平行四边形及其性质

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按照惯例，初中教师必须撰写自己的教案，撰写教案有利于教研活动的开展，初中老师经常会为写教案感到苦恼，优秀的初中教案是什么样子的？下面是小编为大家整理的“平行四边形及其性质”相关内容，仅供参考，欢迎大家阅读。

七、教学步骤

【复习提问】

图1

1．什么叫平行四边形？我们已经学习了它的哪些性质？

2．已知：如图1，，．

求证：．

3．什么叫做两条平行线间的距离？它有什么性质？

【引入新课】

在证明“平行四边形对角相等”这一性质时，是通过连结一条对角线，把它分成两个全等三角形来证明的．如果把平行四边形的两条对角两条对角线都连结起来，那么这两条对角线之间又有什么关系呢？下面来研究这个问题．

【讲解新课】

图2

（1）平行四边形的性质定理3，平行四边形的对角线互相平分．先让学生观察图形，如图2．获得对角线互相平分的感性认识，然后引导学生写出已知，求证、证明．

（2）平行四边形性质，定理的综合应用：

同学们已经掌握了平行四边形的边、角、对角线的性质，这是解决平行四边形有关问题的基础，灵活应用则是关键．

图3

例2已知：如图3的对角线、相交于点，过点与、分别相交于点、．

求证：．

证明比较容易，只须证出△≌△，或△≌△，这是学生自己可以完成的，但需注意及时应用新知识，防止思维定势．如这里可直接由定理3得出，而不再重复定理的推导过程证出．

图4

例3已知，如图4，，，．求的面积．

（1）首先引导学生按所给条件画出这个平行四边形，让学生回顾小学里学过的平行四边形面积公式：．

（2）讲清楚何为平行四边形的高．在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高．如图5中的垂线段分别是垂足所在边上的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线．作图时平行四边形的高指的是垂线段本身，而计算时用的是垂线段的长度．

（3）平行四边形面积的表示法，如图5表示为．

（4）学生自己完成解答．

图5

【总结、扩展】

1．小结

（1）性质定理及其它新知识的灵活应用，防止思维定势，方法僵化．

（2）引导学生填写下列表格（打出投影）

名称

平行四边形

示意图

定义

性

质

边

角

对角线

2．思考题：教材P144中B．4

八、布置作业

教材P141中2（4）；P142中3（2）、4、5、6．

九、板书设计

标题例2

小结（表格）

平行四边形性质3例3

十、背景知识与课外阅读

国际数学奥林匹克

简称“”，为在中学生中激励，选拔科学人才，1959年开始举办数学竞赛，首次由罗马尼亚任东道国，此后每年七举行一次，在各国提交的题目中，由每届的全委会选六道题，分两个上午完成，每次四个半小时，总分42分，各参赛国可派六名学生参加竞赛．1985年7月我国首次派代表参加第26届．中国队获金牌数为各队之首．

十、随堂练习

教材P．134中1、2

补充：1．若平行四边形一边长为，一对角线长为，则另一对角线的取值范围是_____________．

2．在中，，，，则．

3．已知是的边上任一点，则：的值为____．

A．B．C．D．不确定

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平行四边形及其性质的教学方案

教学建议

1．知识结构

2．重点和难点分析

重点：本节的重点是平行四边形的概念和性质.虽然平行四边形的概念在小学学过，但对于概念本质属性的理解并不深刻，为了加深学生对概念的理解，为以后学习特殊的平行四边形打下基础，所以教师不要忽视平行四边形的概念教学.平行四边形的性质是以后证明四边形问题的基础，也是学好全章的关键.尤其是平行四边形性质定理2的推论，推论的应用有两个条件：一个是夹在两条平行线间；一个是平行线段，具备这两个条件才能得出一个结论平行线段相等，缺少任何一个条件结论都不成立，这也是学生容易犯错的地方，教师要反复强调.

难点：本节的难点是平行四边形性质定理的灵活应用.为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论给学生讲清楚，哪几个条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示即书写格式，都要在讲练中反复强化.

3．教法建议

（1）教科书一开始就给出了平行四边形的定义，我感觉这样引入新课，不利于调动学生的积极性.自己设计了一个动画，建议老师们用它作为本节的引入，既可以激发学生的学习兴趣，又可以激活学生的思维.

（2）在生产或生活中，平行四边形是常见图形之一，教师可以多给学生提供一些平行四边形的图片，增加学生的感性认识，然后，让他们自己总结出平行四边形的定义，教师最后做总结.平行四边形是特殊的四边形，要判定一个四边形是不是平行四边形，要判断两点：首先是四边形，然后四边形的两组对边分别平行.平行四边形的定义既是平行四边形的一个判定方法，又是平行四边形的一个性质.

（3）对于教师来说讲课固然重要，但讲完课后有目的的强化训练也是不可缺少的，通过做题，帮助学生更好的理解所讲内容，也就是我们平时说的要反思回顾，总结深化.

第一课时

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生掌握平行四边形的概念，理解两条平行线间的距离的概念．

2．掌握平行四边形的性质定理1、2．

3．并能运用这些知识进行有关的证明或计算．

（二）能力训练点

1．知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来处理，渗透转化思想．

2．通过推导平行四边形的性质定理的过程，培养学生的推导、论证能力和逻辑思维能力．

（三）德育渗透点

通过要求学生书写规范，培养学生科学严谨的学风．

（四）美育渗透点

通过学习，渗透几何方法美和几何语言美及图形内在美和结构美

二、学法引导

阅读、思考、讲解、分析、转化

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：平行四边形性质定理的应用

2．教学难点：正确理解两条平行线间的距离的概念和运用性质定理2的推论；在计算或证明中综合应用本节前一章的知识．

3．疑点及解决办法：关于性质定理2的推论；两点的距离，点到直线的距离，两平行直线中间的距离的区别与联系，注重对概念的教学，使学生深刻理解上述概念，搞清它们之间的关系；平行四边形的高有关问题．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

教具（做两个全等的三角形），投影仪，投影胶片，小黑板，常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习提问，学习思考口答；教师设疑引思，学生讨论分析；师生共同总结结论，教师示范讲解，学生达标练习

第一课时

七、教学步骤

【复习提问】

1．什么叫做四边形？什么叫四边形的一组对边？

2．四边形的两组对边在位置上有几种可能？

（教师随着学生回答画出图1）

图1

【引入新课】

在四边形中，我们常见的实用价值最大的就是平行四边形，如汽车的防护链，无轨电车的击电杆都是平行四边形的形象，平行四边形有什么性质呢？这是这节课研究的主要内容（写出课题）．

【讲解新课】

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

注意：一个四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定是有“两组对边分别平行”的一个四边形．因此定义既是平行四边形的一个判定方法（定义判定法）又是平行四边形的一个性质．

2．平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示，如图1就是平行四边形，记作“”．

图1

3．平行四边形的性质

讲解平行四边形性质前必须使学生明确平行四边形从属于四边形，因此它具有四边形的一切性质（共性），同时它又是特殊的四边形，当然还有其特性（个性），下面介绍的性质就是其特性，这是一般四边形所不具有的．

平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等．

平行四边形性质定理2：平行四边形对边相等．

（教具用两个全等的三角形拼凑的平行四边形演示，由此得到证明以上两个定理的方法．如图2）

图2

如图3，，．

所以四边形是平行四边形，所以．

由此得到

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．

图3要注意：必须有两个平行，即夹两条平行线段的两条直线平行，被夹的两条线段平行，缺一不可，如图4中的几种情况都不可以推出．

图4

4．平行线间的距离

从推论可以知道，如果两条直线平行，那么从一条直线上所有各点到另一条直线的距离相等，如图5．

我们把两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做平行线的距离．

图5

注意：（1）两相交直线无距离可言．

（2）连结两点间的线段的长度叫两点间的距离，从直线外一点到一条直线的垂线段的长，叫点到直线的距离．两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离，一定要注意这些概念之间的区别与联系．

例1已知：如图1，，．

求证：（1）；；．

（2）△的顶点分别是△各边的中点（证法略），课堂提问（投影打出）．图1

①平行四边形两邻边的比为2：5，周长为28cm，则四条边长分别为___________．

②在中，若，则，．

【总结、扩展】

1．小结

本堂所讲的主要内容有

（1）平行四边形的概念，要理解这个概念的实质．

（2）平行四边形的部分性质．

①关于边的：对边平行；对边相等．

②关于角的：对角相等；邻角互补．

（3）“两平行线的距离”是一定值，不随垂线段的位置改变，即两平行线间的距离处处相等．

2．思考：如图．已知：平面，，求证：．

八、布置作业

教材P141．2（1）、（2）、（3）P142中3（1）

九、板书设计

十、随堂练习

教材P．133中1、2、3

补充1．在中（1）若，则度，度，度；（2）若，则度，度；（3）若，则度，度．

2．中，周长为，△的周长比△周长多则，．

3．中，的平分线分为长是和的两线段则的周长是___________cm．

平行四边形的性质

平行四边形的性质（2）

教学目标：

1、知识与技能：探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质，掌握平行线之间的距离的功概念。

2、过程与方法：

利用平行四边形的对边相等的性质，借助三角形全等的知识，通过合理推理，探索平行四边形的对角线互相平分的性质。

3、情感态度与价值观：

在探索平行四边形的性质活动中，培养学生的探究、合作精神，增强推理的能力。

教学重点：

史学史掌握平行四边形的对角线互相平分的性质。

教学难点：

平行四边形性质的综合运用。

教学互动设计：

一、回顾、思考

1、定义与性质——

2、利用定义与性质解题————

①、已知平行四边形的一角，可求；

②、已知平行四边形的两邻边，可求；

3、练一练

略

二、情境导课

如图4—3，□abcd的两条对角线ac、bd相交于点o。

（1）图中有哪些三角形是全等的？

（2）能设法验证你的结论吗？

想一想

由本题你又能得出平行四边形怎样的性质？

平行四边形的性质：

a

b

d

c

o

平行四边形的对角线互相平分。

三、利用定义、性质解题

1、例1如图,四边形abcd是平行四边形,

db^ad,求bc,cd及ob的长.。

分析：（1）在□abcd中，bc是的对边；

cd是的对边；

因为ad、ab已知，

所以，利用平行四边形的性质“”可求出它们；

（2）点o是，

利用平行四边形的性质“”可知ob是bd的一半。

（3）求bd的长应摆在△中用定理来计算。

2、想一想

在笔直的铁轨上,夹在两根铁轨之间的枕木是否一样长?（见p101图）

a

b

a

b

c

d

例2已知直线a∥b,过直线a上任意两点a、b分别向直线b作垂线,

交直线b于点c、点d.

(1)线段ac、bd所在的直线有怎样的位置关系?

(2)比较线段ac、bd的长短.

在例2中,线段ac的长是点a到直线b的距离;同样,线段bd的长是点b到直线b的距离,且ac=bd.

如果两条直线平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，这个距离称为平行线之间的距离..

平行线间的距离处处相等.

3、议一议

举出生活中的几个实例,反映“平行线之间的垂线段处处相等”的几何事实.

四、随堂练习

□abcd的两条对角线相交o,oa,ob,ab的长度分别为3厘米,4厘米,5厘米,求其他各边以及两条对角线的长度.

a

b

d

c

o

abdcoabdco

五、作业

p102习题4.21、2、3

经典初中教案数学教案－平行四边形及其性质

七、教学步骤

【复习提问】

图1

1．什么叫平行四边形？我们已经学习了它的哪些性质？

2．已知：如图1，，．

求证：．

3．什么叫做两条平行线间的距离？它有什么性质？

【引入新课】

在证明“平行四边形对角相等”这一性质时，是通过连结一条对角线，把它分成两个全等三角形来证明的．如果把平行四边形的两条对角两条对角线都连结起来，那么这两条对角线之间又有什么关系呢？下面来研究这个问题．

【讲解新课】

图2

（1）平行四边形的性质定理3，平行四边形的对角线互相平分．先让学生观察图形，如图2．获得对角线互相平分的感性认识，然后引导学生写出已知，求证、证明．

（2）平行四边形性质，定理的综合应用：

同学们已经掌握了平行四边形的边、角、对角线的性质，这是解决平行四边形有关问题的基础，灵活应用则是关键．

图3

例2已知：如图3的对角线、相交于点，过点与、分别相交于点、．

求证：．

证明比较容易，只须证出△≌△，或△≌△，这是学生自己可以完成的，但需注意及时应用新知识，防止思维定势．如这里可直接由定理3得出，而不再重复定理的推导过程证出．

图4

例3已知，如图4，，，．求的面积．

（1）首先引导学生按所给条件画出这个平行四边形，让学生回顾小学里学过的平行四边形面积公式：．

（2）讲清楚何为平行四边形的高．在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高．如图5中的垂线段分别是垂足所在边上的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线．作图时平行四边形的高指的是垂线段本身，而计算时用的是垂线段的长度．

（3）平行四边形面积的表示法，如图5表示为．

（4）学生自己完成解答．

图5

【总结、扩展】

1．小结

（1）性质定理及其它新知识的灵活应用，防止思维定势，方法僵化．

（2）引导学生填写下列表格（打出投影）

名称

平行四边形

示意图

定义

性

质

边

角

对角线

2．思考题：教材P144中B．4

八、布置作业

教材P141中2（4）；P142中3（2）、4、5、6．

九、板书设计

标题例2

小结（表格）

平行四边形性质3例3

十、背景知识与课外阅读

国际数学奥林匹克

简称“”，为在中学生中激励，选拔科学人才，1959年开始举办数学竞赛，首次由罗马尼亚任东道国，此后每年七举行一次，在各国提交的题目中，由每届的全委会选六道题，分两个上午完成，每次四个半小时，总分42分，各参赛国可派六名学生参加竞赛．1985年7月我国首次派代表参加第26届．中国队获金牌数为各队之首．

十、随堂练习

教材P．134中1、2

补充：1．若平行四边形一边长为，一对角线长为，则另一对角线的取值范围是_____________．

2．在中，，，，则．

3．已知是的边上任一点，则：的值为____．

A．B．C．D．不确定

平行四边形的判定

教学建议

1.重点定理

重点分析方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以定理是本节的重点．

2.难点灵活运用判定定理证明平行四边形

难点分析方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点．

3.关于平行四边形判定的教法建议

本节研究方法，重点是四个判定定理，这也是本章的重点之一．

1．教科书首先指出，用定义可以判定平行四边形．然后从平行四边形的性质定理的逆命题出发，来探索定理．因此在开始的教学引入中，要充分调动学生的情感因素，尽可能利用形式多样的多媒体课件，激发学生兴趣，使学生能很快参与进来．

2．素质教育的主旨是发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识．本章重点中前三个判定定理的顺序与它的性质定理相对应，因此在讲授新课时，建议采用实验式教学模式或探索式教学模式：在证明每个判定定理时，由学生自己去判断命题成立与否，并根据过去所学知识去验证自己的结论，比较各种方法的优劣，这样使每个学生都积极参与到教学中，自己去实验，去探索，去思考，去发现，在动手动脑中得到的结论会更深刻――同时也要注意保护学生的参与积极性．

3．方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点．因此在例题讲解时，建议采用启发式教学模式，根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发，由学生自己去思考，去分析，充分发挥学生的主体作用，对学生灵活掌握熟练应用各种判定定理会有帮助．

教学设计示例1

[教学目标]通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理,并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。

[教学过程]

一、准备题系列

1.复习旧知识：前面我们学习了平行四边形的性质，哪位同学能叙述一下。（答对者记分，答错的另点同学补充）

2.小实验：有一块平行四喧形的玻璃片，假如不小心碰碎了解部分（如图所示），同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？

（让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查。对个别差生稍加点拨，最后请学生回答画图方法）学生可能想到的画法有：⑴分别过a、c作dc、da的平行线，两平行线相交于b；⑵过c作da的平行线，再在这平行线上截取cb=da，连结ba；⑶分别以a、c为圆心，以dc、da的长为半径画弧，两弧相交于b，连结ab、cb。

还有一种一法，学生不易想到，即由平行四边形对角线的特性，引导学生得出连结ac，取ac的中点o，再连结do，并延长do至b，使bo=do，连结ab、cd。

二、引入新课

上面作出的四边形是否都是平行四边形呢？请同学们猜一猜。生答后师指出这就是今天所要不得研究的问题（板书课题）。

三、尝试议练

1.要判定我们刚才画出的四边形是不是平行四边形，应当加以证明。第一种画法，由平行四边形的定义可知，它是平行四边形（定义可作性质也可作判定）。

2.现在我们来看看第二种画法，这就是平行四边形判定定理一（翻开课本看它的文字叙述）。请想想，一组对边平行且相等的四边形究竟是不是平行四边形呢？这里已知是什么？求证是什么？请写出。

自学课本上的证明过程，看后提问：这个证明题不作辅助线行不行？为什么？（因为要证平行线，一般要证两角相等，或互补，要证两角相等，一般要证全等三角形，而这里没有三角形，要连一对角线才有三角形）

3.再看第三种画法，在两组对边分别相等的情况下是不是平行四边形？教师写出已知、求证，请两位学生上台证明，其余在课堂练习本上做。（注意考虑要不要添辅助线）

完成证明后提问哪些学生是用判定定理一落千丈证明的？哪些是用定义证明的？（解题后思考）

四、变式练习

1.再看看第四种画法，可知，已各条件是四边形的对角线互相一平分，这种情况下它是不平行四边形？

阅读课本上的判定定理之后，要求学生思考用什么方法求证最简便？（应该用判定定理一）2.变式题

⑴两组对角分别相等的四边形是不是平行四边形？为什么？（练习第1题）（口述证明，不要示书面证明）（问要不要添辅助线？）

⑵一组对边平行，一组对角相等的四边形是不是平行四边形？（教师补充）

⑶一组对边相等，一组对家相等及一组对边相等，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形？（引导学生在草稿纸上画图思考，然后回答不是平行四边形。因为边角不能证全等三角形）

⑷自学课本例1思考：此例证明中，什么地方用了平行四边形的“性质”？什么地方用“判定”定理？

观察下图：

平行四边形abcd中，＜a、＜c的平行线分别交对边于e和f，求证：ae=fc（怎样证最简便？）

五、课堂小结

1.今天这节课我们学了什么？平行四这形的判定有哪些方法？试列举之。

2.这些方法中最基本的是哪一条？

3.定理和性质有什么关系？同一个证明题中应注意什么地方用判定，什么地方性质？

数学教案－平行四边形的判定

教学建议

1.重点平行四边形的判定定理

重点分析平行四边形的判定方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本节的重点．

2.难点灵活运用判定定理证明平行四边形

难点分析平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点．

3.关于平行四边形判定的教法建议

本节研究平行四边形的判定方法，重点是四个判定定理，这也是本章的重点之一．

1．教科书首先指出，用定义可以判定平行四边形．然后从平行四边形的性质定理的逆命题出发，来探索平行四边形的判定定理．因此在开始的教学引入中，要充分调动学生的情感因素，尽可能利用形式多样的多媒体课件，激发学生兴趣，使学生能很快参与进来．

2．素质教育的主旨是发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识．本章重点中前三个判定定理的顺序与它的性质定理相对应，因此在讲授新课时，建议采用实验式教学模式或探索式教学模式：在证明每个判定定理时，由学生自己去判断命题成立与否，并根据过去所学知识去验证自己的结论，比较各种方法的优劣，这样使每个学生都积极参与到教学中，自己去实验，去探索，去思考，去发现，在动手动脑中得到的结论会更深刻――同时也要注意保护学生的参与积极性．

3．平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点．因此在例题讲解时，建议采用启发式教学模式，根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发，由学生自己去思考，去分析，充分发挥学生的主体作用，对学生灵活掌握熟练应用各种判定定理会有帮助．

教学设计示例1

[教学目标]通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理,并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。

[教学过程]

一、准备题系列

1.复习旧知识：前面我们学习了平行四边形的性质，哪位同学能叙述一下。（答对者记分，答错的另点同学补充）

2.小实验：有一块平行四喧形的玻璃片，假如不小心碰碎了解部分（如图所示），同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？

（让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查。对个别差生稍加点拨，最后请学生回答画图方法）学生可能想到的画法有：⑴分别过a、c作dc、da的平行线，两平行线相交于b；⑵过c作da的平行线，再在这平行线上截取cb=da，连结ba；⑶分别以a、c为圆心，以dc、da的长为半径画弧，两弧相交于b，连结ab、cb。

还有一种一法，学生不易想到，即由平行四边形对角线的特性，引导学生得出连结ac，取ac的中点o，再连结do，并延长do至b，使bo=do，连结ab、cd。

二、引入新课

上面作出的四边形是否都是平行四边形呢？请同学们猜一猜。生答后师指出这就是今天所要不得研究的问题“平行四边形的判定”（板书课题）。

三、尝试议练

1.要判定我们刚才画出的四边形是不是平行四边形，应当加以证明。第一种画法，由平行四边形的定义可知，它是平行四边形（定义可作性质也可作判定）。

2.现在我们来看看第二种画法，这就是平行四边形判定定理一（翻开课本看它的文字叙述）。请想想，一组对边平行且相等的四边形究竟是不是平行四边形呢？这里已知是什么？求证是什么？请写出。

自学课本上的证明过程，看后提问：这个证明题不作辅助线行不行？为什么？（因为要证平行线，一般要证两角相等，或互补，要证两角相等，一般要证全等三角形，而这里没有三角形，要连一对角线才有三角形）

3.再看第三种画法，在两组对边分别相等的情况下是不是平行四边形？教师写出已知、求证，请两位学生上台证明，其余在课堂练习本上做。（注意考虑要不要添辅助线）

完成证明后提问哪些学生是用判定定理一落千丈证明的？哪些是用定义证明的？（解题后思考）

四、变式练习

1.再看看第四种画法，可知，已各条件是四边形的对角线互相一平分，这种情况下它是不平行四边形？

阅读课本上的判定定理之后，要求学生思考用什么方法求证最简便？（应该用判定定理一）2.变式题

⑴两组对角分别相等的四边形是不是平行四边形？为什么？（练习第1题）（口述证明，不要示书面证明）（问要不要添辅助线？）

⑵一组对边平行，一组对角相等的四边形是不是平行四边形？（教师补充）

⑶一组对边相等，一组对家相等及一组对边相等，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形？（引导学生在草稿纸上画图思考，然后回答不是平行四边形。因为边角不能证全等三角形）

⑷自学课本例1思考：此例证明中，什么地方用了平行四边形的“性质”？什么地方用“判定”定理？

观察下图：

平行四边形abcd中，＜a、＜c的平行线分别交对边于e和f，求证：ae=fc（怎样证最简便？）

五、课堂小结

1.今天这节课我们学了什么？平行四这形的判定有哪些方法？试列举之。

2.这些平行四边形的判定方法中最基本的是哪一条？

3.平行四边形的判定定理和性质有什么关系？同一个证明题中应注意什么地方用判定，什么地方性质？

平行四边形的判定的教学方案

七、教学步骤

【引入新课】

由的定义和性质易得且，即“平行且相等”记为，反过来当时，四边形必为平行四边形，这就是今天要讲的判定定理4（写出课题）．

【讲解新课】

（1）平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

引导学生结合图1，把已知，求证具体化．

分析：因为已知，所以只须证出，为此只需连对角线，通过全等三角形来实现．

证明：（由学生口述）

师：我们已经全面的掌握了平行四边形的判定方法，共有几个方法？哪几个？由学生归纳后用投影仪打出．

（2）平行四边形判定等知识的综合应用

教师指出：平行四边形的有关知识同学们都已掌握，但如何灵活、综合、有效地用来解决有关问题是非常重要的．因此，对典型例题的分析、论证、方法技巧的探讨运用都必须引起重视．

例2已知：，分别是、的中点，结合图1，求证：．

分析：证明两条线段相等，从它们在图形中的位置看，可证明两个三角形全等或证明四边形为平行四边形（显然后者较前者简单）

证明：（略）．

此例题综合运用了平行四边形的性质和判定，证题思路是：先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用基础知识较多，因此应使学生获得清晰的证题思路．

例3画，使，，

（按课本讲）

【总结、扩展】

1．小结

平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质来解决某些问题，例如求角的度数，线段长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用四边形的性质来解决有关问题．

2．思考题：

已知：如图1，在△中，，．

求证：

八、布置作业

教材P143中11、12，P144中13、14

九、板书设计

十、背景知识与课外阅读

美妙的莫雷定理

已知：如图1，和，和，和分别为△的、、的三等分线．

求证：∠△是正三角形．

这是英国数学家富兰克·莫雷在1899年提出的，不管从已知条件和结论看，都十分对称美妙，数学家柯克特称它是初等几何最惊人的定理之一．

十一、随堂练习

教材P140中1、2

补充：判断

（1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形（）

（2）一组对角平行，一组对角相等的四边形是平行四边形（）

（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形（）

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（）

平行四边形的判定教案模板

教学建议

1.重点定理

重点分析方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以定理是本节的重点．

2.难点灵活运用判定定理证明平行四边形

难点分析方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点．

3.关于平行四边形判定的教法建议

本节研究方法，重点是四个判定定理，这也是本章的重点之一．

1．教科书首先指出，用定义可以判定平行四边形．然后从平行四边形的性质定理的逆命题出发，来探索定理．因此在开始的教学引入中，要充分调动学生的情感因素，尽可能利用形式多样的多媒体课件，激发学生兴趣，使学生能很快参与进来．

2．素质教育的主旨是发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识．本章重点中前三个判定定理的顺序与它的性质定理相对应，因此在讲授新课时，建议采用实验式教学模式或探索式教学模式：在证明每个判定定理时，由学生自己去判断命题成立与否，并根据过去所学知识去验证自己的结论，比较各种方法的优劣，这样使每个学生都积极参与到教学中，自己去实验，去探索，去思考，去发现，在动手动脑中得到的结论会更深刻――同时也要注意保护学生的参与积极性．

3．方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点．因此在例题讲解时，建议采用启发式教学模式，根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发，由学生自己去思考，去分析，充分发挥学生的主体作用，对学生灵活掌握熟练应用各种判定定理会有帮助．

教学设计示例1

[教学目标]通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理,并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。

[教学过程]

一、准备题系列

1.复习旧知识：前面我们学习了平行四边形的性质，哪位同学能叙述一下。（答对者记分，答错的另点同学补充）

2.小实验：有一块平行四喧形的玻璃片，假如不小心碰碎了解部分（如图所示），同学们想想看，有没有办法把原来的平行四边形重新画出来？

（让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查。对个别差生稍加点拨，最后请学生回答画图方法）学生可能想到的画法有：⑴分别过a、c作dc、da的平行线，两平行线相交于b；⑵过c作da的平行线，再在这平行线上截取cb=da，连结ba；⑶分别以a、c为圆心，以dc、da的长为半径画弧，两弧相交于b，连结ab、cb。

还有一种一法，学生不易想到，即由平行四边形对角线的特性，引导学生得出连结ac，取ac的中点o，再连结do，并延长do至b，使bo=do，连结ab、cd。

二、引入新课

上面作出的四边形是否都是平行四边形呢？请同学们猜一猜。生答后师指出这就是今天所要不得研究的问题（板书课题）。

三、尝试议练

1.要判定我们刚才画出的四边形是不是平行四边形，应当加以证明。第一种画法，由平行四边形的定义可知，它是平行四边形（定义可作性质也可作判定）。

2.现在我们来看看第二种画法，这就是平行四边形判定定理一（翻开课本看它的文字叙述）。请想想，一组对边平行且相等的四边形究竟是不是平行四边形呢？这里已知是什么？求证是什么？请写出。

自学课本上的证明过程，看后提问：这个证明题不作辅助线行不行？为什么？（因为要证平行线，一般要证两角相等，或互补，要证两角相等，一般要证全等三角形，而这里没有三角形，要连一对角线才有三角形）

3.再看第三种画法，在两组对边分别相等的情况下是不是平行四边形？教师写出已知、求证，请两位学生上台证明，其余在课堂练习本上做。（注意考虑要不要添辅助线）

完成证明后提问哪些学生是用判定定理一落千丈证明的？哪些是用定义证明的？（解题后思考）

四、变式练习

1.再看看第四种画法，可知，已各条件是四边形的对角线互相一平分，这种情况下它是不平行四边形？

阅读课本上的判定定理之后，要求学生思考用什么方法求证最简便？（应该用判定定理一）2.变式题

⑴两组对角分别相等的四边形是不是平行四边形？为什么？（练习第1题）（口述证明，不要示书面证明）（问要不要添辅助线？）

⑵一组对边平行，一组对角相等的四边形是不是平行四边形？（教师补充）

⑶一组对边相等，一组对家相等及一组对边相等，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形？（引导学生在草稿纸上画图思考，然后回答不是平行四边形。因为边角不能证全等三角形）

⑷自学课本例1思考：此例证明中，什么地方用了平行四边形的“性质”？什么地方用“判定”定理？

观察下图：

平行四边形abcd中，＜a、＜c的平行线分别交对边于e和f，求证：ae=fc（怎样证最简便？）

五、课堂小结

1.今天这节课我们学了什么？平行四这形的判定有哪些方法？试列举之。

2.这些方法中最基本的是哪一条？

3.定理和性质有什么关系？同一个证明题中应注意什么地方用判定，什么地方性质？

数学教案－平行四边形的判定的教学方案

（第一课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．掌握平行四边形的判定定理1、2、3、4，并能与性质定理、定义综合应用．

2．使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系．

3．会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是哪几个定理．

（二）能力训练点

1．通过“探索式试明法”开拓学生思路，发展学生思维能力．

2．通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力．

（三）德育渗透点

通过一题多解激发学生的学习兴趣．

（四）美育渗透点

通过学习，体会几何证明的方法美．

二、学法引导

构造逆命题，分析探索证明，启发讲解．

三、重点难点疑点及解决办法

1．教学重点：平行四边形的判定定理1、2、3的应用．

2．教学难点：综合应用判定定理和性质定理．

3．疑点及解决办法：在综合应用判定定理及性质定理时，在什么条件下用判定定理，在什么条件下用性质定理（强调在求证平行四边形时用判定定理，在已知平行四边形时用性质定理）．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影仪，投影胶片，常用画图工具

六、师生互动活动设计

复习引入，构造逆命题，画图分析，讨论证法，巩固应用．

七、教学步骤

【复习提问】

1．平行四边形有什么性质？学生回答教师板书

2．将以上性质定理分别用命题的形式叙述出来．

【引入新课】

用投影仪打出上述命题的逆命题．

上述第一个逆命题显然是正确的，因为它就是平行四边形的定义，所以它也是我们判定一个四边形是否为平行四边形的基本方法（定义法）．

那么其它逆命题是否正确呢？如果正确就可得到另外的判定方法（写出命题）．

【讲解新课】

1．平行四边形的判定

我们知道，平行四边形的对角相等，反过来对角相等的四边形是平行四边形吗？

如图1，在四边形中，如果，，那么．

∴．

同理．

∴四边形是平行四边形，因此得到：

平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

类似地，我们还会想到，两组对边相等的四边形是平行四边形吗？

如图1，如果，，连结，则△≌△得到，，那么，，则四边形是平行四边形．

由此得到：

平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（判定定理1、2的证明采用了探索式的证明方法，即根据题设和已有知识，经过推理得出结论，然后总结成定理）．

我们再来证明下面定理

平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

（该定理采用规范证法，如图1由学生自己证明，教师可引导学生用前面三种依据分别证明，借以巩固所学知识）

2．判定定理与性质定理的区别与联系

判定定理1、2、3分别是相应性质定理的逆定理，彼此之间分别为互逆定理，在使用时不得混淆．

例1已知：是对角线上两点，并且，如右图．

求证：四边形是平行四边形．

分析：因为四边形是平行四边形，所以对边平行且相等，由已知易证出两组三角形全等，用定义或判定定理1、2都可以，还可以连结交于利用判定定理3简单．

证明：（由学生用各种方法证明，可以巩固所学过的知识和作辅助线的方法，并比较各种证法的优劣，从而获得证题的技巧）．

【总结、扩展】

1．小结：（投影打出）

（1）本堂课所讲的判定定理有

（2）在今后解决平行四边形问题时要尽可能地运用平行四边形的相应定理，不要总是依赖于全等三角形，否则不利于掌握新的知识．

2．思考题

教材P144B．3

八、布置作业

教材P142中7；P143中8、9、10

九、板书设计

十、随堂练习

教材P138中1、2

补充

1．下列给出了四边形中、、的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（）

A．1：2：3：4B．2：2：3：3

C．2：3：2：3D．2：3：3：2

2．在下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）

A．，B．，

C．，D．，

3．已知：在中，点、在对角线上，且．

求证：四边形是平行四边形．

平行四边形的判定初中教案精选

（第一课时）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．掌握平行四边形的判定定理1、2、3、4，并能与性质定理、定义综合应用．

2．使学生理解判定定理与性质定理的区别与联系．

3．会根据简单的条件画出平行四边形，并说明画图的依据是哪几个定理．

（二）能力训练点

1．通过“探索式试明法”开拓学生思路，发展学生思维能力．

2．通过教学，使学生逐步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，进一步提高学生分析问题，解决问题的能力．

（三）德育渗透点

通过一题多解激发学生的学习兴趣．

（四）美育渗透点

通过学习，体会几何证明的方法美．

二、学法引导

构造逆命题，分析探索证明，启发讲解．

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：平行四边形的判定定理1、2、3的应用．

2．教学难点：综合应用判定定理和性质定理．

3．疑点及解决办法：在综合应用判定定理及性质定理时，在什么条件下用判定定理，在什么条件下用性质定理（强调在求证平行四边形时用判定定理，在已知平行四边形时用性质定理）．

四、课时安排

2课时

五、教具学具准备

投影仪，投影胶片，常用画图工具

六、师生互动活动设计

复习引入，构造逆命题，画图分析，讨论证法，巩固应用．

七、教学步骤

【复习提问】

1．平行四边形有什么性质？学生回答教师板书

2．将以上性质定理分别用命题的形式叙述出来．

【引入新课】

用投影仪打出上述命题的逆命题．

上述第一个逆命题显然是正确的，因为它就是平行四边形的定义，所以它也是我们判定一个四边形是否为平行四边形的基本方法（定义法）．

那么其它逆命题是否正确呢？如果正确就可得到另外的判定方法（写出命题）．

【讲解新课】

1．平行四边形的判定

我们知道，平行四边形的对角相等，反过来对角相等的四边形是平行四边形吗？

如图1，在四边形中，如果，，那么．

∴．

同理．

∴四边形是平行四边形，因此得到：

平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

类似地，我们还会想到，两组对边相等的四边形是平行四边形吗？

如图1，如果，，连结，则△≌△得到，，那么，，则四边形是平行四边形．

由此得到：

平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

（判定定理1、2的证明采用了探索式的证明方法，即根据题设和已有知识，经过推理得出结论，然后总结成定理）．

我们再来证明下面定理

平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

（该定理采用规范证法，如图1由学生自己证明，教师可引导学生用前面三种依据分别证明，借以巩固所学知识）

2．判定定理与性质定理的区别与联系

判定定理1、2、3分别是相应性质定理的逆定理，彼此之间分别为互逆定理，在使用时不得混淆．

例1已知：是对角线上两点，并且，如右图．

求证：四边形是平行四边形．

分析：因为四边形是平行四边形，所以对边平行且相等，由已知易证出两组三角形全等，用定义或判定定理1、2都可以，还可以连结交于利用判定定理3简单．

证明：（由学生用各种方法证明，可以巩固所学过的知识和作辅助线的方法，并比较各种证法的优劣，从而获得证题的技巧）．

【总结、扩展】

1．小结：（投影打出）

（1）本堂课所讲的判定定理有

（2）在今后解决平行四边形问题时要尽可能地运用平行四边形的相应定理，不要总是依赖于全等三角形，否则不利于掌握新的知识．

2．思考题

教材P144B．3

八、布置作业

教材P142中7；P143中8、9、10

九、板书设计

十、随堂练习

教材P138中1、2

补充

1．下列给出了四边形中、、的度数之比，其中能判定四边形是平行四边形的是（）

A．1：2：3：4B．2：2：3：3

C．2：3：2：3D．2：3：3：2

2．在下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）

A．，B．，

C．，D．，

3．已知：在中，点、在对角线上，且．

求证：四边形是平行四边形．