一元二次方程。
当我们提起初中教学,你印象最深刻的一定是教案吧。多写教案能够提升我们的策划能力,高质量的教案对初中生的成长有促进作用,你是否在烦恼初中教案怎么写呢?希望《一元二次方程的根的判别式》能够为您提供帮助。
1.知识结构:
2.重点、难点分析
(1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也可以利用它进一步学习函数的有关内容,所以,它是本节课的重点.
(2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为,所以方程右边的符号就由来确定,而方程左边的不可能是一个负数,因此,把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法,对于分类讨论学生感觉到较难,老师应该讲明分类的基本思想。
3.教法建议:
(1)引入要自然、合理
新课引入前,作一个铺垫:前面我们讲了一元二次方程的解法,我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一个一元二次方程,但是,存在这样一个问题,并不是所有的一元二次方程都有解,我们可以通过把解求出来,来解方程,也可以通过判定方程无解,来解方程,这样我们就面临着一个问题,什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然,也显露了本节课的重点.
(2)利用多媒体进行教学
本节是根的判别式结论的推导,比较抽象,为了便于学生理解,使用所提供的动画,有助于学生对所讲内容的理解,调动学生主动思维的积极性,活跃课堂气氛,提高学习效率.
(3)本节在推导根的判别式的结论时,利用了分类的思想,对于学生这是一个难点,一定给学生讲清楚分类的依据,分类的基本思想,使学生对所得结论深信不疑.
一、教学目标
1.理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;
2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3.通过根的情况的研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
二、重点·难点及解决办法
1.教学重点:会用判别式判定根的情况。
2.教学难点:一元二次方程根的三种情况的推导.
3.解决办法:(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根。
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)平方根的性质是什么?
(2)解下列方程:①;②;③。
问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.任何一个一元二次方程用配方法将其变形为,因此对于被开方数来说,只需研究为如下几种情况的方程的根。
(1)当时,方程有两个不相等的实数根。
即
(2)当时,方程有两个相等的实数根,即。
(3)当时,方程没有实数根。
教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
答:。
3.①定义:把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示。
②一元二次方程。
当时,有两个不相等的实数根;
当时,有两个相等的实数根;
当时,没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题:
(1)这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
(2)当,说“方程没有实数根”比较好。有时,也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根的意思。
4.例题讲解
例1不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1);(2);(3)。
解:(1)
∴原方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程可变形为
。
,
∴原方程有两个相等的实数根。
(3)原方程可变形为
。
∴原方程没有实数根。
学生口答,教师板书,引导学生总结步骤,(1)化方程为一般形式,确定a、b、c的(2)计算的值;(3)判别根的情况。
强调两点:(1)只要能判别值的符号就行,具体数值不必计算出。(2)判别根据的情况,不必求出方程的根。
练习:不解方程,判别下列方程的情况:
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6)
学生板演、笔答、评价。
(4)题可去括号,化一般式进行判别,也可设,判别方程根的情况,由此判别原方程根的情况。
例2不解方程,判别方程的根的情况。
解:。
又∵不论k取何实数,,
∴原方程有两个实数根。
教师板书,引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围,从而确定的取值。
练习:不解方程,判别下列方程根的情况。
(1);
(2);
(3)。
学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。
(3)解:
∵不论m取何值,,即。
∴方程无实数解。
由数字系数,过渡到字母系数,使学生体会到由具体到抽象,并且注意字母的取值。
(二)总结、扩展
1.判别式的意义及一元二次方程根的情况。
(1)定义:把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示。
(2)一元二次方程。
当时,有两个不相等的实数根;
当时,有两个相等的实数根;
当时,没有实数根。反之亦然。
2.通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。
四、布置作业
教材P27A1~4。
5.不解方程,判断下x的方程的根的情况
(1)
(2)
五、板书设计
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数学教案-一元二次方程的根的判别式
1.知识结构:
2.重点、难点分析
(1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也可以利用它进一步学习函数的有关内容,所以,它是本节课的重点.
(2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为,所以方程右边的符号就由来确定,而方程左边的不可能是一个负数,因此,把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法,对于分类讨论学生感觉到较难,老师应该讲明分类的基本思想。
3.教法建议:
(1)引入要自然、合理
新课引入前,作一个铺垫:前面我们讲了一元二次方程的解法,我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一个一元二次方程,但是,存在这样一个问题,并不是所有的一元二次方程都有解,我们可以通过把解求出来,来解方程,也可以通过判定方程无解,来解方程,这样我们就面临着一个问题,什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然,也显露了本节课的重点.
(2)利用多媒体进行教学
本节是根的判别式结论的推导,比较抽象,为了便于学生理解,使用所提供的动画,有助于学生对所讲内容的理解,调动学生主动思维的积极性,活跃课堂气氛,提高学习效率.
(3)本节在推导根的判别式的结论时,利用了分类的思想,对于学生这是一个难点,一定给学生讲清楚分类的依据,分类的基本思想,使学生对所得结论深信不疑.
一、教学目标
1.理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;
2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3.通过根的情况的研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
二、重点难点及解决办法
1.教学重点:会用判别式判定根的情况。
2.教学难点:一元二次方程根的三种情况的推导.
3.解决办法:(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根。
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)平方根的性质是什么?
(2)解下列方程:①;②;③。
问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.任何一个一元二次方程用配方法将其变形为,因此对于被开方数来说,只需研究为如下几种情况的方程的根。
(1)当时,方程有两个不相等的实数根。
即
(2)当时,方程有两个相等的实数根,即。
(3)当时,方程没有实数根。
教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
答:。
3.①定义:把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示。
②一元二次方程。
当时,有两个不相等的实数根;
当时,有两个相等的实数根;
当时,没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题:
(1)这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
(2)当,说“方程没有实数根”比较好。有时,也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根的意思。
4.例题讲解
例1不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1);(2);(3)。
解:(1)
∴原方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程可变形为
。
,
∴原方程有两个相等的实数根。
(3)原方程可变形为
。
∴原方程没有实数根。
学生口答,教师板书,引导学生总结步骤,(1)化方程为一般形式,确定a、b、c的(2)计算的值;(3)判别根的情况。
强调两点:(1)只要能判别值的符号就行,具体数值不必计算出。(2)判别根据的情况,不必求出方程的根。
练习:不解方程,判别下列方程的情况:
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6)
学生板演、笔答、评价。
(4)题可去括号,化一般式进行判别,也可设,判别方程根的情况,由此判别原方程根的情况。
例2不解方程,判别方程的根的情况。
解:。
又∵不论k取何实数,,
∴原方程有两个实数根。
教师板书,引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围,从而确定的取值。
练习:不解方程,判别下列方程根的情况。
(1);
(2);
(3)。
学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。
(3)解:
∵不论m取何值,,即。
∴方程无实数解。
由数字系数,过渡到字母系数,使学生体会到由具体到抽象,并且注意字母的取值。
(二)总结、扩展
1.判别式的意义及一元二次方程根的情况。
(1)定义:把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示。
(2)一元二次方程。
当时,有两个不相等的实数根;
当时,有两个相等的实数根;
当时,没有实数根。反之亦然。
2.通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。
四、布置作业
教材P27A1~4。
5.不解方程,判断下x的方程的根的情况
(1)
(2)
五、板书设计
经典初中教案一元二次方程的根的判别式
1.知识结构:
2.重点、难点分析
(1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也可以利用它进一步学习函数的有关内容,所以,它是本节课的重点.
(2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为,所以方程右边的符号就由来确定,而方程左边的不可能是一个负数,因此,把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法,对于分类讨论学生感觉到较难,老师应该讲明分类的基本思想。
3.教法建议:
(1)引入要自然、合理
新课引入前,作一个铺垫:前面我们讲了一元二次方程的解法,我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一个一元二次方程,但是,存在这样一个问题,并不是所有的一元二次方程都有解,我们可以通过把解求出来,来解方程,也可以通过判定方程无解,来解方程,这样我们就面临着一个问题,什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然,也显露了本节课的重点.
(2)利用多媒体进行教学
本节是根的判别式结论的推导,比较抽象,为了便于学生理解,使用所提供的动画,有助于学生对所讲内容的理解,调动学生主动思维的积极性,活跃课堂气氛,提高学习效率.
(3)本节在推导根的判别式的结论时,利用了分类的思想,对于学生这是一个难点,一定给学生讲清楚分类的依据,分类的基本思想,使学生对所得结论深信不疑.
一、教学目标
1.理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;
2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3.通过根的情况的研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
二、重点·难点及解决办法
1.教学重点:会用判别式判定根的情况。
2.教学难点:一元二次方程根的三种情况的推导.
3.解决办法:(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根。
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)平方根的性质是什么?
(2)解下列方程:①;②;③。
问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.任何一个一元二次方程用配方法将其变形为,因此对于被开方数来说,只需研究为如下几种情况的方程的根。
(1)当时,方程有两个不相等的实数根。
即
(2)当时,方程有两个相等的实数根,即。
(3)当时,方程没有实数根。
教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
答:。
3.①定义:把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示。
②一元二次方程。
当时,有两个不相等的实数根;
当时,有两个相等的实数根;
当时,没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题:
(1)这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
(2)当,说“方程没有实数根”比较好。有时,也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根的意思。
4.例题讲解
例1不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1);(2);(3)。
解:(1)
∴原方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程可变形为
。
,
∴原方程有两个相等的实数根。
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一元二次方程的根的判别式的教学方案
1.知识结构:
2.重点、难点分析
(1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也可以利用它进一步学习函数的有关内容,所以,它是本节课的重点.
(2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为.因为,所以方程右边的符号就由来确定,而方程左边的不可能是一个负数,因此,把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法,对于分类讨论学生感觉到较难,老师应该讲明分类的基本思想。
3.教法建议:
(1)引入要自然、合理
新课引入前,作一个铺垫:前面我们讲了一元二次方程的解法,我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一个一元二次方程,但是,存在这样一个问题,并不是所有的一元二次方程都有解,我们可以通过把解求出来,来解方程,也可以通过判定方程无解,来解方程,这样我们就面临着一个问题,什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然,也显露了本节课的重点.
(2)利用多媒体进行教学
本节是根的判别式结论的推导,比较抽象,为了便于学生理解,使用所提供的动画,有助于学生对所讲内容的理解,调动学生主动思维的积极性,活跃课堂气氛,提高学习效率.
(3)本节在推导根的判别式的结论时,利用了分类的思想,对于学生这是一个难点,一定给学生讲清楚分类的依据,分类的基本思想,使学生对所得结论深信不疑.
一、教学目标
1.理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;
2.通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3.通过根的情况的研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
二、重点·难点及解决办法
1.教学重点:会用判别式判定根的情况。
2.教学难点:一元二次方程根的三种情况的推导.
3.解决办法:(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根。
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)平方根的性质是什么?
(2)解下列方程:①;②;③。
问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.任何一个一元二次方程用配方法将其变形为,因此对于被开方数来说,只需研究为如下几种情况的方程的根。
(1)当时,方程有两个不相等的实数根。
即
(2)当时,方程有两个相等的实数根,即。
(3)当时,方程没有实数根。
教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
答:。
3.①定义:把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示。
②一元二次方程。
当时,有两个不相等的实数根;
当时,有两个相等的实数根;
当时,没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题:
(1)这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
(2)当,说“方程没有实数根”比较好。有时,也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根的意思。
4.例题讲解
例1不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1);(2);(3)。
解:(1)
∴原方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程可变形为
。
,
∴原方程有两个相等的实数根。
(3)原方程可变形为
。
∴原方程没有实数根。
学生口答,教师板书,引导学生总结步骤,(1)化方程为一般形式,确定a、b、c的(2)计算的值;(3)判别根的情况。
强调两点:(1)只要能判别值的符号就行,具体数值不必计算出。(2)判别根据的情况,不必求出方程的根。
练习:不解方程,判别下列方程的情况:
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6)
学生板演、笔答、评价。
(4)题可去括号,化一般式进行判别,也可设,判别方程根的情况,由此判别原方程根的情况。
例2不解方程,判别方程的根的情况。
解:。
又∵不论k取何实数,,
∴原方程有两个实数根。
教师板书,引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围,从而确定的取值。
练习:不解方程,判别下列方程根的情况。
(1);
(2);
(3)。
学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。
(3)解:
∵不论m取何值,,即。
∴方程无实数解。
由数字系数,过渡到字母系数,使学生体会到由具体到抽象,并且注意字母的取值。
(二)总结、扩展
1.判别式的意义及一元二次方程根的情况。
(1)定义:把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示。
(2)一元二次方程。
当时,有两个不相等的实数根;
当时,有两个相等的实数根;
当时,没有实数根。反之亦然。
2.通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。
四、布置作业
教材P27A1~4。
5.不解方程,判断下x的方程的根的情况
(1)
(2)
五、板书设计
一元二次方程
教学目标:(1)理解一元二次方程的概念
(2)掌握一元二次方程的一般形式,会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
(2)会用因式分解法解一元二次方程
教学重点:一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式
教学难点:因式分解法解一元二次方程
教学过程:
(一)创设情景,引入新课
实际例子引入:列出的方程分别为X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0
由学生说出这几个方程的共同特征,从而引出一元二次方程的概念。
(二)新授
1:一元二次方程的概念。(一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式)
练习
2:一元二次方程的一般形式(形如aX+bX+c=0)
任一个一元二次方程都可以转化成一般形式,注意二次项系数不为零
3:讲解例子
4:利用因式分解法解一元二次方程
5:讲解例子
6:一般步骤
练习
(三)小结
(四)布置作业
板书设计
一元二次方程
教学目标
1.理解直接开平方法与平方根运算的联系,学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程;培养基本的运算能力;
2.知道形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.培养观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题;
3.鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程,体会解方程过程中所蕴涵的化归思想、整体思想和降次策略.
教学重点及难点
1、用直接开平方法解一元二次方程;
2、理解直接开平方法中的整体思想,懂得(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解
教学过程设计
一、情景引入,理解方法
看一看:特殊奥林匹克运动会的会标
想一想:
在XX年的特殊奥林匹克运动会的筹备过程中制玩具节举办的更加隆重,xx学校将在运动场搭建一个舞台,其中一个方案是:在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台,那么请问这个舞台的各边边长将会是多少米呢?
解:由题意得:x2=144
根据平方根的意义得:x=±12
∴原方程的解是:x1=12,x2=-12
∵边长不能为负数
∴x=12
了解方法:
上述解方程的方法叫做直接开平方法.通过直接将某一个数开平方,解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
【说明】用开平方法解形如ax2+c=0(a≠0)的方程有三种可能性,学生归纳是难点,教师要在学生具体感知的基础上进行具体概括.通过两个阶段联系后的探究意在培养学生探究一般规律的能力..
第三阶段:怎样解方程(1+x)2=144?
请四人学习小组共同研究,并给出一个解题过程.可以参考课本或其他资料.小组长负责清楚的记录解题过程.
第四阶段:众人齐心当考官!
请各四人小组试着编一个类似于(x+1)2=144这样能用直接开平方法解的一元二次方程.
1、分析学生所编的方程.
2、从学生的编题中挑出一个方程给学生练习.
3、出示:思考:下列方程又该如何应用直接开平方法求解呢?
4(x+1)2-144=0
归纳:形如(px+q)2=m(p≠0,m≥0)的一元二次方程都可以用直接开平方法解.
【说明】在第三、四阶段的讲解和练习中教师需让学生体会到其中蕴涵了整体思想.
三、巩固方法,提高能力
请大家帮帮忙,挑一挑,拣一拣,下列一元二次方程中,哪些更适宜用直接开平方法来解呢?
⑴x2=3⑵3t2-t=0
⑶3y2=27⑷(y-1)2-4=0
⑸(2x+3)2=6⑹x2=36x
四、自主小结
今天我们学会了什么方法解一元二次方程?适合用开平方法解的一元二次方程有什么特点?