一次方程组的应用

（第二课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查所得结果是否正确、合理．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．进一步渗透化未知为已知的思想．

2．通过应用题的内容，进行理论联系实际的教育．

（四）美育渗透点

学习列二元一次方程解应用题，通过深入挖掘隐含的条件，渗透解题的简捷性的数学美以及准确的设元，发挥解题的创造性的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：观察法、谈话法、尝试指导法．

2．学生学法：通过行程问题中的三个量路程、速度、时间结合题意得出两个正确的相等关系是关键，通过反复训练并思考总结出一般性、规律性的知识．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．

（二）疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．

（三）解决办法

反复读题、审题，提高分析问题及解决问题的能力．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．复习列二元一次方程组解应用题的一般步骤，让学生在熟练掌握它的基础上研究新的问题．

2．师生共同探究行程问题中三者的关系，并学会如何通过题意以路程、速度、时间作为等量关系来列二元一次方程组．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解行程问题的应用题．

（二）整体感知

利用路程、速度、时间的三者关系解关于相遇、追及以及顺、逆流航行的应用题，关键在于寻找以路程或时间为主的等量关系．

（三）教学过程

1．复习提问，导入新课

（1）上节课我们学习了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？

（2）列方程组解应用题的关键是哪两步？

学生活动：回答老师提出的问题．

这节课，我们接着学习列二元一次方程组解应用题．

2．探索新知，讲授新课

例3甲、乙二人相距6㎞，二人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，二人的平均速度各是多少？

提问：（1）题中有几个未知数？分别是什么？

（2）题中的两个相等关系分别是什么？

学生活动：观察、分析后回答．

未知数：甲、乙各自的平均速度

相等关系：（1）同向而行：甲的行程＝乙的行程＋6㎞

（2）相向而行：甲行程＋乙行程＝6㎞

学生活动：设未知数，根据相等关系列出方程组．

解：设甲的平均速度是每小时行㎞，乙的平均速度是每小时行㎞，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均第小时甲行4㎞，乙行2㎞．

注意：检验．

反馈练习：P371，2．

例4甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用3小时45分，求船在静水中的航速及水流速度．

分析：复习船在顺流航行及逆流航行中的速度与船在静水中的速度、水流速度的关系．

顺流航行的船速＝在静水中的船速度＋水流速度

逆流航行的船速＝在静水中的船速度－水流速度

师生共同分析两个相等关系：

（1）顺流航行的速度×3＝60千米

（2）逆流航行的速度×＝60千米

解：设船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时．

由题意得

答：略．

练习：P487．

例5某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口．

提问：（1）题中的两个未知数分别是什么？

（2）题中的相等关系是什么？

学生活动：回答老师提出的问题．

教师根据学生回答板书．

未知数：城镇人口与农村人口

相等关系：（1）城镇人口＋农村人口＝总人口

（2）城镇人口增加数＋农村人口增加数＝总人口增加数

学生活动：根据分析设未知数、列方程组，一个学生板演．

解：设城镇人口是万，农村人口是万，得

解这个方程组，得

答：城镇人口是14万，农村人口是28万．

注意：②式中的42也可以写成（）．

【教法说明】例3、例4采用了与例1相同的分析方法，这样分析，可以使学生学会列方程组解应用题的分析方法．如果学生的基础较好，也可以采用拟题训练法让学生分析，培养学生的自学能力．

3．变式训练，培养能力

、两地之间的路为20千米，甲从地，乙从地同时出发，相向而行，2小时后在点相遇，相遇后甲原速返回地，乙仍向地前进．甲回到地时，乙离地还有2千米，求甲、乙两人的时速．

学生活动：独立分析、思考、找相等关系，一个学生板演．

解：设甲速为每小时千米，乙速为每小时千米，根据题意，

得：

解得

答：甲速为每小时5.5千米，乙速为每小时4.5千米．

【教法说明】找相等关系时，相向而行的比较简单，为甲、乙二人的行程（20千米），在找同向而行的相等关系时，教师可画出直线型示意图进行分析：

甲、乙二人从点同向而行，甲回到地的时间是2小时，在相同时间内，乙到达点，距地还有2千米，从而可得相等关系：

甲行程－乙行程＝2千米

此题可培养学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

这节课我们又学习了二元一次方程组的应用，我们在解题时，一定要认真分析，找准相等关系，列出方程组．[工作总结之家 dg15.CoM]

八、布置作业

P39～P404，7，8，9，10，11．

参考答案

略．

九、板书设计

5.5一次方程组的应用（二）

例3

例4

例5

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一次方程组的应用初中教案精选

（第三课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．会列出三元一次方程组解简单的应用题．

2．会用待定系数法解题．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．使学生进一步了解代数方法的优越性、实用性．

2．渗透特定系数法这一重要的思想方法．

3．了解我国古数学的光辉成就．

（四）美育渗透点

学习列三元一次方程组及用待定系数法解题，渗透解题的简捷性与奇异的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：讲解法、谈话法、师生共同分析、发现问题．

2．学生学法：列三元一次方程组解应用题的关键在于迅速寻找出三个相等关系，故尖增强分析问题的能力．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点

1．根据简单应用题的题意列出三元一次方程组．

2．用待定系数法解题的方法．

（二）难点

正确找出表示应用题全部含义的三个相等关系，并把它们表示成三个方程．

（三）疑点

如何正确地寻找相等关系．

（四）解决办法

反复读题、审题，用简洁的语言概括出相等关系．

四、课时安排

一课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过提问，复习列二元一次方程组解应用题的步骤．

2．通过例6的审题，让学生分析出如何求三种球的相等关系．教师规范板书过程以便学生的模仿．

3．通过反馈练习，强化对列三元一次方程组解应用题的训练，以便能掌握相关的一些变式训练．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课主要学习列三元一次方程组解应用题．

（二）整体感知

列三元一次方程组解应用题的关键在于寻找出正确的相等关系，因而应仔细审题，合理分析，以达迅速求解的目的．

（三）教学过程

1．开门见山，导入新课

前面，我们学习了列二元一次方程组解应用题，哪位同学能简单说一下列二元一次方程组解应用题的步骤？

（设、找、列、解、答）

实际上，有的应用题中未知数的个数不只两个，这节课，我们来学习三元一次方程组的应用．

2．探索新知，讲授新课

例6学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2：3，三种球共41个，求三种球各有多少？

题中有几个未知数？要找到几个相等关系？用简洁的语言概括相等关系．

学生活动：分析、思考、回答老师的问题；有三个未知数、三个相等关系．

相等关系：（1）篮球数＝2×排球数－3

（2）足球数：排球数＝2：3即：2×排球数＝3×足球数

（3）三种球数的和＝总球数

学生活动：根据刚才的分析解答例1，一个学生板演．

解：设篮球有个，排球有个，足球有个，根据题意

得

①代入③，得④

由④，得⑤

把⑤代入②，得

把分别代入①、⑤，得

∴

答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个．

强调：（1）解方程组的过程可以写在练习本上．

（2）得到结果检验是否正确、合理．

【教法说明】例6采用与二元一次方程组类似的方法进行分析，学生接受不会感到困难．通过比较，可使学生进一步了解代数方法的优越性．

尝试反馈：P381、2．两个学生板演．

3．变式训练，培养能力

P4117．在公式中，当时，；当时，，求当时，的值．

【教法说明】教师首先介绍这个公式的实际意义，再启发学生根据已知条件先求待定系数、，然后把代入，求．

（四）总结、扩展

列三元一次方程组解应用题的步骤、关键是什么？

八、布置作业

（一）必做题：P40～P4114，16．

（二）选做题：P41B组1，4．

（三）思考题：课本第42页“想一想”

（四）复习本章内容

参考答案

略．

九、板书设计

5.5一次方程组的应用（三）

例5

变式

练习

十、背景知识与课外阅读

一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙管2小时，则水池中余水5吨；若打开甲管2小时，乙管3小时，丙管1小时，则池中余水1吨，求打开甲管22小时，乙管5小时，丙管11小时，池中余水多少吨？

分析和解：设甲、乙、丙三管每小时的流水量分别为吨，依题意得

通过观察分析方程组的特有形式，可用独特的整体相乘，整体相减法求解

①×7－②×3得

．

二元一次方程组

教学建议

一、重点、难点分析

本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解．难点是了解的解的含义．这里困难在于从1个数值变成了2个数值，而且这2个数值合在一起，才算作的解．用大括号来表示的解，可以使学生从形式上克服理解的困难；而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数，把它们的值都写出来才是问题的解答．这是克服这一难点的关键所在．

二、知识结构

本小节通过求两个未知数的实际问题，先应用学生以学过的一元一次方程知识去解决，然后尝试设两个未知数，根据题目中的两个条件列出两个方程，从而引入二元一次方程、（用描述的语言）以及的解等概念．

三、教法建议

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及．

3．通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题．

4．为了减少学习上的困难，使学生学到最基本、最实用的知识，教学中不宜介绍相依方程组如

和矛盾方程组如

等概念，也不要使方程组中任何一个方程的未知数的系数全部为0（因为这种数学中的特例较少实际意义）当然，作为特例，出现类似

之类的是可以的，这时可以告诉学生，方程（1）中未知数的系数为0，方程（1）也看作一个二元一次方程．

教学设计示例

一、素质教育目标

（－）知识教学点

1．了解二元一次方程、和它的解的概念．

2．会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．

3．会检验一对数值是不是某个的解．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力和计算能力．

（三）德育渗透点

培养学生严格认真的学习态度．

（四）美育渗透点

通过本节的学习，渗透方程组的解必须满足方程组中的每一个方程恒等的数学美，激发学生探究数学奥秘的兴趣和激情．

二、学法引导

1．教学方法：讨论法、练习法、尝试指导法．

2．学生学法：理解二元一次方程和及其解的概念，并对比方程及其解的概念，以强化对概念的辨析；同时规范检验方程组的解的书写过程，为今后的学习打下良好的数学基础．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（－）重点

使学生了解二元一次方程、以及的解的含义，会检验一对数值是否是某个的解．

（二）难点

了解的解的含义．

（三）疑点及解决办法

检验一对未知数的值是否为某个的解必须同时满足方程组的两个方程，这是本节课的疑点．在教学中只要通过多举一系列的反例来说明，就可以辨析解决好该问题了．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师通过复习方程及其解和解方程等知识，创设情境，导入课题，并引入二元一次方程和的概念．

2．通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及．

3．通过的解的概念的教学，通过教师的示范作用，让学生学会正确地去检验的解的问题．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课的教学目标为理解二元一次方程及的概念并会判断一对未知数的值是否为的解．

（二）整体感知

由复习方程及其解，导入二元一次方程及的概念，并会判断它们；同时学会用一个未知数表达另一个未知数为今后的解方程组埋下伏笔；最后学会检验解的问题．

（三）教学过程

1．创设情境、复习导入

（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能举一个一元一次方程的例子吗？

回答老师提出的问题并自由举例．

【教法说明】提此问题，可使学生头脑中再现有关一元一次方程的知识，为学习二元一次方程做铺垫．

（2）列一元一次方程求解．

香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：思考，设未知数，回答．

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，

根据题意，得

解这个方程，得

答：小华买了香蕉3千克，苹果6千克．

上面的问题中，要求的是两个数，能不能同时设两个未知数呢？

设买了香蕉千克，买了苹果千克，根据题意可得两个方程

观察以上两个方程是否为一元一次方程，如果不是，那么这两个方程有什么共同特点？

观察、讨论、举手发言，总结两个方程的共同特点．

方程里含有两个未知数，并且未知项的次数是1，像这样的方程，叫做二元一次方程．

这节课，我们就开始学习与二元一次方程密切相关的知识—．

【教法说明】学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于对概念的理解．

2．探索新知，讲授新课

（1）关于二元一次方程的教学．

我们已经知道了什么是二元一次方程，下面完成练习．

练习一

判断下列方程是否为二元一次方程，并说明理由．

①②③

④⑤⑥

练习二

分组练习：同桌结组，一人举例，一人判断是否为二元一次方程．

学生活动：以抢答形式完成练习1，指定几组同学完成练习2．

【教法说明】这样做既可以活跃气氛，又能加深学生对二元一次方程概念的理解．

练习三

课本第6页练习1．

提出问题：二元一次方程的解是惟一的吗？学生回答后，教师归纳：一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解，其中一个未知数（或）每取一个值，另一个未知数（或）就有惟一的值与它相对应．

练习四

填表，使上下每对、的值满足方程．

－2

0

0.4

2

－1

0

3

师生共同总结方法：已知，求，用含有的代数式表示，为；已知，求，用含有的代数式表示，为．

【教法说明】由此练习，学生能真正理解二元一次方程的解是无限多的；并且能把一个二元一次方程定成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，为用代入法解奠定了基础．

（2）关于的教学．

上面的问题包含两个必须同时满足的条件，一是香蕉和苹果共买了9千克，一是共付款33元，也就是必须同时满足两个方程．因此，把这两个方程合在一起，写成

这两个方程合在一起，就组成了一个．

方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起．

练习五

已知、都是未知数，判别下列方程组是否为？

①②

③④

【教法说明】练习五有助于学生理解的概念，目的是避免学生对形成错误的认识．

对于前面的问题，列要比列一元一次方程容易些．根据前面解得的结果可以知道，买了香蕉3千克，苹果6千克，即，，这里，既满足方程①，又满足方程②，我们说

是

的解．

学生活动：尝试总结的解的概念，思考后自由发言．

教师纠正、指导后板书：

使的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做的解．

例题判断是不是的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题目的：培养学生计算的准确性．

4．变式训练，培养能力

练习：（1）P84．

【教法说明】使学生更深刻地理解的解的概念，并为解打下基础．

（2）P8B组1．

【教法说明】为列找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个的解．

3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．

八、布置作业

（一）必做题：P73．

（二）选做题：P8B组2．

（三）预习：课本第9～13页．

参考答案

略．

数学教案－一次方程组的应用的教学方案

（第一课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．体会代数方法的优越性．

2．向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想．

3．向学生进行理论联系实际的教育．

（四）美育渗透点

学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美．

二、学法引导

1．教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法．

2．学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解．

三、重点难点疑点及解决办法

（一）重点与难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．

（二）疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．

（三）解决办法

通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键．

四、课时安排

一课时．

五、教学具学具准备

投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题．

2．师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤．

3．通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解应用题．

（二）整体感知

列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组．

（三）教学过程

1．创设情境、导入新课

（1）根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程．

①甲、乙两数的和是10．

②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70．

③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元．

（2）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？

①列出一元一次方程和二元一次方程组解题．

②比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？

学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．

【教法说明】第（1）题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础；第（2）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣．

2．探索新知，讲授新课

例1小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚？

分析：（1）题中有几个未知数？分别是什么？

（2）题中有几个相等关系？分别是什么？

学生活动：观察、分析后回答．

未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数．

相等关系（1）80分邮票枚数＋2元邮票枚数＝总枚数．

（2）80分邮票总价＋2元邮票总价＝全部邮票总价．

学生活动：设未知数、根据相等关系列方程．

解：设共买枚80分邮票，枚2元邮票，根据题意得

解这个方程组，得

答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚．

强调：（1）选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义．

（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成．

（3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句．

反馈练习：P351，2．（只列不解）

例2小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分；做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分．平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间？

仿照刚才分析例1的方法，分析问题．

学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答．

教师根据学生的拟题板书．

两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间

（1）做4个小狗的时间＋做7个小汽车的时间＝3时42分

（2）做5个小狗的时间＋做6个小汽车的时间＝3时37分

解题过程由学生完成，一个学生板演．

解：设平均做1个小狗用分，做1个小汽车有分，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分．

【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力．

反馈练习：P353，4．

学生活动：口答、设未知数、列方程组．

3．变式训练，培养能力

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？

分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系．

相等关系：（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150张．

（2）盒底总数＝2×盒身总数．

解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒．根据题意，得

（四）总结、扩展

我们这节课学习了二元一次方程组的应用，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？

学生发言后，老师适当补充、纠正．

八、布置作业

（一）必做题：P391，2，3．

（二）选做题：P41B组2．

（三）补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数．

参考答案

（一）1．到甲地130人，到乙地70人．

2．有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛．

3．长38㎝，宽16㎝．

（二）解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货吨、吨，根据题意，得

解得

∴4×3＋2.5×5＝24.5（吨）

九、板书设计

投影幕

例1例2练习

小结：

一元一次方程的应用

教学设计示例

教学目标

1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题；

2．培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；

3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．

教学重点和难点

一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．

课堂教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？

为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．

例1某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．

(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)

解法1：(4+2)÷(3-1)=3．

答：某数为3．

(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)

解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．

解之，得x=3．

答：某数为3．

纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．

我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．

本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．

二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

例2某面粉仓库存放的面粉运出15％后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？

师生共同分析：

1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？

2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)

3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？

上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得

x-15％x=42500，

所以x=50000．

答：原来有50000千克面粉．

此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？

(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)

教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程；

(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．

依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：

(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；

(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)；

(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；

(4)求出所列方程的解；

(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．

例3(投影)初一2班第一小组同学去苹果园参加劳动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个；若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少学生，共摘了多少个苹果？

(仿照例2的分析方法分析本题，如学生在某处感到困难，教师应做适当点拨．解答过程请一名学生板演，教师巡视，及时纠正学生在书写本题时可能出现的各种错误．并严格规范书写格式)

解：设第一小组有x个学生，依题意，得

3x+9=5x-(5-4)，

解这个方程：2x=10，

所以x=5．

其苹果数为3×5+9=24．

答：第一小组有5名同学，共摘苹果24个．

学生板演后，引导学生探讨此题是否可有其他解法，并列出方程．

（设第一小组共摘了x个苹果，则依题意，得）

三、课堂练习

1．买4本练习本与3支铅笔一共用了1.24元，已知铅笔每支0.12元，问练习本每本多少元？

2．我国城乡居民1988年末的储蓄存款达到3802亿元，比1978年末的储蓄存款的18倍还多4亿元．求1978年末的储蓄存款．

3．某工厂女工人占全厂总人数的35％，男工比女工多252人，求全厂总人数．

四、师生共同小结

首先，让学生回答如下问题：

1．本节课学习了哪些内容？

2．列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？

3．在运用上述方法和步骤时应注意什么？

依据学生的回答情况，教师总结如下：

(1)代数方法的基本步骤是：全面掌握题意；恰当选择变数；找出相等关系；布列方程求解；检验书写答案．其中第三步是关键；

(2)以上步骤同学应在理解的基础上记忆．

五、作业

1．买3千克苹果，付出10元，找回3角4分．问每千克苹果多少钱？

2．用76厘米长的铁丝做一个长方形的教具，要使宽是16厘米，那么长是多少厘米？

3．某厂去年10月份生产电视机2050台，这比前年10月产量的2倍还多150台．这家工厂前年10月生产电视机多少台？

4．大箱子装有洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个同样大小的小箱里，装满后还剩余2千克洗衣粉．求每个小箱子里装有洗衣粉多少千克？

5．把1400奖金分给22名得奖者，一等奖每人200元，二等奖每人50元．求得到一等奖与二等奖的人数

解二元一次方程组（一）的教学方案

教学目标：1.能熟练地用代入消元法解简单的二元一次方程组2.从解方程的过程中体会转化的思想方法教学重点：用代入消元法解二元一次方程组教学难点：用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数教学过程：一、情境创设根据篮球比赛规则；赢一场得2分，平一场得1分，在某次中学篮球联赛中，某球队赛了12场，赢了x场，输了y场，共各20分.可以得出方程组：x+y=122x+y=20（学生思考，列出方程）二、新课讲授如何解上面的二元一次方程组呢？x+y=12①2x+y=20②(学生主动探索，尝试，体会消元的方法)解：由①得：y=12-x③将③代入②得：2x+12x-x=20解这个二元一次方程，得x=8将x=8代入③，得y=4所以原方程组的解是x=8y=4注：①二元一次方程组的解是一对数值，而不是一个单纯的x值或y值.②算出结果后要做心算检验，以养成习惯问题：（引导思维拓展）①你是如何解方程组的？②每一步的依据是什么？③还有其它的方法吗？（能否通过消去x解方程？）代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数据用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法，称为代入消元法，简称代入法.（学生归纳、总结、并理解）点评：用代入消元法解二元一次方程组方法不唯一，比如：上题中也可以用y来表示x，通过消去x来解方程.即：由①得：x=12-y……③，将③代入②得……即使用x来表示y，方法也不是唯一的，可以由①得y=12-x，也可以由②得y=20-2x……三、例题教学：解方程组x+3y=03x+2y=92(板书示范，学生思考回答)步骤1．用一个未知数表示另一个未知数；2．将表示后的未知数代入方程；3．解此方程4．求方程组的一对解.四、学生练习p1101、2、3（学生板演）五、拓展延伸1．解方程组3x=1-2y3x+4y=-7（整体代入法）2．已知x+y=k2x+3y=k六、课时小结：1.用代入法解二元一次方程组的步骤？2.任意一个二元一次方程都能用代入消元法解吗？举例说明.七、作业p1121、（1）（4）2、3、

应用二元一次方程组——里程碑上的数导学案

学科

数学

年级

八年级

授课班级

主备教师

参与教师

课型

新授课

课题§5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数

备课组长审核签名

教研组长审核签名【学习目标】1：利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。2：初步体会到方程组解决实际问题的一般步骤。【学习重点】体验列方程组解决实际问题的过程，理解题意，找出适当的等量关系，并列出方程组。学习内容（学习过程）一、自主预习（感知）1、一个两位数，十位数字为a，个位数字为b,则这两个数表示为。2、一个三位数，百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三数表示为。新|二、合作探究（理解）1、课本p120小明爸爸骑摩托车问题，完成书上的填空；2、课本p121例题，完成书上填空。3、议一议列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎么样的？与同伴进行交流。三、轻松尝试（运用）1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是。2、小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路。她跑步去学校共用了30分。已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时，下坡时的平均速度是12千米/时。问小颖上、下坡各多少千米？ａ．1.2，3.6；ｂ．1.8，3；ｃ．1.6，3.2．3、一个两位数，个位数字比十位数字大4，如果把这两个数的位置对调，那么所得的新数与原数的和是154，求原来两位数。四、拓展延伸（提高）

五、收获盘点（升华）

你认为列二元一次方程组解决问题应该注意些什么问题？步骤是怎样的呢？

六、当堂检测（达标）1、一个两位数，减去他的各位数之和的3倍，结果是23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1。这两位数是多少？1、小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341。原来两个加数是多少？七、课外作业（巩固）1、必做题：①整理导学案并完成下一节课导学案中的预习案。②完成《优化设计》中的本节内容。

2、思考题：学习反思：

三元一次方程组的解法举例相关教学方案

教学建议

一、重点、难点分析

本节教学的重点是掌握三元一次方程组的解法，教学难点是解法的灵活运用．能够熟练的解三元一次方程组是进一步学习一次方程组的应用，以及一次不等式组的解法的基础．

1．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组就是三元一次方程组．

2．三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．

3．如何消元，首先要认真观察方程组中各方程系数的特点，然后选择最好的解法．

4．有些特殊方程组，可用特殊的消元方法，有时一下子可消去两个未知数，直接求出一个未知数值来．

5．解一次方程组的消元“转化”基本思想，可以推广到“四元”、“五元”等多元方程组，这是今后要学习的内容．

二、知识结构

三、教法建议

1.解三元一次方程组时，由于方程较多，学生容易出错．因此，应提醒学生注意，在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次．

2.消元时，先要考虑好消去哪一个未知数．开始练习时，可以先把要消去的未知数写出来（如教科书在分析中所写的那样），然后再进行消元．

在例2中，如果先确定消去，那么这三个方程两两分组的方法有3种；①与②，①与③，②与③．我们可以从中任选2种消去．这里特别要注意选定2种后，必须消去同一个未知数．如果违背了这一点，所得的两个新方程虽然各含两个未知数，但由它们组成的方程组仍然含有三个未知数，这在实际上没有消元．

教学设计示例

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．知道什么是三元一次方程．

2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．

3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．

（二）能力训练点

1．培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象．

2．培养学生的计算能力、训练解题技巧．

（三）德育渗透点

渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知．

（四）美育渗透点

通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美．

二、学法引导

1．教学方法：观察法、讨论法、练习法．

2．学生学法：三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键．一般来说应先消去系数最简单的未知数．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点

使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．

（二）难点

针对方程组的特点，选择最好的解法．

（三）疑点

如何进行消元．

（四）解决办法

加强理解二元及三元一次方程组的解题思想是“消元”，故在求解中为便于计算应选择系数较简单的未知数将它消去．

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师先复习解二元一次方程组的解题思想及办法，让学生充分理解方程组的消元思想及方法．

2．教师由引例引出三元一次方程组，由学生思考、讨论后解决如何消三元变二元，教师讲解、小结．

3．由学生尝试，解决例题．

4．学生练习，教师小结、讲评．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课将学习如何求三元一次方程组的解．

（二）整体感知

通过复习二元一次方程组的解题思想，从而类推出三元一次方程组的解题思想及解题方法，让学生牢牢抓住利用消元的思想化三元为二元，再化二元为一元的办法来求解．

（三）教学过程

1．复习导入、探索新知

（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？

甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．

题目中有几个未知数？含有几个相等关系?你能根据题意列出几个方程？

学生活动：回答问题、设未知数、列方程．

这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：

这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．

怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？

学生活动：思考、讨论后说出消元方案．

教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去，得到只含、的二元一次方程组．

解：由②，得④

把④代入①，得⑤

把④代入③，得⑥

⑤与⑥组成方程组

解这个方程组得

把代入④，得

∴

∴

注意：a．得二元一次方程组后，解二元一次方程的过程在练习本上完成．

b．得，后，求，要代入前面最简单的方程④．

c．检验．

这道题也可以用加减法解，②中不含，那么可以考虑将①与③结合消去，与②组成二元一次方程组．

学生活动：在练习本上用加减法解方程组．

【教法说明】通过一题多解，不仅能开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且，可以巩固解方程组时通过“消元”把未知转化为已知的基本思想．

2．学生尝试解决例题

例1解方程组

学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．

解：②×3＋③，得④

①与④组成方程组

解这个方程组，得

把，代入②，得

∴

∴

归纳：这个方程组的特点是方程①不含，而②、③中的系数绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②、③中消去后，再与①组成只含、的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③较繁．

【教法说明】有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点为，点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：P30（1）．

学生活动：独立完成练习后，同桌、前后桌之间按不同解法的同学交换，看哪种方法最简单．

4．变式训练要，培养能力

补例：解方程组

学生活动：独立完成．

【教法说明】此方程组中方程①、③中、的系数完全相同，用③－①可直接得到，再把代入②可求，代入①可求．这道题直接化三元为一元，能使学生体会到解法技巧的重要性，觉得数学问题真是奥妙无穷!

（四）总结、扩展

1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？

2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．

3．注意检验．

【教法说明】这样总结，既突出了本课重点，又突出了本节内容中例题、习题的特点—某个方程只含两元，使学生在以后解题时有很强的针对性．

八、布置作业

（一）必做题：P31A组1．

（二）选做题：解方程组

（三）思考题：课本第32页“想一想”．

【教法说明】作业（一）是为了巩固本节所学知识；作业（二）有很强的技巧性，可培养学生兴趣；作业（三）培养学生分析问题、解决问题的能力．

用代入法解二元一次方程组教案模板

教学建议

一、重点、难点分析

本节的教学重点是使学生学会用代入法．教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便．

解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．

二、知识结构

三、教法建议

1．关于检验方程组的解的问题．教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等．”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点．检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调

这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误．检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出．

2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．

3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．掌握的步骤．

2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．

（二）能力训练点

1．培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形．

2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．

（三）德育渗透点

消元，化未知为已知的数学思想．

（四）美育渗透点

通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．

二、学法引导

1．教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法．

2．学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法．

三、重点、难点、疑点及解决办法

（－）重点

使学生会．

（二）难点

灵活运用代入法的技巧．

（三）疑点

如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．

（四）解决办法

一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：

四、课时安排

一课时．

五、教具学具准备

电脑或投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等．

2．通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法．

3．再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律．

七、教学步骤

（－）明确目标

本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解．

（二）整体感知

从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法．

（三）教学步骤

1．创设情境，复习导入

（1）已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示．并比较哪一种形式比较简单．

（2）选择题：

二元一次方程组的解是

A．B．C．D．

【教法说明】第（1）题为打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料．

通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习．

这样导入，可以激发学生的求知欲．

2．探索新知，讲授新课

香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演．

设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得

设买了香蕉千克，买了苹果千克，得

上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了．

解：由①得：③

把③代入②，得：

∴

把代入③，得：

∴

【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．

上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法．你能简单说说的基本思路吗？

学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导．纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．

例1解方程组

（1）观察上面的方程组，应该如何消元？（把①代入②）

（2）把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出．

（3）求出后代入哪个方程中求比较简单？（①）

学生活动：依次回答问题后，教师板书

解：把①代入②，得

∴

把代入①，得

∴

如何检验得到的结果是否正确？

学生活动：口答检验．

教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中．

【教法说明】给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯．

例2解方程组

要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元．方程②中的系数是1，比较简单．因此，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解．

学生活动：尝试完成例2．

教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化．

解：由②，得③

把③代入①，得

∴

∴

把代入③，得

∴

∴

检验后，师生共同讨论：

（1）由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？（得到的是恒等式，不能求解）

（2）把代入①或②可以求出吗？（可以）代入③有什么好处？（运算简便）

学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结的一般步骤，讨论后选代表发言．之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤．

教师板书：

（1）变形（）

（2）代入消元（）

（3）解一元一次方程得（）

（4）把代入求解

练习：P131．（1）（2）；P142．（1）（2）．

3．变式训练，培养能力

①由可以得到用表示．

②在中，当时，；当时，，则；．

③选择：若是方程组的解，则（）

A．B．C．D．

（四）总结、扩展

1．解二元一次方程组的思想：．

2．的步骤．

3．的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．

通过这节课的学习，我们要熟练运，并能检验结果是否正确．

八、布置作业

（一）必做题：P151．（2）（4），2．（1）（2）（3）（4）．

（二）选做题：P15B组1．

参考答案

（一）1．（2）（4）

2．（1）（2）（3）（4）

（二），

二元一次方程组的解法（代入法）教学评点

一、引入激趣

开始引入了名人迪卡儿的数学思想，学生崇拜名人相信名人于是以名人名言给这节课定了基调，那就是数学与实际有密切的关系以及用方程思想解决实际问题的总方针。结合现实生活中的身边事例篮球赛为引例巧妙引导到新课。其中张老师设计了学生用原来解二元一次方程组的方法解时太麻烦，不好解，产生了困惑，学生自然而然就会想到有没有解决问题的好方法的猜想。这样就让学生产生了认知上的冲突，从而激发了学生的好奇心和求知欲，提高了学生的热情和兴趣，学生就会拼命地去探究科学奥秘。此时张老师抓住时机引导学生要探究好方法首先要有预备知识，抛出一个量来表示另一个量的探究内容。给学生指明了方向，使学生不至于太漫无边际的探究。也为接下来的自学铺平了道路。紧接着出示自学目标和指导。

二、师生活动融为一体民主气氛浓

自学指导学生自主探究，先个人独立思考后合作交流展示汇报。老师巡视，指导学困生，积极组织学生活动并参与其中，及时评价学生，关注每个学生的发展。这个过程学生提高了合作、交流能力，也展示了学生的表现能力，并锻炼了学生归纳总结能力，培养学生会听取别人的意见及看法，并给予承认、表扬和鼓励的情感意识，课堂上的掌声不由自主的响起，提升了个人的思想品质和为人素养，思想性很强，情感意识很浓。

三、技能训练及时跟上

学生一旦获得了探究的新知，马上进行训练和提高，练习中有生趣，有关注学生的严密细致的科学态度，学生练的热情高。其中有一个学生的不同解法，张老师利用的惟妙惟肖，有效地开发和利用了课堂的生成性资源，启迪了学生的智慧，激励了他们的发散思维，培养了他们的创新能力，肯定了学生的一题多解，举一反三的学法，使我们的课堂异彩纷呈。

四、消元思想，代入消元，化归思想，让学生充分体会到化归思想的神奇魅力，从而把数学思想贯穿在教学中，让学生能力得到提高，以后可持续发展自己，一生有用。

总之本节课清晰明了，行如流水，结构严谨，一环扣一环，步步深入。板书设计精细，清晰，具有高度的概括性和逻辑性，学生好记，印象深。学生学习既紧张又活泼，既有常规思维又有创造思维，既学得了知识，又锻炼了各种能力，还随时培养了学生的好习惯。整个课堂始终以学生为主，老师为辅，老师的引导恰如其分，很好的组织了课堂，激发了学生，把时间和空间还给了学生，体现了教育教学的新理念，传播了数学思想和方法，是一堂意味深长的好课，值得研究。不过教学的探究是无止境的，有些地方可以探讨和提升，现在在这里不细说了，以后再个别交流。

由一个二元一次方程一个二元二次方程组成的方程组的教学方案

第一课时

一、教学目标

1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念；

2．使学生掌握由代入法解.

3.通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；

4.通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转化的辨证唯物主义思想的教育；

5.通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.

二、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.

2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.

3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一简单的说明.

4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消元.

三、教学过程

1．复习提问

（1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？

（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？

（3）解二元一次方程组有哪几种方法？

问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.

2．新课讲解

我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.

关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容.

（1）二元二次方程及二元二次方程组

观察方程，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.

二元二次方程的一般形式是：（a、b、c不同时为零）.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项.

定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：

都是二元二次方程组.

（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.

我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.

解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.

对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.

例1解方程组

分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得再代入①可以求出的值，从而得到方程组的解.

解：由②，得

把③代入①，整理，得

解这个方程，得

.

把代入③，得；

把代入③，得.

所以原方程的解是

说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生解题过程.

巩固练习：教材P571、2

四、总结、扩展

关于本节的小结，教师引导学生共同总结.

本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般采用代入消元法解.

学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程组的解题步骤：

1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知数表示的代数式.

2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程或一元一次方程.

3．解一元二次方程或一元一次方程.

4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数.

5．写出方程组的解.

五、布置作业

教材P581，2.

六、板书设计

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