数学教案－正方形

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按照学校要求，初中老师都需要用到教案，编写教案能够提高自己的教学研究能力，通过教案可以帮助自己分析教学的重点，初中教案该怎么写？为了解决大家烦恼，小编特地收集整理了数学教案－正方形，供大家参考。

教学引入

师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：

场景一：正方形折叠演示

师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

[学生活动：各自测量。]

鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。

讲授新课

找一两个学生表述其结论，表述是要注意纠正其语言的规范性。

动画演示：

场景二：正方形的性质

师：这些性质里那些是矩形的性质？

[学生活动：寻找矩形性质。]

动画演示：

场景三：矩形的性质

师：同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。

[学生活动；寻找菱形性质。]

动画演示：

场景四：菱形的性质

师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

及时提出问题，引导学生进行思考。

师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义？怎么样给正方形下一个准确的定义？

[学生活动：积极思考，有同学做跃跃欲试状。]

师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应鼓励，把以下三种板书：

“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

[学生活动：讨论这三个定义正确不正确？三个定义之间有什么共同和不同的地方？这出教材中采用的是第三种定义方式。]

师：根据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。

动画演示：

场景五：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

场景六：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的性质关系

师：当然平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系还可以用下图（图1）表示：

图1

师：请同学们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系以及平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的性质关系整理在笔记本上。

例题讲解

例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE

分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.

证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC∴BG=CE

图2

说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。

巩固练习

巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。

讲解新课

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形？

生：证一组邻边相等。

师：怎么判定一个菱形是正方形？

生：证有一个角是直角。

师：怎么判定一个平行四边形是正方形？

生：根据定义，证有一组邻边相等且有一个角是直角。

师：那么，刚才的结论如果用图来表示，是不是如图2所示？

师：图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全？

[学生活动：积极思考，部分学生疑惑不解。]

师点取上等学生回答问题，根据回答得图4。

生恍然大悟。

学生思路得到启发，中上等及上等学生意犹未尽，鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其举出简单示例。

就势跟进，要求学生思考，给定四边形，有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形？要求给出简单图例，并说出相应证明思路。

为进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题：

(1)对角线相等的菱形是正方形吗？

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

(3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？若不是，还需增加什么条件？

(4)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”

(5)四个角都相等的四边形是正方形吗？

小结：证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示；遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静，学会去分析。

动画演示：

场景七：正方形的判定

例题讲解

例2如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

求证：AD=AM。

分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延长CF、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。

证明：略。

说明：将此题中的中点E、F进行变化：E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。

课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。

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数学教案－正方形相关教学方案

教学建议

根据本节内容的特点和与平行四边形的关系，建议教师在教学过程中注意以下问题：

1.正方形的知识，学生在小学时接触过一些，可由小学学过的知识作为引入。

2.正方形在现实中的实例较多，在讲解正方形的性质和判定时，教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定，既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识．

3.如果条件允许，教师在讲授这节内容前，可指导学生按照教材145页图4-30所示，制作一个平行四边形作为教学过程中的道具，既增强了学生的动手能力和参与感，有在教学中有切实的体例，使学生对知识的掌握更轻松些．

4.在对性质的讲解中，教师可将学生分成若干组，每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量，然后在组内进行整理、归纳．

5.由于正方形的性质定理证明比较简单，教师可引导学生分析思路，由学生来进行具体的证明．

6.在正方形性质应用讲解中，为便于理解掌握，教师要注意题目的层次安排。

教学引入

师：前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

师：现在我们来学习一种新的特殊的平行四边形----正方形。

讲授新课

师：正方形我们在小学就已经接触过，首先我们来看正方形的定义。

动画演示：

场景一：正方形定义

师：正方形的定义我们可以分成俩部分来理解：

（1）有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

师：根据这两部分我们会想起什么？

[学生活动：积极思考，回想学过定义，大部分学生会想起矩形和菱形，小声议论甚至抢答。]

生：有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）说的是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，（2）说的是菱形。

生：正方形既是矩形又是菱形。

生：正方形还是平行四边形。

师：大家想得都不错。正方形既是矩形又是菱形，根据定义，他还是平行四边形。

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。

动画演示：

场景二：正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系

师：正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示：

图1

师：请同学们回想一下，我们在学习矩形、菱形时，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

师：那么，根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系，正方形应具有什么样的性质？

[学生活动：回忆矩形、菱形的性质，并逐个验证在正方形上。]

师在学生活动时要注意观察学生的情况，有疑惑时要注意及时反馈。

师：我们来归纳总结正方形的性质。

动画演示：

场景三：矩形的性质

场景四：菱形的性质

¿场景五：正方形的性质

例题讲解

例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE

分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.

证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC∴BG=CE

图2

说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。

巩固练习

巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。

讲解新课

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形？

生：证一组邻边相等。

师：怎么判定一个菱形是正方形？

生：证有一个角是直角。

师：怎么判定一个平行四边形是正方形？

生：根据定义，证有一组邻边相等且有一个角是直角。

师：那么，刚才的结论如果用图来表示，是不是如图3所示？

师：图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全？

[学生活动：积极思考，部分学生疑惑不解。]

师点取上等学生回答问题，根据回答得图4。

生恍然大悟。

学生思路得到启发，中上等及上等学生意犹未尽，鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其举出简单示例。

就势跟进，要求学生思考，给定四边形，有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形？要求给出简单图例，并说出相应证明思路。

为进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题：

(3)对角线相等的菱形是正方形吗？

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

(5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？若不是，还需增加什么条件？

(6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”

(7)四个角都相等的四边形是正方形吗？

小结：证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示；遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静，学会去分析。

动画演示：

场景六：正方形的判定

F例题讲解

例2如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

求证：AD=AM。

分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延长CF、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF？由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。

证明：略。

说明：将此题中的中点E、F进行变化：E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。

课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。

正方形

教学引入

师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：

场景一：正方形折叠演示

师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

[学生活动：各自测量。]

鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。

讲授新课

找一两个学生表述其结论，表述是要注意纠正其语言的规范性。

动画演示：

场景二：正方形的性质

师：这些性质里那些是矩形的性质？

[学生活动：寻找矩形性质。]

动画演示：

场景三：矩形的性质

师：同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。

[学生活动；寻找菱形性质。]

动画演示：

场景四：菱形的性质

师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

及时提出问题，引导学生进行思考。

师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义？怎么样给正方形下一个准确的定义？

[学生活动：积极思考，有同学做跃跃欲试状。]

师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应鼓励，把以下三种板书：

“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

[学生活动：讨论这三个定义正确不正确？三个定义之间有什么共同和不同的地方？这出教材中采用的是第三种定义方式。]

师：根据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。

动画演示：

场景五：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

场景六：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的性质关系

师：当然平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系还可以用下图（图1）表示：

图1

师：请同学们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系以及平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的性质关系整理在笔记本上。

例题讲解

例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE

分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.

证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC∴BG=CE

图2

说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。

巩固练习

巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。

讲解新课

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形？

生：证一组邻边相等。

师：怎么判定一个菱形是正方形？

生：证有一个角是直角。

师：怎么判定一个平行四边形是正方形？

生：根据定义，证有一组邻边相等且有一个角是直角。

师：那么，刚才的结论如果用图来表示，是不是如图2所示？

师：图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全？

[学生活动：积极思考，部分学生疑惑不解。]

师点取上等学生回答问题，根据回答得图4。

生恍然大悟。

学生思路得到启发，中上等及上等学生意犹未尽，鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其举出简单示例。

就势跟进，要求学生思考，给定四边形，有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形？要求给出简单图例，并说出相应证明思路。

为进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题：

(1)对角线相等的菱形是正方形吗？

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

(3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？若不是，还需增加什么条件？

(4)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”

(5)四个角都相等的四边形是正方形吗？

小结：证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示；遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静，学会去分析。

动画演示：

场景七：正方形的判定

例题讲解

例2如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

求证：AD=AM。

分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延长CF、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。

证明：略。

说明：将此题中的中点E、F进行变化：E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。

课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。

经典初中教案正方形

教学建议

根据本节内容的特点和与平行四边形的关系，建议教师在教学过程中注意以下问题：

1.正方形的知识，学生在小学时接触过一些，可由小学学过的知识作为引入。

2.正方形在现实中的实例较多，在讲解正方形的性质和判定时，教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定，既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识．

3.如果条件允许，教师在讲授这节内容前，可指导学生按照教材145页图4-30所示，制作一个平行四边形作为教学过程中的道具，既增强了学生的动手能力和参与感，有在教学中有切实的体例，使学生对知识的掌握更轻松些．

4.在对性质的讲解中，教师可将学生分成若干组，每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量，然后在组内进行整理、归纳．

5.由于正方形的性质定理证明比较简单，教师可引导学生分析思路，由学生来进行具体的证明．

6.在正方形性质应用讲解中，为便于理解掌握，教师要注意题目的层次安排。

教学引入

师：前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

师：现在我们来学习一种新的特殊的平行四边形----正方形。

讲授新课

师：正方形我们在小学就已经接触过，首先我们来看正方形的定义。

动画演示：

场景一：正方形定义

师：正方形的定义我们可以分成俩部分来理解：

（1）有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

师：根据这两部分我们会想起什么？

[学生活动：积极思考，回想学过定义，大部分学生会想起矩形和菱形，小声议论甚至抢答。]

生：有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）说的是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，（2）说的是菱形。

生：正方形既是矩形又是菱形。

生：正方形还是平行四边形。

师：大家想得都不错。正方形既是矩形又是菱形，根据定义，他还是平行四边形。

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。

动画演示：

场景二：正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系

师：正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示：

图1

师：请同学们回想一下，我们在学习矩形、菱形时，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

师：那么，根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系，正方形应具有什么样的性质？

[学生活动：回忆矩形、菱形的性质，并逐个验证在正方形上。]

师在学生活动时要注意观察学生的情况，有疑惑时要注意及时反馈。

师：我们来归纳总结正方形的性质。

动画演示：

场景三：矩形的性质

场景四：菱形的性质

¿场景五：正方形的性质

例题讲解

例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE

分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.

证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC∴BG=CE

图2

说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。

巩固练习

巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。

讲解新课

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形？

生：证一组邻边相等。

师：怎么判定一个菱形是正方形？

生：证有一个角是直角。

师：怎么判定一个平行四边形是正方形？

生：根据定义，证有一组邻边相等且有一个角是直角。

师：那么，刚才的结论如果用图来表示，是不是如图3所示？

师：图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全？

[学生活动：积极思考，部分学生疑惑不解。]

师点取上等学生回答问题，根据回答得图4。

生恍然大悟。

学生思路得到启发，中上等及上等学生意犹未尽，鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其举出简单示例。

就势跟进，要求学生思考，给定四边形，有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形？要求给出简单图例，并说出相应证明思路。

为进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题：

(3)对角线相等的菱形是正方形吗？

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

(5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？若不是，还需增加什么条件？

(6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”

(7)四个角都相等的四边形是正方形吗？

小结：证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示；遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静，学会去分析。

动画演示：

场景六：正方形的判定

F例题讲解

例2如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

求证：AD=AM。

分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延长CF、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF？由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。

证明：略。

说明：将此题中的中点E、F进行变化：E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。

课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。

正方形的教学方案

教学建议

根据本节内容的特点和与平行四边形的关系，建议教师在教学过程中注意以下问题：

1.正方形的知识，学生在小学时接触过一些，可由小学学过的知识作为引入。

2.正方形在现实中的实例较多，在讲解正方形的性质和判定时，教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定，既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识．

3.如果条件允许，教师在讲授这节内容前，可指导学生按照教材145页图4-30所示，制作一个平行四边形作为教学过程中的道具，既增强了学生的动手能力和参与感，有在教学中有切实的体例，使学生对知识的掌握更轻松些．

4.在对性质的讲解中，教师可将学生分成若干组，每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量，然后在组内进行整理、归纳．

5.由于正方形的性质定理证明比较简单，教师可引导学生分析思路，由学生来进行具体的证明．

6.在正方形性质应用讲解中，为便于理解掌握，教师要注意题目的层次安排。

教学引入

师：前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

师：现在我们来学习一种新的特殊的平行四边形----正方形。

讲授新课

师：正方形我们在小学就已经接触过，首先我们来看正方形的定义。

动画演示：

场景一：正方形定义

师：正方形的定义我们可以分成俩部分来理解：

（1）有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

师：根据这两部分我们会想起什么？

[学生活动：积极思考，回想学过定义，大部分学生会想起矩形和菱形，小声议论甚至抢答。]

生：有一个角是直角的平行四边形是矩形，（1）说的是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，（2）说的是菱形。

生：正方形既是矩形又是菱形。

生：正方形还是平行四边形。

师：大家想得都不错。正方形既是矩形又是菱形，根据定义，他还是平行四边形。

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形。

动画演示：

场景二：正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系

师：正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示：

图1

师：请同学们回想一下，我们在学习矩形、菱形时，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。

师：那么，根据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系，正方形应具有什么样的性质？

[学生活动：回忆矩形、菱形的性质，并逐个验证在正方形上。]

师在学生活动时要注意观察学生的情况，有疑惑时要注意及时反馈。

师：我们来归纳总结正方形的性质。

动画演示：

场景三：矩形的性质

场景四：菱形的性质

¿场景五：正方形的性质

例题讲解

例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE

分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.

证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC∴BG=CE

图2

说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。

巩固练习

巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。

讲解新课

师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形？

生：证一组邻边相等。

师：怎么判定一个菱形是正方形？

生：证有一个角是直角。

师：怎么判定一个平行四边形是正方形？

生：根据定义，证有一组邻边相等且有一个角是直角。

师：那么，刚才的结论如果用图来表示，是不是如图3所示？

师：图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全？

[学生活动：积极思考，部分学生疑惑不解。]

师点取上等学生回答问题，根据回答得图4。

生恍然大悟。

学生思路得到启发，中上等及上等学生意犹未尽，鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其举出简单示例。

就势跟进，要求学生思考，给定四边形，有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形？要求给出简单图例，并说出相应证明思路。

为进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题：

(3)对角线相等的菱形是正方形吗？

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

(5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？若不是，还需增加什么条件？

(6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”

(7)四个角都相等的四边形是正方形吗？

小结：证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示；遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静，学会去分析。

动画演示：

场景六：正方形的判定

F例题讲解

例2如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

求证：AD=AM。

分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延长CF、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF？由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。

证明：略。

说明：将此题中的中点E、F进行变化：E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。

课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。

数学教案－数学

数怎么不够用了

年级：初一执笔：徐城审核：授课时间：2004/9/16

2、掌握有理数的两种分类方法；

3、熟练地将有理数按一定的要求分类。

一、前提测评：

1、请同学们完成下列计算：（注意观察图形所表达的含义）

加10分扣10分得0分

集体举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣10分，不回答得0分，每个队的基本分均分为0分，四个代表答题情况如下表：

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

总得分

第一队

得分

第二队

得分

第三队

得分

第四队

得分

㈡自我评价

1、小结

1、对于比0分低的得分，我们引进“—”号。例：比0低10分表示为

“－10”。

对于比0分高的得分，我们引进“+”号。例：比0高10分表示为“+10”。

2、我们常常用负数：正数表示相反意义的量。

2、概念：

1、正数：像+5、1.2、…这样的数，举例如：_________________________（正数前“+”号可写可不写）。

2、负数：在正数前面加上“—”号的数，举例如：_________________（负数前“—”号不可以省略）。

3、0既不是正数也不是负数。

3、练习：把下列各数中的正数和负数分别填在表示正数集合和负数集合里。

+684+9.15—120—1—0.01

正数集合负数集合

4、数的大小：所有的正数都大于0，所有的负数都小于0。

5、练习，比较大小：0—50+0.0010—100（填＞、＜＝。

6、正负数的意义，表示相反意义的量，例：如果零下5℃记作“+5℃”，那么零下5℃记作“—5℃”。

练习：（1）某人转动方向盘，如果+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈表示为。

（2）某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克，记作+0.02克，那么—0.03克表示______________。

（3）在4个不同时刻，对同一水池中的水位进行测量，记录如下：

上升3厘米下降6厘米下降1厘米不升不降

7、数的分类：正数正整数如：1、2、3…

（1）有理数如：、0.1、…

0

负数如：—1、—2、—3…

如：—、—0.1、—…

正整数如：1、2、3…

整数

（2）有理数如：—1、—2、—3…

分数如：1、0.1、+

如：—0.3、—、—4…

练习：把下列各数填在相应的大括号里：

2，—3.5，0，+32，—0.8，—3，—10，25%，+，0.0001

①正整数集合｛…｝；

②负整数集合｛…｝；

③正分数集合｛…｝；

④负分数集合｛…｝；

⑤有理数集合｛…｝。

8、小结：①有理数分数类；

②负数的意义。

一、判断：

（1）0既是正数，也是负数。（）

（2）一个数不是正数就是负数。（）

（3）0是最小的正整数。（）

（4）一个数不是正数就是负数或零。（）

（5）0是整数但不是正数。（）

（6）正数和负数统称有理数。（）

二、填空：

（1）高于海平面1250米的地方高度表示为海拔+1250米，低于海平面37米的地方高度表示为海拔米。

（2）如果+20%表示增加20%，那么—6%表示。

（3）某日傍晚，黄山的气温由中午的零上2℃下降了7℃，这天傍晚黄山的气温是_____℃，这天傍晚黄山的气温是_____℃。

（4）_____统称整数，_____统称分数。整数和分数统称_____。

（5）比较大小0___—5—___0100___25+0.101___0

（6）将下列各数填在相应的集合内：

—135.20—7+—0.12π35%880+20

整数集合｛…｝；分数集合｛…｝；

（2）小明和小华同时从A地出发，如果小明向东走36米记为+36米，则小华向西走记作_____米，这时两人相距_____米。

（3）产量增加-150千克是什么意思？

数学教案－

课题函数（二）

一、教学目的

1．使学生理解自变量的取值范围和函数值的意义。

2．使学生理解求自变量的取值范围的两个依据。

3．使学生掌握关于解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数的自变量取值范围的求法，并会求其函数值。

4．通过求函数中自变量的取值范围使学生进一步理解函数概念。

二、教学重点、难点

重点：函数自变量取值的求法。

难点：函灵敏处变量取值的确定。

三、教学过程

复习提问

1．函数的定义是什么？函数概念包含哪三个方面的内容？

2．什么叫分式？当x取什么数时，分式x+2/2x+3有意义？

（答：分母里含有字母的有理式叫分式，分母≠0，即x≠3/2。）

3．什么叫二次根式？使二次根式成立的条件是什么？

（答：根指数是2的根式叫二次根式，使二次根式成立的条件是被开方数≥0。）

4．举出一个函数的实例，并指出式中的变量与常量、自变量与函数。

新课

1．结合同学举出的实例说明解析法的意义：用教学式子表示函数方法叫解析法。并指出，函数表示法除了解析法外，还有图象法和列表法。

2．结合同学举出的实例，说明函数的自变量取值范围有时要受到限制这就可以引出自变量取值范围的意义，并说明求自变量的取值范围的两个依据是：

（1）自变量取值范围是使函数解析式（即是函数表达式）有意义。

（2）自变量取值范围要使实际问题有意义。

3．讲解P93中例2。并指出例2四个小题代表三类题型：（1），（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；（3）题给出的是只含有一个自变量的分式；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式。

推广与联想：请同学按上述三类题型自编3个题，并写出解答，同桌互对答案，老师评讲。

4．讲解P93中例3。结合例3引出函数值的意义。并指出两点：

（1）例3中的4个小题归纳起来仍是三类题型。

（2）求函数值的问题实际是求代数式值的问题。

补充例题

求下列函数当x=3时的函数值：

（1）y=6x-4；（2）y=--5x2；（3）y=3/7x-1；（4）。

（答：（1）y=14；（2）y=-45；（3）y=3/20；（4）y=0。）

小结

1．解析法的意义：用数学式子表示函数的方法叫解析法。

2．求函数自变量取值范围的两个方法（依据）：

（1）要使函数的解析式有意义。

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。

3．求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相庆原函数值。

练习：P94中1，2，3。

作业：P95~P96中A组3，4，5，6，7。B组1，2。

四、教学注意问题

1．注意渗透与训练学生的归纳思维。比如例2、例3中各是4个小题，对每一个例题均可归纳为三类题型。而对于例2、例3这两道例题，虽然要求各异，但题目结构仍是三类题型：整式、分式、二次根式。

2．注意训练与培养学生的优质联想能力。要求学生仿照例题自编题目是有效手段。

3．注意培养学生对于“具体问题要具体分析”的良好学习方法。比如对于有实际意义来确定，由于实际问题千差万别，所以我们就要具体分析，灵活处置。

数学教案－角

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

角的定义既是本节教学的重点，也是难点．本节知识建立在射线、线段等相关知识的基础上，同时也是进一步学习角的度量、比较、画法，以及深入研究平面几何图形的基础．

1．角的定义是由实际生活中具有角的形象的物体抽象出来的，理解角的定义一定要明确角的边为射线，角为平面内的点集．角也可认为是一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一个位置而形成的图形，这里的线动成角体现了运动变化的思想．

2．角的表示法，小学没有介绍，这里首先说明用三个字母记角．对此，要特别强调表示顶点的字母一定要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪一个角．在讲往数字或希腊字母来记角时，可再让学生作些练习，说出所记的角怎样用三个字母来表示．

三、教法建议

1．本节教学可以在简单复习直线、射线、线段的基础上引入，将问题的研究方向转向这些最基本的几何图形与点结合以及互相结合能够组成什么图形．可以尝试让同学们摆火柴，重点应在具有角的形象的图形，然后可以在列举、观察、分析学习、生活、生产中同样具有角的形象的物体的基础上，让同学们尝试给出角的定义．

2．关于角的另一种定义，也可以通过实物演示的方式得出，冽如一手扯住线的一端，另一手拉住线的另一端旋转．重点应是对运动变化的观点的渗透．平角和周角也可以让学生给出，真正理解“平”与“直”的含义．

3．教学过程中可以给出一些判别给定图形是不是角的练习，帮助学生理解角的相关概念．同时将角的知识与学生的生活实践紧密的结合起来．可以充分发挥多媒体教学的优势，结合图片、动画、课件辅助教学．

教学设计示例

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．理解角、周角、平角及角的顶点、角的边等概念．

2．掌握角的表示方法．

（二）能力训练点

1．通过由学生观察实物图形抽象出角的定义，培养学生的抽象概括能力．通过学生独立阅读总结角的几种表示方法，培养学生的阅读理解能力．

2．通过角的两个定义的得出，培养学生多角度分析考虑问题的能力．

（三）德育渗透点

1．通过日常生活中具体的角的形象概括出角的定义，说明几何来源于生活，又反过来为生产、生活服务．鼓励学生努力学好文化知识，为社会做贡献．

2．通过旋转观点定义角，说明事物是不断变化和相互转化的，我们不能用一成不变的观点去看待某些事物．

（四）美育渗透点

通过学习角使学生体会几何图形的对称美和动态美，培养学生的审美意识，提高学生对几何的学习兴趣．

二、学法引导

1．教师教法：引导发现，尝试指导与阅读理解相结合．

2．学生学法：主动发现，自我理解与阅读法相结合．

三、重点难点疑点及解决办法

（一）重点

角的概念及角的表示方法．

（二）难点

周角、平角概念的理解．

（三）疑点

平角与直线、周角与射线的区别．

（四）解决办法

通过演示法使学生正确理解平角、周角的概念，适当加以解释，简明扼要，条理清楚即可，不必做过多的解释．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪（电脑、实物投影）、三角板、圆规、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．教师创设情境，学生进入．

2．教师步步设问，提出问题，学生在回答问题、自己画图、观察图形的过程中掌握角的静态定义．

3．教师指导，学生阅读、归纳四种表示角的方法．

4．教师用电脑直观演示展示角的旋转定义．

5．反馈练习．

6．师生讨论总结．

7．测试．

七、教学步骤

（一）明确目标

使学生能正确认识角的两种定义及相关概念，掌握角的表示方法，正确理解平角、周角的概念，并能从图形上进行识别．

（二）整体感知

以现代化教学为手段，调动学生主动参与的积极性，使学生在动手过程中自觉地掌握知识点．

（三）教学过程

创设情境，引出课题

师：前几节我们具体研究了小学时初步认识的直线、射线、线段．另外，小学时我们还认识了另一种几何图形——角．你能说出几个日常生活中给我们角的形象的物体吗？（学生会很快说出周围的课桌、门窗、墙壁的角；圆规张开两脚；钟表的时针与分针间形成的角等等．）

【教法说明】为了更形象、更直观用实物投影显示一些实物图形．

让学生说出口常生活中给我们角的形象的物体，充分发挥学生的想像力，培养其观察事物的习惯，同时，活跃课堂气氛，调动学生学习积极性．也培养了学生从具体实物图形中抽象出几何图形的能力．

师：的确如此，在我们日常生活中，角的形象可以说无处不在．因此，一些图案的设计；机械零件的制图等等，常常用到角的画法、角的度量、角的大小比较等知识．从这节课开始我们就具体地研究角．希望同学们认真学习，掌握真本领，将来为社会做贡献．

探究新知

1．角的静止观点定义的得出

提出问题：通过以上举例和小学时你对角的认识，你能画出几个不同形状的角吗？

学生活动：在练习本上，画出几个不同形状的角，找一个学生到黑板上画图．可能出现下列情况：

师：根据小学所学你能指出所画角的边和顶点吗？（学生结合自己理解和小学所学，会很快指出角的边和顶点．）

师：同学们请观察，角的两边是前面我们学过的什么图形？它们的位置关系如何？你能否根据自己的理解和刚才老师的提问，描述一下怎样的几何图形叫做角吗？

学生活动：学生讨论，然后找代表回答．

教师在学生回答的基础上，给予纠正和补充，最后给出角的正确定义．

［板书］角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫角的顶点，这两条射线叫角的两边．

（出示投影1）

指出以上图形，角的顶点和角的边．

提出问题：角的大小与角两边的长短有关系吗？

学生讨论并演示：拿大小不同的两副三角板或学生的三角板与教师的三角板对比演示．让学生尽可能地发表自己的看法和观点．不要拘泥于课堂上的形式，充分调动学生回答问题的积极性．

教师对学生的回答给予肯定或否定后小结：角的两边既然是射线，则可以向一方无限延长，所以角的大小与所画角的两边长短无关，仅与角的两边张开的程度有关．

【教法说明】角的定义的得出，不是教师以枯燥的形式强加给学生，而是让学生自己在画图、观察图形的过程中，由教师引导提出问题，步步追问，自觉地去认识．在问题解决的过程中，在复习旧知识中，不知不觉学到了新知识——角．这样缩短了新旧知识间的距离，减轻了学生心理上的压力，使他们感到新知识并不难，在轻松愉快中学到了知识．同时也会感受到新旧知识之间的联系．对发展学生用普遍联系的观点看待事物有很好的作用．

2．角的表示方法

师：研究角，像直线、射线、线段一样，可以用字母表示．下面我们阅读课本第25负第三自然段，总结角的表示方法有几种，你能否准确地表示一个角并读出来．

学生活动：学生看书，可以相互讨论，然后归纳出角的几种表示方法．

【教法说明】角的四种表示方法，课本中用一自然段说明，语言通俗，很易理解，学生完全可以通过阅读，分出四个层次，四种表示角的方法．因此教师要大胆放手，培养学生阅读理解能力，归纳总结能力．

学生阅读后，多找几个学生回答．最后通过不断补充、完善，归纳整理得出角的四种表示方法，教师整理板书．

［板书］

图1图2图3

【教法说明】总结以上四种表示方法时，对前两种表示方法，应注意的问题要加以强调．第一种表示方法必须注意：顶点字母在中间．第二种表示方法只限于顶点只有一个角．这是以后学生书写过程中最易出错的地方．另外，让学生区分角的符号与小于号．这些应注意的问题最好由学生讨论，学生发现后归纳总结．

反馈练习：投影打出以下题目

指出图中有几个角，并用适当的方法表示它们．

3．用旋转的观点定义角

师：同学们看老师从另一个角度提出新问题．前面我们给角下过定义，是在静止的情况下，观察角是由怎样的两条射线组成．下面，我们从运动的观点观察一下角的形成．

图1

演示：教师由电脑显示一条射线，然后射线绕其端点旋转，到另一个位置停止则形成一个角，如图1所示．举例帮助学生理解：钟摆看成一条射线，从一个位置摆到另一个位置则形成一个角．

学生讨论并试述定义：学生叙述不会太严密，教师纠正、补充后板书．

【板书】角：角还可以看成是一条射线从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

说明：射线旋转时，经过的部分是角的内部．让学生说明平面内除了角的内部外还有几部分，分别是什么？（角的边与角的外部）

【教法说明】角的旋转观点的定义是教学中的一个难点，学生不易理解．因此，结合电脑的显示，举出实例等手段加强教学的直观性．

4．平角、周角的概念

师：角可以看成是一射线绕其端点旋转所形成的图形．那么，旋转时有无特殊情况呢？

由电脑演示并说明：

射线绕点旋转，终止位置和起始位置成一条直线时，所成的角叫平角，如图2所示．同样可表示为，顶点，两边为射线和射线．继续旋转，回到起始位置时，所成的角叫做周角，如图3所示．周角的顶点为，两边重合成一条射线．

图2

师说明：（1）平角与直线、周角与射线是两个不同的概念，它们的图形表面上看一样，但本质上不同．如：直线上取点表示点在直线上的位置，而平角是由顶点和边组成的角这一几何图形．

（2）在这一书中，所说的角，除非特殊注明，都是指没有旋转到成为平角的角．

【教法说明】平角、周角概念学生不容易理解，所以要通过直观演示后教师加以解释，但也不要解释得过多．否则，学生会更糊涂，简明扼要，条理清楚即可．

反馈练习：投影显示

1．指出图中以为顶点的平角的两边

2．指出图中（包含平角在内）的角有几个，并分别读出它们

对以上练习发现问题及时纠正．

变式练习，培养能力

投影出示：

1．如图1：可以记作吗？为什么？

图1

2．如图2：、分别是、上的点

①与是同一个角吗？

②与是同一个角吗？

3．如图3：是什么角？顶点、边分别是什么？

图2图3

【教法说明】为活跃课堂气氛，以上练习可以抢答．

（四）总结、扩展

学生看书，回答本节学了哪些主要内容，同桌可以相互讨论．最后教师按学生的回答归纳出本节知识脉络．投影显示：

八、布置作业

预习下节内容．

九、板书设计

同七、（四）中的格式，在表示方法中加上图形．