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初中教师上课前最好是准备一份教案,教案在我们教师的教学中非常重要,认真做好教案我们的工作会变得更加顺利,你是否在烦恼初中教案怎么写呢?下面是小编为大家整理的“垂直于弦的直径初中教案精选”相关内容,仅供参考,欢迎大家阅读。
第一课时(一)
教学目标:
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;
(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.
难点:垂径定理的证明.
教学学习活动设计:
(一)实验活动,提出问题:
1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
(二)垂径定理及证明:
已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.
求证:AE=EB,=,=.
证明:连结OA、OB,则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直线CD是等腰△OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合,、分别和、重合.因此,AE=BE,=,=.从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理:平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论:
CD为⊙O的直径,CD⊥ABAE=EB,=,=.
为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.
(三)应用和训练
例1、如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OE⊥AB于E,而AE=EB=AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解:连结OA,作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm,∴AE=4cm.
又∵OE=3cm,
在Rt△AOE中,
(cm).
∴⊙O的半径为5cm.
说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r=h+d;r2=d2+(a/2)2
例2、已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略)
说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1:教材P78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
(四)小节与反思
教师组织学生进行:
知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.
方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
(五)作业
教材P84中11、12、13.
第二课时(二)
教学目标:
(1)使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用;
(2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
(3)渗透一般到特殊,特殊到一般的辩证关系.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.
难点:垂径定理的推论1.
学习活动设计:
(一)分解定理(对定理的剖析)
1、复习提问:定理:平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析:
(教师指导)
(二)新组合,发现新问题:(A层学生自己组合,小组交流,B层学生老师引导)
,,……(包括原定理,一共有10种)
(三)探究新问题,归纳新结论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
(4)圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习:
练习1、“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
(在推论1(1)中,为什么要附加“不是直径”这一条件.)
练习2、按图填空:在⊙O中,
(1)若MN⊥AB,MN为直径,则________,________,________;
(2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则则________,________,________;
(3)若MN⊥AB,AC=BC,则________,________,________;
(4)若=,MN为直径,则________,________,________.
(此题目的:巩固定理和推论)
(五)应用、反思
例、四等分.
(A层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)
教材P80中的第3题图,是典型的错误作.
此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材P80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
(六)小结:
知识:垂径定理的两个推论.
能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.
(七)作业:教材P84中14题.
第三课时垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的:
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论,会解决有关的证明,计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点:如何进行辅助线的添加
教学内容:
(一)复习
1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴直线过圆心;⑵垂直于弦;⑶平分弦;⑷平分弦所对的优弧;⑸平分弦所对的劣弧.可简记为:“知2推3”
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)
涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r=h+d;r2=d2+(a/2)2
3.常添加的辅助线:(学生归纳)
⑴作弦心距;⑵作半径.------构造直角三角形
4.可用于证明:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)
例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.
例2、已知:⊙O的半径为5,弦AB∥CD,AB=6,CD=8.求:AB与CD间的距离.(让学生画图)
解:分两种情况:
(1)当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E,连结OA、OC,
又∵AB∥CD,∴EF⊥CD.(作辅助线是难点,学生往往作OE⊥AB,OF⊥AB,就得EF=OE+OF,错误的结论)
由EF过圆心O,EF⊥AB,AB=6,得AE=3,
在Rt△OEA中,由勾股定理,得
,∴
同理可得:OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
(2)当弦AB、CD在圆心O的同侧
同(1)的方法可得:OE=4,OF=3.
∴.
说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、已知:如图,AB是⊙O的弦,半径OC∥AB,AB=24,OC=15.求:BC的长.
解:(略,过O作OE⊥AE于E,过B作BF⊥OC于F,连结OB.BC=)
说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.
(三)应用训练:
P8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.
学生分析,教师适当点拨.
分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
(四)小结:
1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2.应用定理可以证明的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业:教材P84中15、16题,P85中B组2、3题.
探究活动
如图,直线MN与⊙O交于点A、B,CD是⊙O的直径,CE⊥MN于E,DF⊥MN于F,OH⊥MN于H.
(1)线段AE、BF之间存在怎样的关系?线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系?并说明理由.
(2)当直线CD的两个端点在MN两侧时,上述关系是否仍能成立?如果不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.
(答案提示:(1)AE=BF,CE+DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足)
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垂直于弦的直径
第一课时(一)
教学目标:
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;
(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.
难点:垂径定理的证明.
教学学习活动设计:
(一)实验活动,提出问题:
1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
(二)垂径定理及证明:
已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.
求证:AE=EB,=,=.
证明:连结OA、OB,则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直线CD是等腰△OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合,、分别和、重合.因此,AE=BE,=,=.从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理:平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论:
CD为⊙O的直径,CD⊥ABAE=EB,=,=.
为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.
(三)应用和训练
例1、如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OE⊥AB于E,而AE=EB=AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解:连结OA,作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm,∴AE=4cm.
又∵OE=3cm,
在Rt△AOE中,
(cm).
∴⊙O的半径为5cm.
说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r=h+d;r2=d2+(a/2)2
例2、已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略)
说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1:教材P78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
(四)小节与反思
教师组织学生进行:
知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.
方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
(五)作业
教材P84中11、12、13.
第二课时(二)
教学目标:
(1)使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用;
(2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
(3)渗透一般到特殊,特殊到一般的辩证关系.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.
难点:垂径定理的推论1.
学习活动设计:
(一)分解定理(对定理的剖析)
1、复习提问:定理:平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析:
(教师指导)
(二)新组合,发现新问题:(A层学生自己组合,小组交流,B层学生老师引导)
,,……(包括原定理,一共有10种)
(三)探究新问题,归纳新结论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
(4)圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习:
练习1、“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
(在推论1(1)中,为什么要附加“不是直径”这一条件.)
练习2、按图填空:在⊙O中,
(1)若MN⊥AB,MN为直径,则________,________,________;
(2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则则________,________,________;
(3)若MN⊥AB,AC=BC,则________,________,________;
(4)若=,MN为直径,则________,________,________.
(此题目的:巩固定理和推论)
(五)应用、反思
例、四等分.
(A层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)
教材P80中的第3题图,是典型的错误作.
此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材P80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
(六)小结:
知识:垂径定理的两个推论.
能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.
(七)作业:教材P84中14题.
第三课时垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的:
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论,会解决有关的证明,计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点:如何进行辅助线的添加
教学内容:
(一)复习
1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴直线过圆心;⑵垂直于弦;⑶平分弦;⑷平分弦所对的优弧;⑸平分弦所对的劣弧.可简记为:“知2推3”
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)
涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r=h+d;r2=d2+(a/2)2
3.常添加的辅助线:(学生归纳)
⑴作弦心距;⑵作半径.------构造直角三角形
4.可用于证明:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)
例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.
例2、已知:⊙O的半径为5,弦AB∥CD,AB=6,CD=8.求:AB与CD间的距离.(让学生画图)
解:分两种情况:
(1)当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E,连结OA、OC,
又∵AB∥CD,∴EF⊥CD.(作辅助线是难点,学生往往作OE⊥AB,OF⊥AB,就得EF=OE+OF,错误的结论)
由EF过圆心O,EF⊥AB,AB=6,得AE=3,
在Rt△OEA中,由勾股定理,得
,∴
同理可得:OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
(2)当弦AB、CD在圆心O的同侧
同(1)的方法可得:OE=4,OF=3.
∴.
说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、已知:如图,AB是⊙O的弦,半径OC∥AB,AB=24,OC=15.求:BC的长.
解:(略,过O作OE⊥AE于E,过B作BF⊥OC于F,连结OB.BC=)
说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.
(三)应用训练:
P8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.
学生分析,教师适当点拨.
分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
(四)小结:
1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2.应用定理可以证明的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业:教材P84中15、16题,P85中B组2、3题.
探究活动
如图,直线MN与⊙O交于点A、B,CD是⊙O的直径,CE⊥MN于E,DF⊥MN于F,OH⊥MN于H.
(1)线段AE、BF之间存在怎样的关系?线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系?并说明理由.
(2)当直线CD的两个端点在MN两侧时,上述关系是否仍能成立?如果不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.
(答案提示:(1)AE=BF,CE+DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足)
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教学目标:
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;
(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.
难点:垂径定理的证明.
教学学习活动设计:
(一)实验活动,提出问题:
1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.
通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.
(二)垂径定理及证明:
已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.
求证:AE=EB,=,=.
证明:连结OA、OB,则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直线CD是等腰△OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合,、分别和、重合.因此,AE=BE,=,=.从而得到圆的一条重要性质.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
组织学生剖析垂径定理的条件和结论:
CD为⊙O的直径,CD⊥ABAE=EB,=,=.
为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.
(三)应用和训练
例1、如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OE⊥AB于E,而AE=EB=AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.
解:连结OA,作OE⊥AB于E.
则AE=EB.
∵AB=8cm,∴AE=4cm.
又∵OE=3cm,
在Rt△AOE中,
(cm).
∴⊙O的半径为5cm.
说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r=h+d;r2=d2+(a/2)2
例2、已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略)
说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成.
练习1:教材P78中练习1,2两道题.由学生分析思路,学生之间展开评价、交流.
指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
(四)小节与反思
教师组织学生进行:
知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.
方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.
(五)作业
教材P84中11、12、13.
第二课时垂直于弦的直径(二)
教学目标:
(1)使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用;
(2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高
(3)渗透一般到特殊,特殊到一般的辩证关系.
教学重点、难点:
重点:①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.
难点:垂径定理的推论1.
学习活动设计:
(一)分解定理(对定理的剖析)
1、复习提问:定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧.
2、剖析:
(教师指导)
(二)新组合,发现新问题:(A层学生自己组合,小组交流,B层学生老师引导)
,,……(包括原定理,一共有10种)
(三)探究新问题,归纳新结论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧.
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧.
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
(4)圆的两条平行线所夹的弧相等.
(四)巩固练习:
练习1、“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
(在推论1(1)中,为什么要附加“不是直径”这一条件.)
练习2、按图填空:在⊙O中,
(1)若MN⊥AB,MN为直径,则________,________,________;
(2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则则________,________,________;
(3)若MN⊥AB,AC=BC,则________,________,________;
(4)若=,MN为直径,则________,________,________.
(此题目的:巩固定理和推论)
(五)应用、反思
例、四等分.
(A层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)
教材P80中的第3题图,是典型的错误作.
此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材P80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.
(六)小结:
知识:垂径定理的两个推论.
能力:①推论的研究方法;②平分弧的作图.
(七)作业:教材P84中14题.
第三课时垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的:
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论,会解决有关的证明,计算问题.
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.
⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点:如何进行辅助线的添加
教学内容:
(一)复习
1.垂径定理及其推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:⑴直线过圆心;⑵垂直于弦;⑶平分弦;⑷平分弦所对的优弧;⑸平分弦所对的劣弧.可简记为:“知2推3”
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)
涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r=h+d;r2=d2+(a/2)2
3.常添加的辅助线:(学生归纳)
⑴作弦心距;⑵作半径.------构造直角三角形
4.可用于证明:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.
(二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)
例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米).
说明:①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路:实际问题——(转化,构造直角三角形)——数学问题.
例2、已知:⊙O的半径为5,弦AB∥CD,AB=6,CD=8.求:AB与CD间的距离.(让学生画图)
解:分两种情况:
(1)当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EF⊥AB于E,连结OA、OC,
又∵AB∥CD,∴EF⊥CD.(作辅助线是难点,学生往往作OE⊥AB,OF⊥AB,就得EF=OE+OF,错误的结论)
由EF过圆心O,EF⊥AB,AB=6,得AE=3,
在Rt△OEA中,由勾股定理,得
,∴
同理可得:OF=3
∴EF=OE+OF=4+3=7.
(2)当弦AB、CD在圆心O的同侧
同(1)的方法可得:OE=4,OF=3.
∴.
说明:①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.
例3、已知:如图,AB是⊙O的弦,半径OC∥AB,AB=24,OC=15.求:BC的长.
解:(略,过O作OE⊥AE于E,过B作BF⊥OC于F,连结OB.BC=)
说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系.
(三)应用训练:
P8l中1题.
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.
学生分析,教师适当点拨.
分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决.
(四)小结:
1.垂径定理及其推论的应用注意指明条件.
2.应用定理可以证明的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用.
(五)作业:教材P84中15、16题,P85中B组2、3题.
探究活动
如图,直线MN与⊙O交于点A、B,CD是⊙O的直径,CE⊥MN于E,DF⊥MN于F,OH⊥MN于H.
(1)线段AE、BF之间存在怎样的关系?线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系?并说明理由.
(2)当直线CD的两个端点在MN两侧时,上述关系是否仍能成立?如果不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由.
(答案提示:(1)AE=BF,CE+DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足)
数学教案-圆心角弧弦弦心距之间的关系初中教案精选
第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)
教学目标:
(1)理解圆的旋转不变性,掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用;
(2)培养学生实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力;
(3)通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育,渗透圆的内在美(圆心角、弧、弦、弦心距之间关系),激发学生的求知欲.
教学重点、难点:
重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论.
难点:从感性到理性的认识,发现、归纳能力的培养.
教学活动设计
教学内容设计
(一)圆的对称性和旋转不变性
学生动手画圆,对折、观察得出:圆是轴对称图形和中心对称图形;圆的旋转不变性.
引出圆心角和弦心距的概念:
圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角.
弦心距定义:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
(二)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
应用电脑动画(实验)观察,在同圆等圆中,圆心角变化时,圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系,得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力,又可以充分调动学生的学习的积极性.
定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.
(三)剖析定理得出推论
问题1:定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.(学生分小组讨论、交流)
举出反例:如图,∠AOB=∠COD,但ABCD,.(强化对定理的理解,培养学生的思维批判性.)
问题2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,将又怎样呢?(学生分小组讨论、交流,老师与学生交流对话),归纳出推论.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(推论包含了定理,它是定理的拓展)
(四)应用、巩固和反思
例1、如图,点O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,求证:AB=CD.
解(略,教材87页)
例题拓展:当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢?
(让学生自主思考,并使图形运动起来,让学生在运动中学习和研究几何问题)
练习:(教材88页练习)
1、已知:如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节定理及推论填空:.
(1)如果AB=CD,那么______,______,______;
(2)如果OE=OG,那么______,______,______;
(3)如果=,那么______,______,______;
(4)如果∠AOB=∠COD,那么______,______,______.
(目的:巩固基础知识)
2、(教材88页练习3题,略.定理的简单应用)
(五)小结:学生自己归纳,老师指导.
知识:①圆的对称性和旋转不变性;②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系,它反映出在圆中相等量的灵活转换.
能力和方法:①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法;②实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力.
(六)作业:教材P99中1(1)、2、3.
第二课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二)
教学目标:
(1)理解1°弧的概念,能熟练地应用本节知识进行有关计算;
(2)进一步培养学生自学能力,应用能力和计算能力;
(3)通过例题向学生渗透数形结合能力.
教学重点、难点:
重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用.
难点:理解1°弧的概念.
教学活动设计:
(一)阅读理解
学生独立阅读P89中,1°的弧的概念,使学生从感性的认识到理性的认识.
理解:
(1)把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的圆心角是1°的角.
(2)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆也被等分成360份,这时,把每一份这样得到的弧叫做1°的弧.
(3)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.
(二)概念巩固
1、判断题:
(1)等弧的度数相等();
(2)圆心角相等所对应的弧相等();
(3)两条弧的长度相等,则这两条弧所对应的圆心角相等()
2、解得题:
(1)度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么?
(2)5°的圆心角对着多少度的弧?5°的弧对着多少度的圆心角?
(3)n°的圆心角对着多少度的弧?n°的弧对着多少度的圆心角?
(三)疑难解得
对于①弧相等;②弧的长度相等;③弧的度数相等;④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等.学生在学习中有疑难的老师要及时解得.
特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”,一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等,而不是“角与弧”相等,因为角与弧是两个不同的概念,不能比较和度量.
(四)应用、归纳、反思
例1、如图,在⊙O中,弦AB所对的劣弧为圆的,圆的半径为2cm,求AB的长.
学生自主分析,写出解题过程,交流指导.
解:(参看教材P89)
注意:学生往往重视计算结果,而忽略推理和解题步骤的严密性,教师要特别关注和指导.
反思:向学生渗透数形结合的重要的数学思想.所谓数形结合思想就是数与形互相转化,图形带有直观性,数则有精确性,两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题.
例2、如图,已知AB和CD是⊙O的两条直径,弦CE∥AB,=40°,求∠BOD的度数.
题目从“分析——解得”让学生积极主动进行,此时教师只需强调解题要规范,书写要准确即可.
(解答参考教材P90)
题目拓展:
1、已知:如上图,已知AB和CD是⊙O的两条直径,弦CE∥AB,求证:=.
2、已知:如上图,已知AB和CD是⊙O的两条直径,弦=,求证:CE∥AB.
目的:是培养学生发散思维能力,由学生自己分析证明思路,引导学生思考出不同的方法,最后交流、概括、归纳方法.
(五)小节(略)
(六)作业:教材P100中4、5题.
探究活动
我们已经研究过:已知点O是∠BPD的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,则AB=CD;现在,若⊙O与∠EPF的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,请你结合图形,添加一个适当的条件,使OP为∠BPD的平分线.
解(略)
①AB=CD;
②=.(等等)
经典初中教案圆心角弧弦弦心距之间的关系
第一课时(一)
教学目标:
(1)理解圆的旋转不变性,掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用;
(2)培养学生实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力;
(3)通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育,渗透圆的内在美(圆心角、弧、弦、弦心距之间关系),激发学生的求知欲.
教学重点、难点:
重点:圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论.
难点:从感性到理性的认识,发现、归纳能力的培养.
教学活动设计
教学内容设计
(一)圆的对称性和旋转不变性
学生动手画圆,对折、观察得出:圆是轴对称图形和中心对称图形;圆的旋转不变性.
引出圆心角和弦心距的概念:
圆心角定义:顶点在圆心的角叫圆心角.
弦心距定义:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
(二)
应用电脑动画(实验)观察,在同圆等圆中,圆心角变化时,圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系,得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力,又可以充分调动学生的学习的积极性.
定理:在同圆等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.
(三)剖析定理得出推论
问题1:定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.(学生分小组讨论、交流)
举出反例:如图,∠AOB=∠COD,但ABCD,.(强化对定理的理解,培养学生的思维批判性.)
问题2、在同圆等圆中,若圆心角所对的弧相等,将又怎样呢?(学生分小组讨论、交流,老师与学生交流对话),归纳出推论.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(推论包含了定理,它是定理的拓展)
(四)应用、巩固和反思
例1、如图,点O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D,求证:AB=CD.
解(略,教材87页)
例题拓展:当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢?
(让学生自主思考,并使图形运动起来,让学生在运动中学习和研究几何问题)
练习:(教材88页练习)
1、已知:如图,AB、CD是⊙O的两条弦,OE、OF为AB、CD的弦心距,根据本节定理及推论填空:.
(1)如果AB=CD,那么______,______,______;
(2)如果OE=OG,那么______,______,______;
(3)如果=,那么______,______,______;
(4)如果∠AOB=∠COD,那么______,______,______.
(目的:巩固基础知识)
2、(教材88页练习3题,略.定理的简单应用)
(五)小结:学生自己归纳,老师指导.
知识:①圆的对称性和旋转不变性;②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系,它反映出在圆中相等量的灵活转换.
能力和方法:①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法;②实验、观察、发现新问题,探究和解决问题的能力.
(六)作业:教材P99中1(1)、2、3.
第12页
经典初中教案线的垂直平分线
1、教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
本节内容的重点是线段垂直平分线定理及其逆定理.定理反映了线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的依据;逆定理反映了线段垂直平分线的判定,是证明某点在某条直线上及一条直线是已知的依据.
本节内容的难点是定理及逆定理的关系.垂直平分线定理和其逆定理,题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候,容易混淆,帮助学生认识定理及其逆定理的区别,这是本节的难点.
2、教法建议
本节课教学模式主要采用“学生主体性学习”的教学模式.提出问题让学生想,设计问题让学生做,错误原因让学生说,方法与规律让学生归纳.教师的作用在于组织、点拨、引导,促进学生主动探索,积极思考,大胆想象,总结规律,充分发挥学生的主体作用,让学生真正成为教学活动的主人.具体说明如下:
(1)参与探索发现,领略知识形成过程
学生前面,学习过线段垂直平分线的概念,这样由复习概念入手,顺其自然提出问题:在垂直平分线上任取一点P,它到线段两端的距离有何关系?学生会很容易得出“相等”.然后学生完成证明,找一名学生的证明过程,进行投影总结.最后,由学生将上述问题,用文字的形式进行归纳,即得线段垂直平分线定理.这样让学生亲自动手实践,积极参与发现,激发了学生的认识冲突,使学生克服思维和探求的惰性,获得锻炼机会,对定理的产生过程,真正做到心领神会.
(2)采用“类比”的学习方法,获取逆定理
线段垂直平分线的定理及逆定理的证明都比较简单,学生学习一般没有什么困难,这一节的难点仍然的定理及逆定理的关系,为了很好的突破这一难点,教学时采用与角的平分线的性质定理和逆定理对照,类比的方法进行教学,使学生进一步认识这两个定理的区别和联系.
(3)通过问题的解决,让学生学会从不同角度分析问题、解决问题;让学生学会引申、变更问题,以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.
教学目标:
1、知识目标:
(1)掌握的性质定理及其逆定理;
(2)能运用它们证明两条线段相等或两条直线互相垂直;
2、能力目标:
(1)通过例题的学习,提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;
(2)提高综合运用知识的能力.
3、情感目标:
(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;;
(2)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.
教学重点:线段垂直平分线定理及其逆定理
教学难点:定理及逆定理的关系
教学用具:直尺,微机
教学方法:以学生为主体的讨论探索法
教学过程:
1、新课背景知识复习
(1)线段垂直平分线的概念
(2)问题:(投影显示)
如图,CD是线段AB的垂直平分线,P为CD上任意一点,PA、PB有何关系?为什么?
整个过程,由学生完成.找一名学生代表回答上述问题并
投影显示学生的证明过程.
2、定理的获得
让学生用文字语言将上述问题表述出来.
定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
强调说明:线段垂直平分线性质定理是证明线段相等的一条依据,在计算、作图中也有重要作用.
学生根据上述学习,提出自己的问题(待定)
学习完一个重要知识点,给学生留有一定的时间和机会,提出问题,然后大家共同分析讨论.
3、逆定理的获得
类比角平分线逆定理获得的过程,让学生讲解下一环节所要学习研究的内容.
这一过程,完全由学生自己通过小组的形式,代表到台前讲解.
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条上.
强调说明:定理与逆定理的联系与区别
相同点:结构相同、证明方法相同
不同点:用途不同,定理是用来证线段相等
4、定理与逆定理的应用
(1)讲解例1(投影例1)
例1如图,△ABC中,∠C=,∠A=,AB的在垂线交AC于D,交AB于E
求证:AC=3CD
证明:∵DE垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠1=∠A=
∵
∴∠2=
∴CD=BD
∴CD=AD
∴AD=2CD
即AC=3CD
讲解例2(投影例2)
例2:在△ABC中,AB=AC,AB的中垂直线与AC所在直线相交所得的锐角为,求底角B的大小.
(学生思考、分析、讨论,教师巡视,适当参与讨论)
解:(1)当AB的中垂线MN与AC相交时,如图(1),
∵∠ADE=,∠AED=
∴∠A=-∠AED=-=
∵AB=AC∴∠B=∠C
∴∠B=
(2)当的中垂线与的延长线相交时,如图(2)
∵∠ADE=,∠AED=
∴∠BAE=-∠AED=-=
∵AB=AC∴∠B=∠C
∴∠B=
例3(1)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,∠A=,求∠NMB的大小
(2)如果将(1)中∠A的度数改为,其余条件不变,再求∠NMB的大小
(3)你发现有什么样的规律性?试证明之.
(4)将(1)中的∠A改为钝角,对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
解:(1)∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠B=
∵∠BNM=
∴
(2)如图,同(1)同理求得
(3)如图,∠NMB的大小为∠A的一半
5、课堂小结:
(1)线段垂直平分线性质定理和逆定理
(2)在应用时,易忽略直接应用,往往又重新证三角形的全等,使计算或证明复杂化.
6、布置作业:
书面作业P119#2、3
思考题:已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高
求证:AD垂直平分EF
证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC
∴DE=DF
∴D在线段EF的垂直平分线上
在Rt△ADE和Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF
∴AE=AF
∴A点也在线段EF的垂直平分线上
∵两点确定一条直线
∴直线AD就是线段EF的垂直平分线
板书设计: