弦切角相关教学方案

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一名优秀的初中老师肯定有一份准备充分的教案，做好教案有利于教学活动的开展，一份优质的教学方案往往来自教师长时间的经验累积，怎样才能写好初中教案？为了解决大家烦恼，小编特地收集整理了弦切角相关教学方案，供大家参考。

教学目标：1、使学生理解弦切角定义；2、初步掌握弦切角定理及其运用．3、通过运用弦切角定理，培养学生的推理论证能力；教学重点：正确理解弦切角定理，这一定理在以后的证明中经常使用．教学难点：弦切角定理的证明．学生不太容易想到把弦切角的(2)(3)种情况“转化”为(1)．教学中可提醒学生注意圆周角定理的证明方法．教学过程：一、新课引入：我们已经学过圆心角和圆周角，本课我们用同样的思想方法来学习弦切角．二、新课讲解：实际上，我们把圆周角∠bac的一边ab绕顶点a旋转到与圆相切时，所成的∠bac称为弦切角．从数学的角度看，弦切角能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画．学生动手画，教师巡视，当所有学生都把三种情形的弦切角画出来时，教师可以打开计算机或幻灯给同学们作演示．按直角、锐角、钝角顺序分为图形(1)、(2)、(3)．教师指导学生给出弦切角的定义，并就图(1)中的弦切角猜想弦切角定理．指导学生完成证明，并得到推论．1．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．3．弦切角定理推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等．(三)重点、难点的学习与目标完成过程．由圆周角定理我们知道，一条弧所对的圆周角无数个，但它们的度数相等．因此，一条弧的度数的大小，就决定了它所对的圆周角的大小．在猜想和证明弦切角定理时，教师可提示学生观察图7-71(1)中弦切角∠bac所夹的弧为半圆，半圆所对的圆周角是直角，故图7-71(1)中∠bac等于它所夹弧对的圆周角．在把图7-71(2)和(3)向(1)转化时，图7-71(2)中要运用“直角三角形的两锐角互余”，图7-71(3)中要用到“圆内接四边形对角互补”．教师务必就图形把转化过程讲清楚，得到推论已是顺理成章的事情了．证明过程参照教材．

练习一，p．123练习1，如图7-72，直线ab和⊙o相切于点p，pc和pd为弦，指出图中所有的弦切角．此题利用定义直接判定∠apc、∠apd、∠bpd、∠bpc．

练习二，p．123练习2，如图7-73，经过．⊙o上的点t的切线和弦ab的延长线相交于c．求证：∠atc=∠tbc．

分析：欲证∠atc=∠tbc，可证△atc∽△tbc或角的其它性质，△atc∽△tbc∠atc=∠tbc．∠atc=∠tbc∠atc=∠tbc．此题应指导学生结合学过的知识，灵活运用弦切角定理．例1，p．122如图7-74，已知ab是⊙o的直径，ac是弦，直线ce和⊙o切于点c，ad⊥ce，垂足为d．求证：ac平分∠bad．

分析，如果连结bc，则∠bac和∠dac分别在两个三角形中，可通过三角形相似证得，也可通过直角三角形两锐角互余证得．如果连结oc，还可通过平行线的性质和切线的性质证得，教师板书本书证法，另外两种方法让学生在练习本上完成．证明：连结bc．ab是⊙o的直径∠acb=90°∠b+∠cab=90°ad⊥ce∠adc=90°∠dac=∠cab即ac平分∠bad．三、课堂小结：让学生阅读教材p．121至p．123．从中总结出本课学习的主要内容：1．弦切角定义，除了由位置上定义弦切角外，还可从运动的角度，通过圆周角一边的旋转产生弦切角．2．弦切角定理，定理所述“夹弧”一定要使学生注意弧的端点，一定是构成弦切角的弦的两个端点，这是学生经常出错的地方．3．弦切角定理推论，推论运用的机会相对较少，使用时怎样来识别题设呢？一是两个弦切角夹等弧，二是两个弦切角夹同弧．四、布置作业：1．教材p．131中5、2；p．132中6．

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弦切角

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一．

难点：定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对学生来说是生疏的，因此它是教学中的难点．

2、教学建议

（1）教师在教学过程中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养学生的数学能力；在学生主体参与的学习过程中，让学生学会学习，并获得新知识；

（2）学习时应注意：（Ⅰ）的识别由三要素构成：①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用定理时，首先要根据图形准确找到和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路．

教学目标：

1、理解的概念；

2、掌握定理及推论，并会运用它们解决有关问题；

3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法．

教学重点：定理及其应用是重点．

教学难点：定理的证明是难点．

教学活动设计：

（一）创设情境，以旧探新

1、复习：什么样的角是圆周角?

2、的概念：

电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，得∠BAE．

引导学生共同观察、分析∠BAE的特点：

(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．

的定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做。

3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：

判断下列各图形中的角是不是，并说明理由：

以下各图中的角都不是．

图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；

图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；

图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；

图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．

通过以上分析，使全体学生明确：定义中的三个条件缺一不可。

（二）观察、猜想

1、观察：（电脑动画，使C点变动）

观察∠P与∠BAC的关系．

2、猜想：∠P=∠BAC

（三）类比联想、论证

1、首先让学生回忆联想：

(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?

(2)既然可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?

2、分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的有无数个．

如图．由此发现，可分为三类：

(1)圆心在角的外部；

(2)圆心在角的一边上；

(3)圆心在角的内部．

3、迁移圆周角定理的证明方法

先证明了特殊情况，在考虑圆心在的外部和内部两种情况．

组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况．

如图(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．

如图(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，

（在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)

回顾证明方法：将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：

定理：等于它所夹的弧对的圆周角．

4．深化结论．

练习1直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的以及它们所夹的弧．

练习2如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若＝，那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么?

分析：由于和分别是两个∠OAB和∠EAC所夹的弧．而＝．连结B，C，易证∠B＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．

由此得出：

推论：若两所夹的弧相等，则这两个也相等．

（四）应用

例1如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D

求证：AC平分∠BAD．

思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B．

证明：(学生板书)

组织学生积极思考．可否用前边学过的知识证明此题?由学生回答，教师小结．

思路二，连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论。

思路三，过C作CF⊥AB，交⊙O于P，连结AF．由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，进而可证明结论成立．

练习题

1、如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝______度．

2、AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3:1，则夹劣弧的∠BAC＝________

3、如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C．

求证：∠ATC＝∠TBC．

(此题为课本的练习题，证明方法较多，组织学生讨论，归纳证法．)

（五）归纳小结

教师组织学生归纳：

(1)这节课我们主要学习的知识；

(2)在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？

（六）作业：教材P13l习题7．4A组l(2)，5，6，7题．

探究活动

一个角的顶点在圆上，它的度数等于它所夹的弧对的圆周角的度数，试探讨该角是否圆周角？若不是，请举出反例；若是圆周角，请给出证明．

提示：是圆周角（它是定理的逆命题）．分三种情况证明（证明略）．

数学教案－弦切角

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：弦切角定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一．

难点：弦切角定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对学生来说是生疏的，因此它是教学中的难点．

2、教学建议

（1）教师在教学过程中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养学生的数学能力；在学生主体参与的学习过程中，让学生学会学习，并获得新知识；

（2）学习时应注意：（Ⅰ）弦切角的识别由三要素构成：①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理时，首先要根据图形准确找到弦切角和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路．

教学目标：

1、理解弦切角的概念；

2、掌握弦切角定理及推论，并会运用它们解决有关问题；

3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法．

教学重点：弦切角定理及其应用是重点．

教学难点：弦切角定理的证明是难点．

教学活动设计：

（一）创设情境，以旧探新

1、复习：什么样的角是圆周角?

2、弦切角的概念：

电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，得∠BAE．

引导学生共同观察、分析∠BAE的特点：

(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．

弦切角的定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：

判断下列各图形中的角是不是弦切角，并说明理由：

以下各图中的角都不是弦切角．

图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；

图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；

图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；

图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．

通过以上分析，使全体学生明确：弦切角定义中的三个条件缺一不可。

（二）观察、猜想

1、观察：（电脑动画，使C点变动）

观察∠P与∠BAC的关系．

2、猜想：∠P=∠BAC

（三）类比联想、论证

1、首先让学生回忆联想：

(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?

(2)既然弦切角可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?

2、分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的弦切角有无数个．

如图．由此发现，弦切角可分为三类：

(1)圆心在角的外部；

(2)圆心在角的一边上；

(3)圆心在角的内部．

3、迁移圆周角定理的证明方法

先证明了特殊情况，在考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况．

组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况．

如图(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．

如图(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，

（在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)

回顾证明方法：将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．

4．深化结论．

练习1直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的弦切角以及它们所夹的弧．

练习2如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O的弦，若＝，那么∠DAB和∠EAC是否相等?为什么?

分析：由于和分别是两个弦切角∠OAB和∠EAC所夹的弧．而＝．连结B，C，易证∠B＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．

由此得出：

推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等．

（四）应用

例1如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D

求证：AC平分∠BAD．

思路一：要证∠BAC＝∠CAD，可证这两角所在的直角三角形相似，于是连结BC，得Rt△ACB，只需证∠ACD＝∠B．

证明：(学生板书)

组织学生积极思考．可否用前边学过的知识证明此题?由学生回答，教师小结．

思路二，连结OC，由切线性质，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可证得结论。

思路三，过C作CF⊥AB，交⊙O于P，连结AF．由垂径定理可知∠1＝∠3，又根据弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，进而可证明结论成立．

练习题

1、如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝______度．

2、AB切⊙O于A点，圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3:1，则夹劣弧的弦切角∠BAC＝________

3、如图，经过⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C．

求证：∠ATC＝∠TBC．

(此题为课本的练习题，证明方法较多，组织学生讨论，归纳证法．)

（五）归纳小结

教师组织学生归纳：

(1)这节课我们主要学习的知识；

(2)在学习过程中应用哪些重要的数学思想方法？

（六）作业：教材P13l习题7．4A组l(2)，5，6，7题．

探究活动

一个角的顶点在圆上，它的度数等于它所夹的弧对的圆周角的度数，试探讨该角是否圆周角？若不是，请举出反例；若是圆周角，请给出证明．

提示：是圆周角（它是弦切角定理的逆命题）．分三种情况证明（证明略）．

弦切角初中教案精选

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：定理是本节的重点也是本章的重点内容之一，它在证明角相等、线段相等、线段成比例等问题时，有重要的作用；它与圆心角和圆周角以及直线形角的性质构成了完美的角的体系，属于工具知识之一．

难点：定理的证明．因为在证明过程中包含了由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想，虽然在圆周角定理的证明中应用过，但对学生来说是生疏的，因此它是教学中的难点．

2、教学建议

（1）教师在教学过程中，主要是设置学习情境，组织或引导学生发现问题、分析问题、研究问题和归纳结论，应用知识培养学生的数学能力；在学生主体参与的学习过程中，让学生学会学习，并获得新知识；

（2）学习时应注意：（Ⅰ）的识别由三要素构成：①顶点为切点，②一边为切线，③一边为过切点的弦；（Ⅱ）在使用定理时，首先要根据图形准确找到和它们所夹弧上的圆周角；（Ⅲ）要注意定理的证明，体现了从特殊到一般的证明思路．

教学目标：

1、理解的概念；

2、掌握定理及推论，并会运用它们解决有关问题；

3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法．

教学重点：定理及其应用是重点．

教学难点：定理的证明是难点．

教学活动设计：

（一）创设情境，以旧探新

1、复习：什么样的角是圆周角?

2、的概念：

电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A旋转至与圆相切时，得∠BAE．

引导学生共同观察、分析∠BAE的特点：

(1)顶点在圆周上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切．

的定义：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做。

3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：

判断下列各图形中的角是不是，并说明理由：

以下各图中的角都不是．

图(1)中，缺少“顶点在圆上”的条件；

图(2)中，缺少“一边和圆相交”的条件；

图(3)中，缺少“一边和圆相切”的条件；

图(4)中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件．

通过以上分析，使全体学生明确：定义中的三个条件缺一不可。

（二）观察、猜想

1、观察：（电脑动画，使C点变动）

观察∠P与∠BAC的关系．

2、猜想：∠P=∠BAC

（三）类比联想、论证

1、首先让学生回忆联想：

(1)圆周角定理的证明采用了什么方法?

(2)既然可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢?

2、分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的有无数个．

如图．由此发现，可分为三类：

(1)圆心在角的外部；

(2)圆心在角的一边上；

(3)圆心在角的内部．

3、迁移圆周角定理的证明方法

先证明了特殊情况，在考虑圆心在的外部和内部两种情况．

组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况．

如图(1)，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．

如图(2)，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ．连结PQ，则∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，

（在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程)

回顾证明方法：将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得：

定理：等于它所夹的弧对的圆周角．

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数轴相关教学方案

【教学要求】

1．会正确画出数轴．

2．会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上(表示有理数)的点所表示的数．

3．会利用数轴比较有理数的大小．

4．初步感受“数形结合”的思想方法．

【教学过程设计建议(第一课时)】

1．情境创设

观察温度计或刻度尺上刻度的排列顺序，直观地将小学里用直线上的点表示数的方法推广到用来表示有理数，正确建立数轴的概念．除温度计和刻度尺外，杆秤、天平等都是较好的数学模型．

2．探索活动

(1)观察温度计或刻度尺上的刻度，根据课本上两个卡通人的提示，引导学生讨论：直线上的点能表示负数(如一10，一15)吗?通过在温度计上找一10℃、一15℃的位置的活动，感受可以用直线上的点表示负数．

(2)依据画数轴的步骤，正确画出数轴．可以在安排2～3名学生“板演”的同时巡视全班，及时给予针对性的操作指导．

数轴的位置通常是水平的，但也可以是任意位置的，要发现并及时展示那些画法正确但放置方向不同、单位长度不同的数轴．要特别注意指导学生正确标注负数．

可以让学生对照“做一做”的几个步骤共同评价“板演”作业，形成对数轴的正确认识．

3．例题教学

例2是让学生学会在数轴上表示有理数，教师还可以再增加一些练习，然后引导学生评价卡通人的结论．需要注意的是，不要提及“数轴上任何一点是否都表示一个有理数”之类的话题，因为虽然任何一个有理数在数轴上都有惟一的点与它对应，但有理数与数轴上的点并不一一对应，而这是学生当前无法认识和回答的．

可以根据学生的实际情况，适当增加在数轴上表示分数的练习．

【教学过程设计建议(第二课时)】

1．探索活动

借助生活经验(温度的高低)，引导学生探索：

数轴上的点的位置与它所表示的数的大小有什么关系，得出“在数轴上右边的点所表示的数大于左

边的点所表示的数”．

“议一议”中的第2个问题，应组织学生认真操作，为得出上述结论增加感性认识．

对于两个负数比较大小，学生比较陌生，教学中还可以采用以下方法：

在数轴上，表示一3的点a在原点左边3个单位长度，表示一2的点b在原点左边2个单位长度，不难看出点a在点b的左边，即得一3

数轴上的点从左到右的顺序，就是它所表示的数从小到大的顺序．这种规定与日常生活结论是一致的．

2．例题教学

例3较简单，直接应用结论的第二部分进行判断；例4给出了利用数轴比较两个负数大小的规范表述．

3．小结

“数形结合”是化抽象为直观、化难为易的一种常用的数学方法．华罗庚先生指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”小结时，除要讲清数轴本身的意义外，还应通过有理数的大小比较，让学生感受到这一方法带来的便利．

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