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  • 经典范文:6.2 变化中的三角形

    发表时间:2022-01-15

    【www.jk251.com - 三角形的中位线】

    提起教案,我相信大家都不陌生,多写教案能够提升我们的策划能力,要想在教学中不断进取,其秘诀之一就是编写好教案。什么样的初中教案比较高质量?希望《经典范文:6.2 变化中的三角形》能够为您提供帮助。

    教学目标:

    1、经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感.

    2、能根据具体情景,用关系式表示某些变量之间的关系.

    3、能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.

    教学重点:

    1、找问题中的自变量和因变量.

    2、根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系.

    教学难点:根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系.

    教学方法:探索讨论、归纳总结.

    教学工具:课件

    准备活动:

    课前复习:

    (1)如果△abc的底边长为a,高为h,那么面积s△abc=__________________.

    (2)如果梯形的上底、下底长分别为a、b,高为h,那么面积s梯形=____________.

    (3)圆柱的底面半径为r,高为h,面积s圆柱=___________;圆锥底面的半径为r,高为h,面积s圆锥=___________________.

    教学过程:

    一、探索:

    如图所示,△abc底边bc上的高是6厘米.当三角形的顶点c沿底边所在直线向点c运动时,三角形的面积发生了变化.

    (1)在这个变化过程中,自变量是________,因变量是__________.

    (2)如果三角形的底边长为x(厘米),那么三角形的面积y(厘米2)可以表示为__________当底边长从12厘米变化到3厘米时,三角形的面积从________厘米2变化到_______厘米2.

    在这里教师重点要引导学生观察变化中面积是怎样随着高变化而变化的.重点理解上面的题目中第2小问的意思.

    做一做:

    1、如图所示,圆锥的底面半径是2厘米,当圆锥的高由小到大变化时,圆锥的体积也随之而发生了变化.

    (1)在这个变化过程中,自变量是________,因变量是_________.

    (2)如果圆锥的高为h(厘米),那么圆锥的体积v(厘米3)与h的关系式是_____________.

    (3)当高由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由________厘米3变化到_______厘米3.

    2、如图所示,圆锥的高是4厘米,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之而发生了变化.

    (1)在这个变化过程中,自变量是____________,因变量是______________;

    (2)如果圆锥底面半径为r(厘米),那么圆锥的体积v(厘米3)与r的关系式是_____________;

    (3)当底面半径由1厘米变化到10厘米时,圆锥的体积由_________厘米3变化到_________厘米3.

    两个做一做中,可以先用课件展示这个变化过程给学生看,让他们小组内交流从、而得到答案,再独立完成第2小题.教师在此基础上给予点评.

    巩固练习:

    1、如图所示,长方形的长为12,宽为x,则:

    (1)若设长方形的面积s,则面积s与宽x之间有什么关系?

    (2)若用c表示长方形的周长,则周长c与宽x之间有什么关系?

    (3)当x增加一倍时,长方形的面积s是如何变化的?周长c又是如何变化的?说一说你为什么会这样认为?

    (4)当x为何值时,长方形会变成一条线段?

    小结:

    自变量和因变量之间的关系;根据关系式找出与自变量相应的因变量的数值.

    作业:

    课本p170习题6.2:1、2.

    教学后记:

    学生基本上能准确的找到自变量和因变量,对单个自变量的数值可以找到相应的因变量的值.但是对于自变量由一个数变化到另一个值时,找随之而变化的因变量的值,有部分学生感到难以理解.

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    三角形的中位线


    教学建议

    知识结构

    重难点分析

    本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系,而且给出了线段的数量关系,为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.

    本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法,同一法学生初次接触,思维上不容易理解,而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线,添加的目的性和必要性,同以前遇到的情况对比有一定的难度.

    教法建议

    1.对于中位线定理的引入和证明可采用发现法,由学生自己观察、猜想、测量、论证,实际掌握效果比应用讲授法应好些,教师可根据学生情况参考采用

    2.对于定理的证明,有条件的教师可考虑利用多媒体课件来进行演示知识的形成及证明过程,效果可能会更直接更易于理解

    教学设计示例

    一、教学目标

    1.掌握中位线的概念和三角形中位线定理

    2.掌握定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”

    3.能够应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算,进一步提高学生的计算能力

    4.通过定理证明及一题多解,逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

    5.通过一题多解,培养学生对数学的兴趣

    二、教学设计

    画图测量,猜想讨论,启发引导.

    三、重点、难点

    1.教学重点:三角形中位线的概论与三角形中位线性质.

    2.教学难点:三角形中位线定理的证明.

    四、课时安排

    1课时

    五、教具学具准备

    投影仪、胶片、常用画图工具

    六、教学步骤

    【复习提问】

    1.叙述平行线等分线段定理及推论的内容(结合学生的叙述,教师画出草图,结合图形,加以说明).

    2.说明定理的证明思路.

    3.如图所示,在平行四边形ABCD中,M、N分别为BC、DA中点,AM、CN分别交BD于点E、F,如何证明?

    分析:要证三条线段相等,一般情况下证两两线段相等即可.如要证,只要即可.首先证出四边形AMCN是平行四边形,然后用平行线等分线段定理即可证出.

    4.什么叫三角形中线?(以上复习用投影仪打出)

    【引入新课】

    1.三角形中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.

    (结合三角形中线的定义,让学生明确两者区别,可做一练习,在中,画出中线、中位线)

    2.三角形中位线性质

    了解了三角形中位线的定义后,我们来研究一下,三角形中位线有什么性质.

    如图所示,DE是的一条中位线,如果过D作,交AC于,那么根据平行线等分线段定理推论2,得是AC的中点,可见与DE重合,所以.由此得到:三角形中位线平行于第三边.同样,过D作,且DEFC,所以DE.因此,又得出一个结论,那就是:三角形中位线等于第三边的一半.由此得到三角形中位线定理.

    三角形中位线定理:三角形中位城平行于第三边,并且等于它的一半.

    应注意的两个问题:①为便于同学对定理能更好的掌握和应用,可引导学生分析此定理的特点,即同一个题设下有两个结论,第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系,第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系,在应用时可根据需要来选用其中的结论(可以单独用其中结论).②这个定理的证明方法很多,关键在于如何添加辅助线.可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维,开阔学生思路,从而提高分析问题和解决问题的能力.但也应指出,当一个命题有多种证明方法时,要选用比较简捷的方法证明.

    由学生讨论,说出几种证明方法,然后教师总结如下图所示(用投影仪演示).

    (l)延长DE到F,使,连结CF,由可得ADFC.

    (2)延长DE到F,使,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得ADFC.

    (3)过点C作,与DE延长线交于F,通过证可得ADFC.

    上面通过三种不同方法得出ADFC,再由得BDFC,所以四边形DBCF是平行四边形,DFBC,又因DE,所以DE.

    (证明过程略)

    例求证:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.

    (由学生根据命题,说出已知、求证)

    已知:如图所示,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

    求证:四边形EFGH是平行四边形.‘

    分析:因为已知点分别是四边形各边中点,如果连结对角线就可以把四边形分成三角形,这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系,从而证出四边形EFGH是平行四边形.

    证明:连结AC.

    ∴(三角形中位线定理).

    同理,

    ∴GHEF

    ∴四边形EFGH是平行四边形.

    【小结】

    1.三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别.

    2.三角形中位线定理及证明思路.

    七、布置作业

    教材P188中1(2)、4、7

    九、板书设计

    经典初中教案三角形的内角


    教学目标:

    1.掌握三角形内角和定理及其推论;

    2.弄清三角形按角的分类,会按角的大小对三角形进行分类;

    3.通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想,并会用方程思想去解决一些图形中求角的问题。

    4.通过三角形内角和定理的证明,提高学生的逻辑思维能力,同时培养学生严谨的科学态

    5.通过对定理及推论的分析与讨论,发展学生的求同和求异的思维能力,培养学生联系与转化的辩证思想。

    教学重点:三角形内角和定理及其推论。

    教学难点:三角形内角和定理的证明

    教学用具:直尺、微机

    教学方法:互动式,谈话法

    教学过程:1、创设情境,自然引入把问题作为教学的出发点,创设问题情境,激发学生学习兴趣和求知欲,为发现新知识创造一个最佳的心理和认知环境。问题1三角形三条边的关系我们已经明确了,而且利用上述关系解决了一些几何问题,那么三角形的三个内角有何关系呢?问题2你能用几何推理来论证得到的关系吗?对于问题1绝大多数学生都能回答出来(小学学过的),问题2学生会感到困难,因为这个证明需添加辅助线,这是同学们第一次接触的新知识―――“辅助线”。教师可以趁机告诉学生这节课将要学习的一个重要内容(板书课题)新课引入的好坏在某种程度上关系到课堂教学的成败,本节课从旧知识切入,特别是从知识体系考虑引入,“学习了三角形边的关系,自然想到三角形角的关系怎样呢?”使学生感觉本节课学习的内容自然合理。2、设问质疑,探究尝试(1)求证:三角形三个内角的和等于让学生剪一个三角形,并把它的三个内角分别剪下来,再拼成一个平面图形。这里教师设计了电脑动画显示具体情景。然后,围绕问题设计以下几个问题让学生思考,教师进行学法指导。问题1观察:三个内角拼成了一个什么角?问题2此实验给我们一个什么启示?(把三角形的三个内角之和转化为一个平角)问题3由图中AB与CD的关系,启发我们画一条什么样的线,作为解决问题的桥梁?其中问题2是解决本题的关键,教师可引导学生分析。对于问题3学生经过思考会画出此线的。这里教师要重点讲解“辅助线”的有关知识。比如:为什么要画这条线?画这条线有什么作用?要让学生知道“辅助线”是以后解决几何问题有力的工具。它的作用在于充分利用条件;恰当转化条件;恰当转化结论;充分提示题目中各元素间的一些不明显的关系,达到化难为易解决问题的目的。(2)通过类比“三角形按边分类”,三角形按角怎样分类呢?学生回答后,电脑显示图表。(3)三角形中三个内角之和为定值,那么对三角形的其它角还有哪些特殊的关系呢?问题1直角三角形中,直角与其它两个锐角有何关系?问题2三角形一个外角与它不相邻的两个内角有何关系?问题3三角形一个外角与其中的一个不相邻内角有何关系?其中问题1学生很容易得出,提出问题2之后,先给出三角形外角的定义,然后让学生经过分析讨论,得出结论并书写证明过程。这样安排的目的有三点:第一,理解定理之后的延伸――推论,培养学生良好的学习习惯。第二,模仿定理的证明书写格式,加强学生书写能力。第三,提高学生灵活运用所学知识的能力。3、三角形三个内角关系的定理及推论引导学生分析并严格书写解题过程第12页

    相似三角形


    教学建议

    知识结构

    本节首先给出了的定义和表示方法,在此基础上给出相似比的概念,并利用探究法得出三角形相似的预备定理

    重难点分析

    的概念是本节的重点也是本节的难点.是研究相似形的最重要和最基本的图形,是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展,全等形是相似形的特殊情况,研究比研究全等三角形更具有一般性.对应边和对应角子中占有重要地位,学生在找对应边及对应角时常常出现错误.

    教法建议

    1.从知识的逻辑体系出发,在知识的引入时可考虑先给出相似形的概念,在给出的概念

    2.在知识的引入上,可以从生活实例的角度出发,在生活中找几个的例子,在此基础上给出的概念

    3.在知识的引入上,还可以从知识的建构模式入手,给出几组图形,告诉学生这几组图形都是,由学生研究这些图形的边角关系,从而得到对的本质认识

    4.在概念的巩固中,应注意反例的作用,要适当给出或由学生举出不是的例子来加深对概念的理解

    5.在概念的理解过程中,要注意给出不同层次的图形,要求学生从中找出,既增加学生的参与又加深学生对概念的理解

    6.在本节内容中对应边及对应角的寻找学生常常出现混淆,教师在教学过程中可设计由浅入深的一系列题组由学生寻找其中的对应边或对应角,并说明根据,有利于知识的掌握

    教学设计示例

    一、教学目标

    1.使学生理解并掌握的概念,理解相似比的概念.

    2.使学生掌握预备定理,并了解它的承上启下的作用.

    3.通过预备定理的条件所构成的图形的三种情况,教给学生对一致性问题的思考方法.

    4.通过学习,培养由特殊到一般的唯物辩证法观点.

    二、教学设计

    类比学习、探索发现.

    三、重点、难点

    1.教学重点:是的概念及预备定理,教学中要让学生加深对概念的本质的认识.

    2.教学难点:是相似比的概念及找对应边.

    四、课时安排

    1课时

    五、教具学具准备

    投影仪、胶片、常用画图工具.

    六、教学步骤

    【复习提问】

    1.什么叫做全等三角形?它在形状上、大小上有何特征?

    2.两个全等三角形的对应也和对应角有什么关系?

    【讲解新课】

    1.

    的本质特征是“具有相同形状”,它们的大小不一定相等,这是和全等三角形的重要区别.为加深学生对概念的本质的认识,教学时可预先准备几对,让学生观察或测量对应元素的关系,然后直观地得出:两个三角形形状相同,就是他们的对应角相等,对应边成比例.

    定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做

    符号“∽”,读作:“相似于”,记作:∽,如图所示.

    ∴∽

    反之亦然.即对应角相等,对应边成比例(性质).

    ∵∽,

    另外,具有传递性(性质).

    注:在证两个三角形相似时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.

    思考问题:(l)所有等腰三角形都相似吗?所有等边三角形呢?为什么?

    (2)所有直角三角形都相似吗?所有等腰直角三角形呢?为什么?

    2.相似比的概念

    对应边的比K,叫做相似比(或相似系数).

    注:①两个的相似比具有顺序性.

    如果与的相似比是K,那么与的相似比是.

    ②全等三角形的相似比为1,这也说明了全等三角形是的特殊情形.

    3.预备定理:平行三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.∽,如图所示.

    教材通过探讨的方法,根据题设中有平行线的条件,结合5.2节例6定理的结论,再根据三角形的定义,从而得出了这两个三角形相似的结论,这里要强调的是:

    (1)本定理的导出不仅让学生复习了的定义,而且为后面的证明打下了基础,它的重要性是显而易见的.

    (2)由本定理的题设所构成的三角形有三种可能,除教材中两种情况外还有如左图所示的情形,它可以看成BC截两边所得,其中,本质上与右图是一致的.

    (3)根据两个三角形相似写对应边的比例式时,每个比的前项是同一个三角形的三边,而比的后项是另一个三角形的三条对应边,它们的位置不能写错,作题时务必要认真仔细,如本定理的比例式,防止出现的错误,如出现错误,教师要及时予以纠正.

    (4)根据两个三角形相似写对应边的比例式时,还应给学生强调,这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边,对应边应写在对应位置.

    (5)建议教师在教学中经常采用一些形象性语言,如:有平行就有成比例线段,有平行就有.

    【小结】

    1.本节学习了的概念.

    2.正确理解相似比的概念,为以后学习的性质打下基础.

    3.重点学习了预备定理及注意的问题.

    七、布置作业

    教材P238中2,3.

    八、板书设计

    5.6 作三角形(范文)


    教学目标:

    1、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边的条件下,能够利用尺规作三角形.

    2、能结合三角形全等的条件与同伴交流作图过程和结果的合理性.

    教学重点:1、根据题目的条件作三角形.

    教学难点:探索作图过程.

    教学工具:圆规、直尺

    准备活动:

    (1)计算已知线段a,求作线段ab,使得ab=a.

    (2)已知:∠α,求作:∠aob,使∠aob=∠α.

    (3)已知:m为∠aob边上的一点,如图所示,过m作直线cd,使得cd//oa.

    教学过程:

    内容一:(根据简单图形书写作法)

    (1)如图,使用直尺作图,看图填空.

    ①②③④

    ①过点____和_______作直线ab;

    ②连结线段___________;

    ③以点_______为端点,过点_______作射线___________;

    ④延长线段__________到_________,使得bc=2ab.

    (2)如图,使用圆规作图,看图填空:

    ①在射线am上__________线段________=___________.

    ②以点______为圆心,以线段______为半径作弧交_________于点___________.

    以点______为圆心,以任意长为半径作弧,分别交∠aob两边,交_________于点___________,交________于点__________.

    这部分内容是为让学生熟悉作法的语言表达而设的.教师应该让学生慢慢理解这种语言表达的意思.逐步学会自己口述表达自己的作图过程.

    内容二(作一个三角形与已知三角形全等)

    1、已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.

    已知:线段a,c,∠α.

    求作:δabc,使得bc=a,ab=c,∠abc=∠α.

    作法与过程:

    (1)作一条线段bc=a,

    (2)以b为顶点,bc为一边,作角∠dbc=∠a;

    (3)在射线bd上截取线段ba=c;

    (4)连接ac,δabc就是所求作的三角形.

    给出示范和作法,让学生模仿,教师可以在黑板上做一次示范,让学生跟着一起操作,并在画完图后,让学生再自己操作一遍.而在下面的作图中,就让学生小组内讨论、交流,通过集体的力量完成,教师再给以一定的指导.

    2、已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.

    已知:线段∠α,∠β,线段c.

    求作:δabc,使得∠a=∠α,∠b=∠β,ab=c.

    作法:(1)作____________=∠α;

    (2)在射线______上截取线段_________=c;

    (3)以______为顶点,以_________为一边,作∠______=∠β,________交_______于点_______.δabc就是所求作的三角形.

    先让学生独立思考,探索作图的过程,对可以自己作出图形的学生,要求他们在小组内交流,用自己的语言表述作图过程.教师要注意提醒学生在作图过程中,是以哪个点为圆心,什么长度为半径作图.

    3、已知三角形的三边,求作这个三角形.

    已知:线段a,b,c.

    求作:δabc,使得ab=c,ac=b,bc=a.

    在完成三个作图后,要鼓励学生比较各自所作的三角形,利用重合等直观的方法观察所作的三角形是否全等.在此机会上,引导学生利用已经获得的三角形全等的条件来说明大家所作的三角形一定是全等的,即说明作法的合理性.

    小结:

    能根据题目给出的条件作出三角形.能口述作图过程.

    作业:卷子中的巩固练习.

    教学后记:

    本节课的内容比较多,学生对作图的步骤有混淆的情况发生,学生对于自己探索”已知三角形三边作三角形”的作图过程存在一定的难度.

    用自己的语言表达作图过程也是不大理想.有待练习巩固.

    三角形的中位线初中教案精选


    教学建议

    知识结构

    重难点分析

    本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系,而且给出了线段的数量关系,为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.

    本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法,同一法学生初次接触,思维上不容易理解,而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线,添加的目的性和必要性,同以前遇到的情况对比有一定的难度.

    教法建议

    1.对于中位线定理的引入和证明可采用发现法,由学生自己观察、猜想、测量、论证,实际掌握效果比应用讲授法应好些,教师可根据学生情况参考采用

    2.对于定理的证明,有条件的教师可考虑利用多媒体课件来进行演示知识的形成及证明过程,效果可能会更直接更易于理解

    教学设计示例

    一、教学目标

    1.掌握中位线的概念和三角形中位线定理

    2.掌握定理“过三角形一边中点且平行另一边的直线平分第三边”

    3.能够应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算,进一步提高学生的计算能力

    4.通过定理证明及一题多解,逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力

    5.通过一题多解,培养学生对数学的兴趣

    二、教学设计

    画图测量,猜想讨论,启发引导.

    三、重点、难点

    1.教学重点:三角形中位线的概论与三角形中位线性质.

    2.教学难点:三角形中位线定理的证明.

    四、课时安排

    1课时

    五、教具学具准备

    投影仪、胶片、常用画图工具

    六、教学步骤

    【复习提问】

    1.叙述平行线等分线段定理及推论的内容(结合学生的叙述,教师画出草图,结合图形,加以说明).

    2.说明定理的证明思路.

    3.如图所示,在平行四边形ABCD中,M、N分别为BC、DA中点,AM、CN分别交BD于点E、F,如何证明?

    分析:要证三条线段相等,一般情况下证两两线段相等即可.如要证,只要即可.首先证出四边形AMCN是平行四边形,然后用平行线等分线段定理即可证出.

    4.什么叫三角形中线?(以上复习用投影仪打出)

    【引入新课】

    1.三角形中位线:连结三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.

    (结合三角形中线的定义,让学生明确两者区别,可做一练习,在中,画出中线、中位线)

    2.三角形中位线性质

    了解了三角形中位线的定义后,我们来研究一下,三角形中位线有什么性质.

    如图所示,DE是的一条中位线,如果过D作,交AC于,那么根据平行线等分线段定理推论2,得是AC的中点,可见与DE重合,所以.由此得到:三角形中位线平行于第三边.同样,过D作,且DEFC,所以DE.因此,又得出一个结论,那就是:三角形中位线等于第三边的一半.由此得到三角形中位线定理.

    三角形中位线定理:三角形中位城平行于第三边,并且等于它的一半.

    应注意的两个问题:①为便于同学对定理能更好的掌握和应用,可引导学生分析此定理的特点,即同一个题设下有两个结论,第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系,第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系,在应用时可根据需要来选用其中的结论(可以单独用其中结论).②这个定理的证明方法很多,关键在于如何添加辅助线.可以引导学生用不同的方法来证明以活跃学生的思维,开阔学生思路,从而提高分析问题和解决问题的能力.但也应指出,当一个命题有多种证明方法时,要选用比较简捷的方法证明.

    由学生讨论,说出几种证明方法,然后教师总结如下图所示(用投影仪演示).

    (l)延长DE到F,使,连结CF,由可得ADFC.

    (2)延长DE到F,使,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形,可得ADFC.

    (3)过点C作,与DE延长线交于F,通过证可得ADFC.

    上面通过三种不同方法得出ADFC,再由得BDFC,所以四边形DBCF是平行四边形,DFBC,又因DE,所以DE.

    (证明过程略)

    例求证:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.

    (由学生根据命题,说出已知、求证)

    已知:如图所示,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

    求证:四边形EFGH是平行四边形.‘

    分析:因为已知点分别是四边形各边中点,如果连结对角线就可以把四边形分成三角形,这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系,从而证出四边形EFGH是平行四边形.

    证明:连结AC.

    ∴(三角形中位线定理).

    同理,

    ∴GHEF

    ∴四边形EFGH是平行四边形.

    【小结】

    1.三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别.

    2.三角形中位线定理及证明思路.

    七、布置作业

    教材P188中1(2)、4、7

    九、板书设计

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