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  • 单项式的乘法

    发表时间:2022-01-17

    当我们提起初中教学,你印象最深刻的一定是教案吧。做好教案有利于教学活动的开展,认真做好教案我们的工作会变得更加顺利,优秀的初中教案是什么样子的?可以看看本站收集的《单项式的乘法》,希望能够为您提供参考。

    教学目标:

    1.使学生理解并掌握单项式的乘法法则,能够熟练地进行单项式的乘法计算;

    2.注意培养学生归纳、概括能力,以及运算能力.

    教学重点和难点:

    准确、迅速地进行单项式的乘法运算.

    课堂教学过程设计

    一、从学生原有认知结构提出问题

    1.下列单项式各是几次单项式?它们的系数各是什么?

    2.下列代数式中,哪些是单项式?哪些不是?

    3.利用乘法的交换律、结合律计算6×4×13×25.

    4.前面学习了哪三种幂的运算性质?内容是什么?

    二、讲授新课

    1.引导学生得出单项式的乘法法则

    利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质,计算下列单项式乘以单项式:

    (1)2x2y•3xy2

    =(2×3)(x2•x)(y•y2)

    =6x3y3;

    (利用乘法交换律、结合律将系数与系数,相同字母分别结合,有理数的乘法、同底数幂的乘法)

    (2)4a2x5•(-3a3bx)

    =[4×(-3)](a2•a3)•b•(x5•x)

    =-12a5bx6.

    (b只在一个单项式中出现,这个字母及其指数照抄)

    学生练习,教师巡视,然后由学生总结出单项式的乘法法则:

    单项式相乘,把它的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.

    2.引导学生剖析法则

    (1)法则实际分为三点:①系数相乘——有理数的乘法;②相同字母相乘——同底数幂的乘法;③只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式,不能丢掉这个因式.

    (2)不论几个单项式相乘,都可以用这个法则.

    (3)单项式相乘的结果仍是单项式.

    三、应用举例变式练习

    例1计算:

    (1)(-5a2b3)(-3a);(2)(2x)3(-5x2y);

    (3)(-3ab)(-a2c)2•6ab(c2)3.

    解:(1)(-5a2b3)(-3a)

    =[(-5)(-3)](a2•a)•b3

    =15a3b3;

    (2)(2x)3(-5x2y)

    =8x3•(-5x2y)

    =[8×(-5)](x3•x2)•y

    =-40x5y;

    (3)(-3ab)(-a2c)2•6ab(c2)3

    =(-3ab)•a4c2•6abc6

    =[(-3)×6]a6b2c8

    =-18a6b2c8.

    第(1)小题由学生口答,教师板演;第(2),(3),(4)小题由学生板演,根据学生板演情况,教师提醒学生注意:先做乘方,再做单项式相乘,中间过程要详细写出,待熟练后才可省略.

    课堂练习

    1.计算:

    (1)3x5•5x3;(2)4y•(-2xy3);(3)(3x2y)3•(-4xy2);

    (4)(-xy2z3)4•(-x2y)3;(5)(-6an+2)•3anb;(6)6abn•(-5an+1b2).

    例2光的速度每秒约为3×105千米,太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒,地球与太阳的距离约是多少千米?

    解:(3×105)×(5×102)=15×107=1.5×108.

    答:地球与太阳的距离约是1.5×108千米.

    先由学生讨论解题的方法,然后由教师根据学生的回答板书.

    课堂练习

    一种电子计算机每秒可作108次运算,它工作5×102秒可作多少次运算?

    四、小结

    1.单项式的乘法法则可分为三点,在解题中要灵活应用.

    2.在运算中要注意运算顺序.

    教后记:

    jK251.COm精选阅读

    多项式除以单项式


    教学建议

    知识结构

    重点、难点分析

    重点是的法则及其应用。,其基本方法与步骤是化归为单项式除以单项式,结果仍是多项式,其项数与原多项式的项数相同。因此的运算关键是将它转化为单项式除法的运算,再准确应用相关的运算法则。

    难点是理解法则导出的根据。根据除法是乘法的逆运算可知,的运算法则的实质是把的的运算转化为单项式的除法运算。由于,故的法则也可以看做是乘法对加法的分配律的应用。

    教法建议

    (1)运算的实质是把的运算转化为单项式的除法运算,因此建议在学习本课知识之前对单项式的除法运算进行复习巩固。

    (2)所得商的项数与这个多项式的项数相同,不要漏项。

    (3)要熟练地进行的运算,必须掌握它的基本运算,幂的运算性质是整式乘除法的基础,只要抓住这关键的一步,才能准确地进行的运算。

    (4)符号仍是运算中的重要问题,用多项式的每一项除以单项式时,要注意每一项的符号和单项式的符号。

    教学设计示例

    教学目标:

    1.理解和掌握的运算法则。

    2.运用的法则,熟练、准确地进行计算.

    3.通过总结法则,培养学生的抽象概括能力.训练学生的综合解题能力和计算能力.

    4.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质.

    重点、难点:

    1.的法则及其应用.

    2.理解法则导出的根据。

    课时安排:

    一课时.

    教具学具:

    投影仪、胶片.

    教学过程:

    1.复习导入

    (l)用式子表示乘法分配律.

    (2)单项式除以单项式法则是什么?

    (3)计算:

    (4)填空:

    规律:,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

    2.讲授新课

    例1计算:

    (1)(2)

    解:(1)原式

    (2)原式

    注意:(l),商式与被除式的项数相同,不可丢项,如(l)中容易丢掉最后一项.

    (2)要求学生说出式子每步变形的依据.

    (3)让学生养成检验的习惯,利用乘除逆运算,检验除的对不对.

    例2化简:

    解:原式

    说明:注意弄清题中运算顺序,正确运用有关法则、公式。

    练习:(1)P1501,2,。

    (2)错例辩析:

    有两个错误:第一,丢项,被除式有三项,商式只有二项,丢了最后一项1;第二项是符号上错误,商式第一项的符号为“-”,正确答案为。

    3.小结

    1.的法则是什么?

    2.运用该法则应注意什么?

    正确地把问题转化为单项式除以单项式问题。计算不可丢项,分清“约掉”与“消掉”的区别:“约掉”对乘除法则言,不减项;“消掉”对加减法而言,减项。

    4.作业

    P152A组1,2。

    B组1,2。

    单项式与多项式相乘


    教学建议

    一、知识结构

    二、重点、难点分析

    本节教学的重点是掌握的法则.难点是正确、迅速地进行的计算.本节知识是进一步学习多项式乘法,以及乘法公式等后续知识的基础。

    1.,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即

    其中,可以表示一个数、一个字母,也可以是一个代数式.

    2.利用法则进行单项式和多项式运算时要注意:

    (1)多项式每一项都包括前面的符号,例如中的多项式,共有两项,就是.运用法则计算时,一定要强调积的符号.

    (2)单项式必须和多项式中的每一项相乘,不能漏乘多项式中的任何一项.因此,的结果是一个多项式,其项数与因式中多项式的项数相同.

    (3)对于混合运算,要注意运算顺序,同时要注意:运算结果如有同类项要合并,从而得出最简结果.

    3﹒根据去括号法则和多项式中每一项包含它前面的符号,来确定乘积每一项的符号;

    4﹒非零单项式乘以不含同类项的多项式,乘积仍然是多项式;积的项数与所乘多项式的项数相等;

    5﹒对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算的题目,要注意运算顺序;也要注意合并同类项,得出最简结果.

    三、教法建议

    1.的基本依据是乘法分配律,故在本课开始先讲述乘法分配律,由有理数过渡到字母.

    2.由乘法分配律过渡到单项乘多项式的法则时,也可以采用以下代换的方法,如计算:(-4x2)·(2x2+3x-1).

    设m=-4x2,a=2x2,b=3x,c=-1,

    ∴(-4x2)·(2x2+3x-1)

    =m(a+b+c)

    =ma+mb+mc

    =(-4x2)·2x2+(-4x2)·3x+(-4x2)·(-1)

    =-8x4-12x3+4x2.

    这样过渡较自然,同时也渗透了一些代换的思想.

    3.,积仍是多项式,它的项数与多项式的项数相同.这是的结果,这个结果也是我们掌握法则的关键.一般说来,对于一个运算法则的掌握应从分析结果开始,分析结果的结构,分析结果与各算式的关系,这样才能较好地掌握法则.

    教学设计示例

    一、教学目标

    1.理解和掌握单项式与多项式乘法法则及推导.

    2.熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法计算.

    3.培养灵活运用知识的能力,通过用文字概括法则,提高学生数学表达能力.

    4.通过反馈练习,培养学生计算能力和综合运用知识的能力.

    5.渗透公式恒等变形的数学美.

    二、学法引导

    1.教学方法:讲授法、练习法.

    2.学生学法:学习的运算法则是运用了“转化”的数学思想方法,利用分配律把单项式乘以多项式问题转化为前面学过的单项式与单项式相乘;最后再合并同

    类项,故在学习中应充分利用这种方法去解题.

    三、重点·难点·疑点及解决办法

    (一)重点

    单项式与多项式乘法法则及其应用.

    (二)难点

    时结果的符号的确定.

    (三)解决办法

    复习单项式与单项式的乘法法则,并注意在解题过程中将单项式乘多项式转化为单项

    式乘单项式后符号确定的问题.

    四、课时安排

    一课时.

    五、教具学具准备

    投影仪、胶片.

    六、师生互动活动设计

    1.设计一道可运用乘法分配律进行简便运算的题目,让学生复习乘法分配律,并为引入单项式与多项式的乘法法则打下良好的基础.

    2.通过面积分割法,形象直观地引入单项式与多项式的乘法法则,并引导学生用文字语言概括出其结论.

    3.通过举例,教师分析、讲解并示范板书全过程,让学生规范解题过程,再通过反复的练习巩固所学过的法则.

    七、教学步骤

    (一)明确目标

    本节课重点学习单项式与多项式的乘法法则及其应用.

    (二)整体感知

    单项式乘以多项式的乘法运算主要是将它转化为单项式与单项式的乘法运算,放首先应适当复习并掌握单项式与单项式的乘法运算方法,再在计算过程中注意后的符号问题.

    (三)教学过程

    1.复习导入

    复习:(1)叙述单项式乘法法则.

    (单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.)

    (2)什么叫多项式?说出多项式的项和各项系数.

    2.探索新知,讲授新课

    简便计算:

    引申:计算,基中m、a、b、c都是单项式,因为式中字母都表示数,故分配律对代数式也适用,则

    引导学生用学过的长方形面积知识加以验证,把宽为m,长分别是a、b、c的三个小长方形拼成大长方形,研究图形面积的整体与部分关系.

    由该等式,你能说出的法则吗?单项式与多项式乘法法则:单项式

    与多项式相乘,就是用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.

    例1计算:

    (1)(2)

    说明:计算按课本,讲解时,要紧扣法则:①用单项式遍乘多项式的各项,不要漏乘.②要注意符号,多项式的每一项包括它前面的符号.③“把所得积相加”时,不要忘了加上加号.

    例2化简:

    化简按课本,化街时直接写成省略加号的代数和,注意正确表达,做完乘法后,要合并同类项.

    练习:错例辨析

    (1)

    (2)

    (2)错在单项式与多项式的每一项相乘之后没有添上加号,故正确答案为

    (四)总结、扩展

    1.由学生叙述法则,并回答积仍是多项式,积的项数与多项式因式的项数相同.

    2.考点剖析:单项式乘以多项式这一知识点在中考试卷中都是以与其他知识综合命题的形式考查的.但它是多项式乘法、因式分解、分式通分、解分式方程等知识的重要基础.故必须掌握好.如

    (99,河北)下列运算中,不正确的为()

    A.B.

    C.D.

    八、布置作业

    P112A组1.(2)(4)(6)(8),2,3.(2)

    参考答案:

    多项式的乘法初中教案精选


    教学建议

    一、知识结构

    二、重点、难点分析

    本节教学的重点是利用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab熟练地计算.难点是理解并掌握公式.本节内容是进一步学习乘法公式及后续知识的基础.

    1.多项式乘法法则,是多次运用单项式与多项式相乘的法则得到的.计算时,先把看成一个单项式,是一个多项式,运用单项式与多项式相乘的法则,得到

    然后再次运用单项式与多项式相乘的法则,得到:

    2.含有一个相同字母的两个一次二项式相乘,得到的积是同一字母的二次三项式,它的二次项由两个因式中的一次项相乘得到;积的一次项是由两个因式中的常数基分别乘以两个因式中的一次项后,合并同类项得到;积的常数项等于两个因式中常数项的积.如果因式中一次项的系数都是1,那么积的二次项系数也是1,积的一次项系数等于两个因式中的常数项的和,这就是说,如果用、分别表示一个含有系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项,则有

    3.在进行两个多项式相乘、直接写出结果时,注意不要“漏项”.检查的办法是:两个多项式相乘,在没有合并同类项之前,积的项数应是这两个多基同甘共苦的积.如积的项数应是,即六项:

    当然,如有同类项则应合并,得出最简结果.

    4.运用多项式乘法法则时,必须做到不重不漏,为此,相乘时,要按一定的顺序进行.例如,,可先用第一个多项式中的第一项“”分别与第二个多项式的每一项相乘,再用第一个多项式中的第二项“”分别与第二个多项式的每一项相乘,然后把所得的积相加,即.

    5.多项式与多项式相乘,仍得多项式.在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式的项数之积.

    6.注意确定积中每一项的符号,多项式中每一项都包含它前面的符号,“同号得正,异号得负”.

    三、教法建议

    教学时,应注意以下几点:

    (1)要防止两个多项式相乘,直接写出结果时“漏项”.检查的办法是:两个多项式相乘,在没有合并同类项之前,积的项数应是这两个多项式项数的积.如,

    积的项数应是,即四项当然,如有同类项,则应合并同类项,得出最简结果.

    (2)要不失时机地指出:多项式是单项式的和,每一项都包括前面的符号,在计算时一定要注意确定积中各项的符号.

    (3)例2的第(1)小题是乘法的平方差公式,例2的第(2)小题是两数和的完全平方公式.实际上任何乘法公式都是直接用多项式乘法计算出来的.然后,我们把这种特殊形式的乘法连同它的结果作为公式.这里只是为后面学习乘法公式作准备,不必提它们是乘法公式,分散学生的注意力.当然,在讲解这个1题时,要讲清它们在合并同类项前的项数.

    (4)例3是另一种形式的,要讲清楚两个因式的特点,积与两个因式的关系.总之,要讲清楚这种特殊形式的两个多项式相乘的规律,使学生在计算这种类型的题目时,能够迅速地求得结果.如对于练习第1题中的

    等等,能够直接写出结果.

    教学设计示例

    一、教学目标

    1.理解和掌握单项式与多项式乘法法则及其推导过程.

    2.熟练运用法则进行单项式与计算.

    3.通过用文字概括法则,提高学生数学表达能力.

    4.通过反馈练习,培养学生计算能力和综合运用知识的能力.

    5.渗透公式恒等变形的和谐美、简洁美.

    二、学法引导

    1.教学方法:讨论法、讲练结合法.

    2.学生学法:本节主要学习了法则和一个特殊的二项式乘法公式,在学习时应注意分析和比较这一法则和公式的关系,事实上它们是一般与特殊的关系.当遇到多项式乘法时,首先要看它是不是的形式,若是则可以用公式直接写出结果,若不是再应用法则计算.

    三、重点、难点及解决办法

    (一)重点

    多项式乘法法则.

    (二)难点

    利用单项式与多项式相乘的法则推导本节法则.

    (三)解决办法

    在用面积法推导多项式与多项式乘法法则过程中,应让学生充分理解多项式乘法法则的几何意义,这样既便于学生理解记忆公式,又能让学生在解题过程中准确地使用.

    四、课时安排

    一课时.

    五、教具学具准备

    投影仪或电脑、自制胶片、长方形演示纸板.

    六、师生互动活动设计

    1.设计一组练习,以检查学生单项式乘以多项式的掌握情况.

    2.尝试从多角度理解多项式与多项式乘法:

    (1)把看成一单项式时,

    (2)把看成一单项式时,

    (3)利用面积法

    3.在理解上述过程的基础之上,引导学生归纳并指出多项式乘法的规律.

    4.通过举例,教师的示范,学生的尝试练习,不断巩固新学的知识.对于遇到的特殊二项式相乘可利用特殊的公式加以解决,并注意一般与特殊的关系.

    七、教学步骤

    (一)明确目标

    本节课将学习多项式与多项式相乘的乘法法则及其特殊形式的公式的应用.

    (二)整体感知

    多项式与多项式的相乘关键在于展开式中的四项是如何得到的,这里教师应注重引导学生细心观察、品味法则的规律性,实质就在于让一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项遍乘既不能漏又不能重复.对特殊的多项式相乘可运用特殊的办法去处理

    (三)教学过程

    1.创设情境,复习导入

    (1)回忆单项式与法则.

    (2)计算:

    ①②

    ③④

    学生活动:学生在练习本上完成,然后回答结果.

    【教法说明】多项式乘法是以单项式乘法和单项式与多项式相乘为基础的,通过复习引起学生回忆,为本节学习提供铺垫和思想基础.

    2.探索新知,讲授新课

    今天,我们在以前学习的基础上,学习.

    就是形如的计算.

    这里都表示单项式,因此表示多项式相乘,那么如何对进行计算呢?若把看成一个单项式,能否利用单项式与多项式相乘的法则计算呢?请同桌同学互相讨论,并试着进行计算.

    学生活动:同桌讨论,并试着计算(教师适当引导),学生回答结论.

    【教法说明】多项式乘法法则,是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的.这里的关键在于让学生理解,将看成一个单项式,然后运用单项式与多项式相乘的法则进行计算,让学生讨论并试着计算,目的是培养学生分析问题、解决问题的能力,鼓励学生积极探索知识、善于发现规律、主动参与学习.

    3.总结规律,揭示法则

    对于的计算过程可以表示为:

    教师引导学生用文字表述多项式乘法法则:

    多项式与多项式相乘,先用一个多项式的第一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

    如计算:看成公式中的;-1看成公式中的;看成公式中的;3看成公式中的.运用法则中的每一项分别去乘中的每一项,计算可得:.

    学生活动:在教师引导下细心观察、品味法则.

    【教法说明】借助算式图,指出的得出过程,实质就是用一个多项式的“每一项”乘另一个多项式的“每一项”,再把所得积相加的过程.可以达到两个目的:一是直观揭示法则,有利于学生理解;二是防止学生出现运用法则进行计算时“漏项”的错误,强调法则,加深理解,同时明确多项式是单项式的和,每一项都包括前面的符号.

    这个法则还可利用一个图形明显地表示出来.

    (1)这个长方形的面积用代数式表示为_____________.

    (2)Ⅰ的面积为________;Ⅱ的面积为________;Ⅲ的面积为________;Ⅳ的面积为_______.

    结论:即.

    学生活动:随着教师的演示,边思考,边回答问题.

    【教法说明】利用图形的直观性,使学生进一步理解、掌握这一法则,渗透数形结合的思想,培养学生观察、分析图形的能力.

    4.运用知识,尝试解题

    例1计算:

    (1)(2)

    (3)

    解:(1)原式

    (2)原式

    (3)原式

    【教法说明】例1的目的是熟悉、理解法则.完成例1时,要求学生紧扣法则,按法则的文字叙发“一步步”解题,注意最后要合并同类项.让学生参与例题的解答,旨在强化学生的参与意识,使其主动思考.

    例2计算:

    (1)(2)

    学生活动:在教师引导下,说出解题过程.

    解:(1)原式

    (2)原式

    【教法说明】例2的两个小题是后面要讲到的乘法公式,但目前仍按多项式乘法法则计算,无需说明它们是乘法公式,此题的目的在于为后面的学习做准备.

    5.强化训练,巩固知识

    (1)计算:

    ①②

    ③④

    ⑤⑥

    (2)计算:

    ①②

    ③④

    ⑤⑥

    ⑦⑧

    学生活动:学生在练习本上完成.

    【教法说明】本组练习的目的是:①使学生进一步理解法则,熟练运用法则进行计算.②训练学生计算的准确性,培养计算能力.③对乘法公式先有一个模糊印象,为以后的学习打下基础.

    (四)总结、扩展

    这节课我们学习了多项式乘法法则,请同学们回答问题:

    1.叙述多项式乘法法则.

    2.谈谈这节课你的学习体会.

    学生活动:学生分别回答上述问题.

    【教法说明】通过让学生自己谈学习体会,既可以达到总结归纳本节知识的目的,形成完整印象,又可以提高学生的总结概括能力.

    八、布置作业

    P120A组1.(1)(3)(5)(7),2.(2)(3),3.(1)(3)(8).

    参考答案

    1.(1)原式

    (3)原式

    (5)原式

    (7)原式

    2.(2)原式

    (3)原式

    3.(1)原式

    (3)原式

    (8)原式

    有理数的乘法


    1.4.1有理数的乘法(2)【教学目标】1.巩固有理数乘法法则;2.探索多个有理数相乘时,积的符号的确定方法.【对话探索设计】〖探索1〗1.下列各式的积为什么是负的?(1)-2×3×4×5×6;(2)2×(-3)×4×(-5)×6×7×8×9×(-10).2.下列各式的积为什么是正的?(1)(-2)×(-3)×4×5×6×7;(2)-2×3×4×5×(-6)×7×8×(-9)×(-10).〖观察1〗p38.观察〖思考归纳〗几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系?(见p38.思考)与两个有理数相乘一样,几个不等于0的有理数相乘,要先确定积的符号,再确定积的绝对值〖例题学习〗p39.例3〖观察2〗p39.观察〖练习〗p39.练习〖作业〗p46.7.(1),(2)(3),8,9,10,11.〖补充练习〗1.(1)若a=3,a与2a哪个大?若a=0呢?又若a=-3呢?(2)a与2a哪个大?(3)判断:9a一定大于2a;(4)判断:9a一定不小于2a.(5)判断:9a有可能小于2a.2."几个数相乘,积的符号由负因数的个数决定"这句话错在哪里?3.若a>b,则ac>bc吗?为什么?请举例说明.4.若mn=0,那么一定有()(a)m=n=0.(b)m=0,n≠0.(c)m≠0,n=0.(d)m、n中至少有一个为0.5.利用乘法法则完成下表,你能发现什么规律?

    ×

    3

    2

    1

    0

    -1

    -2

    -3

    3

    9

    6

    3

    0

    -3

    2

    6

    2

    2

    1

    3

    2

    1

    0

    -1

    -2

    -3

    6.(1)经过调查发现,若甲商店某种彩电降价的百分率记为a,则乙商店这种彩电降价的百分率可记为-a,你认为哪家商店该彩电的降价的百分率大?为什么?(2)经过调查发现,若甲商店某种彩电降价的百分率记为a,则乙商店这种彩电降价的百分率可记为1.2a,你认为哪家商店该彩电的降价的百分率大?为什么?

    二次根式的乘法


    教学建议

    知识结构:

    重点难点分析:

    本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容,化简和运算都是围绕其进行的,而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

    本节难点是与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数,但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

    教法建议:

    1.由于性质、法则和关系式较集中,在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错,综合运用,因此要使学生在认识过程中脉络清楚,条理分明,在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解时可以结合积的算术平方根的性质,让学生把握两者的关系。

    2.积的算术平方根的性质和()及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法,让学生通过计算一组具体的式子,引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究,从表象到本质,进而猜想出一般的结论,这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用,所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

    教学设计示例

    (一)

    一、教学目标

    1.使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.

    2.会进行简单的运算.

    3.使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题.

    4.使学生了解比较二次根式的大小的方法.

    二、教学重点和难点

    1.重点:会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行简单的运算.

    2.难点:与积的算术平方根的关系及应用.

    三、教学方法

    从特殊到一般总结归纳的方法,类比的方法,讲授与练习结合法.

    四、教学手段

    利用投影仪.

    五、教学过程

    (一)引入新课

    观察下面的例子:

    于是可得到:

    又如:

    类似地可以得到:

    (二)新课

    积的算术平方根.

    由前面所举特殊的例子,引导学生总结出:一般地,有(a≥0,b≥0).

    积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.

    要注意a≥0、b≥0的条件,因为只有a、b都是非负数公式才能成立,这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0.在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示正数,下面启发学生从运算顺序看,等号左边是将非负数a、b先做乘法求积,再开方求积的算术平方根,等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根,然后再求两个算术平方根的积.

    根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形,或将有的因式适当改变移到根号外边,或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.

    例1把下面各数分解因数:

    (1)20;(2)42;(3)63;(4)128.

    说明:通过本题复习分解因数,为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础.

    解:略.

    例2化简:

    (1)(2)

    (3)(4)

    分析:本题需要用积的算术平方根公式进行化简,题目中的被开方数都是具体数字,学生便于理解,在讲完例2后可以总结化简的方法.

    解:(1)

    (2)

    (3)

    (4)

    说明:①(a≥0,b≥0)可以推广为(a≥0,b≥0,c≥0).

    ②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系,解答了章序言中提出的一个问题.

    ③(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式,才可以用积的算术平方根公式进行化简.

    ④通过例2可以看出,如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方,可以利用积的算术平方根的性质,将这些因式(或因数)开出来,从而将二次根式化简.

    通过例2,我们根据算术平方根的定义,可得出:,,等结果,于是可以总结出:一般地,有

    (a≥0)

    关于a<0时,,这种情况将在本章最后一小节专门研究.

    例3化简:

    (1);(2)

    分析:由例3,让学生注意,在本章中,未加特别说明时,字母一般表示正数,但在实际问题中不一定非是正数不可,如第(1)小题,a可以是负数,根据学生实际情况,可适当引导学生展开小组的讨论,渗透分类讨论的思想.

    解:(1)

    (2)

    说明:x2+y2这个式子不能再开方了,进一步强调积的算术平方根公式的特点.

    例4如右图,在△ABC中,∠C=90°,4C=10cm,BC=24cm.求AB.

    解:∵AB2=AC2+BC2

    (cm)

    答:AB长26cm.

    (三)小结

    1.本节课讲了积的算术平方根的性质

    (a≥0,b≥0).

    通过分式的应用,让学生进一步总结,为什么必须有a≥0、b≥0这个条件,而没有这个条件上述性质不成立.

    问学生:当a<0,b<0,也有意义,为什么一定要a≥0、b≥0呢?

    引导学生说出:若a<0,b<0,,在实数范围内没有意义.公式显然不成立.

    2.利用积的算术平方根的性质,化简二次根式的方法.

    3.结合几何课学习的勾股定理,提高学生解决实际问题的能力.

    (四)练习

    1.化简:

    (1);(2);

    (3);(4);

    (5);(6);

    (7);(8)

    2.计算:

    (1);(2);

    (3);(4)

    3.已知一个直角三角形的斜边c=21,一条直角边b=4,求另一条直角边a.

    六、作业

    教材P.177习题11.2;A组1、2、3、4、5.

    七、板书设计

    代数式的教学方案


    教学目标

    1.使学生认识字母表示数的意义,了解字母表示数是数学的一大进步;

    2.了解的概念,使学生能说出一个所表示的数量关系;

    3.通过对用字母表示数的讲解,初步培养学生观察和抽象思维的能力;

    4.通过本节课的教学,使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法。

    教学建议

    1.知识结构:本小节先回顾了小学学过的字母表示的两种实例,一是运算律,二是公式,从中看出字母表示数的优越性,进而引出的概念。

    2.教学重点分析:教科书,介绍了小学用字母表示数的实例,一个是运算律,一个是常用公式,上述两种例子应用广泛,且能很好地体现用字母表示数所具有的简明、普遍的优越性,用字母表示是数学从算术到代数的一大进步,是代数的显著特点。运用算术的方法解决问题,是小学学生的思维方法,现在,从具体的数过渡到用字母表示数,渗透了抽象概括的思维方法,在认识上是一个质的飞跃。对的概念课文没有直接给出,而是用实例形象地说明了的概念。对的概念可以从三个方面去理解:

    (1)从具体的数到用字母表示数,是抽象思维的开始,体现了特殊与一般的辨证关系,用字母表示数具有简明、普遍的优越性.

    (2)中并不要求数和表示数的字母同时出现,单独的一个数和字母也是.如:2,都是.

    (3)是用基本的运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子,一定要弄清一个有几种运算和运算顺序。不含表示关系的符号,如等号、不等号.如,,等都是,而,,,等都不是.

    3.教学难点分析:能正确说出一个的数量关系,即用语言表达的意义,一定要理清中含有的各种运算及其顺序。用语言表达的意义,具体说法没有统一规定,以简明而不引起误会为出发点。

    如:说出7(a-3)的意义。

    分析7(a-3)读成7乘a减3,这样就产生歧义,究竟是7a-3呢?还是7(a-3)呢?有模棱两可之感。7(a-3)的最后运算是积,应把a-3作为一个整体。所以,7(a-3)的意义是7与(a-3)的积。

    4.书写的注意事项:

    (1)中数字与字母或者字母与字母相乘时,通常把乘号简写作“·”或省略不写,同时要求数字应写在字母前面.如,应写作或写作,应写作或写作.带分数与字母相乘,应把带分数化成假分数,如应写成.数字与数字相乘一般仍用“×”号.

    (2)中有除法运算时,一般按照分数的写法来写.如:应写作

    (3)含有加减运算的需注明单位时,一定要把整个式子括起来.

    5.对本节例题的分析:

    例1是用表示几个比较简单的数量关系,这些小学都学过.比较复杂一些的数量关系的表示,课文安排在下一节中专门介绍.

    例2是说出一些比较简单的的意义.因为中用字母表示数,所以把字母也看成数,一种特殊的数,就可以像看待原来比较熟悉的数式一样,说出一个所表示的数量关系,只是另外还要考虑乘号可能省略等新规定而已.

    6.教法建议

    (1)因为这一章知识大部分在小学学习过,讲授新课之前要先复习小学学过的运算律,在学生原有的认知结构上,提出新的问题。这样即复习了旧知识,又引出了新知识,能激发学生的学习兴趣。在教学中,一定要注意发挥本章承上启下的作用,搞好小学数学与初中代数的衔接,使学生有一个良好的开端。

    (2)在本节的学习过程中,要使学生理解的概念,首先要给学生多举例子(学生比较熟悉、贴近现实生活的例子),使学生从感性上认识什么是,理清中的运算和运算顺序,才能正确说出一个所表示的数量关系,从而认识字母表示数的意义——普遍性、简明性,也为列做准备。

    (3)条件比较好的学校,老师可选用一些多媒体课件,激发学生的学习兴趣,增强学生自主学习的能力。

    (4)老师在讲解第一节之前,一定要对全章内容和课时安排有一个了解,注意前后知识的衔接,只有这样,我们老师才能教给学生系统的而不是一些零散的知识,久而久之,学生头脑中自然会形成一个完整的知识体系。

    (5)因为是新学期代数的第一节课,老师一定要给学生一个好印象,好的开端等于成功了一半。那么,怎么才能给学生留下好印象呢?首先,你要尽量在学生面前展示自己的才华。比如,英语口语好的老师,可以用英语做一个自我介绍,然后为学生说一段祝福语。第二,上课时尽量使用多种语言与学生交流,其中包括情感语言(眉目语言、手势语言等),让学生感受到老师对他的关心。

    7.教学重点、难点:

    重点:用字母表示数的意义

    难点:学会用字母表示数及正确说出一个所表示的数量关系。

    教学设计示例

    教学目标

    1.使学生认识字母表示数的意义,了解字母表示数是数学的一大进步;

    2.了解的概念,使学生能说出一个所表示的数量关系;

    3.通过对用字母表示数的讲解,初步培养学生观察和抽象思维的能力;

    4.通过本节课的教学,使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法.

    教学重点和难点

    重点:用字母表示数的意义

    难点:学会用字母表示数及正确地说出所表示的数量关系

    课堂教学过程设计

    一、从学生原有的认知结构提出问题

    1在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如可用字母表示它们?

    (通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律)

    (1)加法交换律a+b=b+a;

    (2)乘法交换律a·b=b·a;

    (3)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c);

    (4)乘法结合律(ab)c=a(bc);

    (5)乘法分配律a(b+c)=ab+ac

    指出:(1)“×”也可以写成“·”号或者省略不写,但数与数之间相乘,一般仍用“×”;

    (2)上面各种运算律中,所用到的字母a,b,c都是表示数的字母,它代表我们过去学过的一切数

    2(投影)从甲地到乙地的路程是15千米,步行要3小时,骑车要1小时,乘汽车要0.25小时,试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是多少?

    3若用s表示路程,t表示时间,ν表示速度,你能用s与t表示ν吗?

    4(投影)一个正方形的边长是a厘米,则这个正方形的周长是多少?面积是多少?

    (用I厘米表示周长,则I=4a厘米;用S平方厘米表示面积,则S=a2平方厘米)

    此时,教师应指出:(1)用字母表示数可以把数或数的关系,简明的表示出来;(2)在公式与中,用字母表示数也会给运算带来方便;(3)像上面出现的a,5,15÷3,4a,a+b,以及a2等等都叫.那么究竟什么叫呢?的意义又是什么呢?这正是本节课我们将要学习的内容.

    三、讲授新课

    1

    单独的一个数字或单独的一个字母以及用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫.学习代数,首先要学习用表示数量关系,明确代数上的意义

    2举例说明

    例1填空:

    (1)每包书有12册,n包书有__________册;

    (2)温度由t℃下降到2℃后是_________℃;

    (3)棱长是a厘米的正方体的体积是_____立方厘米;

    (4)产量由m千克增长10%,就达到_______千克

    (此例题用投影给出,学生口答完成)

    解:(1)12n;(2)(t-2);(3)a3;(4)(1+10%)m

    例2说出下列的意义:

    (1)2a+3(2)2(a+3);(3)(4)a-(5)a2+b2(6)(a+b)2

    解:(1)2a+3的意义是2a与3的和;(2)2(a+3)的意义是2与(a+3)的积;

    (3)的意义是c除以ab的商;(4)a-的意义是a减去的差;

    (5)a2+b2的意义是a,b的平方的和;(6)(a+b)2的意义是a与b的和的平方

    说明:(1)本题应由教师示范来完成;

    (2)对于的意义,具体说法没有统一规定,以简明而不致引起误会为出发点如第(1)小题也可以说成“a的2倍加上3”或“a的2倍与3的和”等等

    例3用表示:

    (1)m与n的和除以10的商;

    (2)m与5n的差的平方;

    (3)x的2倍与y的和;

    (4)ν的立方与t的3倍的积

    分析:用表示用语言叙述的数量关系要注意:①弄清中括号的使用;②字母与数字做乘积时,习惯上数字要写在字母的前面

    解:(1);(2)(m-5n)2(3)2x+y;(4)3tν3

    四、课堂练习

    1填空:(投影)

    (1)n箱苹果重p千克,每箱重_____千克;

    (2)甲身高a厘米,乙比甲矮b厘米,那么乙的身高为_____厘米;

    (3)底为a,高为h的三角形面积是______;

    (4)全校学生人数是x,其中女生占48%,则女生人数是____,男生人数是____

    2说出下列的意义:(投影)

    (1)2a-3c;(2);(3)ab+1;(4)a2-b2

    3用表示:(投影)

    (1)x与y的和;(2)x的平方与y的立方的差;

    (3)a的60%与b的2倍的和;(4)a除以2的商与b除3的商的和

    五、师生共同小结

    首先,提出如下问题:

    1本节课学习了哪些内容?2用字母表示数的意义是什么?

    3什么叫?

    教师在学生回答上述问题的基础上,指出:①实际上就是算式,字母像数字一样也可以进行运算;②在和运算结果中,如有单位时,要正确地使用括号

    六、作业

    1一个三角形的三条边的长分别的a,b,c,求这个三角形的周长

    2张强比王华大3岁,当张强a岁时,王华的年龄是多少?

    3飞机的速度是汽车的40倍,自行车的速度是汽车的,若汽车的速度是ν千米/时,那么,飞机与自行车的速度各是多少?

    4a千克大米的售价是6元,1千克大米售多少元?

    5圆的半径是R厘米,它的面积是多少?

    6用表示:

    (1)长为a,宽为b米的长方形的周长;

    (2)宽为b米,长是宽的2倍的长方形的周长;

    (3)长是a米,宽是长的的长方形的周长;

    (4)宽为b米,长比宽多2米的长方形的周长

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