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经典初中教案坐标平面内的图形变换

发表时间：2022-01-24

【www.jk251.com - 平面直角坐标系】

在我们的初中教学中都离不开教案，我们可以通过教案来进行更好的教学，一份优质的教学方案往往来自教师长时间的经验累积，初中教案该怎么写？小编为大家收集整理了经典初中教案坐标平面内的图形变换，希望能够帮助到您。

〖教学目标〗◆1、从点的运动的过程，培养学生由特例发现问题一般规律性的能力.◆2、在点的运动到线段平移到图形的变换的过程中，学会有条理的思考并进行演绎推理．◆3通过对问题的共同探讨，培养学生的合作精神、．〖教学重点与难点〗◆教学重点：点平移时坐标的变化规律.◆教学难点：由点的平移到图形的变换的演绎过程.〖教学过程〗一、创设情境，引入新课多媒体显示：（1）机器人位于坐标系中的a（-3，3），若作以下平移变换，向右（左）平移5个单位，请画出机器人所在位置，并写出坐标。（2）机器人位于b（4，5），向上（下）平移3个单位，则机器人位于什么位置，并写出坐标。二、合作交流，探求新知坐标变化（1）课件显示：图示机器人变换点横坐标纵坐标a（-3，3）aˊ（2，3）加5不变a（-3，3）aˊˊ（-8，3）减5不变b（4，5）bˊ（4，8）不变加3b（4，5）bˊˊ（4，2）不变减3（交流探索，总结规律）左右平移时，纵坐标不变，横坐标右加，左减上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加，下减（2）巩固新知①课本练习“做一做”1，2②由（2，3）（-3，3）（4，8）（4，5）各经过怎样变换？由（-7，3）（-3，3）（4，3）（4，5）呢？二、应用新知，演绎推理1．引例：若将（一）中机器人走过的路线标成红色，则得到线段aaˊ，bbˊ，现将aaˊ向下平移4个单位，bbˊ向左平移5个单位，请作出平移后的像。（多媒体显示）2．例2教学（让学生想一想：1＜x≤5，例2的三个问题怎样解决）例2教学其实是先通过作平移变换，然后经看图以后解题的，这是解决数学问题的好方法，在以后教学中我们应该引导学生用这种方法解决数学问题。例3教学注意：（1）图形的变换其实就是点的变换，因此上两例就是特殊点的变换确定图形的变换。（2）一般情况下，讨论的是图形的一般变换（左右、上下）3．想一想：例3中，从图甲到图乙可以看作只经过一次平移变换吗？请描述这个平移变换。四、巩固练习（p143页1、2）五、小结（1）点的变换规律（2）由点的变换到线段的变换到图形变换的演绎推理六、作业（p143，144页a，b组）

Jk251.coM编辑推荐

平面直角坐标系初中教案精选

1、教材分析：

⑴知识结构：

日常生活及其它学科需要一种确定平面内点的位置的方法.在数学上，可以类比数轴，引出的概念.完成了坐标平面内的点与有序实数对的一一对应，也把数与形统一了起来.

⑵重点、难点分析：

本节的重点是能正确画出直角坐标系，并能在直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.直角坐标系的基本知识是学习全章的基础，在后面学习函数的图象以及一些具体函数的图象时都要应用这些知识.通过对这部分知识的反复而深入的练习、应用，渗透坐标的思想，进而形成数形结合的的数学思想.

本节的难点是中的点与有序实数对间的一一对应.限于初中的学习范围与学生的接受能力，学生理解起来有一定的困难，如：不理解有序实数对，或不能很好地理解一一对应，有的只限于机械地记忆，这样会影响对数形结合思想的形成.教材上只给出了比较简单的描述.教师可以通过课堂练习，让学生从一点一滴处理解横、纵坐标的值不同，即实数对不同，则在直角平面上的点的位置也不同，反之，亦然.

2、教学建议：

数学是世界的一部分，同时又隐藏在世界中.这样，数学教学的目的之一就是使学生通过数学的学习，认识数学与现实世界的联系，数学与人类生活的密切联系，以及数学对人类历史发展的影响与作用.因此，数学概念的产生有其必然性与合理性.

（1）概念的引入

组织学生看本章引言中的气温图，说明确定平面内点的位置是实际需要的.可以让学生进行讨论，他们的生活中还有什么类似的例子.如电影院中的座位，到图书馆找书，学生的课程表等.从丰富的背景材料中，体会数学的广泛应用性.

（2）讲授概念：

现实生活和其它学科向数学提出了问题，如何建立数学模型以解决这个问题呢？以前，我们学习过数轴.数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标，数轴上的点与实数是一一对应的.这样利用数轴可以研究一些数量关系的问题.确定平面内点的位置的方法也可以与此类似，类比出的概念，并结合图形讲述的有关概念.

（3）练习，深入地理解概念：

平面直角这节课的概念较多，又都是新的，开始的时候不适合太快，给学生一个适应的过程，一个思维的空间.如：x轴、y轴不在任何象限内，原点是x轴、y轴的交点等.然后，就可以多练习一些简单题，如给出坐标，在中标点，或反之，给出中点的位置，找出其坐标.通过小题的练习，使学生能逐步理解坐标平面内的点和有序实数对之间的一一对应关系.

总之，形成初步的数学概念后，学生可以通过变式，逐步加深对概念的理解.在解题过程中，教师的任务是创设环境，激励学生凭借自己的原有认知水平，完成对数学知识的建构.在相互讨论评价的过程中，培养学生的责任心.

这节课可以分两课时完成，第一节课由实际引入，类比数轴定义，给出的概念，并通过练习达到熟练的程度.第二节课，可视第一节课的掌握情况，适当增加一些有探索性的题目.如求一已知点关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标；一三象限角平分线上的点的坐标特点等.

教学目标：

1、使学生进一步熟悉由坐标确定点和由点求坐标的方法.理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

2、会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置，并会根据点的位置，确定点的横坐标、纵坐标的符号.

3、掌握确定已知点关于坐标轴（或原点）的对称点的方法.培养学生观察，归纳总结的能力.

4、培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心.

5、渗透数形结合的思想，培养学生思维的严谨性和深刻性.

教学重点：

1、掌握象限或坐标轴上的点的坐标的特点.

2、会求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标.

教学难点：理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

教学用具：直尺、计算机

教学方法：合作学习，讨论，探究

教学过程：

1、提出问题，主动探索

上节课我们学习了的概念，并介绍了象限与坐标轴.初步体会到平面内的点与有序实数对是一一对应的.今天我们需要开始新的探索，发现数学知识.

下面看例1

例1、指出下列各点所在象限或坐标轴；

你能发现什么规律吗？

解：描点画图后，可以从图中观察出，A点在第二象限；B点在第三象限；C点在第四象限；D点在第一象限；E点在x轴上；F点在y轴上.

做完这道题后，你发现能直接从点的坐标判断出点所在象限或坐标轴吗？

通过学生的分组讨论后，可总结如下：

象限与坐标轴的定义都是以图形的形式直观给出的.通过本例题，又总结出了相应的代数规律.渗透了数与形的结合.并培养了学生由特殊到一般的抽象思维能力.

练习:习题13.1的第三题

例2、在直角坐标系中,标出下列各对点的位置,

并发现其中的规律.

(1)(3,5),(2,5)

(2)(1,2),(1,-3)

(3)(4,4),(6,6)

(4)

通过观察可以总结出:平行于x轴的直线上的点,其纵坐标相同，横坐标为任意实数；平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，纵坐标为任意实数.

另外一、三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标相同；二、四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标互为相反数.

建议：如果学生在观察时有困难，可以适当增加题量，丰富观察的对象，逐步得出最后的结论.

这些规律也是有其必然的，如两点的纵坐标相同，则这两点在x轴的同侧，且到x轴的距离相等，由平面几何的知识，可推出这两点的连线平行于x轴.其它的性质也有其存在的道理.通过对规律的总结，渗透数形结合思想，并让学生体会数学知识的形成过程.而点的坐标不同，它在平面上的位置也不相同.即平面上的点与有序实数对是一一对应的.从图中可以看出.

例3、在直角坐标系中，描出下列各点

⑴（2，1），（－2，1）

⑵（-3，4），（-3，-4）

⑶（5，－4），（-5，－4）

你能发现上述各对点的位置有何特点吗？它们的坐标有何异同？你能总结出一般的规律吗？并说明其中的道理吗？

解：(从图中观察出的点的位置)特点两点坐标间关系

（1）两点关于y轴对称横坐标为相反数，纵坐标相同

（2）两点关于x轴对称横坐标相同，纵坐标为相反数

（3）两点关于原点对称横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数

这道题能引发我们得出什么样的结论呢？（答案不固定，本教案只给出参考答案）.我们可以这样说：对于直角坐标平面上的任意两点，如果它们的横坐标相反，纵坐标相同，则它们关于y轴对称；如果它们横坐标相同，纵坐标相反，则它们关于x轴对称；如果题目的横、纵坐标都相反，则它们关于原点对称，反之亦然.

以上的规律可以解决很多问题，比如，已知点（-10，3）.求这个点关于x轴、y轴，及原点的对称点的坐标.

答：（-10，-3）；（10，3）；（10，-3）.

你想过这其中的道理吗？

如两点关于y轴对称.根据轴对称的定义，这两点的连线垂直于y轴，且到y轴的距离相等.所以这两点的连线就平行于x轴，它们的纵坐标相同，对称点在y轴的两点.到y轴的距离相等.即这两点的横坐标相反.

类似地，可以组织学生进行其它两种情况的讨论.这个规律只要求学生能理解，并不要求严格地证明.通过学生的主动探索，复习了对称的概念，体验了数形的结合.亲身经历了数学知识的形成过程.也增强了学生的自信心，激发了他们互动探索的精神.

小结：本节我们讨论了三道例题，这三道题都是大家共同讨论，通过观察归纳总结探索出的规律，这也是数学知识产生的一种过程.而且每道题的解决都离不开数形结合的思想.而且也能逐步体会出平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.这一部分知识为今后的学习打下了基础，希望大家能真正地理解并能熟练应用.

作业：习题13.1B组的1-3.

经典初中教案坐标轴的平移

坐标轴的平移一、教材分析1、坐标变换是化简曲线方程，以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。这一节教材主要讲坐标轴的平移，要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的基础上掌握平移公式;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。这就是本节课的教学目的之一。2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。为了解决重点，教学中先以圆(x-3)²+(y-2)²=5²化为x'²+y'²=5²这个例子引入来说明，虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变，但是由于坐标系的改变，点的坐标和曲线的方程也随着改变，而且适当地变换坐标系，曲线的方程就可以化简，以此指明平移坐标轴的意义和作用，并由此引出平移的定义，导出平移公式。在推导平移公式时，先从特殊到一般，通过观察、归纳、猜想和推导，得出平移公式，还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明，既开阔视野，沟通学科知识，又培养学生的思维能力，同时还可通过一组练习，让学生正用、逆用、变用平移公式，达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的，进而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运用，学生易产生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会，并及时加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学生进行辩证唯物主义的教育。二、教学过程(一)提出问题教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提问以下问题:1、如图，点O'和○O'关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?点O'和○O'关于坐标系x'o'y'的坐标和方程各是什么?两个方程，那一个较为简单?(学生回答，教师在黑板上板书:)直角坐标系点O'的坐标○O'的方程

数学教案－平面直角坐标系初中教案精选

1、教材分析：

⑴知识结构：

日常生活及其它学科需要一种确定平面内点的位置的方法.在数学上，可以类比数轴，引出平面直角坐标系的概念.完成了坐标平面内的点与有序实数对的一一对应，也把数与形统一了起来.

⑵重点、难点分析：

本节的难点是平面直角坐标系中的点与有序实数对间的一一对应.限于初中的学习范围与学生的接受能力，学生理解起来有一定的困难，如：不理解有序实数对，或不能很好地理解一一对应，有的只限于机械地记忆，这样会影响对数形结合思想的形成.教材上只给出了比较简单的描述.教师可以通过课堂练习，让学生从一点一滴处理解横、纵坐标的值不同，即实数对不同，则在直角平面上的点的位置也不同，反之，亦然.

2、教学建议：

（1）概念的引入

（2）讲授概念：

现实生活和其它学科向数学提出了问题，如何建立数学模型以解决这个问题呢？以前，我们学习过数轴.数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标，数轴上的点与实数是一一对应的.这样利用数轴可以研究一些数量关系的问题.确定平面内点的位置的方法也可以与此类似，类比出平面直角坐标系的概念，并结合图形讲述平面直角坐标系的有关概念.

（3）练习，深入地理解概念：

平面直角这节课的概念较多，又都是新的，开始的时候不适合太快，给学生一个适应的过程，一个思维的空间.如：x轴、y轴不在任何象限内，原点是x轴、y轴的交点等.然后，就可以多练习一些简单题，如给出坐标，在平面直角坐标系中标点，或反之，给出平面直角坐标系中点的位置，找出其坐标.通过小题的练习，使学生能逐步理解坐标平面内的点和有序实数对之间的一一对应关系.

这节课可以分两课时完成，第一节课由实际引入，类比数轴定义，给出平面直角坐标系的概念，并通过练习达到熟练的程度.第二节课，可视第一节课的掌握情况，适当增加一些有探索性的题目.如求一已知点关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标；一三象限角平分线上的点的坐标特点等.

教学目标：

1、使学生进一步熟悉由坐标确定点和由点求坐标的方法.理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

2、会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置，并会根据点的位置，确定点的横坐标、纵坐标的符号.

3、掌握确定已知点关于坐标轴（或原点）的对称点的方法.培养学生观察，归纳总结的能力.

4、培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心.

5、渗透数形结合的思想，培养学生思维的严谨性和深刻性.

教学重点：

1、掌握象限或坐标轴上的点的坐标的特点.

2、会求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标.

教学难点：理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

教学用具：直尺、计算机

教学方法：合作学习，讨论，探究

教学过程：

1、提出问题，主动探索

上节课我们学习了平面直角坐标系的概念，并介绍了象限与坐标轴.初步体会到平面内的点与有序实数对是一一对应的.今天我们需要开始新的探索，发现数学知识.

下面看例1

例1、指出下列各点所在象限或坐标轴；

你能发现什么规律吗？

解：描点画图后，可以从图中观察出，A点在第二象限；B点在第三象限；C点在第四象限；D点在第一象限；E点在x轴上；F点在y轴上.

做完这道题后，你发现能直接从点的坐标判断出点所在象限或坐标轴吗？

通过学生的分组讨论后，可总结如下：

练习:习题13.1的第三题

例2、在直角坐标系中,标出下列各对点的位置,

并发现其中的规律.

(1)(3,5),(2,5)

(2)(1,2),(1,-3)

(3)(4,4),(6,6)

(4)

通过观察可以总结出:平行于x轴的直线上的点,其纵坐标相同，横坐标为任意实数；平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，纵坐标为任意实数.

另外一、三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标相同；二、四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标互为相反数.

建议：如果学生在观察时有困难，可以适当增加题量，丰富观察的对象，逐步得出最后的结论.

例3、在直角坐标系中，描出下列各点

⑴（2，1），（－2，1）

⑵（-3，4），（-3，-4）

⑶（5，－4），（-5，－4）

你能发现上述各对点的位置有何特点吗？它们的坐标有何异同？你能总结出一般的规律吗？并说明其中的道理吗？

解：(从图中观察出的点的位置)特点两点坐标间关系

（1）两点关于y轴对称横坐标为相反数，纵坐标相同

（2）两点关于x轴对称横坐标相同，纵坐标为相反数

（3）两点关于原点对称横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数

以上的规律可以解决很多问题，比如，已知点（-10，3）.求这个点关于x轴、y轴，及原点的对称点的坐标.

答：（-10，-3）；（10，3）；（10，-3）.

你想过这其中的道理吗？

作业：习题13.1B组的1-3.

平面直角坐标系教案模板

一：教学目标

1：认识并能画出平面直角坐标系；能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。

2：经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识。

二：教学重点

能画出平面直角坐标系；会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。

三：教学难点

能能建立平面直角坐标系；求出点的坐标，由点的位置写出它的坐标。

四：教学时间

三课时

五：教学过程

第一课时

一）引入新课

1：要在平面内确定一个地点的位置需要几个数据？

2：练习如图你能确定各个景点的位置吗？“大成殿”在“中心广场”西、南各多少个格？“碑林”在“中心广场”东、北各多少个格？

二）新课

1：我们可以以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴，分别取向右和向上的方向为数轴的正方向，一个方格的边长看做一个单位长度，你能表示出“碑林”的位置吗？“大成殿”的位置吗？（学生回答，老师小结）

2：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。（通常两条数轴成水平位置与铅直位置，取向上或向右为正方向，水平位置的数轴叫横轴，铅直位置的数轴叫纵轴，它们的公共原点叫直角坐标系的原点。）

3：两条坐标轴把平面分成四部分：右上部分叫第一象限，其它三部分按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。

4：怎样求平面内点的坐标？

对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫该点的横坐标、纵坐标。

例1写出多边形ABCDEF各顶点的坐标

FOCx

5：想一想

（1）点A与B的纵坐标相同，线段AB的位置有什么特点？

（2）线段DB的位置有什么特点？

（3）坐标轴上点的坐标有什么特点？

6：练习P131做一做

三：小结（1）怎样画平面直角坐标系？

（2）怎样求平面内点的坐标？

（4）知道点的坐标怎样描出点？

四：作业P132

第二课时

一：复习

1）怎样画平面直角坐标系？

（学生练习画平面直角坐标系）

（2）怎样求平面内点的坐标？

已知等边三角形的边长为2cm，求出各顶点的坐标？

（3）道点的坐标怎样描出点？

二：新课

例在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接起来。

（1）（-6，5），（-10，3），（-9，3），（-3，3），（-2，3），（-6，5）

（2）-9，3），（-9，0），（-3，0），（-3，3）

（3）（3.5,9）,(2,7),（3，7），（4，7），（5，7），（3.5，9）

（4）（3，7），（1，5），（2，5），（5，5），（6，5），（4，7）

（5）（2，5），（0，3），（3，3），（3，0），（4，0），（4，3），（7，3），（5，5）

观察所得的图形，你觉得它像什么？

三：练习P134做一做

四：作业P135习题5.4（1、2）

第三课时

一；新课引入与复习

1）怎样画平面直角坐标系？画平面直角坐标系时应注意些什么？

2）怎样求平面内点的坐标？（对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫该点的横坐标、纵坐标。）

二：新课

例3如图，矩形ABCD的长与宽分别是6，4。建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

解：如图：以点C为坐标原点，分别以CD、CB所在

直线为x轴y轴，建立直角坐标系。此时C(0,0)

CDx

由CD长为6，CB长为4，可得D，B，A的坐标分别为D（6，0），B（0，4），A（，4）

思考：（还可以建立直角坐标系吗？与同学交流）

例4对于边长为4的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。

三：小结建立适当的直角坐标系，求的坐标要注意以下几点？

1）要找出坐标原点。

2）要说明横轴与纵轴的位置。

3）要求出必要的线段的长度。

四：练习P161（议一议）与随堂练习

P162习题的第一题

五：作业P162习题的第二题

六：课外练习P162（试一试）

鱼的变化第二课时

一：复习点的坐标的特征

1）关于横轴对称的两点横坐标相等，纵坐标相反

2）关于纵轴对称的两点纵坐标相等，横坐标相反

3）关于原点对称的两点横坐标相反，纵坐标相反

二：看图确定点的坐标

1）左右两幅图关于Y轴对称，已知A（1，3）B（-3，-1），试确定点C，D的坐标？

2）左右两幅图关于Y轴对称，已知A（-3，2）B（-3，1），试确定点C，D的坐标？

三；练习

1）P142做一做

2）P143随堂练习

四：小结P143议一议

五：作业P144习题（做在书上）

第五章回顾与思考

一：学生看书回答问题

1）在平面内，确定点的位置一般需要几个数据？举例说明。

2）在直角坐标系中，如何确定给定点的坐标？举例说明。

3）在直角坐标系中，横、纵坐标系轴上点的坐标各有什么特点？举例说明。

4）在直角坐标系中，将图形沿坐标轴方向平移，变化前后的对应点的坐标有什么异同？举例说明。

5）在直角坐标系中，将图形上各点的横坐标或纵坐标加上一个数（或乘-1），变化前后的图形有什么关系？举例说明。

二：练习

P145复习题A组

三：小结点的坐标•一：点P（a,b)到X轴的距离是︱b︱，到Y轴的距离是︱a︱,到原点的距离是√a2+b2•二：对称性1）关于X轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反。•2）关于Y轴对称的两点横坐标互为相反，纵坐标相等。•3）关于原点轴对称的两点横坐标互为相反，纵坐标互为相反。•三：平行1）两点的横坐标相等，纵坐标不相等，则这两点所在的直线与Y轴平行，与X轴垂直。2）两点的横坐标不相等，纵坐标相等，则这两点所在的直线与X轴平行，与Y轴垂直。举例•1）点P（-3，4）与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•2）点A（6，-3）到X轴的距离为，•到Y轴的距离为，到原点轴的距离为•3）点A（a,-4)与B(2,b)所在的直线与X轴平行，则a,b.所在的直线与Y轴平行，则a,b.•4)点A（a,b)在第一、三象限的角平分线上，则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上，则a、b的关系是。练习•1）点P（4，-3）与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•2）点A（-2，-3）到X轴的距离为，•到Y轴的距离为，到原点轴的距离为•3）点A（a-1,-4)与B(2,b+3)所在的直线与X轴平行，则a,b.所在的直线与Y轴平行，则a,b.•4)点A（-a,b)在第一、三象限的角平分线上，则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上，则a、b的关系是点的平移练习•一：1）点P（-2，3）沿X轴的方向向右平移四个单位长度得到的点的坐标为。•2）点P（-2，3）沿X轴的方向向左平移四个单位长度得到的点的坐标为。•3）点P（-2，3）沿Y轴的方向向上平移四个单位长度得到的点的坐标为。•4）点P（-2，3）沿Y轴的方向向下平移四个单位长度得到的点的坐标为。•5）点P（-2，3）沿X轴的方向先向右平移四个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6）点P（-2，3）沿X轴的方向先向左平移二个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•5）点P（-2，3）沿Y轴的方向先向上平移四个单位长度再沿X轴的方向向右平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6）点P（-2，3）沿Y轴的方向先向下平移二个单位长度再••••沿X轴的方向向左平移三个单位长度得到的点的坐标为。•二1）把点P（3，-2）沿X轴方向向平移个单位得到点A（5，-2）•2）把点P（3，-2）沿X轴方向向平移个单位得到点A（0，-2）•3）把点P（3，-2）沿Y轴方向向平移个单位得到点A（3，2）•4）把点P（3，-2）沿Y轴方向向平移个单位得到点A（3，1）点的坐标练习•1）点P（3，-4）沿X轴的方向向右平移四个单位长度得到的点的坐标为。•2）点P（-2，5）沿X轴的方向向左平移四个单位长度得到的点的坐标为。•3）点P（0，-3）沿Y轴的方向向上平移四个单位长度得到的点的坐标为。•4）点P（-1，-3）沿Y轴的方向向下平移四个单位长度得到的点的坐标为。•5）点P（4，-2）沿X轴的方向先向右平移四个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•6）点P（-2，0）沿X轴的方向先向左平移二个单位长度再沿Y轴的方向向下平移三个单位长度得到的点的坐标为。•7）点P（-1，3）沿Y轴的方向先向上平移四个单位长度再沿X轴的方向向右平移三个单位长度得到的点的坐标为。•8）点P（-2，1.5）沿Y轴的方向先向下平移二个单位长度再沿X轴的方向向左平移三个单位长度得到的点的坐标为。•••9）把点P（-2，-2）沿X轴方向向平移个单位得到点A（5，-2）•10）把点P（3，2）沿X轴方向向平移个单位得到点A（0，-2）•12）把点P（3，-2）沿Y轴方向向平移个单位得到点A（3，2）•13）把点P（-3，-4）沿Y轴方向向平移个单位得到点A（3，1）•14）点P（4，-2）与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•15）点A（-4，-1）到X轴的距离为，•到Y轴的距离为，到原点轴的距离为•16）点A（a,3)与B(-2,b)所在的直线与X轴平行，则a,b.所在的直线与Y轴平行，则a,b.•17)点A（a,b)在第一、三象限的角平分线上，则a、b的关系是。在第二、四象限的角平分线上，则a、b的关系是。•18）点P（-2，-3）与X轴对称的点的坐标为。与Y轴对称的点的坐标为。与原点轴对称的点的坐标为。•19）点A（5，-2）到X轴的距离为，•到Y轴的距离为，到原点轴的距离为•20）点A（a+1,-4)与B(2,b+3)所在的直线与X轴平行，则a,b.所在的直线与Y轴平行，则a,b.•21)点A（a,-b）在第一、三象限的角平分线上，则a、b的••••关系是。在第二、四象限的角平分线上，则a、b的关系是•22）X轴上的坐标为0，Y轴上的坐标为0。•23）点P（a,b)若a=0,则点P在，若b=0则点P在。若ab=o,则点P在。

平面直角坐标系

1、教材分析：

⑴知识结构：

⑵重点、难点分析：

2、教学建议：

（1）概念的引入

（2）讲授概念：

（3）练习，深入地理解概念：

教学目标：

1、使学生进一步熟悉由坐标确定点和由点求坐标的方法.理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

2、会用象限和坐标轴说明直角坐标系内点的位置，并会根据点的位置，确定点的横坐标、纵坐标的符号.

3、掌握确定已知点关于坐标轴（或原点）的对称点的方法.培养学生观察，归纳总结的能力.

4、培养学生发现问题，主动探索的能力.在与同伴的合作交流中，培养学生的责任心.

5、渗透数形结合的思想，培养学生思维的严谨性和深刻性.

教学重点：

1、掌握象限或坐标轴上的点的坐标的特点.

2、会求已知点关于坐标轴或原点的对称点的坐标.

教学难点：理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系.

教学用具：直尺、计算机

教学方法：合作学习，讨论，探究

教学过程：

1、提出问题，主动探索

上节课我们学习了的概念，并介绍了象限与坐标轴.初步体会到平面内的点与有序实数对是一一对应的.今天我们需要开始新的探索，发现数学知识.

下面看例1

例1、指出下列各点所在象限或坐标轴；

你能发现什么规律吗？

解：描点画图后，可以从图中观察出，A点在第二象限；B点在第三象限；C点在第四象限；D点在第一象限；E点在x轴上；F点在y轴上.

做完这道题后，你发现能直接从点的坐标判断出点所在象限或坐标轴吗？

通过学生的分组讨论后，可总结如下：

练习:习题13.1的第三题

例2、在直角坐标系中,标出下列各对点的位置,

并发现其中的规律.

(1)(3,5),(2,5)

(2)(1,2),(1,-3)

(3)(4,4),(6,6)

(4)

通过观察可以总结出:平行于x轴的直线上的点,其纵坐标相同，横坐标为任意实数；平行于y轴的直线上的点，其横坐标相同，纵坐标为任意实数.

另外一、三象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标相同；二、四象限内，两坐标轴夹角平分线上的点，其横坐标与纵坐标互为相反数.

建议：如果学生在观察时有困难，可以适当增加题量，丰富观察的对象，逐步得出最后的结论.

例3、在直角坐标系中，描出下列各点

⑴（2，1），（－2，1）

⑵（-3，4），（-3，-4）

⑶（5，－4），（-5，－4）

你能发现上述各对点的位置有何特点吗？它们的坐标有何异同？你能总结出一般的规律吗？并说明其中的道理吗？

解：(从图中观察出的点的位置)特点两点坐标间关系

（1）两点关于y轴对称横坐标为相反数，纵坐标相同

（2）两点关于x轴对称横坐标相同，纵坐标为相反数

（3）两点关于原点对称横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数

以上的规律可以解决很多问题，比如，已知点（-10，3）.求这个点关于x轴、y轴，及原点的对称点的坐标.

答：（-10，-3）；（10，3）；（10，-3）.

你想过这其中的道理吗？

作业：习题13.1B组的1-3.

经典初中教案轴对称轴对称图形

1、知识目标：

（1）使学生理解轴对称的概念；

（2）了解轴对称的性质及其应用；

（3）知道轴对称图形与轴对称的区别.

2、能力目标：

（1）通过的学习，提高学生的观察辨析图形的能力和画图能力；

（2）通过实际问题的练习，提高学生解决实际问题的能力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（2）通过轴对称图形的学习，体现数学中的美，感受数学中的美．

教学重点：的概念，轴对称的性质及判定

教学难点：区分的概念

教学用具：直尺，微机

教学方法：观察实验

教学过程：

1、概念：（阅读教材，回答问题）

（1）对称轴

（2）轴对称

（3）轴对称图形

学生动手实验，说明上述概念．最后总结轴对称及轴对称图形这两个概念的区别：

轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系．轴对称图形只是针对一个图形而言．

都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称．

2、定理的获得

（投影）：观察轴对称的两个图形是否为全等形

定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形

由此得出：

定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．

启发学生，写出此定理的逆命题，并判断是否为真命题?由此得到：

逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．

学生继续观察得到

定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

说明：上述定理2可以看成是轴对称图形的性质定理，逆定理则是判定定理．

上述问题的获得，都是由定理1引发、变换、延伸得到的．教师应充分抓住这次机会，培养学生变式问题的研究．

2、常见的轴对称图形

图形

对称轴

点A

过点A的任意直线

直线m

直线m,m的垂线

线段AB

直线AB，线段AB的中垂线

角

角平分线所在的直线

等腰三角形

底边上的中线

3、应用

例1如图，已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称．

分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点．

作法：（1）作AD⊥MN于D，延长AD至A1使A1D＝AD，

得点A的对称点A1

（2）同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1

（3）顺次连结A1、B1、C1

∴△A1B1C1即为所求

例2如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，

且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm．问：

（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？

（2）最短路程是多少？

解：问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B，

在CD上作一点M，使AM+BM最小，

先作点A关于CD的对称点A1，

再连结A1B，交CD于点M，

则点M为所求的点．

证明：（1）在CD上任取一点M1，连结A1M1、AM1

BM1、AM

∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上

∴AM＝A1M，AM1＝A1M1

∴AM+BM＝AM1+BM＝A1B

在△A1M1B中

∵A1M1+BM1＞AM+BN即AM+BM最小

（2）由（1）可得AM＝AM1，A1C＝AC＝BD

∴△A1CM≌△BDM

∴A1M＝BM，CM＝DM

即M为CD中点，且A1B＝2AM

∵AM＝500m

∴最简路程A1B＝AM+BM＝2AM＝1000m

例3已知：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE

求证：CE＝DE

证明：延长BD至F，使DF＝BC，连结EF

∵AE＝BD，△ABC为等边三角形

∴BF＝BE，∠B＝

∴△BEF为等边三角形

∴△BEC≌△FED

∴CE＝DE

5、课堂小结：

（1）的区别和联系

区别：轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；轴对称涉及两个图形，轴对称图形只对一个图形而言

联系：这两个定义中都涉及一条直线，都沿其折叠而能够重合；二者都具有相对性：即若把轴对称图形沿轴一分为二，则这两个图形就关于原轴成轴对称，反之，把两个成轴对称的图形全二为一，则它就是一个轴对称图形．

（2）解题方法：一是如何画关于某条直线的对称图形（找对称点）

二是关于实际应用问题“求最短路程”．

6、布置作业：

书面作业P120＃6、8、9

板书设计：

探究活动

两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形，如图已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）

解：

经典初中教案中心对称中心对称图形

教学建议

知识归纳

1．中心对称

把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．

中心对称的两个图形具有如下性质：（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分．

判断两个图形成中心对称的方法是：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．

2．中心对称图形

把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

矩形、菱形、正方形、平行四边形都是中心对称图形，对角钱的交点就是它们的对称中心；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；线段也是中心对称图形，线段中点就是它的对称中心．

知识结构

重点、难点分析：

本节课的重点是中心对称的概念、性质和作已知点关于某点的对称点.因为概念是推导三个性质的主要依据、性质是今后解决有关问题的理论依据；而作已知点关于某个点的对称点又是作中心对称图形的关键.

本节课的难点是中心对称与中心对称图形之间的联系和区别.从概念角度来说，中心对称图形和中心对称是两个不同而又紧密相联的概念.从学生角度来讲，在学习轴对称时，有相当一部分学生对轴对称和轴对称图形的概念理解上出现误点.因此本节课的难点是中心对称与中心对称图形之间的联系和区别.

教法建议

本节内容和生活结合较多，新课导入可考虑以下方法：

（1）从相似概念引入：中心对称概念与轴对称概念比较相似，中心对称图形与轴对称图形比较相似，可从轴对称类比引入，

（2）从汉字引入：有许多汉字都是中心对称图形，如“田”、“日”、“曰”、“中”、“申”、“王”，等等，可从汉字引入，

（3）从生活实例引入：生活中有许多中心对称实例和中心对称图形，如飞机的螺旋桨，风车的风轮，纽结，雪花，等等，可从生活实例引入，

（4）从商标引入：各公司、企业的商标中有许多中心对称实例和中心对称图形，如联想，联合证券，湘财证券，中国工商银行，中国银行，等等，可从这些商标引入，

（5）从车标引入：各品牌汽车的车标中有许多都是中心对称图形，如奥迪，韩国现代，本田，富康，欧宝，宝马，等等，可从车标引入，

（6）从几何图形引入：学习过的许多图形都是中心对称图形，如圆，平行四边形，矩形，菱形，正方形，等等，可从几何图形引入，

（7）从艺术品引入：艺术品中有许多都是呈中心对称或是中心对称图形，如下图，可从艺术品引入。

教学设计示例

教学目标

1．知道中心对称的概念，能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质。

2．会根据关于中心对称图形的性质定理2的逆定理来判定两个图形关于一点对称；会画与已知图形关于一点成中心对称的图形。

此外，通过复习图形轴对称，并与中心对称比较，渗透类比的思想方法；用运动的观点观察和认识图形，渗透旋转变换的思想。

引导性材料

想一想：怎样的两个图形叫做关于某直线成轴对称？成轴对称的两个图形有什么性质？

（帮助学生复习轴对称的有关知识，为中心对称教学作准备）

画一画：如图4.7-1(1)，已知点P和直线L，画出点P关于直线L的对称点P′；如图4.7-1(2)，已知线段MN和直线a,画出线段MN关于直线a的对称线段M′N′。

(通过画图形进一步巩固和加深对轴对称的认识)

上述问题由学生回答，教师作必要的提示，并归纳总结成下表：

轴对称

定义三要点

有一条对称轴---直线

图形沿轴对折，即翻转180度

翻转后与另一图形重合

性质

两个图形是全等形

对称轴是对应点连线的垂直平分线

对应线段或延长线相交，交点在对称轴上

观察与思考：图4.7-2所示的图形关于某条直线成轴对称吗？如果是，画出对称轴，如果不是，说明理由。

（教师把图4.7－2的两个图形制成投影片或教具，学生仔细观察后，能发现这两个图形都不是轴对称。然后，教师适时提出问题：这两个图形能不能重合？怎样才能使这两个图形重合呢？让学生观察、探究、讨论，教师可以直观地演示中心对称变换的过程，让学生发现：把其中一个图形统一特殊点旋转180度后能与另一个图形重合。）

教学设计

问题1：你能举出1～2个实例或实物，说明它们也具有上面所说的特性吗？

说明：学生自己举例有助于他们感性地认识中心对称的意义。然后，教师指出：具有这种特性的图形叫做中心对称图形，并介绍对称中心，对称点等概念。

问题2：你能给“中心对称”下一个定义吗？

说明与建议：学生下定义会有困难，教师应及时修正，并给出明确的定义，然后指出定义中的三个要点：（l）有一个对称中心——点；（2）图形绕中心旋转180度；（3）旋转后与另一图形重合。把这三要点填入引导性材料中的空表内，在顶空格内写上“中心对称”字样，以利于写“轴对称”进行比较。

练一练：在图4.7－3中，已知△ABC和△EFG关于点O成中心对称，分别找出图中的对称点和对称线段。

说明与建议：教师可演示△ABC绕点O旋转180度后与△EFG重合的过程，让学生说出点E和点A，点B和点F，点C和点G是对称点；线段AB和EF、线段AC和EG，线段BC和FG都是对称线段。教师还可向学生指出，图4.7－3中，点A、O、E在一条直线上，点C、O、G在一条直线上，点B、O、F在一条直线上，且AO=EO，BO=FO，CO＝GO。

问题3：从上面的练习及分析中，可以看出关于中心对称的两个图形具有哪些性质？

说明与建议：引导学生总结出关于中心对称的两个图形的性质：定理l---关于中心对称的两个图形是全等形；定理2——关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

问题4：定理2的题设和结论各是什么？试说出它的逆命题。

说明与建议：学生解答此题有困难，教师要及时引导。特别是叙述命题时，学生常常照搬“对称点”、“对称中心”这些词语，教师应指出：由于没有“两个图形关于中心对称”的前提，所以不能使用“对称点”、“对称中心”这样的词语，而要改为“对应如”、“某一点”。最后，教师应完整地叙述这个逆命题---如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于点对称。

问题5：怎样证明这个逆命题是正确的？

说明与建议：证明过程应在教师的引导下，师生共同完成。由已知条件——对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，可以知道：若把其中一个图形绕着这点旋转180度，它必定于另一个图形重合，因此，根据定义可以判定这两个图形关于这一点对称。这个逆命题即为逆定理。根据这个逆定理，可以判定两个图形关于一点对称，也可以画出已知图形关于一点的对称图形。

练一练：访画出图4．7－4中，线段PQ关于点O的对称线段P′Q′。

（画法如下：（1）连结PO，延长PO到P′，使OP′＝OP，点P′就是点P关于点O的对称点，（2）连结QO，延长QO到Q′，使Q′Q=OQ，点Q′就是点Q的对称点，则PQ′就是线段PQ关于O点的对称线段。教师应指出：画一个图形关于某点的中心对称图形，关键是画“对称点”。比如，画一个三角形关于某点的中心对称三角形，只要画出三角形三个顶点的对称点，就可以画出所要求的三角形。）

例题解析

课本例题

说明：（l）教师应让学生读题分析，给每个学生印发一张印有图4.7-5的纸，让学生动手画图。（2）画好图后让学生总结：画多边形的中心对称图形只要画出多边形各顶点的对称点，即能画出所求的对称图形。

课堂练习

课本例后练习第1、2题。

（对第2题，应先画出图形，然后按照中心对称的定义或逆定理来说明理由。第2题的第（1）小题可用定义说明，第2题的第（2）小题可根据逆定理来说明。这里把平行四边形的对角顶点和平行四边形的对边分别看成两个图形：分别是两个点和两条线段。）

2．中心对称与轴对称有什么不同？

中心对称——图形绕点旋转180度。

轴对称——图形沿轴翻折180度。

作业

1.课本习题4.4A组第1题(1)。

2.课本习题4.4A组第3、4题。

坐标轴的平移初中教案精选

坐标轴的平移

一、教材分析

1、坐标变换是化简曲线方程，以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。这一节教材主要讲坐标轴的平移，要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的基础上掌握平移公式;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。这就是本节课的教学目的之一。

2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。为了解决重点，教学中先以圆(x-3)²+(y-2)²=5²化为x'²+y'²=5²这个例子引入来说明，虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变，但是由于坐标系的改变，点的坐标和曲线的方程也随着改变，而且适当地变换坐标系，曲线的方程就可以化简，以此指明平移坐标轴的意义和作用，并由此引出平移的定义，导出平移公式。在推导平移公式时，先从特殊到一般，通过观察、归纳、猜想和推导，得出平移公式，还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明，既开阔视野，沟通学科知识，又培养学生的思维能力，同时还可通过一组练习，让学生正用、逆用、变用平移公式，达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的，进而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。

3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运用，学生易产生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会，并及时加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。

4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学生进行辩证唯物主义的教育。

二、教学过程

(一)提出问题

教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提问以下问题:

1、如图，点O'和○O'关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?点O'和○O'关于坐标系x'o'y'的坐标和方程各是什么?两个方程，那一个较为简单?

(学生回答，教师在黑板上板书:)

直角坐标系点O'的坐标○O'的方程

在x'o'y'中(0，0)x'²+y'²=5²

两个方程，显然后一个方程简单。

(二)引入新课

(继续提问)

1、从上面的例子可以看出什么?

(答)(1)对于同一点或同一曲线，由于选取的坐标系不同，点的坐标功曲线的方程也不同。

(2)把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系，可以使曲线的方程简化，便于研究曲线的性质。

教师继续提出新的话题，即如何把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系呢?我们再从上面的例子来观察坐标系

xoy与x'o'y'有何异同点呢?(提问)

(答)(1)坐标轴的方向和长度单位都相同——不变

(2)坐标系的原点的位置不同——变

(教师归纳)这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

(让学生打开课本阅读移轴的定义，教师在黑板上板书)

(板书)坐标轴的平移

(三)讲授新课

(板书)1、坐标轴平移的定义

2、坐标轴平移公式

思路:(1)以特殊到一般，在已画出的图形上任取四个点(分别在第一、二、三、四系限或坐标轴上)让学生分别写出在新、旧坐标系里的坐标，并观察、分析出它们的关系。

(答)坐标平面上任意一点在原坐标系中坐标和在新坐标系中的坐档，归纳出来有如下关系:

(板书)原系横坐标x=新系横坐标x'+3

原系纵坐标y=新系纵坐标y'+2

现在把(3，2)推广到一般(h，k)能否得出x=x'+h

y=y'+k

这个公式呢?(让学生自己动手证明)

思路(2)第一步用有向线段的数量表示x，y，h，k，x'，和y'，

第二步据图进行推导

第三步由推出的公式x=x'+h(1)再推出x'=x-h

y=y'+ky'=y-h

小结:这两个公式都叫做平移(移轴)公式。同学们还可以运用代数中学过的向量加、减法则，建立复平面来证明(留给学生课后自己作练习)

3、平移公式的应用

(1)利用平移公式求在新坐标内点的新坐标

例与练:①平移坐标轴，把原点平移到O'(-4，3)，求A(0，0)，B(4，-5)的新坐标;C(5，-7)，D(4，-6)的旧坐标。

②平移坐标轴，把原点平移到O'()使A(2，4)的新坐标为(3，2);B(-4，0)的旧坐标为(0，3)

(2)利用平移公式化简方程

例与练:(课本例)平移坐轴，把原点移到O'(2，-1)，求下列曲线关于新坐标系的方程，并画出新旧坐标轴和曲线。

(x-2)

①x=2②y=-1③（x+2)²/9+(y+1)²/4=1

分析:解①②时用分别把x=2，y=-1代入公式

(2)得x'=0y'=0(比课本中的解法简单)而在解③时，却要用公式(1)分别用x=+2，y=y'-1代入原方程得出新方程x'/9+y'/4=1(引导学生正确作出图)

小结:从例中可以看出，要把方程(x-2)²/9+(y+1)²/4

化为简单的方程x'²/9+y'²/4=1，可把x-2=x'y+1=y'，得出应

把坐标原点平移到(2，-1)，由此可推广，形如(x-h)²/a²+(y-k)²/b²的方程如何化简。

选择题1.坐标轴平移后，下列各数值中发生变化的是()

(A)某两点的距离(B)某线权中点的坐标

(C)某两条直线的夹角(D)某三角形的面积

答案选(C)从此题可看出，坐标轴平移后，与坐标有关的量发生变化，但图形本身的几何性质不变。

选择题2:曲线x²+y²+2x-4y+1=0在新坐标系中的方程是x'²+y'²=4，则新坐标系原点在旧坐标系中的坐标是()

(A)(-1，2)(B)(1，-2)(C)2，-1)(D)(-2，1)

分析:把x²+y²+2x-4y+1=0配方为(x+1)²+(y-2)²=4

由x+1=x'===h=-1y-2=y'===k=2故应选(A)

(四)教师小结:今天讲的主要内容是坐标轴平移的意义，平移公式及其简单应用。移轴的目的在几何上是使曲线图形的中心(或顶点)与原点重合，使图形“居中”，而在代数上则是将一般二元二次方程通过代数变形(变量代换)，消去其中的一次项，从而使方程简化，这个问题，下一节课将作更具体深入的研究与探讨。

平移公式的两种形式何时应用较好方便，一般说来，由点的旧坐标求其新坐标时用(2)较方便，而由曲线的原方程求其新方程时用(1)较方便，但这也不是固定不变的，如例2中把方程x=2化为新方程，直接代入(2)，马上就可求出x'=0这个新方程。

平移坐标轴，可以简化曲线的方程，但不含改变曲线原来的性质与不变，可以看出其中的辩证关系和内在规律。

(五)布置作业(略)

三、课后附记

1、本节课曾在福州市教育学院组织的青年教师培训班的观摩课上讲授，反映较好，从学生的作业反馈及下节课的复习提问，利用坐标轴的平移化简二元二次方程中，引用平移公式进行运算，学生都能较熟练掌握，在半期考中，关于平移公式的应用题得分率在90%以上，说明本节课的效果较好，但因本教材在整个圆锥曲线教材内容中占的分量不重，公式较少使用，容易出现反生与遗忘，因此在平时教学中可适时加以引用。

2、本节课的设计遵照“一体三重五环节”的福八中数学教学的特色，重视发挥学生的主体与教师的主导作用，重视“过程”的教学，尽量做到:提出问题，循循诱导;疏通思路，耐心开导;解题练习，精心指导;存在不足，热情辅导;掌握过程，尽心引导;真正体现重情善导的教风与特色。

说课，作为一种教学、教研改革的手段，最早是由河南省新乡市红旗区教室于1987年提出来的。实践证明，说课活动有效地调动了教师投身教学改革，学习教育理论，钻研课堂教学的积极性。是提高教师素质，培养造就研究型，学者型青年教师的最好途径之一。

我市的说课活动是1994年开始的，在不断的实践探索中，我们完善了说课的理论，改进了说课的方法，取得了令人满意的成绩。现在说课已经在我市的教学研究、职称评定、年度考核、教师比武等许多方面广泛运用。

一、什么叫说课

那么，什么叫说课呢？应该说到目前为止还没有一种具体的科学的定义。按红旗区的说法，说课就是教师口头表述具体课题的教学设想及其理论依据，也就是授课教师在备课的基础上，面对同行或教研人员，讲述自己的教学设计，然后由听者评说，达到互相交流，共同提高的目的的一种教学研究和师资培训的活动。我们在说课实践中认识到，这个定义是不全面的。根据我们的理解，说课既可以是针对具体课题的，也可以是针对一个观点或一个问题的。所以我们认为，说课就是教师针对某一观点、问题或具体课题，口头表述其教学设想及其理论依据。说得简单点，说课其实就是说说你是怎么教的，你为什么要这样教。

二、说课的意义

说课活动的好处很多，从不同的角度去看，有不同的答案。根据我们的实践和理解，说课活动有以下几个方面的意义：

1、说课有利于提高教研活动的实效

以往的教研活动一般都停留在上几节课，再请几个人评评课。上课的老师处在一种完全被动的地位。听课的老师也不一定能理解授课教师的意图。导致了教研实效低下。通过说课，让授课教师说说自己教学的意图，说说自己处理教材的方法和目的，让听课教师更加明白应该怎样去教，为什么要这样教。从而使教研的主题更明确，重点更突出，提高教研活动的实效。另外，我们还可以通过对某一专题的说课，统一思想认识，探讨教学方法，提高教学效率。

2、说课有利于提高教师备课的质量

我们检查了很多教师的备课笔记，从总体上看教师的备课都是很认真的。但是我们的老师都只是简单地备怎样教，很少有人会去想为什么要这样备，备课缺乏理论依据，导致了备课质量不高。通过说课活动，可以引导教师去思考。思考为什么要这样教学，这就能从根本上提高教师备课的质量。

3、说课有利于提高课堂教学的效率

教师通过说课，可以进一步明确教学的重点、难点，理清教学的思路。这样就可以克服教学中重点不突出，训练不到位等问题，提高课堂教学的效率。4、说课有利于提高教师的自身素质

一方面，说课要求教师具备一定的理论素养，这就促使教师不断地去学习教育教学的理论，提高自己的理论水平。另一方面，说课要求教师用语言把自己的教学思路及设想表达出来，这就在无形中提高了教师的组织能力和表达能力，提高了自身的素质。

5、说课没有时间和场地等的限制

上课听课等教研活动都要受时间和场地等的限制。说课则不同，它可以完全不受这些方面的限制，人多可以，人少也可以。时间也可长可短，非常灵活。

三、说课的类型

说课的类型很多，根据不同的标准，有不同的分法。

按学科分：语文说课、数学说课、音体美说课等；按用途分：示范说课、教研说课、考核说课等；但我们从整体来分，说课可以分成两大类：一类是实践型说课，一类是理论型说课。实践型说课就是指针对某一具体课题的说课。而理论型说课是指针对某一理论观点的说课。

四、说课的内容

说课的内容是说课的关键。不同的说课类型说课的内容自然也不同。这也是我们这几年主要研究的问题。

根据我们的实践，实践型说课主要应该有以下几个方面的内容：1、说教材主要是说说教材简析、教学目标、重点难点、课时安排、教具准备等，这些可以简单地说，目的是让听的人了解你要说的课的内容。

2、说教法就是说说你根据教材和学生的实际，准备采用哪种教学方法。这应该是总体上的思路。

3、说过程这是说课的重点。就是说说你准备怎样安排教学的过程，为什么要这样安排。一般来说，应该把自己教学中的几个重点环节说清楚。如课题教学、常规训练、重点训练、课堂练习、作业安排、板书设计等。在几个过程中要特别注意把自己教学设计的依据说清楚。这也是说课与教案交流的区别所在。理论型说课与实践型说课有一定的区别，实践型说课侧重说教学的过程和依据，而理论型说课则侧重说自己的观点。一般来说，理论型说课应该包含以下几个方面的内容：

1、说观点理论型说课是针对某一理论观点的说课，所以我们首先要把自己的观点说清楚。赞成什么，反对什么，要立场鲜明。

2、说实例理论观点是要用实际的事例来证实的。说课中要引用恰当的、生动的例子来说明自己的观点，这是说课的重点。

3、说作用说课不是纯粹的理论交流，它注重的是理论与实践的结合。因此我们要在说课时结合自己的教学实践，把该理论在教学中的作用说清楚。

说课的研究

五、说课的范例

实践型说课的例子：

例1《我家的小院》

"我家有个小院子。院子里种着许多花草树木，一年四季都有迷人的景色。初春，迎春花开出金灿灿的小黄花，最先迎来了春天月季花像一张张笑得合不拢嘴的小脸。地上长着厚厚的苔藓，像铺上一层绿色的地毯。盛夏，茉莉花散发着阵阵清香。海棠开着耀眼的红花。葡萄架上的绿叶，一片挨着一片，密密层层。站在葡萄架下，抬头可见一串串快要成熟的葡萄像珍珠似的挂满了藤架。深秋，枯黄的树叶像飞舞的黄蝶从树上一片片飘落下来。可是，万年青的叶子仍旧碧绿碧绿的，显得格外精神。一盆盆菊花正开得茂盛。隆冬，鹅毛般的大雪纷纷扬扬，给万物披上了银装。那些娇惯的花草都住进了温暖的屋子，腊梅花却昂首挺胸，迎着风雪，无所谓惧。"

说课问题：1、本课的教学目标如何确定，如何落实这些目标？2、本单元的重点训练是读懂长句子。请你说说如何教学文中划线的两个长句子。3、请你写出本课的板书设计，并说说你设计的思路。

理论型说课的例子：

例2：学法迁移是我们教学中经常运用的一种方法，请你结合自己的教学实践，举例说如何在课堂教学中利用正迁移，克服负迁移,提高教学效率。

例3：新课导入的好坏直接影响着课堂教学的效率。请你结合自己任教的学科，举一个成功的例子和失败的例子，分别说说。

例4：要把素质教育落实到课堂。在教学关系上，必须突出学生的主体地位，即学生自身发展的主体，其自主性、能动性和创造性应当充分受到尊重，给予其展现的机会。请你结合自己的实践，谈谈体会。

例5：要把素质教育落实到课堂。在教学方法上，必须体现教与学的交融，重视教法与学法的相互转化。教师的教是教学生去学，教是为学服务的，教是为了“不教”。在具体操作中，要重视课堂训练，通过语言文字训练，来培养学生的能力，提高课堂教学的效率。请你结合自己的实践，谈谈体会。

坐标轴的平移

一、教材分析

4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学生进行辩证唯物主义的教育。

二、教学过程

(一)提出问题

教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提问以下问题:

1、如图，点O'和○O'关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?点O'和○O'关于坐标系x'o'y'的坐标和方程各是什么?两个方程，那一个较为简单?

(学生回答，教师在黑板上板书:)

直角坐标系点O'的坐标○O'的方程

在x'o'y'中(0，0)x'²+y'²=5²

两个方程，显然后一个方程简单。

(二)引入新课

(继续提问)

1、从上面的例子可以看出什么?

(答)(1)对于同一点或同一曲线，由于选取的坐标系不同，点的坐标功曲线的方程也不同。

(2)把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系，可以使曲线的方程简化，便于研究曲线的性质。

教师继续提出新的话题，即如何把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系呢?我们再从上面的例子来观察坐标系

xoy与x'o'y'有何异同点呢?(提问)

(答)(1)坐标轴的方向和长度单位都相同——不变

(2)坐标系的原点的位置不同——变

(教师归纳)这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

(让学生打开课本阅读移轴的定义，教师在黑板上板书)

(板书)坐标轴的平移

(三)讲授新课

(板书)1、坐标轴平移的定义

2、坐标轴平移公式

(答)坐标平面上任意一点在原坐标系中坐标和在新坐标系中的坐档，归纳出来有如下关系:

(板书)原系横坐标x=新系横坐标x'+3

原系纵坐标y=新系纵坐标y'+2

现在把(3，2)推广到一般(h，k)能否得出x=x'+h

y=y'+k

这个公式呢?(让学生自己动手证明)

思路(2)第一步用有向线段的数量表示x，y，h，k，x'，和y'，

第二步据图进行推导

第三步由推出的公式x=x'+h(1)再推出x'=x-h

y=y'+ky'=y-h

小结:这两个公式都叫做平移(移轴)公式。同学们还可以运用代数中学过的向量加、减法则，建立复平面来证明(留给学生课后自己作练习)

3、平移公式的应用

(1)利用平移公式求在新坐标内点的新坐标

例与练:①平移坐标轴，把原点平移到O'(-4，3)，求A(0，0)，B(4，-5)的新坐标;C(5，-7)，D(4，-6)的旧坐标。

②平移坐标轴，把原点平移到O'()使A(2，4)的新坐标为(3，2);B(-4，0)的旧坐标为(0，3)

(2)利用平移公式化简方程

例与练:(课本例)平移坐轴，把原点移到O'(2，-1)，求下列曲线关于新坐标系的方程，并画出新旧坐标轴和曲线。

(x-2)

①x=2②y=-1③（x+2)²/9+(y+1)²/4=1

分析:解①②时用分别把x=2，y=-1代入公式

(2)得x'=0y'=0(比课本中的解法简单)而在解③时，却要用公式(1)分别用x=+2，y=y'-1代入原方程得出新方程x'/9+y'/4=1(引导学生正确作出图)

小结:从例中可以看出，要把方程(x-2)²/9+(y+1)²/4

化为简单的方程x'²/9+y'²/4=1，可把x-2=x'y+1=y'，得出应

把坐标原点平移到(2，-1)，由此可推广，形如(x-h)²/a²+(y-k)²/b²的方程如何化简。

选择题1.坐标轴平移后，下列各数值中发生变化的是()

(A)某两点的距离(B)某线权中点的坐标

(C)某两条直线的夹角(D)某三角形的面积

答案选(C)从此题可看出，坐标轴平移后，与坐标有关的量发生变化，但图形本身的几何性质不变。

选择题2:曲线x²+y²+2x-4y+1=0在新坐标系中的方程是x'²+y'²=4，则新坐标系原点在旧坐标系中的坐标是()

(A)(-1，2)(B)(1，-2)(C)2，-1)(D)(-2，1)

分析:把x²+y²+2x-4y+1=0配方为(x+1)²+(y-2)²=4

由x+1=x'===h=-1y-2=y'===k=2故应选(A)

平移坐标轴，可以简化曲线的方程，但不含改变曲线原来的性质与不变，可以看出其中的辩证关系和内在规律。

(五)布置作业(略)

三、课后附记

一、什么叫说课

二、说课的意义

说课活动的好处很多，从不同的角度去看，有不同的答案。根据我们的实践和理解，说课活动有以下几个方面的意义：

1、说课有利于提高教研活动的实效

2、说课有利于提高教师备课的质量

3、说课有利于提高课堂教学的效率

5、说课没有时间和场地等的限制

三、说课的类型

说课的类型很多，根据不同的标准，有不同的分法。

四、说课的内容

说课的内容是说课的关键。不同的说课类型说课的内容自然也不同。这也是我们这几年主要研究的问题。

2、说教法就是说说你根据教材和学生的实际，准备采用哪种教学方法。这应该是总体上的思路。

1、说观点理论型说课是针对某一理论观点的说课，所以我们首先要把自己的观点说清楚。赞成什么，反对什么，要立场鲜明。

2、说实例理论观点是要用实际的事例来证实的。说课中要引用恰当的、生动的例子来说明自己的观点，这是说课的重点。

3、说作用说课不是纯粹的理论交流，它注重的是理论与实践的结合。因此我们要在说课时结合自己的教学实践，把该理论在教学中的作用说清楚。

说课的研究

五、说课的范例

实践型说课的例子：

例1《我家的小院》

理论型说课的例子：

例2：学法迁移是我们教学中经常运用的一种方法，请你结合自己的教学实践，举例说如何在课堂教学中利用正迁移，克服负迁移,提高教学效率。

例3：新课导入的好坏直接影响着课堂教学的效率。请你结合自己任教的学科，举一个成功的例子和失败的例子，分别说说。

经典初中教案地球的运动

【重点】

1.自转的概念、运动方向、周期

2.理解自转的地理意义----昼夜更替

3.四季的产生和五带的划分

4.用事实分别说明地球自转、公转及其产生的地理现象

【难点】

1.四季的产生和五带的划分

2.用事实分别说明地球自转、公转及其产生的地理现象

【教学过程】

（引入新课）

我们生活在地球上，你有没有发现地球在运动呢？（同学有不同的回答）

在我们的日常生活中，大家看到或亲身感受到许多现象――如日月星辰的东升西落；昼夜的更替；当世界杯足球赛在欧洲国家举办时，我们需要后半夜起床看球；一年四季昼夜长短发生变化；夏天太阳照射地面时的角度大，冬天太阳照射地面时的角度小；冬寒、夏热、春秋温和等，这些现象是怎样产生的呢？我们在后面的四节课中来认识这些现象产生的道理。

（讲授新课）

我们先请一名同学读教材提供的关于天体运动的阅读材料。

（问）这段材料说明了什么？请谈谈你的感想？（同学回答）

请同学们记住这位伟大的科学家——哥白尼，学习他勇敢的科学精神。

（布置自学内容）请同学自读教材关于地球自转的两段文字和地球公转的相关文字，看看能否自己填出下列表格内容，填完后请同学回答：

（老师指导学生画图）

（学生讨论）学生4人一组讨论，地球自转和地球公转分别产生哪些现象？

两个组同学回答，其他各组补充，老师在黑板上板书。

投影展示填表内容（或由学生回答，老师将内容填在黑板上的表格中），填完后教师进行总结。

比较的项目地球的自转地球的公转

方向自西向东自西向东

在图上表示方向

围绕的中心地轴太阳

周期1天1年

地理意义产生昼夜更替现象

产生时差昼夜长短的变化

正午太阳高度的变化

四季变化

（课堂练习）完成《地理填充图册》相关内容

【板书设计】

第二节地球的运动

一、地球的自转

二、地球的公转

比较的项目地球的自转地球的公转

方向

在图上表示方向

围绕的中心

周期

地理意义

经典初中教案整式的加减

教学设计示例

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．理解：实质就是去括号，合并同类项．

2．掌握：学生在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上，掌握整式加减的一般步骤．

3．运用：能够正确地进行运算．

（二）能力训练点

1．培养用代数的方法解决实际生活中的问题的能力和口头表达能力．

2．培养学生用代数方法解几何问题的思路．

（三）德育渗透点

渗透教学知识来源于生活，又要为生活而服务的辩证观点．

（四）美育渗透点

实质上就是去括号，合并同类项，结果总是比原来简洁，体现了数学的简洁美．

二、学法引导

1．教学方法：以旧引新，通过自己操作发现解题规律．

2．学生学法：练习→总结步骤→练习

三、重点、难点、疑点及解决办法

整式加减运算．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪或电脑、自制胶片．

六、师生互动活动设计

教师出示探索性练习，学生解答归纳整式加减运算的一般步骤，教师出示巩固性练习，学生以多种形式完成．

七、教学步骤

（一）创设情境，复习引入

（出示投影1）

化简下列各式

（1）；

（2）；

（3）．

学生活动：同桌两位同学出一个学生在胶片上化简，另一个学生在练习本上完成，然后把几个学生的演算胶片用投影打出，其他学生一起来给打分．不对的，由学生找出错在哪里，错误的原因是什么．

师提出问题：上述三个数学式子，同学们讨论一下，怎样用数学语言进行叙述呢？（把每个括号看作一个整体）

学生活动：同桌同学互相讨论、研究，若讨论的结果、语句认为比较通顺者可以举手回答，同学们再互相更正．（学生回答时，教师用彩笔把运算符号写在胶片上显示出来，以引起注意．）

【教法说明】前两节去括号、合并同类项的内容，其实就是整式加减内容的一部分，复习上述知识，学生可以很轻松地就过渡到整式加减这一节内容上来，使新旧知识很自然地衔接起来．

师提出问题：上述式子中，每个括号内的式子是什么式子？（整式）从而引出课题，并板书．

［板书］

【教法说明】以合并同类项、去括号为铺垫，从而引出本节知识，可以说是自然顺畅，学生不会感到整式加减法陌生．

（二）探求新知，讲授新课

（出示投影2）

例1求单项式，，，的和．

学生活动：在练习本（或投影胶片）上用数学式子表示出来，然后用投影仪显示出部分胶片来，正确的师生给予掌声，不对的则由自己或他人找出错在何处，并及时改正．

师做相应的板书：

［板书］

学生活动：学生在练习本上接着计算（或在投影胶片上计算），一个学生接着老师板书继续完成以下过程．把不同层次学生的胶片显示在投影上，师生给予肯定或纠正．

师提问题：在这几个单项式相加时，为什么，要加上括号（学生讨论后回答，师做必要的强调）

练习：（出示投影3）

l．说出下列单项式的和（口答）

（1），，，；（2），，．

2．写出下列第一个式子减去第二个式子的差

（1），；（2），；（3），．

学生活动：1题学生在练习本上完成后口答．2题直接观察回答（先答所列式子，再回答结果）．

【教法说明】上述两个题目学生完成应该没有什么困难，教师给学生创造机会实践，然后叫不同层次的学生回答，特别是要调动差生的参与积极性．

师：如果求几个多项式的和与差又该怎么办呢？

（出示投影4）

例2求与的和．

学生活动：教师不做任何提示，让学生在练习本（或胶片）上完成．

说明：在学生完成过程中，教师巡回检查，然后把出现问题的胶片显示在投影上，学生一起改，这样可使学生印象更深一些，在列代数式时可能每个多项式有的学生不加括号，教师要引导学生分析为什么把每个多项式加括号，利用复合投影胶片把例2中的“和”变为“差”．

学生活动：学生都在练习本上完成，然后同桌互相交换打分，并让一名学生把完整的解题格式板演到黑板上．

【教法说明】变式训练也是课堂上的一个重要环节，上题求“和”时，每个多项式加与不加括号不影响其结果，学生对括号的重要性就没有足够的认识，而变为“差”，括号的重要性就显而易见了．

师提出问题：通过例l、例2的学习，你发现进行运算一般分几步？

学生活动：小组讨论，互相叙述，教师深入某一小组，同学共同讨论，待讨论结果认为合理后，让学生举手回答．教师做简要归纳后，板书以下内容．

［板书］

【教法说明】通过例题的解答，让学生自己发现多项式加减法的一般解题步骤，有利于培养学生规范的解题格式．

（三）尝试反馈，巩固练习

（出示投影5）

1．单项式：，，的和为____________．

2．计算：（1）；

（2）；

（3）．

学生活动：1题学生回答，2题部分学生板演，其余在练习本上独立完成，看谁做的又准又快，鼓励差生的进步与参与．

【教法说明】注意不同层次学生的积极性的调动，使每个学生都参与到训练中来，积极动脑、动手，同时教师对差生进行指导和鼓励．

（四）变式训练，培养能力

（出示投影6）

1．已知；；计算

（1）；（2）；（3）；（4）；

2．一个多项式加上得，求这个多项式．

3．三角形的第一边是，第二过比第一边大，第三边比第二边小5，求三角形的周长．

学生活动：1题同桌同学分别做，左边位置的完成（2）（4），右边位置的完成（1）（3）．再让四个学生分别在黑板上完成，座位上的学生完成后互相交换检查；2、3题也让中国学习联盟胆尝试，然后教师规范解题格式．

【教法说明】1题四个小题方法一样，所以可以每人做两个，可节省时间，l题完成后再引导学生观察：（1）（2）小题计算结果是不是相同？并让学生说出为什么；（3）（4）小题如何．2题是在前面求多项式和、差的基础上的简单变式，学生会计算，但可能解题格式不会写，教师应重点规范学生的解题格式，3题是用代数方法解决几何问题，然后教师可根据学生实际情况把3题再做一些变式．

如：已知长方形一边长为，另一边长比它小，则长方形的周长为多少？

（五）归纳小结

师：本节课我们主要学习了，为把本节课内容有一个完整的了解，请看以下问题：

（出示投影7）

1．实际上就是______________________．

2．的步骤，一般分为_____________________．

3．整式加减的结果是__________或__________（单项式或多项式）．

学生活动：学生观察后回答．

教师做适当强调：在整式加减中实际就是去括号，合并同类项，在去括号时一定注意括号前是“＋”还是“－”．

【教法说明】归纳小结有时也不用教师包办代替，教师引导学生回顾本节内容，以完成填空题的形式出现，可能比教师简单归纳效果要好．

八、随堂练习

1．化简