(1)又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．

(2)本节的教学重点是理解的定义，掌握的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到的图象和性质．由于的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点．

(3)本节课的主线是是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点．

教法建议

(1)在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对的认识，而且画图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．

(2)在本节课中结合教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣．

教学设计示例

教学目标

1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握的概念，能正确描绘的图像，掌握的性质，并初步应用性质解决简单问题．

2.通过的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．

3.通过有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性．

教学重点，难点

重点是理解的定义，掌握图像和性质．

难点是由与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到的图像和性质．

教学方法

启发研讨式

教学用具

投影仪

教学过程一.引入新课今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?由学生说出是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程：由得．又的值域为，所求反函数为．那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----．2．8(板书)一.的概念1.定义：函数的反函数叫做．由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解的什么性质吗?最初步的认识是什么?教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出的定义域为，的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件．在此基础上，我们将一起来研究的图像与性质．二．的图像与性质(板书)1.作图方法提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图．具体操作时，要求学生做到：(1)指数函数和的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)．(2)画出直线．(3)的图像在翻折时先将特殊点对称点找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在右侧的部分．学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出和的图像．(此时同底的指数函数和画在同一坐标系内)如图：2.草图．教师画完图后再利用投影仪将和的图像画在同一坐标系内，如图：然后提出让学生根据图像说出的性质(要求从几何与代数两个角度说明)3.性质(1)定义域：(2)值域：由以上两条可说明图像位于轴的右侧．(3)截距：令得，即在轴上的截距为1，与轴无交点即以轴为渐近线．(4)奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称．(5)单调性：与有关．当时，在上是增函数．即图像是上升的当时，在上是减函数，即图像是下降的．之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：当时，有；当时，有．学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来．最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．三．简单应用(板书)1.研究相关函数的性质例1.求下列函数的定义域：(1)(2)(3)先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．2.利用单调性比较大小(板书)例2.比较下列各组数的大小(1)与；(2)与；(3)与；(4)与．让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．三．巩固练习练习：若，求的取值范围．四．小结五．作业略板书设计2．8一.概念1．定义2．认识二．图像与性质1．作图方法2．草图图1图23．性质(1)定义域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)单调性三．应用1．相关函数的研究例1例2练习探究活动(1)已知是函数的反函数，且都有意义．①求；②试比较与4的大小，并说明理由．(2)设常数则当满足什么关系时，的解集为答案：(1)①；②当时，

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对数函数、反比例函数__万能通用篇

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（1，0）这点。

（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

（5）显然对数函数无界。

反比例函数

形如y＝k／x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

当k＞0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当k＜0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线y＝k／x，若在分母上加减任意一个实数(即y＝k／（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

对数【推荐】

教学目标

1．理解的概念，掌握的运算性质．

(1)了解式的由来和含义，清楚式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与运算之间的互逆关系．

(2)会利用指数式的运算推导运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述运算法则，并能利用运算性质完成简单的运算．

(3)能根据概念进行指数与之间的互化．

2．通过概念的学习和运算法则的探究及证明，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力．

3．通过概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过运算法则的探究，使学生善于发现问题，揭示数学规律从而调动学生思维的积极参与，培养学生分析问题，解决问题的能力及大胆探索，实事求是的科学精神．

教学建议

教材分析

(1)既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与式中的底数，，真数的关系可以表示如下：

(2)本节的教学重点是的定义和运算性质，难点是的概念．

首先作为一种运算，由引出的，在这个式子中已知一个数和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)，所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识．此外作为一种运算除了认识运算符号“”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于与指数在概念上相通，使得法则的推导应借助指数运算法则来完成，脱到过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．

运算的符号的认识与理解是学生认识的一个障碍，其实与+，等符号一样表示一种运算，不过运算的符号写在前面，学生不习惯，所以在认识上感到有些困难．

教法建议

（1）对于概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求，其次对于的性质及零和负数没有的理解也可以通过指数式来证明，验证．同时在关系的指导下完成指数式和式的互化．

（2）对于运算法则的探究，对层次较高的学生可以采用“概念形成”的学习方式通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识．

（3）对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个式中字母的取值范围．最后还要让学生认清运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了计算的优越性．

教学设计示例

的运算法则

教学目标

1．理解并掌握性质及运算法则，能初步运用的性质和运算法则解题．

2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．

3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．

教学重点，难点

重点是的运算法则及推导和应用

难点是法则的探究与证明．

教学方法

引导发现法

教学用具

投影仪

教学过程

一.引入新课

我们前面学习了的概念，那么什么叫呢?通过下面的题目来回答这个问题．

如果看到这个式子会有何联想?

由学生回答(1)(2)(3)(4)．

也就要求学生以后看到符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究的运算法则．

二．的运算法则(板书)

与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．

由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：，，．

然后直接提出课题：若是否成立?

由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而)，教师在肯定结论的正确性的同时再提出

可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32=2，还可以让学生再找几个例子，．之后让学生大胆说出发现有什么规律?

由学生回答应有成立．

现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢?

学生经过思考后找出可以利用概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书．

证明：设则，由指数运算法则

得

，

即．(板书)

法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识：

(1)公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个式都有意义为使用前提条件)．

(2)能用文字语言叙述这条法则：两个正数的积的等于这两个正数的的和．

(3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得．

(条件同前)

(4)能否利用法则完成下面的运算：

例1：计算

(1)(2)(3)

由学生口答答案后，总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．然后提出新问题：

．

可由学生说出．得到大家认可后，再让学生完成证明．

证明：设则，由指数运算法则得

．

教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论?

有的学生可能会提出把看成再用法则，但无法解决计算问题，再引导学生如何回避的问题．经思考可以得到如下证法

．或证明如下

，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了化归的思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书法则2，并让学生用文字语言叙述法则2．(两个正数的商的等于这两个正数的的差)

请学生完成下面的计算

(1)(2)．

计算后再提出刚才没有解决的问题即并将其一般化改为学生在说出结论的同时就可给出证明如下：

设则，．教师还可让学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究．

将三条法则写在一起，用投影仪打出，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则

(1)了解法则的由来．(怎么证)

(2)掌握法则的内容．(用符号语言和文字语言叙述)

(3)法则使用的条件．(使每一个都有意义)

(4)法则的功能．(要求能正反使用)

三．巩固练习

例2．计算

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

解答略

对学生的解答进行点评．

例3．已知，用的式子表示

(1)(2)（3)．

由学生上黑板写出求解过程．

四．小结

1．运算法则的内容

2．运算法则的推导与证明

3．运算法则的使用

五．作业略

六．板书设计

二．运算法则例1例3

1.内容

(1)

(2)

(3)例2小结

2.证明

3.对法则的认识(1)条件(2)功能探究活动

试研究如下问题．

（1）已知求证：或

（2）若都是正数且至少有一个不为1，且，则之间的关系是_____________________．

答案：

（1）证明略

（2）或．

对数

教学目标

1．理解的概念，掌握的运算性质．

(1)了解式的由来和含义，清楚式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与运算之间的互逆关系．

(2)会利用指数式的运算推导运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述运算法则，并能利用运算性质完成简单的运算．

(3)能根据概念进行指数与之间的互化．

2．通过概念的学习和运算法则的探究及证明，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力．

教学建议

教材分析

(2)本节的教学重点是的定义和运算性质，难点是的概念．

教法建议

教学设计示例

的运算法则

教学目标

1．理解并掌握性质及运算法则，能初步运用的性质和运算法则解题．

2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．

3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．

教学重点，难点

重点是的运算法则及推导和应用

难点是法则的探究与证明．

教学方法

引导发现法

教学用具

投影仪

教学过程

一.引入新课

我们前面学习了的概念，那么什么叫呢?通过下面的题目来回答这个问题．

如果看到这个式子会有何联想?

由学生回答(1)(2)(3)(4)．

二．的运算法则(板书)

与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．

由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：，，．

然后直接提出课题：若是否成立?

由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而)，教师在肯定结论的正确性的同时再提出

可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32=2，还可以让学生再找几个例子，．之后让中国学习联盟胆说出发现有什么规律?

由学生回答应有成立．

现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢?

证明：设则，由指数运算法则

得

，

即．(板书)

法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识：

(1)公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个式都有意义为使用前提条件)．

(2)能用文字语言叙述这条法则：两个正数的积的等于这两个正数的的和．

(3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得．

(条件同前)

(4)能否利用法则完成下面的运算：

例1：计算

(1)(2)(3)

由学生口答答案后，总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．然后提出新问题：

．

可由学生说出．得到大家认可后，再让学生完成证明．

证明：设则，由指数运算法则得

．

教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论?

有的学生可能会提出把看成再用法则，但无法解决计算问题，再引导学生如何回避的问题．经思考可以得到如下证法

．或证明如下

请学生完成下面的计算

(1)(2)．

计算后再提出刚才没有解决的问题即并将其一般化改为学生在说出结论的同时就可给出证明如下：

设则，．教师还可让学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究．

将三条法则写在一起，用投影仪打出，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则

(1)了解法则的由来．(怎么证)

(2)掌握法则的内容．(用符号语言和文字语言叙述)

(3)法则使用的条件．(使每一个都有意义)

(4)法则的功能．(要求能正反使用)

三．巩固练习

例2．计算

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

解答略

对学生的解答进行点评．

例3．已知，用的式子表示

(1)(2)（3)．

由学生上黑板写出求解过程．

四．小结

1．运算法则的内容

2．运算法则的推导与证明

3．运算法则的使用

五．作业略

六．板书设计

二．运算法则例1例3

1.内容

(1)

(2)

(3)例2小结

2.证明

3.对法则的认识(1)条件(2)功能探究活动

试研究如下问题．

（1）已知求证：或

（2）若都是正数且至少有一个不为1，且，则之间的关系是_____________________．

答案：

（1）证明略

（2）或．

高中教案幂函数【推荐】

定义：

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是r，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

(1)所有的图形都通过(1，1)这点。

(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。

(6)显然幂函数无界。

高中教案4.9函数y=Asin(小编推荐)

教学目的：1.理解振幅、周期、相位的定义；2.会用五点法画出函数y=asinx、y=asinωx和的图象，明确a、ω与φ对函数图象的影响作用；并会由y=asinx的图象得出y=asinx`y=asinωx和的图象。教学重点：熟练地对y＝sinx进行振幅、周期和相位变换.教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律教学过程：一、复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝asin(ωx＋)的函数解析式(其中a，ω，都是常数).下面我们讨论函数y＝asin(ωx＋)，x∈r的简图的画法.二、讲解新课：探究1画出函数y=2sinxxîr；y=sinxxîr的图象，你能得出什么结论？（课件“振幅”）。探究2画出函数y=sin2xxîr；y=sinxxîr的图象，你能得出什么结论？（课件“周期”）。探究3画出函数xîr；的图象，你能得出什么结论？（课件“相位”）。探究4画出函数y=sinx+1xîr；y=sinx-1xîr的图象，你能得出什么结论？（课件“上下移”）。函数的图象.（课件“综合”，“小结”）三、小结平移法过程：作y=sinx（长度为2p的某闭区间）得y=sin(x+φ)得y=sinωx得y=sin(ωx+φ)得y=sin(ωx+φ)得y=asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到r上。沿x轴平移|φ|个单位横坐标伸长或缩短横坐标伸长或缩短沿x轴平移||个单位纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短

两种方法殊途同归(1)y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换（2）y=sinx周期变换y=sinωx相位变换y=sin(ωx+φ)振幅变换四、作业：习题4.91.2.3.

关于函数的应用举例的高中教案推荐

教学目标

1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．

(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．

(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．

2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．

3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．

教学建议

教材分析

（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．

（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．

教法建议

（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．

（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．

（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．

教学设计示例

函数初步应用

教学目标

1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．

2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力

3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．

教学重点，难点

重点是应用问题的阅读分析和解决．

难点是根据实际问题建立相应的数学模型

教学方法

师生互动式

教学用具

投影仪

教学过程

一.提出问题

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)

(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)

首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．

当时，，(采用直接计算的方法)

当时，

．(板书)

(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)

综上，有，

此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)

问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．

下面我们一起看第二个问题

问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)

首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．

设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：

2000年2003年

2001年2004年

2002年2005年(板书)

第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值

=++

=．

=++

=．(板书)

第三步计算增长率．

．(板书)

计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．

总结后再提出最后一个问题

问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．

(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;

(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)

题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．

解：．(板书)

完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即

(2)若使利润最大应满足

同时成立即解得

当或时，有最大值．

由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．

三．小结

通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．

四．作业略

五．板书设计

2．9函数初步应用

问题一：

解：

问题二