手机端
我要投稿
收藏【www.jk251.com - 正多边形和圆】
一名优秀的初中老师肯定有一份准备充分的教案，教案在我们的教学生活当中十分常见，认真做好教案我们的工作会变得更加顺利，如何才能写好初中教案呢？本站收集整理了一些“9.3用正多边形拼地板的教学方案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。
2．用多种正多边形拼地板
教学目的
通过两种以上的正多边形拼地板活动，使学生进一步体会某些平面图形的性质及其位置关系，促使学生在学习中培养良好的情感、态度、以及主动参与、合作、交流的意识，进一步提高观察、分析、概括、抽象等能力，同时使学习进一步认识图形在日常生活中的应用，能欣赏现实世界中的美丽图案。
重点、难点
1．重点：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力。
2．难点：寻找用哪几种正多边形能铺满地板。
教学过程
一、复习提问
1．在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，有哪几种可以用它们铺满地板?
2．用正多边形瓷砖能不留空隙，不重叠地铺满地板的关键是什么?
二、新授
昨天我们已经学习了用一种正多边形拼地板，关键是看哪种正多边形的内角的度数是360°的约数。今天我们要探讨用两种拟上的正多边形拼地板。昨天已尝试了用正三角形和正六边形两种瓷砖拼地板，见教科书图9.3.3为什么能用正三角形，正六边形两种合在一起拼地板呢?
因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地板。
能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢?
大家看教科书图9.3.4，它是用哪几种正多边形铺成的呢?为什么能拼成既没有空隙也没有重叠的平面图形?
(用正十二边形和正三角形拼成的，因为正十二边形的内角为150°，正三角形的内角为60°，那么2个正十二边形和一个正三角形各一个内角的和恰好等于一周角360°，所以可以铺满地板)
图9.3.5是由哪几种正多边形拼成的呢?为什么能拼成?
(用正十二边形、正六边形、正方形拼成的。因为正十二边形的内角为150°，正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°，三者之和正好等于360°，所以可以铺满地板)
观察图9.3.6是由哪几种正多边形拼成的呢?是否也满足这几个正多边形的一个内角之和为360°这个条件呢?
(由正八边形和正方形拼成的，正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么2个正八边和一个正方形各一个内角之和正好等于360°)
观察图9.3.7，又是由哪些正多边形拼成的?是否满足几个正多边形的一个内角和等于360°。是由正六边形、正方形、正三角形拼成的，如图所示：
120°+90°+90°+60°=360°满足这几个正多边形的一个内角的和等于360°
三、巩固练习
1．你能用正三角形、正方形、正十二边形拼成不留空隙，不重叠的平面图形吗?
2．教科书练习1、2。
四、作业
教科书习题9.3.1、2、3。
jK251.COm精选阅读
正多边形圆的教学方案
教学设计示例1
教学目标：
（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；
（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；
（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．
教学重点：
正多边形的概念与的关系的第一个定理．
教学难点：
对定理的理解以及定理的证明方法．
教学活动设计：
（一）观察、分析、归纳：
观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
教师组织学生进行，并可以提问学生问题．
（二）正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．
（三）分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？
（四）多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
我们以n=5的情况进行证明．
已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．
求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；
（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．
证明：（略）
引导学生分析、归纳证明思路：
弧相等
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．
（五）初步应用
P157练习
1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?
2．求证：正五边形的对角线相等．
3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．
（六）小结：
知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力
（七）作业教材P172习题A组2、3．
教学设计示例2
教学目标：
（1）理解正多边形与圆的关系定理；
（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；
（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；
教学重点：
理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．
教学难点：
对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．
教学活动设计：
（一）提出问题：
问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？
（二）实践与探究：
组织学生自己完成以下活动．
实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？
探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)
（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？
（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？
（三）拓展、推理、归纳：
（1）拓展、推理：
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．
同理，点E在⊙O上．
所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．
因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．
（2）归纳：
正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上
它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．
其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．
正五边形的各顶点共圆．
正五边形有外接圆．
圆心到各边的距离相等．
正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．
照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．
（3）巩固练习：
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
（四）正多边形的性质：
1、各边都相等．
2、各角都相等．
观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．
（五）总结
知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．
能力：探索、推理、归纳等能力．
方法：证明点共圆的方法．
（六）作业P159中练习1、2、3．
教学设计示例3
教学目标：
（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；
（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；
（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．
教学重点：
综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．
教学难点：综合运用知识证题．
教学活动设计：
（一）知识回顾
1．什么叫做正多边形？
2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)
4．正n边形的每个中心角都等于．
5．正多边形的有关的定理．
（二）例题研究：
例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．
已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．
教师引导学生分析，学生动手证明．
证法1：连结OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE外切于⊙O．
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．
∴∠BAO=∠OCB．
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．
∴五边形ABCDE是正五边形．
证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．
∠B=∠C∠1=∠2=．
同理===，
即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．
反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．
此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）
分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．
拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．
求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）
学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．
例2、已知：正六边形ABCDEF．
求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．
作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．
2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．
用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．
练习：P161
1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．
2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．
(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；
(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．
3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．
（三）小结
知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．
能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．
（四）作业
教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．
探究活动
折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．
（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）
（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．
（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：
①对折成小正方形ABCD；
②对折小正方形ABCD的中线；
③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；
④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）
探究问题：
（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形,形，==，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也是正多边形．
(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．
(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．
(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．
（1）[说明]
（2）[证明]
（3）[猜想]
解：（1）由图知∠AFC对．因为=，而∠DAF对的=+=+=．所以∠AFC=∠DAF．
同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．
（2）因为∠A对，∠B对，又因为∠A=∠B，所以=．所以=．
同理======．所以七边形ABCDEFG是正七边形．
猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形．
正多边形圆相关教学方案
教学设计示例1
教学目标：
（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；
（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；
（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．
教学重点：
正多边形的概念与的关系的第一个定理．
教学难点：
对定理的理解以及定理的证明方法．
教学活动设计：
（一）观察、分析、归纳：
观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
教师组织学生进行，并可以提问学生问题．
（二）正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．
（三）分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？
（四）多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
我们以n=5的情况进行证明．
已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．
求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；
（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．
证明：（略）
引导学生分析、归纳证明思路：
弧相等
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．
（五）初步应用
P157练习
1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?
2．求证：正五边形的对角线相等．
3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．
（六）小结：
知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力
（七）作业教材P172习题A组2、3．
第1234页
正多边形的计算相关教学方案
教学设计示例1
教学目标：
（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；
（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；
（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新．
教学重点:
把问题转化为解直角三角形的问题．
教学难点:
正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．
教学活动设计:
（一）创设情境、观察、分析、归纳结论
1、情境一：给出图形．
问题1：正n边形内角的规律．
观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论．
教师组织学生自主观察，学生回答．（正n边形的每个内角都等于．）
2、情境二：给出图形．
问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？
教师引导学生观察，学生回答．
观察：三角形的形状，三角形的个数．
归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．
3、情境三：给出图形．
问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的．
（二）定理、理解、应用：
1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．
2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化．
由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角的一半，即，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题．
3、应用：
例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6．
教师引导学生分析解题思路：
n=6=30°，又半径为Ra6、r6．P6、S6．
学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力．
解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB．
∵∠GOB=，
∴a6=2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=，
∴．
归纳：如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6=Pnrn．
4、研究：（应用例1的方法进一步研究）
问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积．
学生以小组进行研究，并初步归纳：
；；；；
；．
上述公式是运用解直角三角形的方法得到的．
通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了．例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素．
（三）小节
知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题．
思想：转化思想．
能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力．
（四）作业
归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式．
教学设计示例2
教学目标：
（1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题；
（2）通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；
（3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力；
（4）培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点．
教学重点:
应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法．
教学难点:
例3的证明方法．
教学活动设计：
（一）知识回顾
（1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题．
（2）知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，．
；；；；
；．
组织学生填写教材P165练习中第2题的表格．
（二）正多边形的应用
正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义．
例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1cm)．
解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，则OA=R5，OF=r5，∠AOF=．
∵AF=（cm），∴R5=（cm）．
r5=（cm）．
答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm
建议：①组织学生，使学生主动参与教学；②渗透简单的数学建模思想和实际应用意识；③对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养．
以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流．
例3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长．
教师引导学生：
（1）∠AOB=？
（2）在△OAB中，∠A与∠B的度数？
（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你发现图形中相等的线段有哪些？你发现图中三角形有什么关系？
（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？
解：如图，设AB=a10．作∠OBA的平分线BM，交OA于点M，则
∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°．
∴OM=MB=AB=a10．
△OAB∽△BAMOA:AB=BA:AM，即R:a10=a10:（R-a10），整理，得
，（取正根）．
由例3的结论可得．
回顾：黄金分割线段．AD2=DC·AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项．顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段．
反思：解决方法．在推导a10与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的．解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识．
练习P.165中练习1
(三)总结
（1）应用解决实际问题；
（2）综合代数列方程的方法证明了．
（四）作业
教材P173中8、9、10、11、12．
探究活动
已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角、、的大小．
探究它们存在什么规律？你能证明吗？
（提示：．）
画正多边形
教学设计示例1
教学目标：
（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；
（2）通过画图培养学生的画图能力；
（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情．
教学重点：
(1)量角器等分圆心角来等分圆；
(2)尺规作圆内接正方形和正六边形．
教学难点：
准确作图．
教学活动设计：
（一）提出问题：
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会应是学生必备能力之一．
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．
教师组织学生进行，方法不限．
目的：充分发展学生的发散思维．
（二）解决问题：
以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)
(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
(2)尺规法：（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可．
(3)计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=R=2（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．
（三）研究、归纳
1、用量角器等分圆：
依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．
操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．
问题2：把半径为2cm⊙O九等份．
（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）
归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差．
2、用尺规等分圆：
（1）问题3：作正四边形、正八边形．
教师组织学生，分析、作图．
归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
（2）问题4：作正六、三、十二边形．
教师组织学生，分析、作图．
归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．
（四）总结
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形．
（五）作业教材P173中13．
第12页
正多边形的计算教案模板
教学设计示例1
教学目标：
（1）会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题；
（2）巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；
（3）通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新．
教学重点:
把问题转化为解直角三角形的问题．
教学难点:
正确地将问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．
教学活动设计:
（一）创设情境、观察、分析、归纳结论
1、情境一：给出图形．
问题1：正n边形内角的规律．
观察：在图形中，应用以有的知识（多边形内角和定理，多边形的每个内角都相等）得出新结论．
教师组织学生自主观察，学生回答．（正n边形的每个内角都等于．）
2、情境二：给出图形．
问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？
教师引导学生观察，学生回答．
观察：三角形的形状，三角形的个数．
归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．
3、情境三：给出图形．
问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
观察、归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的．
（二）定理、理解、应用：
1、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．
2、理解：定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化．
由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距rn，另一条直角边是正n边形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角的一半，即，所以，根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题．
3、应用：
例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6．
教师引导学生分析解题思路：
n=6=30°，又半径为Ra6、r6．P6、S6．
学生完成解题过程，并关注学生解直角三角形的能力．
解：作半径OA、OB；作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGB．
∵∠GOB=，
∴a6=2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°=，
∴．
归纳：如果用Pn表示正n边形的周长，由例1可知，正n边形的面积S6=Pnrn．
4、研究：（应用例1的方法进一步研究）
问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积．
学生以小组进行研究，并初步归纳：
；；；；
；．
上述公式是运用解直角三角形的方法得到的．
通过上式六公式看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了．例如：(1)圆的半径或边数；(2)圆的半径和边心距；(3)边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素．
（三）小节
知识：定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题．
思想：转化思想．
能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力．
（四）作业
归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式．
教学设计示例2
教学目标：
（1）进一步研究正多边形的计算问题，解决实际应用问题；
（2）通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；
（3）通过解决实际问题，培养学生简单的数学建模能力；
（4）培养学生用数学意识，渗透理论联系实际、实践论的观点．
教学重点:
应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题及代数计算的证明方法．
教学难点:
例3的证明方法．
教学活动设计：
（一）知识回顾
（1）方法：运用将正多边形分割成三角形的方法，把正多边形有关计算转化为解直角三角形问题．
（2）知识：正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，．
；；；；
；．
组织学生填写教材P165练习中第2题的表格．
（二）正多边形的应用
方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义．
例2、在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R5和边心距r5(精确到0.1cm)．
解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，则OA=R5，OF=r5，∠AOF=．
∵AF=（cm），∴R5=（cm）．
r5=（cm）．
答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm
建议：①组织学生，使学生主动参与教学；②渗透简单的数学建模思想和实际应用意识；③对与本题除解直角三角形知识外，还要主要学生的近似计算能力的培养．
以小组的学习形式，每个小组自己举一个实际生活中的例子加以研究，班内交流．
例3、已知：正十边形的半径为R，求证：它的边长．
教师引导学生：
（1）∠AOB=？
（2）在△OAB中，∠A与∠B的度数？
（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你发现图形中相等的线段有哪些？你发现图中三角形有什么关系？
（4）已知半径为R，你能不通过解三角形的方法求出AB吗？怎么计算？
解：如图，设AB=a10．作∠OBA的平分线BM，交OA于点M，则
∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°．
∴OM=MB=AB=a10．
△OAB∽△BAMOA:AB=BA:AM，即R:a10=a10:（R-a10），整理，得
，（取正根）．
由例3的结论可得．
回顾：黄金分割线段．AD2=DC·AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项．顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段．
反思：解决方法．在推导a10与R关系时，辅助线角平分线是怎么想出来的．解决方法是复习等腰三角形的性质、判定及相似三角形的有关知识．
练习P.165中练习1
(三)总结
（1）应用解决实际问题；
（2）综合代数列方程的方法证明了．
（四）作业
教材P173中8、9、10、11、12．
探究活动
已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角、、的大小．
探究它们存在什么规律？你能证明吗？
（提示：．）
正多边形圆教案模板
教学设计示例1
教学目标：
（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；
（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；
（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．
教学重点：
正多边形的概念与的关系的第一个定理．
教学难点：
对定理的理解以及定理的证明方法．
教学活动设计：
（一）观察、分析、归纳：
观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
教师组织学生进行，并可以提问学生问题．
（二）正多边形的概念：
（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
（2）概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．
（三）分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？
（四）多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
我们以n=5的情况进行证明．
已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．
求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；
（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．
证明：（略）
引导学生分析、归纳证明思路：
弧相等
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．
（五）初步应用
P157练习
1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么?
2．求证：正五边形的对角线相等．
3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．
（六）小结：
知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力
（七）作业教材P172习题A组2、3．
教学设计示例2
教学目标：
（1）理解正多边形与圆的关系定理；
（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；
（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；
教学重点：
理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．
教学难点：
对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．
教学活动设计：
（一）提出问题：
问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？
（二）实践与探究：
组织学生自己完成以下活动．
实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？
探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)
（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？
（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？
（三）拓展、推理、归纳：
（1）拓展、推理：
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．
同理，点E在⊙O上．
所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．
因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．
（2）归纳：
正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上
它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．
其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．
正五边形的各顶点共圆．
正五边形有外接圆．
圆心到各边的距离相等．
正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．
照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于．
（3）巩固练习：
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
（四）正多边形的性质：
1、各边都相等．
2、各角都相等．
观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．
（五）总结
知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．
能力：探索、推理、归纳等能力．
方法：证明点共圆的方法．
（六）作业P159中练习1、2、3．
教学设计示例3
教学目标：
（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；
（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；
（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．
教学重点：
综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．
教学难点：综合运用知识证题．
教学活动设计：
（一）知识回顾
1．什么叫做正多边形？
2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)
4．正n边形的每个中心角都等于．
5．正多边形的有关的定理．
（二）例题研究：
例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．
已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．
教师引导学生分析，学生动手证明．
证法1：连结OA、OB、OC，
∵五边形ABCDE外切于⊙O．
∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，
又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．
∴∠BAO=∠OCB．
又∵OB=OB
∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．
∴五边形ABCDE是正五边形．
证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则
OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．
∠B=∠C∠1=∠2=．
同理===，
即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．
反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．
此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。
拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）
分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．
拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．
求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）
学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．
例2、已知：正六边形ABCDEF．
求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．
作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．
2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．
用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．
练习：P161
1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．
2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．
(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；
(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．
3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．
（三）小结
知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．
能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．
（四）作业
教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．
探究活动
折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．
（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）
（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．
（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：
①对折成小正方形ABCD；
②对折小正方形ABCD的中线；
③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；
④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）
探究问题：
（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形,形，==，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也是正多边形．
(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．
(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．
(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．
（1）[说明]
（2）[证明]
（3）[猜想]
解：（1）由图知∠AFC对．因为=，而∠DAF对的=+=+=．所以∠AFC=∠DAF．
同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．
（2）因为∠A对，∠B对，又因为∠A=∠B，所以=．所以=．
同理======．所以七边形ABCDEFG是正七边形．
猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，……时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形．
