【www.jk251.com - 函数概念教案】
大家对教案都很熟悉了吧,教案也是老师教学活动的依据,认真做好教案我们的工作会变得更加顺利,对于初中教案报的撰写你是否毫无头绪呢?欢迎大家阅读小编为大家收集整理的《函数初中教案精选》。
教学目标:
1、进一步理解的概念,能从简单的实际事例中,抽象出关系,列出解析式;
2、使学生分清常量与变量,并能确定自变量的取值范围.
3、会求值,并体会自变量与值间的对应关系.
4、使学生掌握解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量的取值范围的求法.
5、通过的教学使学生体会到事物是相互联系的.是有规律地运动变化着的.
教学重点:了解的意义,会求自变量的取值范围及求值.
教学难点:概念的抽象性.
教学过程:
(一)引入新课:
上一节课我们讲了的概念:一般地,设在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的.
生活中有很多实例反映了关系,你能举出一个,并指出式中的自变量与吗?
1、学校计划组织一次春游,学生每人交30元,求总金额y(元)与学生数n(个)的关系.
2、为迎接新年,班委会计划购买100元的小礼物送给同学,求所能购买的总数n(个)与单价(a)元的关系.
解:1、y=30n
y是,n是自变量
2、,n是,a是自变量.
(二)讲授新课
刚才所举例子中的,都是利用数学式子即解析式表示的.这种用数学式子表示时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.如第一题中的学生数n必须是正整数.
例1、求下列中自变量x的取值范围.
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
分析:在(1)、(2)中,x取任意实数,与都有意义.
(3)小题的是一个分式,分式成立的条件是分母不为0.这道题的分母是,因此要求.
同理(4)小题的也是分式,分式成立的条件是分母不为0,这道题的分母是,因此要求且.
第(5)小题,是二次根式,二次根式成立的条件是被开方数大于、等于零.的被开方数是.
同理,第(6)小题也是二次根式,是被开方数,
.
解:(1)全体实数
(2)全体实数
(3)
(4)且
(5)
(6)
小结:从上面的例题中可以看出的解析式是整数时,自变量可取全体实数;的解析式是分式时,自变量的取值应使分母不为零;的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数大于、等于零.
注意:有些同学没有真正理解解析式是分式时,自变量的取值应使分母不为零,片面地认为,凡是分母,只要即可.教师可将解题步骤设计得细致一些.先提问本题的分母是什么?然后再要求分式的分母不为零.求出使成立的自变量的取值范围.二次根式的问题也与次类似.
但象第(4)小题,有些同学会犯这样的错误,将答案写成或.在解一元二次方程时,方程的两根用“或者”联接,在这里就直接拿过来用.限于初中学生的接受能力,教师可联系日常生活讲清“且”与“或”.说明这里与是并且的关系.即2与-1这两个值x都不能取.
例2、自行车保管站在某个星期日保管的自行车共有3500辆次,其中变速车保管费是每辆一次0.5元,一般车保管费是每次一辆0.3元.
(1)若设一般车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y元,试写出y关于x的关系式;
(2)若估计前来停放的3500辆次自行车中,变速车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.
解:(1)
(x是正整数,
(2)若变速车的辆次不小于25%,但不大于40%,
则
收入在1225元至1330元之间
总结:对于反映实际问题的关系,应使得实际问题有意义.这样,就要求联系实际,具体问题具体分析.
对于,当自变量时,相应的y的值是.60叫做这个当时的值.
例3、求下列当时的值:
(1)(2)
(3)(4)
解:1)当时,
(2)当时,
(3)当时,
(4)当时,
注:本例既锻炼了学生的计算能力,又创设了情境,让学生体会对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与之对应.以此加深对的理解.
(二)小结:
这节课,我们进一步地研究了有关的概念.在研究关系时首先要考虑自变量的取值范围.因此,要求大家能掌握解析式含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的的自变量取值范围的求法,并能求出其相应的值.另外,对于反映实际问题的关系,要具体问题具体分析.
作业:习题13.2A组2、3、5
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一次函数初中教案精选
一、目的要求
1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件,确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析
1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的,前面三小节,先学习函数的概念与表示法,这是为学习后面的几种具体的函数作准备的,从本节开始,将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识,大体上,每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的,通过这些具体函数的学习,学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识,并且,结合这些内容,学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时,是按先讲正反比例函数,后讲一次、二次函数顺序编排的,这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识,注意了中小学的衔接,新教材则是安排先学习一次函数,并且,把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍,而最后才学习反比例函数,为什么这样安排呢?第一,这样安排,比较符合学生由易到难的认识规津,从函数角度看,一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的,相对来说,反比例函数就要复杂一些了,特别是,反比例函数的图象是由两条曲线组成的,先学习反比例函数难度可能要大一些。第二,把正比例函数作为一次函数的特例介绍,既可以提高学习效益,又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系,从而,可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质,一方面,在学生初次接触函数的有关内容时,一定要结合具体函数进行学习,因此,全章的主要内容,是侧重在具体函数的讲述上的。另一方面,在大纲规定的几种具体函数中,一次函数是最基本的,教科书对一次函数的讨论也比较全面。通过一次函数的学习,学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解,从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
三、教学过程
复习提问:
1、什么是函数?
2、函数有哪几种表示方法?
3、举出几个函数的例子。
新课讲解:
可以选用提问时学生举出的例子,也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式),y=x,s=3t等。观察时,可以按下列问题引导学生思考:
(1)这些式子表示的是什么关系?(在学生明确这些式子表示函数关系后,可指出,这是函数。)
(2)这些函数中的自变量是什么?函数是什么?(在学生分清后,可指出,式子中等号左边的y与s是函数,等号右边是一个代数式,其中的字母x与t是自变量。)
(3)在这些函数式中,表示函数的自变量的式子,分别是关于自变量的什么式呢?(这题牵扯到有关整式的基本概念,表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子,都是关于自变量的一次式。)
(4)x的一次式的一般形式是什么?(结合一元一次方程的有关知识,可以知道,x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。)
由以上的层层设问,最后给出一次函数的定义。
一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0)那么,y叫做x的一次函数。
对这个定义,要注意:
(1)x是变量,k,b是常数;
(2)k≠0(当k=0时,式子变形成y=b的形式。b是x的0次式,y=b叫做常数函数,这点,不一定向学生讲述。)
由一次函数出发,当常数b=0时,一次函数kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数,k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。
在讲述正比例函数时,首先,要注意适当复习小学学过的正比例关系,小学数学是这样陈述的:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
写成式子是(一定)需指出,小学因为没有学过负数,实际的例子都是k>0的例子,对于正比例函数,k也为负数。其次,要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系:正比例函数是特殊的一次函数。课堂练习:教科书13、4节练习第1题.
二次函数教学设计初中教案精选
二次函数的教学设计
马玉宝
教学内容:人教版九年义务教育初中第三册第108页
教学目标:
1.1.理解二次函数的意义;会用描点法画出函数y=ax2的图象,知道抛物线的有关概念;
2.2.通过变式教学,培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性;
3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法;加深对于数形结合思想认识。
教学重点:二次函数的意义;会画二次函数图象。
教学难点:描点法画二次函数y=ax2的图象,数与形相互联系。
教学过程设计:
一.一.创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数,现在来看看下面几个例子:
1.写出圆的半径是R(CM),它的面积S(CM2)与R的关系式
答:S=πR2.①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地,矩形面积S(M2)与矩形一边长L(M)之间的关系
答:S=L(30-L)=30L-L2②
分析:①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系?
S是否是R、L的一次函数?
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数,那么S是R、L的什么函数呢?这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢?
答:二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。(板书课题)
二.二.归纳抽象、形成概念
一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),
那么,y叫做x的二次函数.
注意:(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式,所以x的取值范围是任意实数.
练习:1.举例子:请同学举一些二次函数的例子,全班同学判断是否正确。
2.出难题:请同学给大家出示一个函数,请同学判断是否是二次函数。
(若学生考虑不全,教师给予补充。如:;;;的形式。)
(通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解,既培养了学生的实践能力,有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语,也增添了课堂的趣味性。)
由前面一次函数的学习,我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
(在这里指出学习函数的一般方法,旨在及时进行学法指导;并将此方法形成技能,以指导今后的学习;进一步培养终身学习的能力。)
三.三.尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1.1.尝试:大家知道一次函数的图象是一条直线,那么二次函数的图象是什么呢?
请同学们画出函数y=x2的图象。
(学生分别画图,教师巡视了解情况。)
2.2.模仿巩固:教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示,到底哪一个对呢?下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解:一、列表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y=x2
9
4
1
0
1
4
9
二、描点、连线:按照表格,描出各点.然后用光滑的曲线,按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
数学教案-函数的图象初中教案精选
函数的图象
教学目标
(一)知道函数图象的意义;
(二)能画出简单函数的图象,会列表、描点、连线;
(三)能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
教学重点和难点
重点:认识函数图象的意义,会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
难点:对已恬图象能读图、识图,从图象解释函数变化关系。
教学过程设计
(一)复习
1.什么叫函数?
2.什么叫平面直角坐标系?
3.在坐标平面内,什么叫点的横坐标?什么叫点的纵坐标?
4.如果点A的横坐标为3,纵坐标为5,请用记号表示A(3,5).
5.请在坐标平面内画出A点。
6.如果已知一个点的坐标,可在坐标平面内画出几个点?反过来,如果坐标平面内的一个点确定,这个点的坐标有几个?这样的点和坐标的对应关系,叫做什么对应?(答:叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应)
(二)新课
我们在前几节课已经知道,函数关系可以用解析式表示,像y=2x+1就表示以x为自变量时,y是x的函数。
这个函数关系中,y与x的函数。
这个函数关系中,y与x的对应关系,我们还可通知在坐标平面内画出图象的方法来表示。
具体做法是
第一步:列表。(写出自变量x与函数值的对应表)先确定x的若干个值,然后填入相应的y值。
函数式y=2x+1
自变量x
-2
-1
0
1
2
函数值y
-3
-1
1
3
5
(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)
第二步:描点,对于表中的每一组对应值,以x值作为点的横坐标,以对应的y值作为点的纵坐标,便可画出一个点。也就是由表中给出的有序实数对,在直角坐标系中描出相应的点。
第三步连线,按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来,得到的图形就是函数式y=2x+1的图象。图13-24
例1在同一直角坐标系中画出下列函数式的图象:
(1)y=-3x;(2)y=-3x+2;(3)y=-3x-3
分析:按照列表、描点、连线三步操作。
解:
函数式(1)y=-3x
自变量x
-2
-1
0
1
2
函数y
6
3
0
-3
-6
函数(2)y=-3x+2
自变量x
-2
-1
0
1
2
函数y
8
5
2
-1
-4
函数(3)y=-3x-3
自变量x
-2
-1
0
1
2
函数y
3
0
-3
-6
-9
它们的图象分别是图13-25中的(1)(2)(3)。
例2某化工厂1月到12月生产某种产品的统计资料如下:
X/月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Y/产品吨数
2
3
3
4
5
6
6
6
5
4
5
7
(1)在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标,以该月的产值作为点的纵坐标画邮对应的点。把12个点画在同一直角坐标系中。
(2)按照月份由小到大的顺序,把每两个点用线段连接起来。
(3)解读图象:从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的。
(4)如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的,请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?
解:(1),(2)见图13-26
(3)产量上升:1月到2月;3月,4月,5月,6月逐月上升;10月,11月,12月逐月上升。
产量下降:8月到9月,9月到10月。
产量不升不降:2月到3月;6月到7月,7月到8月。
(4)过x轴上的4.5处作y轴的平行线,与图象交于点A,则点A的纵坐标约4.5,所以4月15日的产量约为4.5吨。
(三)课堂练习
已知函数式y=-2x。用列表(x取-2,-1,2,1,2),描点,连线的程序,画出它的图象。
(四)小结
到现在,我们已经学过了表示函数关系的方法有三种:
1.解析式法——用数学式子表示函数的关系。
2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系。
3.图象法——把自变量x作为点的横坐标,对应的函数值y作为点的纵坐标,在直角坐标系内描出对应的点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象。用图象来表示函数y与自变量x对应关系。
这三种表示函数的方法各有优缺点。
1.用解析法表示函数关系
优点:简单明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点:在求对应值时,有时要做较复杂的计算。
2.用列表表示函数关系
优点:对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便。
缺点:表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出,而且从表中看不出变量间的对应规律。
3.用图象法表示函数关系
优点:形象直观,可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质,把抽象的函数概念形象化。
缺点:从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
函数的三种基本表示方法,各有各的优点和缺点,因此,要根据不同问题与需要,灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上,有时把这三种方法结合起来使用,即由已知的函数解析式,列出自变量与对应的函数值的表格,再画出它的图象。
(五)作业
1.在图13-27中,不能表示函数关系的图形有()
(A)(a),(b),(c)(B)(b),(c),(d)(C)(b),(c),(e)(D)(b),(d),(e)
2.函数y=的图象是图13-28中的()
3.矩形的周长是12cm,设矩形的宽为x(cm),面积为y(cm2).
(1)以x为自变量,y为x的函数,写出函数关系式,并在关系式后面注明x的取值范围;
(2)列表、描点、连线画出此函数的图象
4.(1)画出函数y=-x+2的图象(在-4与4之间,每隔1取一个x值,列表;并在直角坐标系中描点画图);
(2)判断下列各有序实数对是不是函数。Y=-x+2的自变量x与函数y的一对对应值,如果是,检验一下具有相应坐标的点是否在你所出的函数图象上:
(-2,2),(-,2),(-1,3),(,1)
5.画出下列函数的图象:
(1)y=4x-1;(2)y=4x+1
6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象。根据图象回答,在这一天:
(1)8时,12时,20时的气温各是多少;
(2)最高气温与最低气温各是多少;
(3)什么时间气温最高,什么时间气温最低。
7.画出函断y=x2的图象(先填下表,再描点,然后用平滑曲线顺次连结各点):
X
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
8.画出函数y=图象(先填下表,再描点,然后用平滑曲线顺次连结各点):
X
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
作业的答案或提示
1.选(C),因为对应于x的一个值的y值不是唯一的。
2.选(D)当x0时,=x,所以y===1
3.
(1)y=x(6-x)其中0
(2)
X
0
1
2
3
4
5
6
y
0
5
8
9
8
5
0
4.
Y=-x+2
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
3
3
2
2
2
1
1
1
经过检验,点(-,2)及点(,1)在所画的函数图象上。
5.
Y=4x-1
X
-2
-1
0
1
2
y
-9
-5
-1
3
7
Y=4x+1
x
-2
-1
0
1
2
y
-7
-3
1
5
9
6.(1)8时约5℃,20时约10℃。(2)最高气温为12℃,最低气温为2℃。(3)14时气温最高,4时气温最低。
7.
Y=x2
X
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
4
2.25
1
0.25
0
0.25
1
2.25
4
8.
Y=
X
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
-1
-
-
-2
-3
-6
6
3
2
1
课堂教学设计说明
1.在建立平面直角坐标系后,点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应;不同的坐标与不同的点一一对应;函数关系与动点轨迹一一对应,把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来,通过解读图象,了解抽象的数量关系,这种“数形结合”,是数学中的一种重要的思想方法。
2.本课的目标是使学生会画函数图象,并会解读图象,即会从图象了解到抽象的数量关系。为此,先在复习旧课时,着重提问坐标平面上的点与有序实数对一一对应,接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。
3.教学设计中的例3,既训练学生从已数据画图象,又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力,对函数图象功能有一个完整的认识。
4.在小结中,介绍了函数关系的三种表示方法,并说明它们各自的优缺点,有利于对函数概念的透彻理解。
5.作业中的第1-3题,对训练函数图象很有帮助。
第1题,目的要说明,对于x的一个值,y必须是唯一的值与之对应,而(b)(c)(e)都是对于x一个值,y有不止一个值与之对应,所以y不是x的函数,本题还训练解读图形的能力。
第2题,训练学生分类讨论的数学思想,在去掉绝对值符号时,必须分x≥0与x
第3题,训练学生根据已知条件建立函数解析式,并列表、描点、连线画出图象的能力,这些都是学习函数问题时应具备的基本功。
经典初中教案函数的图象
教学目标:
1、培养学生看图识图的能力.
2、在识图过程中,渗透数形结合的数学思想.
3、从不同知识的背景提取的对象,可以使学生认识到数学的广泛应用性.
4、激发学生学习数学的兴趣,培养学生的探索精神
教学重点:培养学生看图识图的能力
教学难点:渗透数形结合的数学思想
教学用具:计算机、投影机
教学方法:谈话法、分组讨论
教学过程:
1、阅读习题13.3的第四题
学生阅读后,老师可以提问学生,分别回答:
下图是北京春季某一天的
2、提出看图说图的重要性
随着计算机的普及,很多软件都可以做到输入解析式后,立刻显示出函数图象来,这样看图、识图就变得相当重要了.从上题就可以看出,图形的表示更直观,一目了然.也便于分析结论.数学不仅有数的一面,也有“形”的一面.美国著名数学家M克莱茵曾指出:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄.但是当这两门科学结合成伴侣时,它们就相互吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善.”数学具有广泛的应用性,其它学科和日常生活都可以找到应用数学解决问题的例子.
3、为学生提供相对丰富的素材,体会以图识性.
例1、如图所示,A、B两条曲线表示A、B两种物质在不同温度时的相应溶解度,现有未饱和的A、B溶液各一杯,它们的温度都是.如果不准增加A、B两种溶质,请你想一想,用什么办法能分别把它们变成饱和溶液?
(读题后,可组织学生分组讨论.若学生还没有学习相应的化学知识,老师可以解释一下.一般学生都能理解.关键是学生都从图中看出了什么.既有定量的分析,又能得出定性的规律).
从A、B的溶解度曲线分析,随着温度升高,A物质的溶解度增大很快,而物质B的溶解度变化不大,针对这两种不同的特征,可以采用不同的方法.
如对未饱和的A溶液,可以采用降低温度的使它饱和因为根据A物质的曲线,可以看出,降低温度,物质A的溶解度会迅速减小.
而对B物质来讲,它的溶解度受温度的影响变化不大,要把不饱和溶液变为饱和,就需要用减少溶剂的办法.把溶液加热,使溶剂蒸发掉一些.溶剂逐渐减少到一定程度,不饱和的溶液就会变成饱和的了.
例2、如图,是各月气温的分配图
能从图中找出气温最低的月份,气温最高的月份.
并判断出该地所处的气温带.
分析:最高气温在7月,最低在2月.气温曲线的
下限也在以上,即~之间,因此可判断出
该地位于亚热带.
(从数字的变化中,找出事物发展的规律.数学为其它科学所用,数学能力也包括科学的收集信息,整理信息,分析信息的能力.本课例也在试图探索出一条数学与其它学科综合的课例,让学生切实地体会出画图象的好处,体会到数学的用处.数学收集的是数量,但我们可以凭借这些数量,发现它们背后的科学规律.
例3、没有创新就没有发展.因此现代社会要求人必须具有创造性的思维.你想过有关创造性的问题吗?人的创造性思维发展是否随着年龄的增大而呈直线上升趋势?男女之间有区别吗?你可以谈一谈你的想法.
参考资料:思维的流畅性,是指在限定时间内产生观念数量的多少.在短时间内产生的观念多,思维流畅性大;反之,思维缺乏流畅性.以研究智力结构和创造性思维而闻名的美国心理学家吉尔福特把思维流畅性分为四种形式:①用词的流畅性,一定时间内能产生含有规定的字母或字母组合的词汇量的多少;②联想的流畅性,在限定的时间内能够从一个指定的词当中产生同意词(或反义词)数量的多少;③表达的流畅性,按照句子结构要求能够排列词汇量的数量的多少;④观念的流畅性,能够在限定的时间内产生满足一定要求的观念的多少,也就是提出解决问题的答案的多少.
以上的参考资料教师可视学生的情形灵活处理,可以作为预习作业提前下发,也可以在上课时,由老师进行通俗的解释.
右图是以美国心理学家对小学一年级学生至成年人进行大规模有组织的的创造性思维测验后,根据其中的流畅性分数绘制的曲线图.
(1)从图中可以看出,创造性思维的发展不是直线的,而是成犬齿形曲线
(2)男女生曲线基本相似,波峰与波谷基本出现在同一点上.
(3)小学一至三年级呈直线上升状态;小学四年级下跌;小学年级又回复上升;小学六年级至初中一年级第二次下降;以后直至成人基本保持上升趋势.
(注)虽然图中曲线只是儿童期创造性思维的流畅性曲线,但心理学家认为,它也从一定程度上说明了儿童期创造力发展的一般进度.
4、小结:从上面的例题可以看出,数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透,并越来越直接地为人类物质生产与日常生活做出贡献.因此现代数学的特点之一是它广泛的应用性.数学的学习需要我们有搜集信息分析整理信息的能力.通过观察、归纳、总结出规律,并能应用规律解决问题.
5、作业:从其它学科或现实生活中找出曲线图,加以分析,提出你自己的想法.
二次函数y=ax+bx+c初中教案精选
第一课时
教学目标
1.使学生会用描点法画出二次函数与的图象;
2.使学生能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标;
3.通过比较抛物线与同的相互关系,培养学生观察、分析、总结的能力;
4.在本节的教学中,继续向学生进行数形结合、转化的数学思想方法的渗透;
5.通过本节课的教学,培养学生事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点.
教学重点:画出形如与形如的二次函数的图象,能指出上述函数图象的开口方向,对称轴,顶点坐标.
教学难点:理解函数、与及其图象间的相互关系
教学用具:微机
教学方法:探究式、小组合作学习
教学过程
一、复习引入
提问:1.什么是二次函数?
2.我们已研究过了什么样的二次函数?
3.形如的二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标各是什么?
通过这三个问题,进一步复习巩固所学的知识点,同时引出本节课要学习的问题.
从这节课开始,我们就来研究二次函数的图象.(板书课题)
二、新课
复习提问:用描点法画出函数的图象,并根据图象指出:抛物线的开口方向,对称轴与顶点坐标.(插入的图片)
教师可边提问边打开图片,然后可以找学生来指出抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标,针对学生的回答情况加以总结,评价.
下面,我们来看一下如何完成下面的例题?
例1在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.(插入课件)
(一)函数对应值表的区别.
列表:
-3
-2
-1
0
1
2
3
10
5
2
1
2
5
10
9
4
1
0
1
4
7
8
3
0
-1
0
3
8
列完表之后,让学生观察上表归纳出,对于与,任意一个的值,解析式的函数值总比的函数值小1,对于同一个值,值总是小1,抛物线上的点向下平行移动一个单位,图象也向下平移一个单位.对于与也这样分析.分析完表后,再让同学们看课件中画出的函数与的图象.
(二)图象的区别.
然后,由学生来观察课件上画出的三条抛物线,让学生思考下列问题:
(1)抛物线的开口方向,对称轴与顶点坐标是什么?
(2)抛物线的开口方向,对称轴与顶点坐标是什么?
(3)抛物线,与的开口方向,对称轴,顶点坐标有何异同?
(4)抛物线,与有什么关系?
通过这四个问题,可使学生深入理解这三条抛物线之间的联系与区别,便于学生以后分析问题.
答:形状相同,位置不同.(继续演示课件,来说明学生观察、推理的正确性,激发学生的兴趣)
关于上述回答可继续提问:(可按学生的层次不同来选择问题的深度)
①你所说的形状相同具体是指什么?
答:抛物线的开口方向和开口大小都相同.
②根据你所学过的知识能否回答:为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同?
答:因为a的值相同.
通过这一问题,使学生对此类问题形成规律:抛物线的形状相同就说明a的值相同,而a的值相同就可以说抛物线的形状相同.加深学生对系数a的作用的理解.
③这三条抛物线的位置有何不同?它们之间可有什么关系?
先由学生思考,讨论之后,给出答案.
答:若沿y轴平移,这三条抛物线可重合.(演示动画)
④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的?抛物线呢?
答:抛物线是由抛物线沿y轴向上平移1个单位得到的;而抛物线是由抛物线沿y轴向下平移1个单位得到的.
⑤你认为是什么决定了会这样平移?
答:中的的值决定了会这样平移.若,则向上平移,若,则向下平移.
练习一教材P118中1学生独立完成,口答.
下面,我们再来看一类二次函数的图象:(演示动画)
例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象.(插入动画)
注意:画这两个图形时,参考前面画图列表时的取值都是关于某一个值对称的,可先让学生猜测画这两个图时的取值各以应什么数为中间点,然后左右能对称.通过这样的训练能帮助学生以后自主考虑问题时怎样找思路列完表之后,与例l一样处理,演示课件直到三条抛物线全画出.画完图之后的观察和分析也可仿照例1完成.
注意:(l)关于抛物线与的对称轴的写法,要加以交待,若曾在讲完13.5后阅读过教科书P.113—115,这个问题就好解决了.若没有读过,可由学生讨论对称轴上点的特征来得到对称轴的表示方法.
(2)这次图象的平移是沿轴进行的,平移的单位和方向是由中的决定的,特别强调二次函数形式的写法是,而不是.
练习二P118中2学生独立完成,口答.
三、本节小结
本节课学习了二次函数与的图象的画法,主要内容如下。
(出示幻灯)填写下表:(可让学生回答)
表一:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
表二:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
八、布置作业
教材P124中1(1)、(2)
九、板书设计
13.7二次函数的图象(一)
例1:例2:
小结:小结:
第二课时
一、教学目标
1.使学生会用描点法画出二次函数的图像;
2.使学生知道抛物线的对称轴与顶点坐标;
3.通过本节的学习,继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力;
4.通过本节的教学,继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育,同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想;
5.通过本节课的研究,充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美,通过数学思维的审美活动,提高对数学美的追求。
二、教学重点
会画形如的二次函数的图像,并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
三、教学难点:确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。
4.解决办法:
四、教具准备
三角板或投影片
1.教师出示投影片,复习。
2.请学生动手画的图像,正好复习图像的画法,完成表格。
3.小结的性质
4.练习
五、教学过程
提问:1.前几节课,我们都学习了形如什么样的二次函数的图像?
答:形如。(板书)
2.这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题,你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗?
由学生参考上面给出的三个类型,较容易得到:讨论形如的二次函数的有关问题.(板书)
一、复习引入
首先,我们先来复习一下前面学习的一些有关知识.(出示幻灯)
请你在同一直角坐标系内,画出函数的图像,并指出它们的开口方向,对称轴及顶点坐标.
这里之所以加上画函数的图像,是为了使最后通过图像的观察能更全面一些,也更直观一些,可以同时给出图像先沿y轴,再沿轴移动的方式,也可以给出图像
先沿轴再沿y轴移动的方式,使这部分知识能更全面,知识与知识之间的联系能更清晰、更具体.
画这三个函数图像,可由学生在同一表中列值,但是要根据各自的不同特点取自变量
的值,以便于学生进行观察.教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板,由一名同
学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,待同学们基本做完之后加以总结,然后再找三名
同学,分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标,填入事先准备好的表格中.
然后提问:你能否在这个直角坐标系中,再画出函数的图像?
由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像,学生对画图已经有了一定的经验,
同时可在画这个图时,把这些经验形成规律,便于学生以后应用.
(l)关于列表:主要是合理选值与简化运算的把握,是教学要点.在选值时,首先要考虑的是函数图像的对称性,因此首先要确定中心值,然后再左,右取相同间隔的值;其次,选值时尽量选取整数,便于计算和描点.
在选取的值之后,计算y的值时,考虑到对称性,只需计算中心值一侧的值,另一侧由对称性可直接填入,但一定要保证运算正确.
(2)关于描点:一般可先定顶点(即中心值对应的点,然后利用对称性描出各点,以逐步提高速度.)
(3)关于连线:特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑,对称,并符合抛物线的特点.
由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值,然后画出它的图像,同样找一名同学板演.
学生画完,教师总结完之后,让学生观察黑板上画出的四条抛物线,提问:
(1)你能否指出抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标?
将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中,如下表:
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
(0,0)
向下
(0,-1)
向下
(-1,0)
向下
(-1,-1)
(2)我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的,你能通过上表中的特征,试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗?
这个问题由于是本节课的重点问题,而且不是很容易说清楚,可由学生进行广泛的讨论,先得出对称员的表示方法,再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪,教师可适当引导,让学生把这四个函数都改写成的形式,可得
;
。然后从这四个式子中加以观察,分析,得出结论;(板书)
一般地,抛物线有如下特点:
①时,开口向上;时,开口向下;
②对称轴是直线;
③顶点坐标是。
(3)抛物线有什么关系?
答:形状相同,位置不同。
(4)它们的位置有什么关系?
这个问题可视学生的程度来决定问还是不问,以及回答到什么程度。
根据上节课的学习,学生能想到是平移科来的,可把这四个图像分成以下几个问题来讨论:①抛物线是由抛物线怎样移动得到的?
②抛物线是由抛物线怎样移动得到的?
③抛物线是由抛物线怎样移动得到的?
④抛物线是由抛物线怎样移动得到的?
⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的?
这个问题分两种方式回答:先沿轴,再沿轴移动;或先沿轴,再沿轴移动。
通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系,如图所示:
注意:基本形式中的符号,特别是h。
练习:P120练习口答,及时纠正错误。
(四)总结、扩展
一般的二次函数,都可以变形成的形式,其中:
1.a能决定什么?怎样决定的?
答:a的符号决定抛物线的开口方向;a的绝对值大小抛物线的开口大小。
2.它的对称轴是什么?顶点坐标是什么?
六、布置作业
教材P124中1(3);P124中3(1)、(2);P125中
七、板书设计
经典初中教案指数函数与对数函数的性质及其应用
教案
课题:指数函数与对数函数的性质及其应用
课型:综合课
教学目标:在复习指数函数与对数函数的特性之后,通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。
重点:指数函数与对数函数的特性。
难点:指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。
教学方法:多媒体授课。
学法指导:借助列表与图像法。
教具:多媒体教学设备。
教学过程:
一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性,加深学生的记忆。
二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。
指数函数与对数函数关系一览表
函数
性质
指数函数
y=ax(a>0且a≠1)
对数函数
y=logax(a>0且a≠1)
定义域
实数集R
正实数集(0,﹢∞)
值域
正实数集(0,﹢∞)
实数集R
共同的点
(0,1)
(1,0)
单调性
a>1增函数
a>1增函数
0<a<1减函数
0<a<1减函数
函数特性
a>1
当x>0,y>1
当x>1,y>0
当x<0,0<y<1
当0<x<1,y<0
0<a<1
当x>0,0<y<1
当x>1,y<0
当x<0,y>1
当0<x<1,y>0
反函数
y=logax(a>0且a≠1)
y=ax(a>0且a≠1)
图像
Y
y=(1/2)xy=2x
(0,1)
X
Y
y=log2x
(1,0)
X
y=log1/2x
三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成,观察其特点,并得出y=log2x与y=2x、y=log1/2x与y=(1/2)x的图像关于直线y=x对称,互为反函数关系。所以y=logax与y=ax互为反函数关系,且y=logax的定义域与y=ax的值域相同,y=logax的值域与y=ax的定义域相同。
Y
y=(1/2)xy=2xy=x
(0,1)y=log2x
(1,0)X
y=log1/2x
注意:不能由图像得到y=2x与y=(1/2)x为偶函数关系。因为偶函数是指同一个函数的图像关于Y轴对称。此图虽有y=2x与y=(1/2)x图像对称,但它们是2个不同的函数。
四、利用指数函数与对数函数性质去解决含有指数与对数的复合型函数的定义域、值域问题及比较函数的大小值。
五、例题
例⒈比较(Л)(-0.1)与(Л)(-0.5)的大小。
解:∵y=ax中,a=Л>1
∴此函数为增函数
又∵﹣0.1>﹣0.5
∴(Л)(-0.1)>(Л)(-0.5)
例⒉比较log67与log76的大小。
解:∵log67>log66=1
log76<log77=1
∴log67>log76
注意:当2个对数值不能直接进行比较时,可在这2个对数中间插入一个已知数,间接比较这2个数的大小。
例⒊求y=3√4-x2的定义域和值域。
解:∵√4-x2有意义,须使4-x2≥0
即x2≤4,|x|≤2
∴-2≤x≤2,即定义域为[-2,2]
又∵0≤x2≤4,∴0≤4-x2≤4
∴0≤√4-x2≤2,且y=3x是增函数
∴30≤y≤32,即值域为[1,9]
例⒋求函数y=√log0.25(log0.25x)的定义域。
解:要函数有意义,须使log0.25(log0.25x)≥0
又∵0<0.25<1,∴y=log0.25x是减函数
∴0<log0.25x≤1
∴log0.251<log0.25x≤log0.250.25
∴0.25≤x<1,即定义域为[0.25,1)
六、课堂练习
求下列函数的定义域
1.y=8[1/(2x-1)]
2.y=loga(1-x)2(a>0,且a≠1)
七、评讲练习
八、布置作业
第113页,第10、11题。并预习指数函数与对数函数
在物理、社会科学中的实际应用。