余弦定理教案

余弦定理教案九篇。

栏目小编认真挑选为大家推荐这篇有收获的“余弦定理教案”，感谢您的阅读让我们一起拥抱更美好的世界。老师在上课前需要有教案课件，只要课前把教案课件写好就可以。 教学目标是否达成可以在学生反应中得出结论。

余弦定理教案 篇1

一、教学设计

1、教学背景

在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难;学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少;许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题，这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢?即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在2009级进行了“创设数学情境与提出数学问题”的以学生为主的“生本课堂”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。

2、教材分析

“余弦定理”是高中数学的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

3、设计思路

建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。

为此我们根据“情境—问题”教学模式，沿着“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：

①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景;

②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。

③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点 ;二是如何将向量关系转化成数量关系。

④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。

二、教学反思

本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

例如，新课的引入，我引导学生从向量的模下手思考：

生：利用向量的模并借助向量的数量积. .

教师：正确!由于向量 的模长，夹角已知，只需将向量 用向量 来表示即可.易知 ，接下来只要把这个向量等式数量化即可.如何实现呢?

学生8：通过向量数量积的运算.

通过教师的引导，学生不难发现 还可以写成 ， 不共线，这是平面向量基本定理的一个运用.因此在一些解三角形问题中，我们还可以利用平面向量基本定理寻找向量等式，再把向量等式化成数量等式，从而解决问题.

(从学生的“最近发展区”出发，证明方法层层递进，激发学生探求新知的欲望，从而感受成功的喜悦.)

创设数学情境是“情境·问题·反思·应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。

“情境·问题·反思·应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境(不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性)，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程;关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度;关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程.把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

余弦定理教案 篇2

1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角

如图1．1-4，在 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

= = 8 ∴

＜ ∴ ＜ ， 即 ＜ ＜ ∴

cos ；

[随堂练习]第51页练习第1、2、3题。

[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，

勾股定理是余弦定理的特例；

②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。

教学设想:[创设情景]:思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

1．当A为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，如果 ≥ ，那么只有一解；

（2）若 ，则只有一解； （3）若 ，则无解。

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]

（1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。

（2）在 ABC中，若 ， ， ，则符合题意的b的值有_____个。

（3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）

例2．在 ABC中，已知 ， ， ，判断 ABC的类型。

[随堂练习2]

（1）在 ABC中，已知 ，判断 ABC的类型。

（2）已知 ABC满足条件 ，判断 ABC的类型。

[随堂练习3]

（2）在 ABC中，其三边分别为a、b、c，三角形的面积 ，求角C

[课堂小结]（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，

有两解或一解或无解等情形；

（2）三角形各种类型的判定方法；

（3）三角形面积定理的应用。

（五）课时作业:

（1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

了解双曲线的参数方程的建立，熟悉抛物线参数方程的形式，会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。

（1） 表示顶点在 ，

焦点在 的抛物线；

（2） 表示顶点在 ，

1、类比椭圆参数方程的建立，若给出一个三角公式 ，你能写出双曲线

的参数方程吗？

2、如图，设抛物线的普通方程为 , 为抛物线上除顶点外的任一点，以

你能否根据本题的解题过程写出抛物线的四种不同形式方程对应的参数方程？并说出参数表示的意义。

例1．如图， 是直角坐标原点，A ，B是抛物线 上异于顶点的两动点，且 ，求点A、B在什么位置时， 的面积最小？最小值是多少？

1．求过P（0，1）到双曲线 的最小距离.

1．本节学习了哪些内容？

答：1.了解双曲线的'参数方程的建立，熟悉抛物线参数方程的形式.

2.会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。

A、 B、

C、 D、

3.设P为等轴双曲线 上的一点， 为两个焦点，证明 .

4、经过抛物线 的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点的轨迹的参数方程。

例1．甲、乙两人进行五局三胜制的象棋比赛，若甲每盘的胜率为 ，乙每盘的胜率为 （和棋不算），求：

（1）比赛以甲比乙为3比0胜出的概率；

（2）比赛以甲比乙为3比2胜出的概率。

例2．某地区为下岗免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。

（1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列。

例3．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 。

（1）求一个试验组为甲类组的概率；

（2）观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列。

1．某种小麦在田间出现自然变异植株的概率为0.0045，今调查该种小麦100株，试计算两株和两株以上变异植株的概率。

2．某批产品中有20%的不含格品，进行重复抽样检查，共取5个样品，其中不合格品数为X，试确定X的概率分布。

（1）人中恰有2人引起不良反应的概率；

（2）2000人中多于1人引起不良反应的概率；

1．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为（精确为0.0001）_________________。

2．一射击运动员射击时，击中10环的概率为0.7，击中9环的概率0.3，则该运动员射击3次所得环数之和不少于29环的概率为_______________。

3．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14。

其中正确结论的序号是_______________。（写出所有正确结论的序号）

4．某产品10，其中3次品，现依次从中随机抽取3（不放回），则3中恰有2次品的概率为_____________。

5．某射手每次射击击中目标的概率都是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布。

6．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查（简称安检），若安检不合格，则必须进行整改，若整改后经复查仍不合格，则强行关闭，设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算：

（1）恰好有三家煤矿必须整改的概率；

7．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。

（1）求甲坑不需要补种的概率；

（2）求3个坑中需要补种的坑数X的分布列；

1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用

2、过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。

3、情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验

二、重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。

教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。

[创设情境]

师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在

ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h 、h 、h ，那么它们如何用已知边和角表示？

生：h =bsinC=csinB，h =csinA=asinC，h =asinB=bsinaA

师：根据以前学过的三角形面积公式S= ah,应用以上求出的高的公式如h =bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗？

师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？

[范例讲解]

例1、在 ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm ）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ;（2）已知B=62.7 ,C=65.8 ,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。

解：（1）应用S= acsinB，得 S= 14.8 23.5 sin148.5 ≈90.9(cm )

(2)根据正弦定理， = ，c = ，S = bcsinA = b

A = 180 -(B + C)= 180 -(62.7 + 65.8 )=51.5

例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm ）？

生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。

由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。

解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= = ≈0.7532，sinB= 0.6578应用S= acsinB S ≈ 68 127 0.6578≈2840.38(m )

例3、在 ABC中，求证：（1） （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明

证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k，显然 k 0，所以

（2）根据余弦定理的推论，

=(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左边

变式练习1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面积S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

Ⅳ.课时小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

2．能根据等比数列的通项公式，进行简单的应用。

3，3，3，3，……

2．相比与等差数列，以上数列有什么特点？

等比数列的定义：

3．判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比 的值。

4．求出下列等比数列的未知项。

（1） ； （2） 。

5．已知 是公比为 的等比数列，新数列 也是等比数列吗？如果是，公比是多少？

6．已知无穷等比数列 的首项为 ，公比为 。

（1）依次取出数列 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？

（2）数列 （其中常数 ）是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？

例1．在等比数列 中，

（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。

例2．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这三个数。

例3．已知等比数列 的通项公式为 ，（1）求首项 和公比 ；

（2）问表示这个数列的点 在什么函数的图像上？

定义从第二项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数。

课后作业：

1． 成等比数列，则 = 。

2．在等比数列 中，

（1）已知 ，则 = ， = 。

（2）已知 ，则 = 。

（3）已知 ，则 = 。

3．设 是等比数列，判断下列命题是否正确？

4．设 成等比数列，公比 =2，则 = 。

5．在G.P 中，（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 。

6．在两个同号的非零实数 和 之间插入2个数，使它们成等比数列，试用 表示这个等比数列的公比。

7．已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项，依次构成一个等比数列，求该等比数列的通项。

8．已知 五个数构成等比数列，求 的值。

9．在等比数列 中， ，求 。

10．三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9就成等比数列，求这三个数。

11．已知等比数列 ，若 ，求公比 。

12．已知 ，点 在函数 的图像上，（ ），设 ，求证： 是等比数列。

重点难点掌握平面向量的坐标表示及坐标运算；平面向量坐标表示的理解

1、在直角坐标平面内一点 是如何表示的？ 。

2、以原点 为起点， 为终点，能不能也用坐标表示 呢？例：

3、平面向量的坐标表示。

例1、如图，已知 是坐标原点，点 在第一象限， ， ，求向量 的坐标。

例2、如图，已知 ， ， ， ，求向量 ， ， ， 的坐标。

例3、用向量的坐标运算解：如图，质量为 的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，求斜面对物体的摩擦力 。

例4、已知 ， ， 是直线 上一点，且 ，求点 的坐标。

、 、 、 或 、

2、已知 是坐标原点，点 在第二象限， ， ，求向量 的坐标。

3、已知四边形 的顶点分别为 ， ， ， ，求向量 ， 的坐标，并证明四边形 是平行四边形。

4、已知作用在原点的三个力 ， ， ，求它们的合力的坐标。

5、已知 是坐标原点， ， ，且 ，求 的坐标。

2、已知 ，终点坐标是 ，则起点坐标是 。

3、已知 ， ，向量 与 相等.则 。

4、已知点 ， ， ，则 。

5、已知 的终点在以 ， 为端点的线段上，则 的最大值和最小值分别等于 。

6、已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，求第四个顶点 的坐标。

7、已知向量 ， ，点 为坐标原点，若向量 ， ，求向量 的坐标。

8、已知点 ， 及 ， ，求点 ， 和 的坐标。

9、已知点 ， ， ，若点 满足 ，

当 为何值时：（1）点 在直线 上？ （2）点 在第四象限内？

1.定理1. 如果a,b ,那么 ，（当且仅当_______时，等号成立）.

2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.

称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.

3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________. 如图

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）

（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；

简记为：和定积最_____，积定和最______.

（3）只有等号能够成立时，才有最值。

（二）例题分析：

例1．（陕西）设x、y为正数，则有(x+y)(1x＋4y)的最小值为（ ）

例2．函数 的值域是_________________________.

例3（江西、陕西、天津,全国、理） 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为 ，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？

2.（湖南理）设a＞0, b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）

（A） ≥4 （B） ≥

（C） ≥ （D） ≥

3.（2001春招北京、内蒙、安徽、理）若 为实数，且 ，则 的最小值是（ ）

6. 已知两个正实数 满足关系式 , 则 的最大值是_____________.

7.若 且 则 中最小的一个是__________.

8.（2005北京春招、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 （千辆/小时）与汽车的平均速度 （千米/小时）之间的函数关系为： 。

（1）在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到 千辆/小时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

（四）拓展训练：

1.(2000全国、江西、天津、广东）若 ,P= ,Q= ,R= ,则（ ）

2．若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。

例3解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λ x2 = 4840．

设纸张面积为S，有S = (x＋16) (λ x＋10)= λ x2＋(16λ＋10) x＋160，

将 代入上式，得 ．

当 时，即 时，S取得最小值．

答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．

（三）基础训练： 1. B； 2. B； 3. B； 4. B 5．B； 6. 2 ; 7.

整理得v2－89v+16000）解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.法二：令 ，则由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，（x>0）整理得 ，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.

余弦定理教案 篇3

一、教材分析：（说教材）

《余弦定理》是全日制中等国家规划教材（人教版）数学第一册中第六章平面向量第六部分。余弦定理是欧氏空间度量几何的最重要定理，是解斜三角形的重要定理，是整个测量学的基础。余弦定理是勾股定理的推广，可用解析法、向量法等方法证明。余弦定理主要能解决有关三角形的三类问题：

1）、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。

2）、已知三边求三个内角；

3）、判断三角形的形状。以及相关的证明题。

二、说教学思路

本着数学与专业有机结合的指导思想，让数学服务于专业的需要。以及最大限度的提高学生的学习兴趣，在本节课，我不是将余弦定理简单呈现给学生，而是创造设情境，设计了与机械相关联并具有爱国主题的二个任务，通过任务驱动法教学，极大提高了学生的学习兴趣，激发学生探索新知识的强烈求知欲望，在完成数学教学任务的同时，强化了数学与专业的有机结合，培养了学生将数学知识运用于自身专业中的能力。同时通过任务驱动，培养了学生自主探究式学习的能力；提升解决实际实际问题的能力。因为所设计的两个任务具有爱国主义题材，学生在完成知识学习的同时，也极大的激发了爱国主义精神。

三、说教法

在确定教学方法前，首先要求教师吃透教材，选择恰当的教学方法和教学手段把知识传授给学生。本节课主要采用任务驱动法、引导发现法、观察法、归纳总结法、讲练结合法。并采用电教手段使用多媒体辅助教学。

1.任务驱动法

教师精心设计与机械专业相关联的二个任务，作为贯穿整节课的主线，通过具体任务的完成，提高学生学习的兴趣，激发求知欲，启发学生对问题进行思考。在研究过程中，激发学生探索新知识的强烈欲望。提升解决实际总是的能力，并极大的激发了爱国主义精神。

2.引导发现法、观察法

通过对勾股定理的观察和三角形直角的相关变形，学生从中受启发，发现余弦定理，并证明它。

3.归纳总结法

学生通过前期的探索研究，自主归纳总结出余弦定理及其推论及判断三角形形状的相关规律。

4.讲练结合法

讲授充分发挥教师主导作用，引导学生自主学习。练习让学生从多角度对所学定理进行认知，及时巩固所学的知识，锻炼了解决实际问题的能力，发挥出学生的主观能动性，成为学习的主体。

四、说学法

学生学法主要有观察、分析、发现、自主探究、小组协作等方法。经教师启发、诱导，学生通过观察与分析去发现并证明余弦定理，培养归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力，训练思维品质。

五、教学目标

（一）知识目标

1、使学生掌握余弦定理及其证明。

2、使学生初步掌握应用余弦定理解斜三角形。

1

（二）能力目标

1、培养学生在本专业范围内熟练运用余弦定理解决实际问题的能力。

2、通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力。

3、通过对余弦定理的推导，培养学生的知识迁移能力和建模意识，及合作学习的意识。

（三）德育目标

1、培养学生的爱国主义精神、及团结、协作精神。

2、通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系理解事物之间普遍联系与辩证统一。

六、教学重点

教学重点是余弦定理及应用余弦定理解斜三角形；

七、教学难点

分析勾股定理的结构特征，从而突破发现余弦定理，应用余弦定理解斜三角形。八、教学过程

教学中注重突出重点、突破难点，从五个层次进行教学。

创设情境、任务驱动；

引导探究、发现定理；

完成任务、应用迁移；

拓展升华、交流反思；

小结归纳、布置作业。

（一）、导入

1、教师创设情境设置二个任务，做为贯穿本课的主线和数学与专业有机结合的钮带，通过完成这二个任务，达到掌握余弦定理并学会应用的目标。

2、通过与直角三角形勾股定理引出余弦定理（快乐起点）经教师启发、诱导，学生通过探索研究，合理猜想来发现余弦定理。

（二）、新课

3.证明猜想，导出余弦定理及余弦定理的变形

经过严密逻辑推理证明得出余弦定理，这一过程中，锻炼了学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力。

4.解决二个任务

5.操作演练，巩固提高。

6.小结：

通过学生口答方式小结，让学生强化记忆，分清重点，深化对余弦定理的理解。

7.作业：

分层布置作业，根据不同层次学生将作业分为必做题和选做题。使不同程度的学生都有所提高

八、板书设计

板书是课堂教学重要部分，为再现知识体系，突出重点，将余弦定理知识体系展示在板书中，利于学生加深印象，理清思路。

九、课后反思

在教学设计上，采用任务驱动，教师精心设计与机械专业相关联的二个任务，作为贯穿整节课的主线，通过具体任务的完成，即提高学生学习的兴趣，又激发求知欲；知识点学习则循序渐进，符合学生的认知特点。经教师启发、诱导，学生通过观察、分析、发现、自主探究、小组协作等方法在获取新知的同时，培养了归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力。

余弦定理教案 篇4

1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）

余弦定理

一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章 第二节

二、设计思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。

3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。

4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问

找到解决问题的方法。

三、教学目标：

1、知识与技能：

理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题

2．过程与方法：

通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。

3．情感、态度与价值观：

探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。

四、教学重点：

通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。

五、教学难点：余弦定理的灵活应用

六、教学流程：

(一)创设情境，课题导入：

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出课题：余弦定理

（二）设置问题，知识探究

1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理

2、①考虑用向量的数量积：如图 A

C

设CBa,CAb,ABc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB 即cab222ab2abcosC,引导学生证明22222

bc2bccosAca2cacosB2②还 引导学生运用此法来进行证明

3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的（可以让学生自己总结，教师补充完整）

（三）典型例题剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教师分析、点拨并板书证明过程

总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？

设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。

师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。

引入余弦定理的推论：cosA=cosB=acb2ac222bca2bc2222 , , cosC=

abc2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

（2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2

若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2

若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2

62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c

先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:让学生板练，师生共同评判

3、三角形形状的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

（四）课堂检测反馈：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,则△ABC的最大角的度数为（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,则A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a25、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形（五）课时小结：（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。（六）课后作业：课本第10页A组3（2）、4（2）；B组第2题（七）教学反思：本堂课的设计，立足于所创设的情境，注重提出问题，引导学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受到了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

余弦定理教案 篇5

正弦定理是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的'问题：

(1)已知两角和一边，解三角形：

(2)已知两边和其中一边的对角，解三角形。

本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。

1.知识与技能：

(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法;

(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题

2.过程与方法：

通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力;通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.

3.情感、态度与价值观：

(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识;

(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.

教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.

学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培 养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力，

整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索;②导——教师指导、循序渐进。

(1)新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。

(2)掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。

(3)例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

(4)巩固练习——深化对正弦定理的理解，并结合辽宁数学高考理科17题文科18题，巩固新知。

余弦定理教案 篇6

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1.2 余弦定理

南京师范大学附属中学张跃红

教学目标：

1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

教学重点：

重点是余弦定理及其证明过程．

教学难点：

难点是余弦定理的推导和证明．

教学过程：

1.创设情景，提出问题．

问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一

段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A、B两点间的距离（如图

1）．请想办法解决这个问题．

设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．

2.构建模型，解决问题．

学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法．

法1：（构造直角三角形）

如图2，过点A作垂线交BC于点D，则

｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，所以，|AB||AD|2|BD|2|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

C

法2：（向量方法）

如图3，因为ABACCB，22 所以，AB(ACCB)

22ACCB2ACCBcos(C),即 |AB|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

法3：（建立直角坐标系）C建立如图4所示的直角坐标系，则A（｜AC｜cosC, ｜AC｜sinC），B（｜BC｜, 0），根据两点间的距离公式，可得

|AB|(|AC|cosC|BC|)2(|AC|sinC0)2，所以，|AB|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

活动评价：师生共同评价板演．

3.追踪成果，提出猜想．

师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有c2a2b22abcosC成立．类似的还有其他等式，a2c2b22cbcosA，b2c2a22cacosB．

正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．

问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？

设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．

学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．

教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点

间的距离公式来解决，等等．

4.探幽入微，深化理解．

问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？

学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 a2b2c2，a2b2c2；c2a2b22abcosC是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．

教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．

问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？

设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．

学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

cosA,cosB,cosC． 2bc2ac2ab

5.学以致用，拓展延伸．

练习：

1．在△ABC中，若a＝3,b＝5,c＝7，求角C．

2．（1）在△ABC中，若b1,c6,A450，解这个三角形．

（2）在△ABC中，b,B600,c1，求a．

学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形a2b2c2

式cosC；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 2ab

思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦

定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．

余弦定理教案 篇7

如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA).

现将CB平移到起点为原点A，则AD = CB .

而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，

根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C)，asin(π-C))

即 D点坐标是(-acosC，asinC),

∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA)

由①得 asinA = csinC ，同理可证 asinA = bsinB ，

∴ asinA = bsinB = csinC .

由②得 acosC = b-ccosA ，平方得：

a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，

即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ，

c2 = a2 + b2-2abcosC .

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教A版教材《数学》(必修5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完美结合.

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

=casin∠ABC.

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

的直径，则∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

因为AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因为jAC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

过A作 ，

法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根据向量的运算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ，将上式的两边分别与 、 作数量积，可知

化简得b2-a2-c2=-2accos B.

这里(1)为射影定理，(2)为正弦定理，(4)为余弦定理.

余弦定理教案 篇8

一、单元教学内容

运算定律P——P 

二、单元教学目标

1、探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。

2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。

3、会应用运算律进行一些简便运算，掌握运算技巧，提高计算能力。 

4、在经历运算定律和运算性质的发现过程中，体验归纳、总结和抽象的数学思维方法。

5、在经历运算定律的字母公式形成过程中，能进行有条理地思考，并表达自己的思考结果。

6、经历简便计算过程，感受数的运算与日常生活的密切联系，并在活动中学会与他人合作。

7、在经历解决问题的过程中，体验运算律的价值，增强应用数学的意识。

三、单元教学重、难点

1、理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便计算。

2、理解和掌握减法和除法的运算性质，并能应用这些运算性质进行简便计算。

四、单元教学安排

运算定律10课时

第1课时 加法交换律和结合律

一、教学内容：

加法交换律和结合律P17——P18

二、教学目标：

1、在解决实际问题的过程中，发现并掌握加法交换律和结合律，学会用字母表示加法交换律和结合律。

2、在探索运算律的过程中，发展分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。

3、培养学生的观察能力和概括能力。

三、教学重难点

重点：发现并掌握加法交换律、结合律。

难点：由具体上升到抽象，概括出加法交换律和加法结合律。

四、教学准备

多媒体课件

五、教学过程

（一）导入新授

1、出示教材第17页情境图。

师：在我们班里，有多少同学会骑自行车？你最远骑到什么地方？ 师生交流后，课件出示李叔叔骑车旅行的场景：骑车是一项有益健康的运动，你看，这位李叔叔正在骑车旅行呢！

2、获取信息。

师：从中你知道了哪些数学信息？（学生回答）

3、师小结信息，引出课题：加法交换律和结合律。

（二）探索发现

第一环节 探索加法交换律

1、课件继续出示：“李叔叔今天上午骑了40km，下午骑了56km，一共骑了多少千米？”

学生口头列式，教师板书出示： 40+56=96(千米) 56+40=96(千米) 你能用等号把这两道算式写成一个等式吗？ 40+56=56+40 你还能再写出几个这样的等式吗？

学生独自写出几个这样的等式，并在小组内交流各自写出的等式，互相检验

写出的等式是否符合要求。

2、观察写出的这些算式，你有什么发现？并用自己喜欢的方式表示出来。 全班交流。从这些算式可以发现：两个数相加，交换加数的位置，和不变。可以用符号来表示：?+☆=☆+?；

可以用文字来表示：甲数十乙数=乙数十甲数。

3、如果用字母a、b分别表示两个加数，又可以怎样来表示发现的这个规律呢？ a+b=b+a

教师指出：这就是加法交换律。

4、初步应用：在( )里填上合适的数。

37+36=36+( )305+49=( )+305b+100=( )+b 47+( )=126+( ) m+( )=n+( ) 13+24=( )+( )

第二环节 探索加法结合律

1、课件出示教材第18页例2情境图。

师：从例2的情境图中，你获得了哪些信息？

师生交流后提出问题：要求“李叔叔三天一共骑了多少千米”可以怎样列式？ 学生独立列式，指名汇报。 汇报预设：

方法一：先算出“第一天和第二天共骑了多少千米”： (88+104)+96=192+96 =288（千米）

方法二：先算出“第二天和第三天共骑了多少千米”： 88+(104+96)=88+200=288（千米）

把这两道算式写成一道等式：

(88+104)+96=88+(104+96)

2、算一算，下面的○里能填上等号吗？

(45+25)+13○45+(25+13)(36+18)+22○36+(18+22)

小组讨论。先比较每组的两个算式，再比较这三组算式，在小组里说说你有

什么发现。

集体交流，使学生明确：三个算式加数没变，加数的位置也没变，运算的顺序变了，它们的和不变。也就是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

3、如果用字母a、b、c分别表示三个加数，可以怎样用字母来表示这个规律呢？ （a+b）+c=a+(b+c)

教师指出：这就是加法结合律。

4、初步应用。

在横线上填上合适的数。 (45+36)+64=45+(36+) (560+)+ =560+(140+70) (360+)+108=360+(92+) (57+c)+d=57+(+)

（三）巩固发散

1、完成教材第18页“做一做”。

学生独立填写，组织汇报时，让学生说说是根据什么运算律填写的。

2、下面各等式哪些符合加法交换律，哪些符合加法结合律？

(1)470+320=320+470

(2)a+55+45=55+45+a

(3)(27+65)+35=27+(65+35)

(4)70+80+40=70+40+80

(5)60+（a+50）=（60+a）+50 (6)b+900=900+b

（四）评价反馈

通过今天这节课的学习，你有哪些收获？

师生交流后总结：学习了加法交换律和结合律，并知道了如何用符号和字母来表示发现的规律。

（五）板书设计

加法交换律和结合律

加法交换律加法结合律

例1：李叔叔今天一共骑了多少千米？ 例2：李叔叔三天一共骑了多少千米？ 40+56=96(千米) (88+104) +96 88+(104+96) 56+40=96(千米)=192+96 =88+200=288(千米) =288(千米) 40+56=56+40 (88+104)+96=88+(104+96) a+b=b+a （a+b）+c=a+(b+c)

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

六、教学后记

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

余弦定理教案 篇9

各位评委老师，

下午好！今天我说课的题目是余弦定理，说课的内容为余弦定理第二课时，下面我将从说教材、说学情、说教法和学法、说教学过程、说板书设计这四个方面来对本课进行详细说明：

一、说教材

（一）教材地位与作用

《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了“边”与“角”的互化，从而使“三角”与“几何”产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。

（二）教学目标

根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：

⒈知识与技能：

掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形

⒉过程与方法：

在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

⒊情感、态度与价值观：

培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；

（三）本节课的重难点

教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。

教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。

下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：

二、说学情

从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

三、说教法和学法

贯彻的指导思想是把“学习的主动权还给学生”,倡导“自主、合作、探究”的学习方式。让学生自主探索学会分析问题，解决问题。

四、说教学过程

下面为了完成教学目标，解决教学重点，突破教学难点，课堂教学我准备按以下五个环节展开：

环节⒈复习引入

由于本节课是余弦定理的第一课时，因此先领着学生回顾复习上节课所学的内容，采用提问的方式，找同学回答余弦定理的内容及公式，并且让学生回想公式推导的思路和方法，这样一来可以检验学生对所学知识的掌握情况，二来也为新课作准备。

环节⒉应用举例

在本环节中，我将给出两道典型例题

△ABC的顶点为A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求（精确到）。

已知三点A（1,3），B（-2,2），C（0,-3），求△ABC各内角的大小。

通过利用余弦定理解斜三角形的思想，来对这两道例题进行分析和讲解；本环节的目的在于通过典型例题的解答，巩固学生所学的知识，进一步深化对于余弦定理的认识和理解，提高学生的理解能力和解题计算能力。

环节⒊练习反馈

练习B组题，1、2、3;习题1-1A组，1、2、3

在本环节中，我将找学生到黑板做题，期间巡视下面同学的做题情况，加以纠正和讲解；通过解决书后练习题，巩固学生当堂所学知识，同时教师也可以及时了解学生的掌握情况，以便及时调整自己的教学步调。

环节⒋归纳小结

在本环节中，我将采用师生共同总结-交流-完善的方式，首先让学生自己总结出余弦定理可以解决哪些类型的问题，再由师生共同完善，总结出余弦定理可以解决的两类问题：⑴已知三边，求各角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。本环节的目的在于引导学生学会自己总结；让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程。

环节⒌课后作业

必做题：习题1-1A组，6、7;习题1-1B组，2、3、4、5

选做题：习题1-1B组7,8,9.

基于因材施教的原则，在根据不同层次的学生情况，把作业分为必做题和选做题，必做题要求所有学生全部完成，选做题要求学有余力的学生完成，使不同程度的学生都有所提高。本环节的目的是让学生进一步巩固和深化所学的知识，培养学生的自主探究能力。

五、说板书

在本节课中我将采用提纲式的板书设计，因为提纲式-条理清楚、从属关系分明，给人以清晰完整的印象，便于学生对教材内容和知识体系的理解和记忆。