FrontPage2000的启动、关闭、文件操作、文字编辑和图片处理都会有一种似曾相识的感觉，这种知识迁移对后续的学习非常有利。

二、设计思想

1、任务驱动

本单元的学习通过完成网页作品来实现。班级网页的信息来自学生生活的班集体，每个热爱班级、关心班级的同学都能产生一种急切地完成任务的动机，而完成任务又能给他们带来成就感和满足感。这种心理上的内在动力驱使学生自觉地把计算机作为一种信息处理的工具来使用，由“要我学”变成“我要学”。在教学中，教师通过创设情境，激发学生的创作欲望，把总任务划分到每节课，按照学生的制作进度来布置子任务，使学生在教师的引导下逐步达成教学目标。

2、小组协作

制作班级网页是个大任务，具有一定的开放性和综合性。因此采取小组协作学习的方式是非常必要的。小组成员的知识程度、学习能力和思维方式都有差异，可以通过讨论、交流与合作，取长补短、拓展思路。每个学习小组由6-8人组成，每人负责制作1-2个页面，组合成一份班级网页。最后，各小组作品集中评比，选出优秀作品，上传到校园网上公布。

基于资源

要培养学生的信息能力，就必须为他们提供大量处理信息的机会。基于资源的学习就是让学生接触到丰富的学习资源，为学生的知识构建提供支撑。笔者采用ASP技术自主开发了一个信息技术学习网站，该网站具有强大的交互功能，不仅能为学生创设丰富的资源环境，还为每个注册用户提供个人空间，支持作品的上传或下载，并开辟了学生论坛和教师答疑，供师生们交流和讨论。网站的使用不仅方便学生的学，还能改善教师的教，也为师生间的交流提供了虚拟空间。

三、学习目标

本单元的认知、情感和动作技能三种目标分述如下：

认知目标

1、能简要陈述FrontPage2000主要功能，熟悉其操作界面

2、能用自己的话解释下列术语：HTML，URL，网页，主页，超链接

3、能主动获取、收集班级信息，并加以分类和整理

4、能客观评价网页的内容和风格，具备一定的审美能力

情感目标

1、具有集体荣誉感，愿意为班级的网页建设出谋划策

2、具有乐于助人、团结协作的精神

3、能尊重他人的劳动成果，有保护知识产权的意识

动作技能目标

1、能熟练地建立、打开、保存、浏览网页文件

2、能按照需要建立框架网页，设置各框架中的初始网页

3、能在网页中熟练地插入文字、图片、动画、水平线

4、能使用简单的表格编排网页内容，使网页的结构清晰，内容整齐

5、能选择合适的网页背景图案和背景音乐

6、能根据实际需要使用不同的超链接，合理地组织网页

7、能在网页中插入悬停按钮、滚动字幕和横幅广告管理器，使网页具有动感

8、能够插入简单的表单，使网页具有初步的动态交互功能

四、学习资源设计

在基于资源的学习中，教师的任务就是收集、设计和管理学习资源，引导和帮助学生自主地查找并获得学习指导，通过师生间、生生间的交流与合作，完成知识的建构和技能的提高。因此，学习资源的设计尤为重要。本单元需要的学习资源包括以下部分：

1、推荐给学生的网站地址链接，如门户网站、班级网站、搜索引擎、信息技术网站等

2、本单元学习的目标和任务，以及每课时的子目标和子任务

3、教师对班级网页栏目的划分建议，如同学档案、教师风采、学习园地、班级活动、休闲娱乐、班级留言板、酷站链接、站长信箱等等

4、根据每课时的学习目标制作的操作指导，包括操作界面的演示

5、网页设计所需的各种素材，如图片、动画、Midi音乐等等

6、拓展学习材料，如Photoshop、Flash、Asp、Access等技术资料

7、Frontpage2000的帮助系统和信息技术教材也是重要的学习资源

以上学习资源（第7项除外）都应公布在教学网站中，保证学生在需要时查找。学生也可以把自己找到的好素材上传到网上。

五、教学过程

本单元的教学共需8课时，每节课教师都要求学生完成子任务。教学安排如下表：

课时

学习子任务

教师行为

学生行为

1

访问推荐网页

评价网页，确定标准

形成小组、讨论栏目，明确分工

推荐优秀网站

组织学生讨论网页内容和风格，分析网页框架和布局。

小结网页评价的标准

提出学习任务(班级网页制作)和原则(小组协作，网上讨论与学习)

提供网页栏目划分建议

组织各小组讨论

浏览网页

仔细观察，区分优劣

了解评价网页的标准

明确任务及原则

选择小组，参与讨论，确定栏目及分工，推举组长

组长上报成员名单

课后收集整理信息

2

学会使用教学网站

熟悉Frontpage2000的操作界面，掌握网页文件的创建、打开、保存和关闭操作

输入文字信息并修饰

公布教学网站地址和访问方法，介绍网站栏目及功能，特别是个人空间的上传、下载方法

参与学生的网上讨论，回答学生提问，必要时进行集体讲解和演示

登陆教学网站，了解栏目功能，练习使用

创建网页文件，输入网页文字信息并保存

设置文本字体字号颜色，调整段落对齐方式和缩进格式

引用资料注明出处

在网页下方署名

3

学会插入图片、动画、水平线

设置背景和音乐

学习插入表格，并用表格实现页面布局

介绍素材库中各类素材

参与网上讨论、答疑

提醒学生网页上的图片和动画应少而精，以免影响浏览速度

介绍表格的嵌套

分析学生网页，用表格演示页面布局

选择合适的素材插入网页合适位置，

设置图片和动画的大小、对齐方式和边框

设置网页背景和音乐

在需要插入表格的网页中，设置表格、行、列及单元格的属性并进行编辑

用表格规划页面内容

4

学习框架网页的创建及保存，学会拆分和删除框架

小组合作，建立主页

建立页间链接，并学会通过预览功能测试链接

介绍框架网页的各种格式和创建、保存的方法

演示拆分、删除框架

参与网上讨论、答疑

分析学生操作错误原因，页间链接应使用相对路径

演示超级链接的建立、使用预览功能测试链接

小组讨论选择一种框架页面作为主页

设置框架属性，如框架名称、初始网页等

创建主页与其他页面间的超级链接，并用预览功能测试链接是否正确

学会使用相对路径

5

学会创建书签链接、邮件链接和图片链接

建立URL链接

初步学会创建图象的热区链接

对每个链接进行测试

分析一个主页，让学生找出不同的超级链接

讨论各种链接的应用场合，如页面内容较多则使用什么链接？酷站链接和站长信箱分别使用什么链接？学生回答

错误原因分析，URL链接使用绝对路径

选择内容较多的页面建立书签链接

在图片上练习图片链接和热区链接

为酷站链接和站长信箱建立正确的链接

加深URL地址的认识

对每个链接进行测试

6

学会插入滚动字幕

学会使用悬停按钮

学会插入站点计数器和横幅广告管理器

小组网页初步组合，上传到教学网站

逐个检查各小组网页的制作进展，并给出评估意见

参与网上讨论、答疑

讲解小组网页的组合方式，每个栏目一个文件夹，图片放一个文件夹，提示学生使用文件夹视图管理文件

在主页上插入滚动字幕，并设置其方向、速度、表现和对齐方式

在主页上插入计数器和横幅广告管理器

选择一个页面插入悬停按钮，并设置其颜色、效果和链接对象

设置网页的动态效果

小组网页组合上传

7

了解表单的交互性，学习表单的创建和设置

在表单中插入各种组件

设置表单的Email提交方法

各组网页定稿上传

介绍简单的留言板，论坛和聊天室，供学生选择

引导学有余力的学生学习ASP和数据库技术

参与网上讨论、答疑

创建留言板或其他形式的表单，如学习调查表等

在表单中插入文本框、按钮、单选按钮、复选框、列表框等组件

设置Email提交方法

小组网页定稿上传

8

各组网页演示、互评

网上投票推选优秀网页和网页制作高手

每位同学自评

由班内网页高手做班级网页管理员，负责提交、维护班级网页

组织小组网页互评

设计网上投票网页

设计网页设计评估表

为每个学生的作品打分

积极参加小组互评

投票推选优秀网页和网页制作高手

认真小结本人学习情况，并如实打分自评

六、教学评价

本单元的教学评价主要根据下面的网页作品评价量化表来进行，由学生自评和教师打分反映学生的学习状况。

评价指标

(分值)

具体指标

量化等级分值

自评

教师

优

良

中

差

网页内容

(40)

获得的信息准确且完整

5

4

3

2

信息的收集方法效率高

10

8

6

4

网页文字没有语法和拼写错误

10

8

6

4

能找到合适的网页素材并合理应用

10

8

6

4

引用他人作品，是否注明出处

5

4

3

2

技术处理

(35)

网页布局整齐、合理

10

8

6

4

网页色彩协调、风格鲜明

10

8

6

4

网页链接正确、快捷

10

8

6

4

具有较强的动态交互功能

5

4

3

2

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课题：1.1集合

教学目的：知识目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的

概念及其记法

.（2）使学生初步了解“属于”关系的意义

.（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力

的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立

思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概

括能力和逻辑思维能力；

教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示

一些简单的集合

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习导入：

1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；

2．教材中的章头引言；

3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；

4．“物以类聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）。

二、新课讲解：

阅读教材第一部分，问题如下：

（1）有那些概念？是如何定义的？

（2）有那些符号？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有关概念（例题见课本）：

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2、常用数集及其表示方法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+

（3）整数集：全体整数的集合。记作Z

（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q

（5）实数集：全体实数的集合。记作R

注意：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括

数0。

（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+。Q、Z、R等其它

数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0

的集，表示成Z*

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，

或者不在，不能模棱两可。

（2）互异性：集合中的元素没有重复。

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

练习题

1、教材P5练习

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数。（不确定）

（2）好心的人。（不确定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

阅读教材第二部分，问题如下：

1．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？

2．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。

（二）集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的

方法。

例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只

有一个元素。

描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条

件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x∈A|P（x）}

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例如，不等式的解集可以表示为：或

所有直角三角形的集合可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合；集合{1000以内的质数}

注：集合与集合是同一个集合

吗？

答：不是。

集合是点集，集合=是数集。

（三）有限集与无限集

1、有限集：含有有限个元素的集合。

2、无限集：含有无限个元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：

练习题：

1、P6练习

2、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

3、用列举法表示下列集合

①{x∈N|x是15的约数}{1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}

③

④{-1，1}

⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小结：本节课学习了以下内容：

1．集合的有关概念

（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）

2．集合的表示方法

（列举法、描述法、文氏图共3种）

3．常用数集的定义及记法

四、课后作业：教材P7习题1.1

民国时期的文化教学设计方案(小编推荐)

重点：民国时期的进步文艺

难点：科学成就的简释；进步文学艺术的分析

教学过程

导入

教师首先请学生阅读本节引言，然后进行简要分析，以便学生能在宏观把握时代背景的基础上深刻理解本书的内容。引导学生认识，并理解文化是一定的社会政治经济反映的原理。

一、科学技术的成就

教师首先引导学生阅读教材，分析科技落后的原因。然后，由学生填表归纳著名科学家及成果，在学生填表时教师可以展示科学家的图片。引导学生找出科学家共同的优秀品质，以调动学生的学习积极性和认识学有所成的努力创精神。

二、民国时期的进步文艺

学习过程中，要解决如下问题：鲁迅的杂文，教师可补充相关资料，与中学语文课选的《为了忘却的记念》、《“友邦惊诧”论》等文章结合分析鲁迅杂文的时代感和爱国主义情感。民国时期小说的成就突出，可引导学生课余选读一至二部作品，以增强文学真实地反映社会各阶层状况的认识。

讲解民国时期电影事业、音乐时。教师可以提供相关的历史图片，有条件的还可以让学生欣赏电影《渔光曲》的片断和《毕业歌》《义勇军进行曲》等，以增强学生的民族感和爱国主义信念。

讲解绘画时，教师应在介绍画家的同时，让学生欣赏部分作品。

三、民国时期的教育

教师依据教材内容简要说明民国时期教育发展概况，然后重点介绍著名教育家蔡元培和陶行知。关于蔡元培，教师可引导学生回顾新文化运动时期有关蔡元培的内容，让学生阅读教材所引材料，认识蔡元培的“五育”教育思想，认识蔡元培是中国近代较早提出全面教育的著名教育家。关于陶行知，教师补充资料介绍陶行知生平，指导学生阅读“自立歌”，思考与教育思想的关系。提问：“陶行知教育理论的核心是什么。”“为什么称陶行知为人民教育家？”等等。引导学生了解陶行知的教育思想。之后，提问：“蔡元培和陶行知教育思想的现实意义是什么？”

小结

本课所涉及的科技、文艺、教育事业等方面的成就，说明先进的、进步的知识分子追求光明、弘扬进步、倡导科学，反对黑暗、反对落后、批判愚昧，体现了民国时期文化的主旋律。

板书设计

民国时期文化

一、科学技术的成就

1．科技落后的原因

2．科技成就

二、民团时期的进步文艺

1．文学成就

2．话剧、电影的成就

3．绘画与音乐成就

三、民国时期的教育

1．民国时期的教育

2．著名教育家蔡元培和陶行知

例二面角的教学设计与评述(小编推荐)

教学目标：

知识目标：使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念。

技能目标：通过组织引导学生参与“二面角”、“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，培养学生探究能力及数学应用能力，并能解决有关简单的二面角问题。

情感目标：激发学生学习数学的热情。

教学方法：

探导式

教学过程：

引入

师：同学们爬过山吗？

生：爬过，爬过高山，爬过平坦的山，也爬过陡峭的山，很刺激。

师：怎样的山看上去陡峭？

生：山坡与水平面愈垂直，这样的山愈陡峭。

师：怎样的山看上去“平坦”？

生：山坡与水平面所成角愈小，这样的山就愈“平坦”。

师：山坡陡峭与否，跟山坡与水平面所成的角大小有关。

生：老师，山不是凹凸不平，弯曲的吗？它的坡面是不平的，那坡面与水平面所成的角，是怎么回事？

师：现实的山确实是这样凹凸不平，弯曲的，大家对这位同学所提的问题，意见如何？

（学生议论纷纷，思索着。）

生：若从全局来看整个山坡面是凹凸不平，弯曲的，但从局部小范围去看，山坡面可看作“平”，物理中不也是把山坡面看作平面，这样山坡面与水平面所成的角就是平面与平面所成的角。

师：这位同学讲得很好，现实生活中一些问题，只需给适当的数学化，便可转化到数学问题，然后用数学知识加以解决。今天我们研究平面与平面所成的角。

（老师板书课题）二面角

[评：教师的责任就是指导、激发学生积极地思考，帮助学生去观察、分析和判断。把二面角置于爬山的背景之中，这样引进新课，不仅自然，学生学起来兴趣、具体、生动，培养学生用数学意识，更重要的是让学生能够主动去想、去探究，在探究过程中不断检验、判断自己和他人的思维，更好的促使学生提出自己的创见]

新课

师：请同学们阅读课本p39--------p40上数第3行止。

（学生阅读课本）

师：什么是半平面？

生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中一部分叫做半平面。

师：什么是二面角？及表示方法怎样？

生：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。可表示为

二面角α----ab----β，α，β分别是二面角的面，ab叫二面角的棱。

[评：引导学生阅读课本，对二面角的定义理解及学生自学能力的培养必有好处。]

师：（放出幻灯）以下哪些图形是表示一个二面角？

生：（1）--------（5）是一个二面角，（6）是二个二面角。

[评：对二面角的图形进行变式，有利于学生更深刻理解二面角的本质含义。]

师：（提出问题，老师边演示山的模具，边讲述题意）

山上有一条直道cd与山脚线成30°，一人沿着cd爬上100米后，问这时此人站的地方有多高？

生：此人这时站的高度不定，跟山坡陡度大小有关，当陡度大，此人站的位置就要高，反之，就低。

师：山坡陡度就是山坡面与水平面所成二面角的大小有关，而二面角大小如何去度量呢？

（学生思考）

师：斜线与平面所成角的大小是怎样度量？

生：我知道，斜线和斜线在平面上的射影所成角的大小规定为斜线与平面所成角的大小。

师：对，即把斜线与平面所成角转化为平面几何中的线和线所成角。下面请同学们讨论二面角的度量方法。

（学生独立思考，动手摆弄二面角模具，并与同桌、前后桌同学之间共同讨论。）

师：谁来谈自己的想法。

（学生讲述各自的想法，老师板书。）

生：分别在二个半平面上，过棱上一点o作oa⊥a、ob⊥a，把∠aob大小规定为二面角大小（图1）。

生：在一个半平面上取一点a，作ab垂直另一个半平面，b为垂足，过b作ob垂直棱，o为垂足，连oa，把∠aob大小规定为二面角大小（图2）。

生：过二面角棱上一点0作平面垂直棱，分别交两个面oa，ob，把∠aob大小规定为二面角大小（图3）。

师：以上几位同学得出∠aob有什么共同点？

师生一起归纳小结：（1）两条射线oa，ob分别在α，β上，且o在棱a上。（2）oa⊥a，ob⊥a。

师：对于同一个二面角以上三种作法得出的∠aob大小相同吗？

生：相同。

师：我也有一种想法，请同学们讨论一下。这样行不行。

放出幻灯并讲述想法：如图（4）若∠aob=30°∠bod=45°，把∠aob的大小规定为二面角α--cd--β的大小。

生：不行，当两个面合拢的时候，∠aob=15°、但二面角为0°，不合常规。

师：如图（5）若“∠bod=45°”改为“∠bod=30°”结果又怎样？

生：也不行，当两个平面转“平”的时候，二面角为180°，而∠aob=60°不合常规。

师：我们把图（1）、（2）、（3）中∠aob称为二面角α--ab--β的平面角。∠aob大小就是二面角大小。这样规定，合情合理。同学们提出的图（1）、（2）、（3）是作二面角的平面角常用三种方法。一个二面角中它的平面角是否只有一个？

生：有无数个，但它们大小相等。

[评：学生在参与探讨度量二面角大小方法过程中，生生之间、师生之间互相交流，共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生主体作用，又有利于学生协作意识形成和创新能力培养。]

师：（放出幻灯）

在正方体----中（如图6）

求二面角--------大小，（2）求二面角--------大小，（3）求二面角--------的正切值，（4）若为中点，作出二面角--------的平面角。（师生一起讨论完成）

（过程略）

[评：从一道题出发通过一题多变，进行变式练习，不仅是使学生掌握知识、形成技能的有效手段，更有利于学生形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性]

如图7：山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道，它和坡脚的水平线的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后，升高了多少米？

图7

解：已知=100米，设垂直于过的水平平面，垂足为，线段的长度就是所求的高度。在平面内，过点作，垂足是，连结。

平面，

。

因此，就是坡面和水平平面所成的二面角的平面角，=60°。由此得=sin60°=sin30°sin60°=100sin30°sin60°=

答：沿直道前进100米，升高约43。3米。

[评：从实际问题出发，又以实际问题结束，将理论与实际相结合的数学原理，提到了更重要的高度。]

三、小结：

师：同学们把上图中山“去掉”留下的图形是什么几何体？有哪些特征？

生：是一个四面体，这个四面体四个面都是直角三角形。这个图中还包含二面角的平面角、线与面所成角、点到线距离、点到面距离等。

师：这个四面体是立体几何中最常用的一个基本图形，立体中许多问题都可化归到这个四面体进行求解，这就是数学中最常用一种化归思想。关于二面角计算题或证明题，关键找（作）出二面角的平面角，今天我们讲了作二面角的平面角三种方法。这节课讲的两个例题用图（2）方法----三垂线法作二面角的平面角，这样通过作二面角的平面角，把立体几何问题化归为平几问题来处理。许多实际应用题，通过建模，可转化为数学问题来解决。我们的周围处处有数学，希望同学们学会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和研究。

四、作业：p451--6

[评：大多数学生之所以学习有困难，解决问题能力差，问题在于他们所获得的概念、知识不是通过研究事实和现象的途径形成的，而是死记硬背得来的。本课例设计不是简单地将二面角及二面角的平面角定义直接传受给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，创设“爬山”的实际问题情景，调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程，这样，学生学到的不单是知识本身，也经历了知识的发生、形成过程，同时在分析、探索过程中，依靠自己的独立智慧努力，而获得了一些能够概括大量事实现象和知识，这种知识对学生来说是极为宝贵。]

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